第一、二单元阶段复习讲义【导图知识卡片+知识梳理+20个考点讲练+实战演练 共60题】-2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册阶段复习知识清单培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图和知识清单系统构建两、三位数除以两位数及周长与面积的知识体系，将口算笔算、试商规律、周长公式、面积单位换算等核心知识点按逻辑分层梳理，用表格对比呈现商的变化规律与周长面积区别，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于20个重难点考点讲练设计，如归总问题结合人工智能处理token情境，双归一问题融入无人机喷洒农药实例，培养运算能力与应用意识。典型例题与举一反三练习分层设置，60道实战题覆盖各类题型，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学提升效率。

null 2026-2027学年苏教版数学四年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第一、二单元 两、三位数除以两位数、周长与面积 （思维导图+知识清单+10个重难点考点讲练+实战演练 共60题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】除数是整十数的口算除法 8 【重难点考点二】除数是整十数的笔算除法 8 【重难点考点三】除数是两位数的笔算除法 9 【重难点考点四】多位数除以两位数的试商 9 【重难点考点五】判断商是几位数（除数是两位数） 10 【重难点考点六】单归一问题 10 【重难点考点七】双归一问题 10 【重难点考点八】归总问题 11 【重难点考点九】商的变化规律及应用 11 【重难点考点十】周长的认识和大小比较 11 【重难点考点十一】面积认识及大小的比较 12 【重难点考点十二】长方形的周长 12 【重难点考点十三】正方形的周长 13 【重难点考点十四】画指定周长的长方形、正方形 13 【重难点考点十五】长方形的面积 14 【重难点考点十六】正方形的面积 14 【重难点考点十七】长方形和正方形组合的面积 15 【重难点考点十八】平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 16 【重难点考点十九】画指定面积的长方形、正方形 16 【重难点考点二十】求最短周长（长方形和正方形) 17 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 两、三位数除以两位数】 知识点一 两、三位数除以整十数 1. 口算方法 (1) 利用表内除法：将被除数和除数末尾的0同时去掉，转化为表内除法计算。 (2) 想乘法算除法：思考几个除数等于被除数。 2. 笔算方法（竖式计算） (1) 商的位置： 1　 先看被除数的前两位。如果前两位够除（大于或等于除数），商写在十位上。 2　 如果前两位不够除（小于除数），要看前三位，商写在个位上。 (2) 余数要求：每次除得的余数必须比除数小。 (3) 验算方法：商 除数 + 余数 = 被除数。 知识点二 两、三位数除以两位数 1. 试商方法 (1) “四舍”法试商：当除数的个位是1、2、3、4时，把除数看作和它接近的整十数（舍去个位）来试商。 注意：初商可能偏大，需调小。 (2) “五入”法试商：当除数的个位是5、6、7、8、9时，把除数看作和它接近的整十数（进一位）来试商。 注意：初商可能偏小，需调大。 (3) 同头无除商八九：被除数和除数最高位相同，且被除数前两位小于除数时，商可能是8或9。 (4) 折半商五：被除数的前两位大约是除数的一半时，商可能是5。 2. 笔算步骤 (1) 一看：看除数是几位数，确定从被除数的哪一位开始除。 (2) 二试：用“四舍五入”法把除数看作整十数试商。 (3) 三乘：用商乘原来的除数（不是看作的整十数）。 (4) 四减：用被除数减去积，得到余数。 (5) 五比：比较余数和除数，余数必须小于除数。 (6) 六落：落下下一位，继续除，直到除完。 知识点三 判断商是几位数（除数是两位数） 1. 判定规则 (1) 商是两位数：被除数的前两位 除数。 解释：前两位够除，商的最高位在十位。 (2) 商是一位数：被除数的前两位 除数。 解释：前两位不够除，需看前三位，商的最高位在个位。 2. 快速判断技巧 (1) 无需完整计算，仅比较被除数前两位与除数的大小关系即可确定商的位数。 知识点四 商的变化规律及应用 1. 基本规律 (1) 除数不变：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。 (2) 被除数不变：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 2. 综合变化 (1) 若被除数和除数同时发生变化，需分步分析或代入数值验证。 (2) 应用场景：用于估算、检查计算结果合理性，以及解决某些特定的填空问题。 知识点五 商不变的规律及应用 1. 核心规律 (1) 被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。 (2) 公式表达： 或 （ ）。 2. 重要性质：余数的变化 (1) 在有余数的除法中，利用商不变规律进行简便计算时，商不变，但余数会随之变化。 (2) 还原余数：简便计算得到的余数，需要乘以同时缩小的倍数，才是原题的真实余数。 例： ，看作 。真实余数为 。即 。 3. 应用价值 (1) 简便运算：将被除数和除数末尾都有0的除法，转化为较小的数进行口算或笔算。 (2) 复杂除法简化：处理大数除法时，通过同时缩小倍数降低计算难度。 知识点六 解决连除的实际问题 1. 问题特征 (1) 已知总量，经过两次平均分配（或连续去除），求每份的数量。 (2) 常见情境：货物装箱再装车、图书分类上架、队伍分组等。 2. 解题思路与模型 (1) 方法一：依次除去 1　 先求第一步分配后的数量，再求最终数量。 2　 算式：总量 第一除数 第二除数 (2) 方法二：先求总份数 1　 先求出一共分成了多少份（两个除数的积），再用总量除以总份数。 2　 算式：总量 (第一除数 第二除数) 3. 关键要点 (1) 理解两种算式的等价性： 。 (2) 根据数据特点选择简便算法：若两个除数的积是整十、整百数，优先使用方法二。 (3) 注意单位名称的对应关系，确保每一步计算的实际意义清晰。 【第二单元 周长与面积】 知识点一 四边形 1. 四边形的特征：有4条直的边，有4个角，是封闭图形。 2. 长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的4条边都相等。 知识点二 周长 1. 封闭图形一周的长度，是它的周长 2. 周长公式：长方形的周长=（长＋宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三 图形的拼接裁剪问题 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下，周长增加两条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长方形时周长最长。 知识点四 面积和面积单位 1.认识面积 定义;物体表面或封闭图形的大小是它们的面积。如黑板面的大小就是黑板面的面积， 电视屏幕面的大小就是电视屏幕面的面积。 2.周长和面积的区别 周长是线的长短，面积是面的大小。所以面积与周长不能进行大小比较。 3.统一面积单位的必要性 为了准确计量物体表面或封闭图形的面积，要用同样大小的面积单位，也就是要统一面积单位。 4.认识常用的面积单位 常用的面积单位有：平方毫米 mm²、平方厘米 cm²、平方分米 dm²、平方米 m²。 常用的土地面积单位有公顷 hm²和平方千米 km²。 测量较小物体表面的面积时常用平方厘米作单位，测量稍大物时常用平方米作单位。 “公顷”→测量菜地面积、果园面积、建筑面积； “平方千米”→测量城市土地面积、国家面积 5.理解面积单位的意义 1 平方分米:边长是 1 分米的正方形，它的面积就是 1 平方分米。 1 平方米:边长是 1 米的正方形，它的面积就是 1 平方米。 1 公顷:边长是 100 米的正方形面积是 1 公顷，也就是 10000 平方米。 1 平方千米:边长是 1 千米的正方形面积是 1 平方千米。 例如：1平方厘米指甲盖 1平方分米电脑光盘或电线插座 1平方米教室侧面的小展板 知识点五 长方形和正方形的面积 1.长方形 周长=(长+宽)×2 面积=长×宽 长=周长÷2－宽=(周长－宽×2)÷2=面积÷宽 宽=周长÷2－长=(周长－长×2)÷2=面积÷长 2.正方形 周长=边长×4 面积=边长×边长 边长=周长÷4=面积开平方=面积÷边长 知识点六 面积单位间的进率 1.面积单位间的进率 ①相邻两个长度单位之间的进率是 100 1 平方米=100平方分米 1 平方分米=100平方厘米 1 平方千米=100公顷 ②相隔一个面积单位之间的进率10000： 1 公顷=10000平方米 1 平方米=10000 平方厘米 ③相隔两个面积单位之间的进率 1000000：1 平方千米=1000000平方米 2.面积单位间的换算 如果是高级单位换算成低级单位就乘以进率，进率有几个 0，就在数字后面加上几个0； 如果是低级单位换算成高级单位就除以进率，进率有几个 0，就在数字后去掉几个0。 知识点七 周长和面积变化规律 (1)面积相等的两个图形，它们周长不一定相等。周长相等的两个图形，面积不一定相等。 (2)周长相等的两个长方形，面积不一定相等；面积相等的两个长方形，周长不一定相等。 (3)周长相等的两个正方形面积一定相等；面积相等的两个正方形周长一定相等。 (4)长度单位和面积单位的单位不同，无法比较。 (5)面积相等的长方形、正方形中，长方形的周长最长；周长相等的长方形、正方形中， 正方形面积最大。 知识点八 计算不规则图形的面积的方法 计算不规则图形的面积时，可以利用割补法将不规则图形转化成已学过的规则图形，先 分别求出各个图形的面积，再求出它们的和或差。 如：(1)分割法 (2)添补法 知识点九 归类 1.什么样的问题是求周长？ 缝花边、围栅栏、围栏杆、池塘或花坛周围小路长度，围操场跑道的长度等。 2、什么样的问题是求面积？或与面积有关？ 课本封面的大小、刷墙、花坛周围小路面积、给餐桌配玻璃、配桌布，洒水车洒到的地 面.某物品占地面积、买布、买地毯、铺地砖、裁手帕等。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】除数是整十数的口算除法 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·单元测试）下面计算“”的方法中，正确的是（    ）。 ① ② 因为24个十除以2个十等于12 个十，所以240÷20＝120。 ③ 因为12×20＝240， 所以240÷20＝12。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·周测）牡丹画不仅以其美丽的画面吸引人们，更因其丰富的寓意和象征意义而成为中国传统文化中不可或缺的艺术形式。某学校四年级一班去学习画牡丹画，所有学生被分成6个小组，每组5人，一共画了120幅牡丹画，平均每人画了（    ）幅牡丹画。 A．24 B．20 C．4 【重难点考点二】除数是整十数的笔算除法 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·周测）李叔叔带210元去商店购买头盔，每个头盔60元。根据竖式（如图所示），你认为下面说法正确的是（    ）。 A．最多能买30个，还剩3元钱 B．最多能买3个，还剩30元钱 C．最多能买30个，还剩30元钱 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·课后作业）游泳是一项全身性运动，能够帮助我们舒展肌体，增强心肺功能，增加肺活量。优优热爱游泳，在一次训练中，她在游泳池中游了5个来回，一共游了800米。游泳池的泳道长多少米？ 【重难点考点三】除数是两位数的笔算除法 【典型例题】（26-27四年级上·全国·阶段检测）牡丹花被视为富贵、吉祥的象征，深受国人的喜爱。牡丹园里有267株红牡丹，64株黄牡丹，白牡丹的数量比黄牡丹的2倍少39株。红牡丹的数量是白牡丹的多少倍？ 【举一反三练习】（2026四年级上·江苏·专题练习）用竖式计算，带△的要验算。         △         △ 【重难点考点四】多位数除以两位数的试商 【典型例题】（26-27四年级上·河北·周测）用竖式计算（如图），下面继续试商的方法中，正确的是（    ）。 A．可以商8 B．商8小了，改商9 C．商8大了，改商6 D．商8大了，改商7 【举一反三练习】（26-27四年级上·河北·单元测试）下面是三位同学计算245÷26时的思考过程。 明明 商8小了，37里面还有1个26，可以商9。 墩墩 10个26是260，比245多15，可以商9。 兰兰 4个25是100，8个25是200，45里面还有1个26，可以商9。 (1)你能看懂他们的算法吗？哪些同学的思考过程是正确的？请在相应名字后面的方框里画“√”。 (2)在正确的思考过程中，你最喜欢谁的？为什么？ 我最喜欢( )的，因为( )。 【重难点考点五】判断商是几位数（除数是两位数） 【典型例题】（26-27四年级上·河北·周测）小强的练习题上部分数字看不清了，如图所示。如果商是两位数，那么看不清的数最小是（    ）。 A．1 B．5 C．6 D．9 【举一反三练习】（2026四年级上·江苏·专题练习）如果□46÷56的商是两位数，□里可以填( )；要使商是一位数，□里最大填( )。 【重难点考点六】单归一问题 【典型例题】（26-27四年级上·河北·周测）张老师带领古筝学员去参加演出比赛，张老师给学员点外卖，买了30份，花了720元。计划再买12份，还要花多少元？ 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·单元测试）植保无人机指的是用于农林植物保护作业的无人驾驶飞机，其防治效果极其显著。某农场准备租用植保无人机喷洒农药，15架无人机一天可给315亩耕地喷洒农药，该农场共有耕地189亩，如果要一天喷完，需要多少架植保无人机？ 【重难点考点七】双归一问题 【典型例题】（23-24四年级下·浙江宁波·期末）土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是( )。算式64÷（8×4）解决的问题是( )。 【举一反三练习】下面不可以用算式“231÷3÷7”来解决的问题是（    ）。 A．一部大型纪录片有231集，从周一开始每天播放3集，一共要播放多少周。 B．玩具店新进了3箱布偶，每箱7个，一共花了231元，平均每个布偶多少元。 C．有一些笔，每人分7支，正好可以分给231人，如果每人分3支，可以分给多少人。 【重难点考点八】归总问题 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·课后作业）在人工智能领域，大模型处理文本时会将文字分解成小单元（称为“token”）。处理token的速度越快，用户的体验感越好。一份文本原定每秒处理64个token，15秒就可以处理完；实际只用12秒就处理完了。实际每秒处理多少个token？ 【举一反三练习】（25-26四年级上·江苏南通·期末）中国古代算经浩如烟海，其中有一道著名的造桥问题：“今有七十人造浮桥，九日成。今增二十人，问日几何？”意思是：原有70人建造浮桥，9天能完成。若再增加20人，几天能完成？请列综合算式解答这个问题。 【重难点考点九】商的变化规律及应用 【典型例题】（25-26四年级上·江苏南京·期末）如果A÷B＝36，那么（A×100）÷B＝( )。 【举一反三练习】（25-26四年级上·湖南株洲·期末）观察下面算式及结果，再根据规律直接写出其他算式的得数。 111111÷37037＝3         222222÷37037＝6          333333÷37037＝9 444444÷37037＝          666666÷37037＝           999999÷37037＝ 【重难点考点十】周长的认识和大小比较 【典型例题】．（26-27四年级上·全国·开学考试）在同样的方格纸上画图形，下列三个选项中的图形，周长最长的是（    ）。 A． B． C． 【举一反三练习】（26-27四年级上·全国·开学考试）从一个大长方形的不同位置去掉一个相同的小长方形，以下图形中周长相等的是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．①和④ 【重难点考点十一】面积认识及大小的比较 【典型例题】（26-27四年级上·全国·课后作业）小明把一张长方形纸撕开后拼在一起（如图），比较图1和图2，它们的面积( )，它们的周长( )。（填“相等”或“不相等”） 【举一反三练习】（26-27四年级上·全国·课后作业）仔细观察下面各图，比一比，填一填。（填序号） (1)甲、乙的周长不相等的是图( )。 (2)甲、乙的面积相等的是图( )。 (3)甲的面积大于乙的面积的是图( )。 【重难点考点十二】长方形的周长 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·周测）计算下面图形的周长。 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·单元测试） (1)比较上面方格纸上的①号图形和②号图形，在合适答案后面的□里画“√”。 ①号图形的周长长□    ②号图形的周长长□    周长一样长□ (2)请在方格纸的③号位置画一个正方形，使它的周长和②号图形的周长相等。（每小格的边长表示1厘米） 【重难点考点十三】正方形的周长 【典型例题】（25-26三年级下·江西上饶·期末）按要求画图并填空。（每个小方格的边长为1厘米） （1）有一个长方形的周长是5＋3＋5＋3＝16（厘米），请根据这个算式在方格图中画出这个图形，并在图形中标上“①”。 （2）画出与图形①的周长相等，但形状不一样的长方形和正方形各一个，分别标上“②”和“③”。 （3）图形①、②、③中，面积最大的是图形（    ）。 【举一反三练习】（25-26三年级下·辽宁葫芦岛·期末）用一根铁丝围成长方形，长10厘米、宽6厘米，铁丝长( )厘米；如果改围成正方形，边长是( )厘米，周长是( )厘米。 【重难点考点十四】画指定周长的长方形、正方形 【典型例题】（25-26三年级下·广东广州·期末）在下面的方格纸上、先画一个周长为24厘米的正方形，再画一个周长为18厘米的长方形。（每个小正方形的边长看作1厘米） 【举一反三练习】（25-26三年级下·湖南长沙·期末）下面每个的边长代表1厘米。 (1)在方格纸上，画三个长、宽不一样，但是周长都是14厘米的长方形。 (2)仔细观察画出的长方形，你发现了什么规律？请写在下面的横线上。 _________________________________________________________________。 【重难点考点十五】长方形的面积 【典型例题】（2026四年级上·江苏·专题练习）下面说法中正确的是（    ）。 A．试商时，把除数53看作50来试商，商可能会偏小 B．和的余数相同，意义也相同 C．用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积一定是8平方厘米 D．周长相等的两个长方形，形状和大小一定完全相同 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·周测）航天员准备在太空进行种子种植实验，种植区是长32米、宽8米的长方形，如果每平方米种植4颗种子，一共可以种植多少颗种子？能解决这个问题的算式是（    ）。 A． B． C． 【重难点考点十六】正方形的面积 【典型例题】（26-27四年级上·山东·单元测试）扎染是我国古老的染色技艺，是国家级非物质文化遗产之一。如图中正方形手帕的周长为120厘米，它的边长是多少厘米？面积是多少平方厘米？是多少平方分米？ 【举一反三练习】（2026四年级上·山东·专题练习）乐乐家有一个长方形鱼塘（如图），四周装了一圈防护栏。如果将鱼塘的宽延长，将其改造成正方形鱼塘，这个鱼塘的防护栏至少增加多少米？面积增加多少平方米？ 【重难点考点十七】长方形和正方形组合的面积 【典型例题】（25-26三年级下·湖北鄂州·期末）计算下面图形的面积。 【举一反三练习】（25-26三年级下·山东济南·期末）下图是由两个正方形拼成的组合图形，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，这个组合图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【重难点考点十八】平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 【典型例题】（26-27四年级上·山东·周测）母亲节快要到了，萌萌要给妈妈制作一张长方形的贺卡，长3分米，宽2分米，需要用( )平方厘米的卡纸；如果要在贺卡的四周贴上花边，花边的总长是( )厘米。 【举一反三练习】（2026四年级上·江苏·专题练习）一台扫地机器人每分钟移动15米，打扫的宽度是3分米。扫地机器人打扫8分钟，能打扫( )平方米的地面。 【重难点考点十九】画指定面积的长方形、正方形 【典型例题】（25-26三年级下·广东广州·期末）操作题。（下面每个□代表1平方厘米。） (1)上面第1题图形的面积是( )平方厘米。 (2)在上面方格纸中画一个面积是12平方厘米的长方形。 (3)观察上面两个图形，我发现：______________________________。 【举一反三练习】（24-25三年级下·黑龙江佳木斯·期末）在方格纸上画出一个面积是25平方厘米的正方形和一个面积是15平方厘米的长方形（每个小方格的边长表示1厘米）。 【重难点考点二十】求最短周长（长方形和正方形) 【典型例题】（26-27四年级上·全国·开学考试）小小设计师。 (1)某小区想在一块空地上建造一个面积是24平方米的长方形花坛，并在花坛的周围围上栅栏。为了节省成本，要求围的栅栏最短（长和宽都是整米数）。请你设计一种花坛，把它画在方格纸上。（每个方格代表1平方米） (2)在这个花坛中选一块最大的正方形，种上月季，其余地方种植草坪。请你在图中将种植月季的地方涂色，并计算出草坪的面积。 【举一反三练习】．（24-25三年级上·浙江湖州·期末）王奶奶要把12块正方形的布拼起来，再在它的四周缝上一圈花边做装饰。下面拼法中，用到花边最少的是（    ）。 A．B． C． 模块四 优选真题 实战演练 一、选择题 1．（26-27四年级上·全国·阶段检测）超市搞促销活动，原来20元1袋的面粉，现在买5袋送1袋。乐乐妈妈带了250元，她最多能买（    ）袋这样的面粉。 A．12 B．14 C．15 D．13 2．（26-27四年级上·河北·周测）小强的练习题上部分数字看不清了，如图所示。如果商是两位数，那么看不清的数最小是（    ）。 A．1 B．5 C．6 D．9 3．（20-21五年级上·山东潍坊·期末）爸爸用两根同样长的木条，一根做成了一个长方形框架，一根做成了一个平行四边形框架。要给这两个框架配上玻璃，两块玻璃的大小相比（    ）。 A．长方形的大 B．平行四边形的大 C．同样大 D．无法判断 4．（26-27四年级上·河北·周测）用竖式计算（如图），下面继续试商的方法中，正确的是（    ）。 A．可以商8 B．商8小了，改商9 C．商8大了，改商6 D．商8大了，改商7 5．（26-27四年级上·江苏·单元测试）美术课上，丽丽按下面的方法，从一张长方形彩纸上折出一个最大的正方形，剩下长方形的面积和周长各是（    ）。 A．260平方厘米；66厘米 B．169平方厘米；52厘米 C．91平方厘米；80厘米 D．91平方厘米；40厘米 二、填空题 6．（26-27四年级上·江苏·单元测试）如图，在一个正方形喷水池的四周，如果用边长为6分米的方砖铺一圈，一共用去方砖( )块，喷水池的周长是( )米，面积是( )平方米。 7．（26-27四年级上·江苏·单元测试）（    ）里最大能填几？ ( )    78×( )＜640 ( )    18×( )＜108 8．（26-27四年级上·江苏·单元测试）给小梦的日记填上合适的单位。 2月21日  晴 新年新气象，新的学期发新书了，也换了新的教室。新教室地面的面积约60（    ），教室里摆放着整齐的桌椅，课桌周长是2（    ），课桌桌面面积约是24（    ），新的数学课本封面的面积约6（    ），看着新的环境，新的书本，我开心极了！ 三、判断题 9．（26-27四年级上·山东·单元测试）一个正方形如果边长扩大到原来的3倍，那么它的周长和面积扩大到原来的9倍。( ) 10．（26-27四年级上·全国·课后作业）除数个位是3、4的两位数除法，都可以用四舍法试商。( ) 四、计算题 11．（2026四年级上·江苏·专题练习）用竖式计算，带△的要验算。         △         △ 12．（25-26四年级上·河北唐山·期末）脱式计算。 ①410－532÷14        ②960÷（360÷24）        ③52×18÷12 13．（26-27四年级上·江苏·周测）计算下面图形的周长。 五、作图题 14．（26-27四年级上·江苏·单元测试） (1)比较上面方格纸上的①号图形和②号图形，在合适答案后面的□里画“√”。 ①号图形的周长长□    ②号图形的周长长□    周长一样长□ (2)请在方格纸的③号位置画一个正方形，使它的周长和②号图形的周长相等。（每小格的边长表示1厘米） 15．（25-26三年级下·广东广州·期末）操作题。（下面每个□代表1平方厘米。） (1)上面第1题图形的面积是( )平方厘米。 (2)在上面方格纸中画一个面积是12平方厘米的长方形。 (3)观察上面两个图形，我发现：______________________________。 六、解答题 16．（26-27四年级上·全国·阶段检测）一个工程队预计派50名工人用16天挖一条沟，挖了4天后，又增加25名工人。如果每名工人每天完成的任务一样多，那么可以提前几天完成？ 17．（26-27四年级上·山东·单元测试）中医药非遗是我国非物质文化遗产的典型代表，三门峡横跨长江、黄河两大流域，得天独厚的自然条件孕育了各类野生中药材1200余种，素有“天然药库”之称。王叔叔有一块正方形（如下图）中药材种植基地，如果将它的一组对边各增加5米，那么面积就增加125平方米，这时土地变成了一个大长方形。原来正方形中药材种植基地的面积是多少平方米？ 18．（26-27四年级上·全国·阶段检测）保温杯厂有两个车间生产保温杯，甲车间每天生产240个保温杯，乙车间每天生产520个保温杯，这些保温杯每20个装一箱。两个车间共同生产一个星期（7天），一共可以生产多少箱保温杯？ 19．（2026四年级上·山东·专题练习）乐乐家的厨房长4米、宽2米，准备在厨房里铺设边长为2分米的正方形地砖。一共需要多少块地砖？如果每块地砖的价钱是8元，一共要花多少元？ 20．（2026四年级上·山东·专题练习）乐乐家有一个长方形鱼塘（如图），四周装了一圈防护栏。如果将鱼塘的宽延长，将其改造成正方形鱼塘，这个鱼塘的防护栏至少增加多少米？面积增加多少平方米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学四年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第一、二单元两、三位数除以两位数、周长与面积 (思维导图+知识清单+10个重难点考点讲练+实战演练共60题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】除数是整十数的口算除法... ........8 【重难点考点二】除数是整十数的笔算除法...· 【重难点考点三】除数是两位数的笔算除法.· 【重难点考点四】多位数除以两位数的试商.... 【重难点考点五】判断商是几位数（除数是两位数） ….10 【重难点考点六】单归一问题.… ….10 【重难点考点七】双归一问题..... 【重难点考点八】归总问题..….… 【重难点考点九】商的变化规律及应用.. .....11 【重难点考点十】周长的认识和大小比较.. .....11 【重难点考点十一】面积认识及大小的比较..， .12 【重难点考点十二】长方形的周长· .12 【重难点考点十三】正方形的周长.. 【重难点考点十四】画指定周长的长方形、正方形 ..。.。......。13 【重难点考点十五】长方形的面积.… .....14 【重难点考点十六】正方形的面积...... ……….14 【重难点考点十七】长方形和正方形组合的面积..................15 【重难点考点十八】平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算. 【重难点考点十九】画指定面积的长方形、正方形...... ….16 【重难点考点二十】求最短周长（长方形和正方形）.. …….17 第1页共22页 模块一 知识梳理导图指引 1.整十数除两位数 3.除法竖式计算 1.周长的认识 2.周长公式 用表内除法想：商是几，余数是几。 (1)除到被除数的哪一位， 封闭图形一周的长度，叫做它的周长 长方形周长=（长+宽）×2 60÷20=3 商就写在那一位。 ▣□△ 正方形周长=边长×4 余数：60-20×3=0 (2)余数要比除数小， 例： 5 长方形 正方形 三角形 4.面积的认识 2.两、三位数除以整十数 30160 物体表面戒图形所成的平面 150 3.规则图形的周长计算 用表内除法想：商是几，余数是几。 的大小，叫做它的面积， 10 长方形周长■（长+宽）×2 160÷20=8 正方形周长=边长X4 余数：160-20×8=0 三角形周长=三边之和 多边形周长=各边之和 面积单位：平方厘米(cm2) 4.商的变化规律 5.解决问题 四年级上册 被除数不变除数变化高的变化 5.面积公式 6.单位换算 步骤： 阶段复习知识点梳理 除数×几(0除外)→商÷几 长方形面积=长×宽 1平方厘米=1cm ①读题，找出条件和问题 1平方分米=100cm2(10cm×10cm) 除数+几(0除外) →商×几 第一、二单元 正方形面积=边长×边长 ②列式计算： 被除数×几 用字母表示 1平方米=100平方分米=10000cm →商×几 ③检验并写答语。 被除数÷几(0除外)→商÷几 长方形面积S=a×b 正方形面积S=a×a 7.估计面积 数方格法：每个小方格代表1cm2, 6.试-试（验算） 数出有多少个小方格就是多少cm 7.生活中的除法 9.解决问题 方法：用高和除数相乘，再加上余数， 看是否等于被除数。 %四6品 步囊 ①读题，找出条件和问题 公式：商×除数+余数=被除数 料频限 ②画图分析，找出相关公式： ③列式计算： 8.组合图形的面积 根据速度和时间计算路程： ④答：写出答语。 把组合图形分制成学过的图形 路程=速度×时间 分别计算面积，再求和成相减。 学习好习惯 ★认真审题，理解题意： 除法计算小口诀 ★规范书写，计算准确； 周长与面积小口诀 ①)看清除数想口决：②除到哪位商哪位 ③余数要比除数小；④试商调商很重要 ★验算检查，养成习惯： 周长一周求长度，面积大小在平面： 公式牢记勤远用，单位换算别忘记 ⑤有余数时别忘记；⑥验算检查少不了。 ★勤于思考，善于总结！ 分割组合巧思考，解决问题我能行！ 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元两、三位数除以两位数】 知识点一两、三位数除以整十数 1.口算方法 (1)利用表内除法：将被除数和除数末尾的0同时去掉，转化为表内除法计算。 (2)想乘法算除法：思考几个除数等于被除数。 2.笔算方法（竖式计算） (1)商的位置： ①先看被除数的前两位。如果前两位够除（大于或等于除数），商写在十位上。 ②如果前两位不够除（小于除数），要看前三位，商写在个位上。 (2)余数要求：每次除得的余数必须比除数小。 (3)验算方法：商×除数+余数=被除数。 第2页共22页 知识点二两、三位数除以两位数 1.试商方法 (1)“四舍”法试商：当除数的个位是1、2、3、4时，把除数看作和它接近的整十数（舍去个位)来 试商。 注意：初商可能偏大，需调小。 (2)“五入”法试商：当除数的个位是5、6、7、8、9时，把除数看作和它接近的整十数（进一位） 来试商。 注意：初商可能偏小，需调大。 (3)同头无除商八九：被除数和除数最高位相同，且被除数前两位小于除数时，商可能是8或9。 (4)折半商五：被除数的前两位大约是除数的一半时，商可能是5。 2.笔算步骤 (1)一看：看除数是几位数，确定从被除数的哪一位开始除。 (2)二试：用“四舍五入”法把除数看作整十数试商。 (3)三乘：用商乘原来的除数（不是看作的整十数）。 (4)四减：用被除数减去积，得到余数。 (⑤)五比：比较余数和除数，余数必须小于除数。 (6)六落：落下下一位，继续除，直到除完。 知识点三判断商是几位数（除数是两位数） 1.判定规则 (1)商是两位数：被除数的前两位≥除数。 解释：前两位够除，商的最高位在十位。 (2)商是一位数：被除数的前两位<除数。 解释：前两位不够除，需看前三位，商的最高位在个位。 2.快速判断技巧 (1)无需完整计算，仅比较被除数前两位与除数的大小关系即可确定商的位数。 知识点四商的变化规律及应用 1.基本规律 (1)除数不变：被除数乘（或除以)几(0除外)，商也乘（或除以）几。 (2)被除数不变：除数乘（或除以）几(0除外)，商反而除以（或乘）几。 2.综合变化 第3页共22页 ()若被除数和除数同时发生变化，需分步分析或代入数值验证。 (2)应用场景：用于估算、检查计算结果合理性，以及解决某些特定的填空问题。 知识点五商不变的规律及应用 1.核心规律 (1)被除数和除数同时乘或除以同一个数(0除外)，商不变。 (2)公式表达：a÷b=(a×c)÷b×c)或a÷b=(a÷c)÷(b÷c)(c≠0)。 2.重要性质：余数的变化 (1)在有余数的除法中，利用商不变规律进行简便计算时，商不变，但余数会随之变化。 (2)还原余数：简便计算得到的余数，需要乘以同时缩小的倍数，才是原题的真实余数。 例：840÷50，看作84÷5=16…4。真实余数为4×10=40。即840÷50=16…40。 3.应用价值 (1)简便运算：将被除数和除数末尾都有0的除法，转化为较小的数进行口算或笔算。 (2)复杂除法简化：处理大数除法时，通过同时缩小倍数降低计算难度。 知识点六解决连除的实际问题 1.问题特征 (1)已知总量，经过两次平均分配（或连续去除)，求每份的数量。 (2)常见情境：货物装箱再装车、图书分类上架、队伍分组等。 2.解题思路与模型 (1)方法一：依次除去 ①先求第一步分配后的数量，再求最终数量。 ②算式：总量÷第一除数÷第二除数 (2)方法二：先求总份数 ①先求出一共分成了多少份（两个除数的积），再用总量除以总份数。 ②算式：总量÷（第一除数×第二除数） 3.关键要点 (1)理解两种算式的等价性：a÷b÷c=a÷(b×c)。 (2)根据数据特点选择简便算法：若两个除数的积是整十、整百数，优先使用方法二。 (3)注意单位名称的对应关系，确保每一步计算的实际意义清晰。 【第二单元周长与面积】 第4页共22页 知识点一四边形 1.四边形的特征：有4条直的边，有4个角，是封闭图形。 2.长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的4条边都相等。 知识点二周长 1.封闭图形一周的长度，是它的周长 2.周长公式：长方形的周长=（长十宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三图形的拼接裁剪问题 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下，周长增加两 条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的长方形和正方 形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长 方形时周长最长。 知识点四面积和面积单位 1.认识面积 定义：物体表面或封闭图形的大小是它们的面积。如黑板面的大小就是黑板面的面积， 电视屏幕面的大小就是电视屏幕面的面积。 2.周长和面积的区别 周长是线的长短，面积是面的大小。所以面积与周长不能进行大小比较。 3.统一面积单位的必要性 为了准确计量物体表面或封闭图形的面积，要用同样大小的面积单位，也就是要统一面积单位。 4.认识常用的面积单位 常用的面积单位有：平方毫米mm2、平方厘米cm2、平方分米dm、平方米m㎡。 常用的土地面积单位有公顷hm和平方千米km2。 测量较小物体表面的面积时常用平方厘米作单位，测量稍大物时常用平方米作单位。 “公顷”→测量菜地面积、果园面积、建筑面积； “平方千米”→测量城市土地面积、国家面积 第5页共22页 5.理解面积单位的意义 1平方分米：边长是1分米的正方形，它的面积就是1平方分米。 1平方米：边长是1米的正方形，它的面积就是1平方米。 1公顷：边长是100米的正方形面积是1公顷，也就是10000平方米。 1平方千米：边长是1千米的正方形面积是1平方千米。 例如：1平方厘米指甲盖1平方分米电脑光盘或电线插座1平方米教室侧面的小展板 知识点五长方形和正方形的面积 1.长方形 周长=（长+宽）×2 面积=长X宽 长=周长÷2-一宽=（周长一宽×2）÷2=面积÷宽 宽=周长÷2一长=（周长一长×2）÷2=面积÷长 2.正方形 周长=边长×4 面积=边长×边长 边长=周长÷4=面积开平方=面积÷边长 知识点六面积单位间的进率 1.面积单位间的进率 ①相邻两个长度单位之间的进率是100 平方顶米(cm) 平方分米(dm) 平方米(m) 100 100 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方千米=100公顷 ②相隔一个面积单位之间的进率10000： 1公顷=10000平方米1平方米=10000平方厘米 ③相隔两个面积单位之间的进率1000000：1平方千米=1000000平方米 2.面积单位间的换算 如果是高级单位换算成低级单位就乘以进率，进率有几个0，就在数字后面加上几个0； 如果是低级单位换算成高级单位就除以进率，进率有几个0，就在数字后去掉几个0。 小单位换算成大单位 大单位换算成小单位 大单位 数的末尾添上2个0小单位 6400评方厘米64评芳分* 评方米=500呼方分米) 条 数的末尾去掉2个0 数的末尾去掉2个0 数的末尾添上2个0 第6页共22页 知识点七周长和面积变化规律 (1)面积相等的两个图形，它们周长不一定相等。周长相等的两个图形，面积不一定相等。 (2)周长相等的两个长方形，面积不一定相等；面积相等的两个长方形，周长不一定相等。 (3)周长相等的两个正方形面积一定相等；面积相等的两个正方形周长一定相等。 (4)长度单位和面积单位的单位不同，无法比较。 (5)面积相等的长方形、正方形中，长方形的周长最长；周长相等的长方形、正方形中， 正方形面积最大。 知识点八计算不规则图形的面积的方法 计算不规则图形的面积时，可以利用割补法将不规则图形转化成已学过的规则图形，先 分别求出各个图形的面积，再求出它们的和或差。 如：（1)分割法 5米 8米 图形面积=两个小长方形的面积和 米 8×5+8×4=72(平方米) (2)添补法 5米 米 8米 图形面积=大长方形的面积-添补： 0 的小长方形的面积 (5+8)×8=104(平方米)8×(8-4)=32（平方米） 104-32=72（平方米) 知识点九归类 1.什么样的问题是求周长？ 缝花边、围栅栏、围栏杆、池塘或花坛周围小路长度，围操场跑道的长度等。 2、什么样的问题是求面积？或与面积有关？ 课本封面的大小、刷墙、花坛周围小路面积、给餐桌配玻璃、配桌布，洒水车洒到的地 面.某物品占地面积、买布、买地毯、铺地砖、裁手帕等。 模块三 重难点讲练能力提升 第7页共22页 【重难点考点一】除数是整十数的口算除法 【典型例题】(26-27四年级上·江苏·单元测试)下面计算“240÷20”的方法中，正确的是( 因为24个十除以2个十等于12 因为12×20=240， ① ② ⑤ 个十，所以240÷20=120。 所以240÷20=12。 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【举一反三练习】(26-27四年级上·江苏·周测)牡丹画不仅以其美丽的画面吸引人们，更因其丰富的寓 意和象征意义而成为中国传统文化中不可或缺的艺术形式。某学校四年级一班去学习画牡丹画，所有学生 被分成6个小组，每组5人，一共画了120幅牡丹画，平均每人画了( )幅牡丹画。 A.24 B.20 C.4 【重难点考点二】除数是整十数的笔算除法 【典型例题】(26-27四年级上·江苏·周测)李叔叔带210元去商店购买头盔，每个头盔60元。根据竖 式（如图所示），你认为下面说法正确的是( )。 3 60210 180 30 A.最多能买30个，还剩3元钱 B.最多能买3个，还剩30元钱 C.最多能买30个，还剩30元钱 【举一反三练习】(26-27四年级上·江苏·课后作业)游泳是一项全身性运动，能够帮助我们舒展肌体， 增强心肺功能，增加肺活量。优优热爱游泳，在一次训练中，她在游泳池中游了5个来回，一共游了800 米。游泳池的泳道长多少米？ 第8页共22页 【重难点考点三】除数是两位数的笔算除法 【典型例题】(26-27四年级上·全国·阶段检测)牡丹花被视为富贵、吉祥的象征，深受国人的喜爱。牡 丹园里有267株红牡丹，64株黄牡丹，白牡丹的数量比黄牡丹的2倍少39株。红牡丹的数量是白牡丹的多 少倍？ 【举一反三练习】(2026四年级上·江苏·专题练习)用竖式计算，带△的要验算。 216÷36= 612÷18= △986÷35= 840÷80= 606÷20= △420÷36= 【重难点考点四】多位数除以两位数的试商 【典型例题】(26-27四年级上河北周测)用竖式计算（如图），下面继续试商的方法中，正确的是( 40 8 42332 336 A.可以商8 B.商8小了，改商9 C.商8大了，改商6 D.商8大了，改商7 【举一反三练习】(26-27四年级上·河北·单元测试)下面是三位同学计算245÷26时的思考过程。 明明☐ 墩墩口 兰兰□ 30 86 9 9 9 25 26245→26245 26245 26)245 208 234 234 234 37 11 11 11 商8小了，37里面还有1个26， 10个26是260，比 4个25是100,8个25是200， 可以商9。 245多15，可以商9。 45里面还有1个26，可以商9。 第9页共22页 (1)你能看懂他们的算法吗？哪些同学的思考过程是正确的？请在相应名字后面的方框里画“√”。 (2)在正确的思考过程中，你最喜欢谁的？为什么？ 我最喜欢( )的，因为( ）。 【重难点考点五】判断商是几位数（除数是两位数） 【典型例题】(26-27四年级上·河北·周测)小强的练习题上部分数字看不清了，如图所示。如果商是两 位数，那么看不清的数最小是( ）。 58●37 A.1 B.5 C.6 D.9 【举一反三练习】(2026四年级上·江苏·专题练习)如果口46÷56的商是两位数，☐里可以填( 要使商是一位数，口里最大填( ）。 【重难点考点六】单归一问题 【典型例题】(26-27四年级上·河北·周测)张老师带领古筝学员去参加演出比赛，张老师给学员点外卖， 买了30份，花了720元。计划再买12份，还要花多少元？ 【举一反三练习】(26-27四年级上·江苏·单元测试)植保无人机指的是用于农林植物保护作业的无人驾 驶飞机，其防治效果极其显著。某农场准备租用植保无人机喷洒农药，15架无人机一天可给315亩耕地喷 洒农药，该农场共有耕地189亩，如果要一天喷完，需要多少架植保无人机？ 【重难点考点七】双归一问题 【典型例题】(23-24四年级下·浙江宁波·期末)土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每 4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是( )。算式64÷(8×4) 解决的问题是( ）。 第10页共22页 【举一反三练习】下面不可以用算式“231÷3÷7”来解决的问题是( )。 A.一部大型纪录片有231集，从周一开始每天播放3集，一共要播放多少周。 B.玩具店新进了3箱布偶，每箱7个，一共花了231元，平均每个布偶多少元。 C.有一些笔，每人分7支，正好可以分给231人，如果每人分3支，可以分给多少人。 【重难点考点八】归总问题 【典型例题】(26-27四年级上·江苏·课后作业)在人工智能领域，大模型处理文本时会将文字分解成小 单元（称为“token”)。处理token的速度越快，用户的体验感越好。一份文本原定每秒处理64个token, 15秒就可以处理完；实际只用12秒就处理完了。实际每秒处理多少个token? 【举一反三练习】(25-26四年级上·江苏南通·期末)中国古代算经浩如烟海，其中有一道著名的造桥问 题：“今有七十人造浮桥，九日成。今增二十人，问日几何？”意思是：原有70人建造浮桥，9天能完成。 若再增加20人，几天能完成？请列综合算式解答这个问题。 【重难点考点九】商的变化规律及应用 【典型例题】(25-26四年级上·江苏南京·期末)如果A÷B=36,那么(A×100)÷B=( )。 【举一反三练习】(25-26四年级上·湖南株洲·期末)观察下面算式及结果，再根据规律直接写出其他算 式的得数。 111111÷37037=3 222222÷37037=6 333333÷37037=9 444444÷37037= 666666÷37037= 999999÷37037= 【重难点考点十】周长的认识和大小比较 【典型例题】·(26-27四年级上·全国·开学考试)在同样的方格纸上画图形，下列三个选项中的图形， 周长最长的是( )。 第11页共22页 A. C 【举一反三练习】(26-27四年级上·全国·开学考试)从一个大长方形的不同位置去掉一个相同的小长方 形，以下图形中周长相等的是( ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.①和④ 【重难点考点十一】面积认识及大小的比较 【典型例题】(26-27四年级上·全国·课后作业)小明把一张长方形纸撕开后拼在一起（如图），比较图 1和图2，它们的面积( ),它们的周长( )。(填“相等”或“不相等”) 图1 〉 图2父 【举一反三练习】(26-27四年级上·全国·课后作业)仔细观察下面各图，比一比，填一填。（填序号） 甲 ① ② ③ (1)甲、乙的周长不相等的是图( (2)甲、乙的面积相等的是图( )。 (3)甲的面积大于乙的面积的是图( )。 【重难点考点十二】长方形的周长 【典型例题】(26-27四年级上·江苏·周测)计算下面图形的周长。 20米 15米 第12页共22页 【举一反三练习】(26-27四年级上·江苏·单元测试) ① ② ③ (1)比较上面方格纸上的①号图形和②号图形，在合适答案后面的口里画“√”。 ①号图形的周长长口 ②号图形的周长长口 周长一样长口 (2)请在方格纸的③号位置画一个正方形，使它的周长和②号图形的周长相等。（每小格的边长表示1厘米） 【重难点考点十三】正方形的周长 【典型例题】(25-26三年级下·江西上饶·期末)按要求画图并填空。（每个小方格的边长为1厘米） (1)有一个长方形的周长是5+3+5十3=16（厘米），请根据这个算式在方格图中画出这个图形，并在图 形中标上“①”。 (2)画出与图形①的周长相等，但形状不一样的长方形和正方形各一个，分别标上“②”和“③”。 (3)图形①、②、③中，面积最大的是图形( ）。 【举一反三练习】(25-26三年级下·辽宁葫芦岛·期末)用一根铁丝围成长方形，长10厘米、宽6厘米， 铁丝长( )厘米；如果改围成正方形，边长是( )厘米，周长是( )厘米。 【重难点考点十四】画指定周长的长方形、正方形 【典型例题】(25-26三年级下·广东广州·期末)在下面的方格纸上、先画一个周长为24厘米的正方形， 再画一个周长为18厘米的长方形。（每个小正方形的边长看作1厘米） 第13页共22页 【举一反三练习】(25-26三年级下·湖南长沙·期末)下面每个-的边长代表1厘米。 (1)在方格纸上，画三个长、宽不一样，但是周长都是14厘米的长方形。 1厘米 1厘米 (2)仔细观察画出的长方形，你发现了什么规律？请写在下面的横线上。 【重难点考点十五】长方形的面积 【典型例题】(2026四年级上·江苏·专题练习)下面说法中正确的是( )。 A.试商时，把除数53看作50来试商，商可能会偏小 B.250÷80和25÷8的余数相同，意义也相同 C.用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积一定是8平方厘米 D.周长相等的两个长方形，形状和大小一定完全相同 【举一反三练习】(26-27四年级上·江苏·周测)航天员准备在太空进行种子种植实验，种植区是长32 米、宽8米的长方形，如果每平方米种植4颗种子，一共可以种植多少颗种子？能解决这个问题的算式是 ）。 A.(32+8)×2÷4 B.32×8÷4 C.32×8×4 【重难点考点十六】正方形的面积 【典型例题】(26-27四年级上·山东·单元测试)扎染是我国古老的染色技艺，是国家级非物质文化遗产 之一。如图中正方形手帕的周长为120厘米，它的边长是多少厘米？面积是多少平方厘米？是多少平方分 第14页共22页 米？ 【举一反三练习】(2026四年级上·山东·专题练习)乐乐家有一个长方形鱼塘（如图），四周装了一圈 防护栏。如果将鱼塘的宽延长，将其改造成正方形鱼塘，这个鱼塘的防护栏至少增加多少米？面积增加多 少平方米？ 9米 4① 4米 【重难点考点十七】长方形和正方形组合的面积 【典型例题】(25-26三年级下·湖北鄂州·期末)计算下面图形的面积。 1cm 5厘米 3厘米 1cm 1cm2cm 2厘米 4cm 6厘米 第15页共22页 【举一反三练习】(25-26三年级下·山东济南·期末)下图是由两个正方形拼成的组合图形，大正方形的 边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，这个组合图形的周长是()厘米，面积是( )平方厘 米。 【重难点考点十八】平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 【典型例题】(26-27四年级上·山东·周测)母亲节快要到了，萌萌要给妈妈制作一张长方形的贺卡，长 3分米，宽2分米，需要用( )平方厘米的卡纸：如果要在贺卡的四周贴上花边，花边的总长是(） 厘米。 【举一反三练习】(2026四年级上·江苏·专题练习)一台扫地机器人每分钟移动15米，打扫的宽度是3 分米。扫地机器人打扫8分钟，能打扫( )平方米的地面。 【重难点考点十九】画指定面积的长方形、正方形 【典型例题】(25-26三年级下·广东广州·期末)操作题。（下面每个口代表1平方厘米。) 1厘米 1厘米 (第1题图) (第2题图) (1)上面第1题图形的面积是( )平方厘米。 (2)在上面方格纸中画一个面积是12平方厘米的长方形。 (3)观察上面两个图形，我发现： 第16页共22页 【举一反三练习】(24-25三年级下·黑龙江佳木斯·期末)在方格纸上画出一个面积是25平方厘米的正 方形和一个面积是15平方厘米的长方形（每个小方格的边长表示1厘米）。 【重难点考点二十】求最短周长（长方形和正方形） 【典型例题】(26-27四年级上·全国·开学考试)小小设计师。 (1)某小区想在一块空地上建造一个面积是24平方米的长方形花坛，并在花坛的周围围上栅栏。为了节省 成本，要求围的栅栏最短（长和宽都是整米数）。请你设计一种花坛，把它画在方格纸上。（每个方格代 表1平方米) (2)在这个花坛中选一块最大的正方形，种上月季，其余地方种植草坪。请你在图中将种植月季的地方涂色， 并计算出草坪的面积。 【举一反三练习】，(24-25三年级上·浙江湖州·期末)王奶奶要把12块正方形的布拼起来，再在它的 四周缝上一圈花边做装饰。下面拼法中，用到花边最少的是( A 第17页共22页 模块四 优选真题实战演练 一、选择题 1. (26-27四年级上·全国·阶段检测)超市搞促销活动，原来20元1袋的面粉，现在买5袋送1袋。乐 乐妈妈带了250元，她最多能买( )袋这样的面粉。 A.12 B.14 C.15 D.13 2.(26-27四年级上·河北·周测)小强的练习题上部分数字看不清了，如图所示。如果商是两位数，那 么看不清的数最小是( ）。 58●37 A.1 B.5 C.6 D.9 3.(20-21五年级上·山东潍坊·期末)爸爸用两根同样长的木条，一根做成了一个长方形框架，一根做 成了一个平行四边形框架。要给这两个框架配上玻璃，两块玻璃的大小相比( )。 A.长方形的大 B.平行四边形的大 C.同样大 D.无法判断 4.(26-27四年级上·河北·周测)用竖式计算（如图），下面继续试商的方法中，正确的是( )。 40 8 42 332 336 A.可以商8 B.商8小了，改商9 C.商8大了，改商6 D.商8大了，改商7 5.(26-27四年级上·江苏·单元测试)美术课上，丽丽按下面的方法，从一张长方形彩纸上折出一个最 大的正方形，剩下长方形的面积和周长各是( )。 米 剑 20厘米 20厘米 A.260平方厘米；66厘米 B.169平方厘米：52厘米 C.91平方厘米；80厘米 D.91平方厘米；40厘米 二、填空题 6.(26-27四年级上·江苏·单元测试)如图，在一个正方形喷水池的四周，如果用边长为6分米的方砖 铺一圈，一共用去方砖( )块，喷水池的周长是( )米，面积是( )平方米。 第18页共22页 7.（26-27四年级上·江苏·单元测试)( )里最大能填几？ ( )×36<350 78×( )<640 ( )×52<370 18×( )<108 8.(26-27四年级上·江苏·单元测试)给小梦的日记填上合适的单位。 2月21日 晴 新年新气象，新的学期发新书了，也换了新的教室。新教室地面的面积约60( 教室里摆放着整齐的桌椅，课桌周长是2( ),课桌桌面面积约是24( 新的数学课本封面的面积约6( ),看着新的环境，新的书本，我开心极了！ 三、判断题 9.(26-27四年级上·山东·单元测试)一个正方形如果边长扩大到原来的3倍，那么它的周长和面积扩 大到原来的9倍。() 10.(26-27四年级上·全国·课后作业)除数个位是3、4的两位数除法，都可以用四舍法试商。（) 四、计算题 11.(2026四年级上·江苏·专题练习)用竖式计算，带△的要验算。 216÷36= 612÷18= △986÷35= 840÷80= 606÷20= △420÷36= 12.(25-26四年级上·河北唐山·期末)脱式计算。 ①410-532÷14 ②960÷(360÷24) ③52×18÷12 第19页共22页 13.(26-27四年级上·江苏·周测)计算下面图形的周长。 11米 11米 8米灯 8米 20米 15米 五、作图题 14.（26-27四年级上·江苏·单元测试) ① ② ③ (1)比较上面方格纸上的①号图形和②号图形，在合适答案后面的口里画“√”。 ①号图形的周长长口 ②号图形的周长长口 周长一样长口 (2)请在方格纸的③号位置画一个正方形，使它的周长和②号图形的周长相等。（每小格的边长表示1厘米） 15.(25-26三年级下·广东广州·期末)操作题。（下面每个口代表1平方厘米。） 1厘米 1厘米 (第1题图) (第2题图) (1)上面第1题图形的面积是( )平方厘米。 (2)在上面方格纸中画一个面积是12平方厘米的长方形。 (3)观察上面两个图形，我发现： 第20页共22页 六、解答题 16.(26-27四年级上·全国·阶段检测)一个工程队预计派50名工人用16天挖一条沟，挖了4天后，又 增加25名工人。如果每名工人每天完成的任务一样多，那么可以提前几天完成？ 17.(26-27四年级上·山东·单元测试)中医药非遗是我国非物质文化遗产的典型代表，三门峡横跨长江、 黄河两大流域，得天独厚的自然条件孕育了各类野生中药材1200余种，素有“天然药库”之称。王叔叔有 一块正方形（如下图)中药材种植基地，如果将它的一组对边各增加5米，那么面积就增加125平方米， 这时土地变成了一个大长方形。原来正方形中药材种植基地的面积是多少平方米？ 2 平 米 5米 18.(26-27四年级上·全国·阶段检测)保温杯厂有两个车间生产保温杯，甲车间每天生产240个保温杯， 乙车间每天生产520个保温杯，这些保温杯每20个装一箱。两个车间共同生产一个星期(7天)，一共可 以生产多少箱保温杯？ 第21页共22页 19.(2026四年级上·山东·专题练习)乐乐家的厨房长4米、宽2米，准备在厨房里铺设边长为2分米 的正方形地砖。一共需要多少块地砖？如果每块地砖的价钱是8元，一共要花多少元？ 20.(2026四年级上·山东·专题练习)乐乐家有一个长方形鱼塘（如图），四周装了一圈防护栏。如果 将鱼塘的宽延长，将其改造成正方形鱼塘，这个鱼塘的防护栏至少增加多少米？面积增加多少平方米？ 9米 ① 迎2 4米 第22页共22页null 2026-2027学年苏教版数学四年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第一、二单元 两、三位数除以两位数、周长与面积 （思维导图+知识清单+10个重难点考点讲练+实战演练 共60题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】除数是整十数的口算除法 8 【重难点考点二】除数是整十数的笔算除法 8 【重难点考点三】除数是两位数的笔算除法 9 【重难点考点四】多位数除以两位数的试商 10 【重难点考点五】判断商是几位数（除数是两位数） 12 【重难点考点六】单归一问题 13 【重难点考点七】双归一问题 13 【重难点考点八】归总问题 14 【重难点考点九】商的变化规律及应用 15 【重难点考点十】周长的认识和大小比较 16 【重难点考点十一】面积认识及大小的比较 17 【重难点考点十二】长方形的周长 18 【重难点考点十三】正方形的周长 19 【重难点考点十四】画指定周长的长方形、正方形 21 【重难点考点十五】长方形的面积 22 【重难点考点十六】正方形的面积 23 【重难点考点十七】长方形和正方形组合的面积 24 【重难点考点十八】平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 26 【重难点考点十九】画指定面积的长方形、正方形 27 【重难点考点二十】求最短周长（长方形和正方形) 29 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 两、三位数除以两位数】 知识点一 两、三位数除以整十数 1. 口算方法 (1) 利用表内除法：将被除数和除数末尾的0同时去掉，转化为表内除法计算。 (2) 想乘法算除法：思考几个除数等于被除数。 2. 笔算方法（竖式计算） (1) 商的位置： 1　 先看被除数的前两位。如果前两位够除（大于或等于除数），商写在十位上。 2　 如果前两位不够除（小于除数），要看前三位，商写在个位上。 (2) 余数要求：每次除得的余数必须比除数小。 (3) 验算方法：商 除数 + 余数 = 被除数。 知识点二 两、三位数除以两位数 1. 试商方法 (1) “四舍”法试商：当除数的个位是1、2、3、4时，把除数看作和它接近的整十数（舍去个位）来试商。 注意：初商可能偏大，需调小。 (2) “五入”法试商：当除数的个位是5、6、7、8、9时，把除数看作和它接近的整十数（进一位）来试商。 注意：初商可能偏小，需调大。 (3) 同头无除商八九：被除数和除数最高位相同，且被除数前两位小于除数时，商可能是8或9。 (4) 折半商五：被除数的前两位大约是除数的一半时，商可能是5。 2. 笔算步骤 (1) 一看：看除数是几位数，确定从被除数的哪一位开始除。 (2) 二试：用“四舍五入”法把除数看作整十数试商。 (3) 三乘：用商乘原来的除数（不是看作的整十数）。 (4) 四减：用被除数减去积，得到余数。 (5) 五比：比较余数和除数，余数必须小于除数。 (6) 六落：落下下一位，继续除，直到除完。 知识点三 判断商是几位数（除数是两位数） 1. 判定规则 (1) 商是两位数：被除数的前两位 除数。 解释：前两位够除，商的最高位在十位。 (2) 商是一位数：被除数的前两位 除数。 解释：前两位不够除，需看前三位，商的最高位在个位。 2. 快速判断技巧 (1) 无需完整计算，仅比较被除数前两位与除数的大小关系即可确定商的位数。 知识点四 商的变化规律及应用 1. 基本规律 (1) 除数不变：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。 (2) 被除数不变：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 2. 综合变化 (1) 若被除数和除数同时发生变化，需分步分析或代入数值验证。 (2) 应用场景：用于估算、检查计算结果合理性，以及解决某些特定的填空问题。 知识点五 商不变的规律及应用 1. 核心规律 (1) 被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。 (2) 公式表达： 或 （ ）。 2. 重要性质：余数的变化 (1) 在有余数的除法中，利用商不变规律进行简便计算时，商不变，但余数会随之变化。 (2) 还原余数：简便计算得到的余数，需要乘以同时缩小的倍数，才是原题的真实余数。 例： ，看作 。真实余数为 。即 。 3. 应用价值 (1) 简便运算：将被除数和除数末尾都有0的除法，转化为较小的数进行口算或笔算。 (2) 复杂除法简化：处理大数除法时，通过同时缩小倍数降低计算难度。 知识点六 解决连除的实际问题 1. 问题特征 (1) 已知总量，经过两次平均分配（或连续去除），求每份的数量。 (2) 常见情境：货物装箱再装车、图书分类上架、队伍分组等。 2. 解题思路与模型 (1) 方法一：依次除去 1　 先求第一步分配后的数量，再求最终数量。 2　 算式：总量 第一除数 第二除数 (2) 方法二：先求总份数 1　 先求出一共分成了多少份（两个除数的积），再用总量除以总份数。 2　 算式：总量 (第一除数 第二除数) 3. 关键要点 (1) 理解两种算式的等价性： 。 (2) 根据数据特点选择简便算法：若两个除数的积是整十、整百数，优先使用方法二。 (3) 注意单位名称的对应关系，确保每一步计算的实际意义清晰。 【第二单元 周长与面积】 知识点一 四边形 1. 四边形的特征：有4条直的边，有4个角，是封闭图形。 2. 长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的4条边都相等。 知识点二 周长 1. 封闭图形一周的长度，是它的周长 2. 周长公式：长方形的周长=（长＋宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三 图形的拼接裁剪问题 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下，周长增加两条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长方形时周长最长。 知识点四 面积和面积单位 1.认识面积 定义;物体表面或封闭图形的大小是它们的面积。如黑板面的大小就是黑板面的面积， 电视屏幕面的大小就是电视屏幕面的面积。 2.周长和面积的区别 周长是线的长短，面积是面的大小。所以面积与周长不能进行大小比较。 3.统一面积单位的必要性 为了准确计量物体表面或封闭图形的面积，要用同样大小的面积单位，也就是要统一面积单位。 4.认识常用的面积单位 常用的面积单位有：平方毫米 mm²、平方厘米 cm²、平方分米 dm²、平方米 m²。 常用的土地面积单位有公顷 hm²和平方千米 km²。 测量较小物体表面的面积时常用平方厘米作单位，测量稍大物时常用平方米作单位。 “公顷”→测量菜地面积、果园面积、建筑面积； “平方千米”→测量城市土地面积、国家面积 5.理解面积单位的意义 1 平方分米:边长是 1 分米的正方形，它的面积就是 1 平方分米。 1 平方米:边长是 1 米的正方形，它的面积就是 1 平方米。 1 公顷:边长是 100 米的正方形面积是 1 公顷，也就是 10000 平方米。 1 平方千米:边长是 1 千米的正方形面积是 1 平方千米。 例如：1平方厘米指甲盖 1平方分米电脑光盘或电线插座 1平方米教室侧面的小展板 知识点五 长方形和正方形的面积 1.长方形 周长=(长+宽)×2 面积=长×宽 长=周长÷2－宽=(周长－宽×2)÷2=面积÷宽 宽=周长÷2－长=(周长－长×2)÷2=面积÷长 2.正方形 周长=边长×4 面积=边长×边长 边长=周长÷4=面积开平方=面积÷边长 知识点六 面积单位间的进率 1.面积单位间的进率 ①相邻两个长度单位之间的进率是 100 1 平方米=100平方分米 1 平方分米=100平方厘米 1 平方千米=100公顷 ②相隔一个面积单位之间的进率10000： 1 公顷=10000平方米 1 平方米=10000 平方厘米 ③相隔两个面积单位之间的进率 1000000：1 平方千米=1000000平方米 2.面积单位间的换算 如果是高级单位换算成低级单位就乘以进率，进率有几个 0，就在数字后面加上几个0； 如果是低级单位换算成高级单位就除以进率，进率有几个 0，就在数字后去掉几个0。 知识点七 周长和面积变化规律 (1)面积相等的两个图形，它们周长不一定相等。周长相等的两个图形，面积不一定相等。 (2)周长相等的两个长方形，面积不一定相等；面积相等的两个长方形，周长不一定相等。 (3)周长相等的两个正方形面积一定相等；面积相等的两个正方形周长一定相等。 (4)长度单位和面积单位的单位不同，无法比较。 (5)面积相等的长方形、正方形中，长方形的周长最长；周长相等的长方形、正方形中， 正方形面积最大。 知识点八 计算不规则图形的面积的方法 计算不规则图形的面积时，可以利用割补法将不规则图形转化成已学过的规则图形，先 分别求出各个图形的面积，再求出它们的和或差。 如：(1)分割法 (2)添补法 知识点九 归类 1.什么样的问题是求周长？ 缝花边、围栅栏、围栏杆、池塘或花坛周围小路长度，围操场跑道的长度等。 2、什么样的问题是求面积？或与面积有关？ 课本封面的大小、刷墙、花坛周围小路面积、给餐桌配玻璃、配桌布，洒水车洒到的地 面.某物品占地面积、买布、买地毯、铺地砖、裁手帕等。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】除数是整十数的口算除法 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·单元测试）下面计算“”的方法中，正确的是（    ）。 ① ② 因为24个十除以2个十等于12 个十，所以240÷20＝120。 ③ 因为12×20＝240， 所以240÷20＝12。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】计算除法时，可以用直观图、乘法计算、转化计数单位的方法求解。 【规范解答】图①中，1个10×10的方块代表100，2个方块共200；每列10个小方块，4列共40，总数量为200＋40＝240。图中将240按每份20划分，可分成12份，符合240÷20＝12的计算逻辑，因此方法①正确。 方法②表述为“24个十除以2个十等于12个十”，计算可得24个十是240，2个十是20，240÷20＝12，结果是12，不是12个十（120），因此方法②错误。 方法③利用乘除法互逆关系：因为12×20＝240，所以240÷20＝12，计算过程和结果均正确，因此方法③正确。 综上，正确的是①③。 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·周测）牡丹画不仅以其美丽的画面吸引人们，更因其丰富的寓意和象征意义而成为中国传统文化中不可或缺的艺术形式。某学校四年级一班去学习画牡丹画，所有学生被分成6个小组，每组5人，一共画了120幅牡丹画，平均每人画了（    ）幅牡丹画。 A．24 B．20 C．4 【答案】C 【思路引导】先求出全班总人数，再用画的总幅数除以总人数，就能得到平均每人画的幅数。 【规范解答】（人） （幅） 【重难点考点二】除数是整十数的笔算除法 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·周测）李叔叔带210元去商店购买头盔，每个头盔60元。根据竖式（如图所示），你认为下面说法正确的是（    ）。 A．最多能买30个，还剩3元钱 B．最多能买3个，还剩30元钱 C．最多能买30个，还剩30元钱 【答案】B 【思路引导】用总钱数除以每个头盔的价格，商表示可以购买的头盔个数，余数表示还剩的钱。 【规范解答】根据分析列式为：（个）……30（元），所以最多可以购买3个头盔，还剩30元。 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·课后作业）游泳是一项全身性运动，能够帮助我们舒展肌体，增强心肺功能，增加肺活量。优优热爱游泳，在一次训练中，她在游泳池中游了5个来回，一共游了800米。游泳池的泳道长多少米？ 【答案】80米 【思路引导】1个来回包含2个泳道的长度，用5乘2算出5个来回对应的泳道总数量，再用总长度除以总数量得到泳道长度。 【规范解答】（个） （米） 答：游泳池的泳道长80米。 【重难点考点三】除数是两位数的笔算除法 【典型例题】（26-27四年级上·全国·阶段检测）牡丹花被视为富贵、吉祥的象征，深受国人的喜爱。牡丹园里有267株红牡丹，64株黄牡丹，白牡丹的数量比黄牡丹的2倍少39株。红牡丹的数量是白牡丹的多少倍？ 【答案】3倍 【思路引导】先根据“白牡丹的数量＝黄牡丹的数量×2－39”求出白牡丹的数量，再用红牡丹的数量除以白牡丹的数量，得到所求倍数。 【规范解答】267÷（64×2－39） ＝267÷（128－39） ＝267÷89 ＝3 答：红牡丹的数量是白牡丹的3倍。 【举一反三练习】（2026四年级上·江苏·专题练习）用竖式计算，带△的要验算。         △         △ 【答案】6；34；28……6； 10……40；30……6；11……24 【思路引导】除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的最高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小，除到被除数的某一位不够除时，应商0占位。有余数除法可以利用“被除数＝除数×商＋余数”进行验算。 【规范解答】                  验算                  验算 【重难点考点四】多位数除以两位数的试商 【典型例题】（26-27四年级上·河北·周测）用竖式计算（如图），下面继续试商的方法中，正确的是（    ）。 A．可以商8 B．商8小了，改商9 C．商8大了，改商6 D．商8大了，改商7 【答案】D 【思路引导】先试商8时，42×8＝336，大于被除数332，说明商8过大，应将商调小1改为7。 这样计算得到42×7＝294，294小于332，332减294得38，38比42小，符合竖式除法要求。 【规范解答】由分析可知：竖式试商8偏大，调小1是7即可。 【举一反三练习】（26-27四年级上·河北·单元测试）下面是三位同学计算245÷26时的思考过程。 明明 商8小了，37里面还有1个26，可以商9。 墩墩 10个26是260，比245多15，可以商9。 兰兰 4个25是100，8个25是200，45里面还有1个26，可以商9。 (1)你能看懂他们的算法吗？哪些同学的思考过程是正确的？请在相应名字后面的方框里画“√”。 (2)在正确的思考过程中，你最喜欢谁的？为什么？ 我最喜欢( )的，因为( )。 【答案】(1) 明明 商8小了，37里面还有1个26，可以商9。 墩墩 10个26是260，比245多15，可以商9。 兰兰 4个25是100，8个25是200，45里面还有1个26，可以商9。 (2) 明明（答案不唯一） 计算时将除数看成与其接近的整十数试商，余数大于除数时，将初商调大，计算过程简洁明了。（答案不唯一） 【思路引导】（1）明明计算时，把26估算成30，进行试商，商8时发现，余数大于除数，所以商8小了，余数37里边还有1个26，所以应该商9。明明思考正确。 墩墩计算时，245接近10个26，245比260小，所以不能商10，应该商9。墩墩思考正确。兰兰计算时，将除数26看成25试商。被除数245看成200＋45，其中8个25是200，但45里面还有1个26，所以商9。兰兰思考过程正确。 （2）明明、墩墩和兰兰三位同学思考过程都正确，选择其中任何一个，理由合理即可。 【规范解答】（1）根据分析可知：明明、墩墩和兰兰三位同学思考过程都正确，所以： 明明 商8小了，37里面还有1个26，可以商9。 墩墩 10个26是260，比245多15，可以商9。 兰兰 4个25是100，8个25是200，45里面还有1个26，可以商9。 （2）我最喜欢明明的，因为计算时将除数看成与其接近的整十数试商，余数大于除数时，将初商调大，计算过程简洁明了。 或我最喜欢墩墩的，因为计算时找到接近被除数的积，可以直接确定商，不用调商，计算的快。 或我最喜欢兰兰的，因为计算时将除数看作最接近它的25时，25与4（或8）相乘，方便计算，结合余数可以快速确定商，不需要调商。 【重难点考点五】判断商是几位数（除数是两位数） 【典型例题】（26-27四年级上·河北·周测）小强的练习题上部分数字看不清了，如图所示。如果商是两位数，那么看不清的数最小是（    ）。 A．1 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【思路引导】要使商是两位数，被除数的前两位组成的数字必须大于或等于除数58。被除数的前两位是●3，即十位为●、个位为3的两位数，需要满足●3≥58。 【规范解答】当●＝6时，63＞58，满足条件；若●＝5，53＜58，不满足条件，因此看不清的数最小是6。 【举一反三练习】（2026四年级上·江苏·专题练习）如果□46÷56的商是两位数，□里可以填( )；要使商是一位数，□里最大填( )。 【答案】 6，7，8，9 5 【思路引导】三位数除以两位数时，如果被除数的前两位大于等于除数，商写在被除数的十位上方，此时是两位数，如果被除数的前两位小于除数，商写在被除数的个位上方，此时是一位数。 【规范解答】□46÷56的商是两位数。则□4＞56，□可取6，7，8，9； □46÷56的商是一位数，则□4＜56，整数首位不能为0，所以□可取5，4，3，2，1，最大为5。 【重难点考点六】单归一问题 【典型例题】（26-27四年级上·河北·周测）张老师带领古筝学员去参加演出比赛，张老师给学员点外卖，买了30份，花了720元。计划再买12份，还要花多少元？ 【答案】288元 【思路引导】这是先求单一量再算总量的归一问题，先用30份外卖的总花费除以30份算出每份的价格，再用每份价格乘需要再买的12份，就能求出还要花的钱数。 【规范解答】720÷30＝24（元） 24×12＝288（元） 答：计划再买12份，还要花288元。 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·单元测试）植保无人机指的是用于农林植物保护作业的无人驾驶飞机，其防治效果极其显著。某农场准备租用植保无人机喷洒农药，15架无人机一天可给315亩耕地喷洒农药，该农场共有耕地189亩，如果要一天喷完，需要多少架植保无人机？ 【答案】9架 【思路引导】先求出1架植保无人机一天可喷洒的耕地亩数，再用农场总耕地亩数除以1架无人机一天的喷洒量，即可求出需要的植保无人机架数。 【规范解答】189÷（315÷15） ＝189÷21 ＝9（架） 答：需要9架植保无人机。 【重难点考点七】双归一问题 【典型例题】（23-24四年级下·浙江宁波·期末）土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是( )。算式64÷（8×4）解决的问题是( )。 【答案】 2400÷8÷4 每个咸鸭蛋多少钱 【思路引导】咸鸭蛋总个数除以每盒咸鸭蛋个数，可以算出这些咸鸭蛋可以装（2400÷8）盒，咸鸭蛋可以装的盒数除以每箱盒数，可以算出一共可以装（2400÷8÷4）箱。 也可以这样算：每盒咸鸭蛋个数乘每箱盒数，可以算出每箱有（8×4）个咸鸭蛋，咸鸭蛋总个数除以每箱咸鸭蛋个数，可以算出一共有2400÷（8×4）（箱）。 每盒咸鸭蛋个数乘每箱盒数，可以算出每箱有（8×4）个咸鸭蛋，每箱咸鸭蛋售价除以每箱咸鸭蛋个数，可以算出每个咸鸭蛋售价是64÷（8×4）（元）。 【规范解答】土产品公司生产了2400个咸鸭蛋，每8个装一盒，每4盒装一箱，每箱售价64元。如果要求出一共装几箱，列出的综合算式是2400÷8÷4或2400÷（8×4）。算式64÷（8×4）解决的问题是每个咸鸭蛋多少钱？ 【举一反三练习】下面不可以用算式“231÷3÷7”来解决的问题是（    ）。 A．一部大型纪录片有231集，从周一开始每天播放3集，一共要播放多少周。 B．玩具店新进了3箱布偶，每箱7个，一共花了231元，平均每个布偶多少元。 C．有一些笔，每人分7支，正好可以分给231人，如果每人分3支，可以分给多少人。 【答案】C 【思路引导】231÷3÷7是两步连除算式，根据下面条件分析先算什么，再算什么。如果不能用两步连除解答的问题即符合题意。 【规范解答】A．用总集数除以每天播放的集数，求出播放的天数，再除以一周的7天，即可求出一共要播放多少周，列式为231÷3÷7。不符合题意。 B．用总钱数除以箱数，可以求出每箱的价钱，再除以每箱的个数，即可求出平均每个布偶的价钱，列式为231÷3÷7。不符合题意。 C．用每人分的支数乘人数，求出总支数，再除以每人分的支数，即可求出可以分给几人。列式为231×7÷3。符合题意。 故答案为：C 【重难点考点八】归总问题 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·课后作业）在人工智能领域，大模型处理文本时会将文字分解成小单元（称为“token”）。处理token的速度越快，用户的体验感越好。一份文本原定每秒处理64个token，15秒就可以处理完；实际只用12秒就处理完了。实际每秒处理多少个token？ 【答案】80个 【思路引导】文本的总token数固定不变，先利用原定的处理速度和处理时间用乘法算出总token数，再用总token数除以实际处理时间，即可求出实际每秒处理的token数。 【规范解答】 （个） 答：实际每秒处理80个token。 【举一反三练习】（25-26四年级上·江苏南通·期末）中国古代算经浩如烟海，其中有一道著名的造桥问题：“今有七十人造浮桥，九日成。今增二十人，问日几何？”意思是：原有70人建造浮桥，9天能完成。若再增加20人，几天能完成？请列综合算式解答这个问题。 【答案】7天 【思路引导】工作总量不变，先根据原有人数和工作天数算出总工作量，再算出增加人数后的总人数，用总工作量除以总人数得到所需天数。 【规范解答】 ＝630÷90 （天） 答：7天能完成。 【重难点考点九】商的变化规律及应用 【典型例题】（25-26四年级上·江苏南京·期末）如果A÷B＝36，那么（A×100）÷B＝( )。 【答案】3600 【思路引导】根据商的变化规律，当除数不变时，被除数乘几或除以几（0除外），除数不变，商也乘或除以相同的数。 【规范解答】已知A÷B＝36，现在被除数变为A×100，除数B保持不变。因为除数不变，被除数乘100，商也应乘100，所以（A×100）÷B＝36×100＝3600。 【举一反三练习】（25-26四年级上·湖南株洲·期末）观察下面算式及结果，再根据规律直接写出其他算式的得数。 111111÷37037＝3         222222÷37037＝6          333333÷37037＝9 444444÷37037＝          666666÷37037＝           999999÷37037＝ 【答案】12；18；27 【思路引导】通过观察，算式中除数都不变，后面算式中被除数都是第一个算式中被除数的整倍数。根据商的变化规律，除数不变，被除数乘几，商也乘几，可直接求出得数。 【规范解答】444444＝111111×4，则商应是3乘4，即444444÷37037＝3×4＝12； 666666＝111111×6，则商应是3乘6，即666666÷37037＝3×6＝18； 999999＝111111×9，则商应是3乘9，即999999÷37037＝3×9＝27。 【重难点考点十】周长的认识和大小比较 【典型例题】．（26-27四年级上·全国·开学考试）在同样的方格纸上画图形，下列三个选项中的图形，周长最长的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】周长就是指封闭图形一周的长度。本题可以数最外圈的边长有几格围成来解决。长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【规范解答】A．通过数最外边一圈的边长，发现此图形的周长有16格围成； B．这是一个长方形，长为5格，宽为3格，周长：（5＋3）×2＝8×2＝16（格）； C．通过数最外边一圈的边长，发现此图形的周长有18格围成； 即，周长最长的是。 【举一反三练习】（26-27四年级上·全国·开学考试）从一个大长方形的不同位置去掉一个相同的小长方形，以下图形中周长相等的是（    ）。 A．①和② B．②和③ C．①和④ 【答案】C 【思路引导】通过“平移法”可知，①和④的图形周长等于大长方形的周长，②的周长为大长方形周长加2条小长方形的宽，③的周长为大长方形周长加2条小长方形的长，二者周长不相等且均与①、④的周长不同，由此解答本题。 【规范解答】通过“平移法”可知，①和④的图形周长等于大长方形的周长。 【重难点考点十一】面积认识及大小的比较 【典型例题】（26-27四年级上·全国·课后作业）小明把一张长方形纸撕开后拼在一起（如图），比较图1和图2，它们的面积( )，它们的周长( )。（填“相等”或“不相等”） 【答案】 相等 不相等 【思路引导】封闭图形一周的长度叫做图形的周长；物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做面积，观察图形可知，图1和图2的面积都等于原来长方形纸的面积，图1的周长等于原长方形纸的周长，图2上下两条边与原长方形纸的长相等，左右两边的折线段长度大于原长方形纸的宽，故图2的周长大于原长方形纸的周长；所以图1和图2的周长不相等，面积相等，据此解答即可。 【规范解答】小明把一张长方形纸撕开后拼在一起（如图），比较图1和图2，它们的面积相等，它们的周长不相等。 【举一反三练习】（26-27四年级上·全国·课后作业）仔细观察下面各图，比一比，填一填。（填序号） (1)甲、乙的周长不相等的是图( )。 (2)甲、乙的面积相等的是图( )。 (3)甲的面积大于乙的面积的是图( )。 【答案】(1)② (2)① (3)③ 【思路引导】针对周长比较：因为每个图中甲、乙都共用公共边界，其余边都是长方形的长和宽，所以依次分析每个图中甲、乙的周长组成，判断是否相等。 针对面积比较：如果图形是长方形被对角线平分，那么两部分面积相等；如果分界有凹凸，观察凹凸部分的归属，判断甲和乙的面积大小关系。 【规范解答】（1）①③中甲和乙除公共边界的其余边都是长方形的长和宽，甲乙的周长相等；②中甲和乙除公共边界和长方形的长分别相等外，甲只有长方形宽的一部分，乙有比长方形宽多的一部分，二者周长不相等。 （2）根据分析，图①中长方形被对角线平分，甲乙的面积相等。 （3）根据分析，图③中凸的部分属于甲，所以甲的面积比乙的面积大。 【重难点考点十二】长方形的周长 【典型例题】（26-27四年级上·江苏·周测）计算下面图形的周长。 【答案】130米 【思路引导】求不规则图形的周长时，可以通过转化的方法，将图形转化为我们熟悉的长方形或正方形，再求周长。如图： 通过平移可知图形的周长就是长37米、宽20米的长方形周长，再加上两个8米。长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【规范解答】11＋15＋11＝37（米） （20＋37）×2 ＝57×2 ＝114（米） 114＋8×2 ＝114＋16 ＝130（米） 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·单元测试） (1)比较上面方格纸上的①号图形和②号图形，在合适答案后面的□里画“√”。 ①号图形的周长长□    ②号图形的周长长□    周长一样长□ (2)请在方格纸的③号位置画一个正方形，使它的周长和②号图形的周长相等。（每小格的边长表示1厘米） 【答案】(1)□；□；☑ (2) 【思路引导】（1）计算①号图形周长：凹进去的边往上移动或往右移动就得到和②号图形一样的长方形；长方形周长＝（长＋宽）×2。 （2）因为正方形周长和②号相等，所以先用②的周长除以4得到正方形的边长，再在③号位置按边长画正方形。长方形周长＝（长＋宽）×2，正方形边长＝周长÷4。 【规范解答】（1）凹进去的边移动就得到和②号图形一样的长方形，所以①号图形的周长和②号图形的周长一样。 （2）②号图形是长方形，长为5厘米，宽为3厘米； （5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 16÷4＝4（厘米） 因此，正方形的边长为4厘米。 画图略 【重难点考点十三】正方形的周长 【典型例题】（25-26三年级下·江西上饶·期末）按要求画图并填空。（每个小方格的边长为1厘米） （1）有一个长方形的周长是5＋3＋5＋3＝16（厘米），请根据这个算式在方格图中画出这个图形，并在图形中标上“①”。 （2）画出与图形①的周长相等，但形状不一样的长方形和正方形各一个，分别标上“②”和“③”。 （3）图形①、②、③中，面积最大的是图形（    ）。 【答案】 （1） （2） （3）③ 【思路引导】（1）根据题意可知，长方形的长是5厘米，宽是3厘米，根据长方形的特征，每个角都是直角，对边平行且相等，邻边垂直，用三角尺的两条直角边，分别画一条长5厘米的线段，一条宽3厘米的线段，然后再用两条长和宽同长度的线段连接成长方形，并在图形中标上“①”； （2）已知周长是16厘米，长方形的长＋宽＝16÷2＝8（厘米），8＝7＋1，8＝6＋2，8＝5＋3，本题取6＋2为长方形的长和宽，然后按照长方形的画法，画出长方形并在图形中标上“②”；正方形的周长＝边长×4，边长＝16÷4＝4厘米，根据正方形的特征，正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，用三角尺的两条直角边，分别画两条距离为4厘米的线段，然后再用两条同长度的线段连接成正方形，并在图形中标上“③”； （3）按照要求数①、②、③中各自小正方形的块数，即可求解。 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）①中15个小正方形，②中12个小正方形，③中16个小正方形； 图形③中的小正方形块数最多。 【举一反三练习】（25-26三年级下·辽宁葫芦岛·期末）用一根铁丝围成长方形，长10厘米、宽6厘米，铁丝长( )厘米；如果改围成正方形，边长是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 32 8 32 【思路引导】根据题意，铁丝的长度就是长方形的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，如果改围成正方形，正方形的周长＝长方形的周长，正方形边长＝周长÷4，正方形的周长＝边长×4 【规范解答】（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（厘米） 32÷4＝8（厘米） 8×4＝32（厘米） 【重难点考点十四】画指定周长的长方形、正方形 【典型例题】（25-26三年级下·广东广州·期末）在下面的方格纸上、先画一个周长为24厘米的正方形，再画一个周长为18厘米的长方形。（每个小正方形的边长看作1厘米） 【答案】（长方形画法不唯一） 【思路引导】正方形的周长＝边长×4，用正方形的周长除以4求出正方形的边长。正方形的4条边相等，有4个直角，据此画出这个正方形。 长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长除以2求出长方形的长宽之和，再看可以分成长几厘米、宽几厘米。长方形的2组对边相等，有4个直角，据此画出长方形。 【规范解答】24÷4＝6（厘米），正方形的边长是6厘米。 18÷2＝9（厘米），9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5，长方形可以是长8厘米、宽1厘米，长7厘米、宽2厘米，长6厘米、宽3厘米，长5厘米、宽4厘米。选择一个画出就可以，这里选择画长5厘米、宽4厘米的长方形。 图略 【举一反三练习】（25-26三年级下·湖南长沙·期末）下面每个的边长代表1厘米。 (1)在方格纸上，画三个长、宽不一样，但是周长都是14厘米的长方形。 (2)仔细观察画出的长方形，你发现了什么规律？请写在下面的横线上。 _________________________________________________________________。 【答案】(1) (2)周长相同的图形，形状不一定相同。 【思路引导】长方形周长固定14厘米，依据周长公式先算出长加宽的和为7厘米，再找出和为7且长宽不相等的三组整数，分别确定长方形尺寸画图，最后对比几组图形的周长和形状。 【规范解答】（1）略 （2）周长相同的图形，形状不一定相同。 【重难点考点十五】长方形的面积 【典型例题】（2026四年级上·江苏·专题练习）下面说法中正确的是（    ）。 A．试商时，把除数53看作50来试商，商可能会偏小 B．和的余数相同，意义也相同 C．用8个1平方厘米的小正方形拼成的长方形，面积一定是8平方厘米 D．周长相等的两个长方形，形状和大小一定完全相同 【答案】C 【思路引导】根据被除数÷除数＝商，当被除数固定时，除数变小商就变大； 分别计算出两个算式的结果，并根据平均分的意义作出判断。 用8个1平方厘米的小正方形拼成长方形，无论拼成哪种形状，总面积都是8个小正方形的面积之和。 周长相等的两个长方形，长和宽不一定对应相等。 【规范解答】A．把除数53看作50，50比53小，也就是除数看小了，那试出来的商应该是偏大，所以这个说法是错的。 B．250÷80＝3……10，余数是10；25÷8＝3……1，余数是1，二者余数不同；且两个算式的被除数、除数均不同，代表的平均分意义也不相同，因此该说法错误。 C．8个1平方厘米的小正方形拼成长方形，无论拼成哪种形状，总面积都是8个小正方形的面积之和。故该说法正确。 D．周长为16的长方形，长可以是5、宽是3，也可以是长6、宽2，形状和大小并不相同，因此该说法错误。 【举一反三练习】（26-27四年级上·江苏·周测）航天员准备在太空进行种子种植实验，种植区是长32米、宽8米的长方形，如果每平方米种植4颗种子，一共可以种植多少颗种子？能解决这个问题的算式是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】先求出长方形种植区的面积，再乘每平方米种植的种子颗数，即可得到总种子数，对应选出正确算式即可。 【规范解答】长方形种植区面积为：（平方米） 一共可种植的种子总数为：（颗） 【重难点考点十六】正方形的面积 【典型例题】（26-27四年级上·山东·单元测试）扎染是我国古老的染色技艺，是国家级非物质文化遗产之一。如图中正方形手帕的周长为120厘米，它的边长是多少厘米？面积是多少平方厘米？是多少平方分米？ 【答案】 30厘米；900平方厘米；9平方分米 【思路引导】求边长：正方形的4条边长度都相等，周长是4条边的长度总和，所以边长＝正方形周长÷4，代入数值计算。求面积：正方形面积＝边长×边长，代入边长计算。根据1平方分米＝100平方厘米进行单位换算即可。 【规范解答】120÷4＝30（厘米） 30×30＝900（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米，900平方厘米＝9平方分米。 答：它的边长是30厘米，面积是900平方厘米，是9平方分米。 【举一反三练习】（2026四年级上·山东·专题练习）乐乐家有一个长方形鱼塘（如图），四周装了一圈防护栏。如果将鱼塘的宽延长，将其改造成正方形鱼塘，这个鱼塘的防护栏至少增加多少米？面积增加多少平方米？ 【答案】10米；45平方米 【思路引导】改造后的正方形的边长等于原长方形的长。 计算防护栏增加的长度，先根据，分别算出原长方形周长和改造后正方形的周长，再作差。 计算面积增加量，根据长方形的面积＝长×宽，分别算出原长方形面积和改造后正方形的面积，再作差。 【规范解答】9×4－（9＋4）×2 ＝36－13×2 ＝36－26 ＝10（米） 9×9－9×4 ＝81－36 ＝45（平方米） 答：这个鱼塘的防护栏至少增加10米，面积增加45平方米。 【重难点考点十七】长方形和正方形组合的面积 【典型例题】（25-26三年级下·湖北鄂州·期末）计算下面图形的面积。 【答案】10cm2；21平方厘米 【思路引导】 ，该图形的面积等于长4cm、宽（1＋1＋1＝3）cm的长方形面积减去长2cm、宽1cm的长方形面积，长方形面积＝长×宽，依次分别计算出两个长方形的面积，再相减即可。 ，该图形的面积等于长5厘米，宽（6－3＝3）厘米的长方形面积加上长（6－3）厘米，宽2厘米的长方形面积，依次分别计算出两个长方形的面积，再相加即可。 【规范解答】4×（1＋1＋1）－2×1 ＝4×3－2×1 ＝12－2 ＝10（） 5×（6－3）＋（6－3）×2 ＝5×3＋3×2 ＝15＋6 ＝21（平方厘米） 左面图形的面积是10cm2，右面图形的面积是21平方厘米。 【举一反三练习】（25-26三年级下·山东济南·期末）下图是由两个正方形拼成的组合图形，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，这个组合图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 32 52 【思路引导】根据题意，可以利用平移的方法求这个组合图形的周长，将左上角缺口处横着和竖着的线段向上和向左平移，得到一个长方形，该组合图形的周长和这个长方形的周长相等，这个长方形的长是两个正方形的边长和，宽是大正方形的边长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此代入数字即可计算出周长是多少厘米。组合图形面积＝大正方形面积＋小正方形面积，根据正方形的面积＝边长×边长解答。 【规范解答】根据分析可知： 长：6＋4＝10（厘米） 宽：6厘米 周长：（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（厘米） 6×6＋4×4 ＝36＋16 ＝52（平方厘米） 【重难点考点十八】平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 【典型例题】（26-27四年级上·山东·周测）母亲节快要到了，萌萌要给妈妈制作一张长方形的贺卡，长3分米，宽2分米，需要用( )平方厘米的卡纸；如果要在贺卡的四周贴上花边，花边的总长是( )厘米。 【答案】 600 100 【思路引导】求卡纸的面积是多少，根据长方形的面积＝长×宽，据此列式即可；求花边总长是多少厘米，利用长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此列式解答即可。1平方分米＝100平方厘米，1分米＝10厘米，据此将单位统一即可。 【规范解答】3×2＝6（平方分米）＝600（平方厘米） （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（分米） ＝100（厘米） 【举一反三练习】（2026四年级上·江苏·专题练习）一台扫地机器人每分钟移动15米，打扫的宽度是3分米。扫地机器人打扫8分钟，能打扫( )平方米的地面。 【答案】36 【思路引导】1米＝10分米，把“米”换算成“分米”作单位，统一单位后，用扫地机器人每分钟移动距离乘扫地机器人打扫的宽度算得扫地机器人1分钟扫地面积，再乘打扫时间，可算得总面积，100平方分米＝1平方米，再换算成以“平方米”作单位的数。 【规范解答】1米＝10分米，，15米＝150分米 （平方分米） 100平方分米＝1平方米，3600平方分米里有36个100平方分米，即36平方米 3600平方分米＝36平方米 因此，一台扫地机器人每分钟移动15米，打扫的宽度是3分米。扫地机器人打扫8分钟，能打扫36平方米的地面。 【重难点考点十九】画指定面积的长方形、正方形 【典型例题】（25-26三年级下·广东广州·期末）操作题。（下面每个□代表1平方厘米。） (1)上面第1题图形的面积是( )平方厘米。 (2)在上面方格纸中画一个面积是12平方厘米的长方形。 (3)观察上面两个图形，我发现：______________________________。 【答案】(1)12 (2) (3)面积相等的图形，形状不一定相同。（答案不唯一，说法合理即可） 【思路引导】（1）每个小方格的面积是1平方厘米，数出涂色的小方格一共是12个，因此图形面积是12×1＝12平方厘米。 （2）画法：长方形面积＝长×宽，要得到面积12平方厘米的长方形，只需长和宽的乘积为12即可。 （3） 第一个图形是不规则图形，第二个是长方形，几个图形面积都是12平方厘米，但形状不一样。结论：面积相等的图形，形状不一定相同。（说法合理即可） 【规范解答】（1）12×1＝12（平方厘米） 第1题图形的面积是12平方厘米。 （2）12×1＝12（平方厘米） 6×2＝12（平方厘米） 4×3＝12（平方厘米） 画长12厘米、宽1厘米的长方形，画长4厘米、宽3厘米的长方形，也可以画长6厘米、宽2厘米的长方形。 略 （3）观察上面两个图形，我发现：面积相等的图形，形状不一定相同。（答案不唯一，说法合理即可） 【举一反三练习】（24-25三年级下·黑龙江佳木斯·期末）在方格纸上画出一个面积是25平方厘米的正方形和一个面积是15平方厘米的长方形（每个小方格的边长表示1厘米）。 【答案】（长方形的画法不唯一） 【思路引导】要在方格纸上画出一个面积是25平方厘米的正方形，则根据正方形的面积＝边长×边长，又因为5×5＝25，所以可知这个正方形的边长是5厘米； 要画一个面积是15平方厘米的长方形，则根据长方形的面积＝长×宽，又因为1×15＝3×5＝15，所以根据题图中方格纸的大小，画一个宽为3厘米，长为5厘米的长方形即可；据此画图即可。 【规范解答】5×5＝25（平方厘米） 所以面积是25平方厘米的正方形的边长为：5厘米。 3×5＝15（平方厘米） 所以面积是15平方厘米的长方形的长为5厘米，宽为3厘米。 画图略。 【重难点考点二十】求最短周长（长方形和正方形) 【典型例题】（26-27四年级上·全国·开学考试）小小设计师。 (1)某小区想在一块空地上建造一个面积是24平方米的长方形花坛，并在花坛的周围围上栅栏。为了节省成本，要求围的栅栏最短（长和宽都是整米数）。请你设计一种花坛，把它画在方格纸上。（每个方格代表1平方米） (2)在这个花坛中选一块最大的正方形，种上月季，其余地方种植草坪。请你在图中将种植月季的地方涂色，并计算出草坪的面积。 【答案】(1) (2) ； 8平方米； 【思路引导】（1）长方形的面积＝长×宽，根据长方形的面积推出长和宽的可能组合；再根据长方形周长的意义可知，长方形的长与宽越接近周长就越短，进而确定长和宽，据此画出这个长方形。 （2）在这个长方形花坛中选一块最大的正方形，种上月季，这个正方形的边长等于长方形的宽，其余地方种植草坪，剩余部分是一个小长方形，据此画图；长方形的面积＝长×宽，草坪的长是长方形花坛的宽，草坪的宽是长方形花坛的长减去宽，据此解答。 【规范解答】（1），6和4最接近，所以长方形的长6米，宽是4米时，周长最短。 长方形的长占6格，宽占4格，据此画图；画图略； （2）在长6米，宽4米的长方形花坛中选一块最大的正方形，这个正方形的边长是4米； 边长4米即占4格，据此在长方形花坛中画出月季的部分，并作出标记涂色；余下的部分标记为草坪；据此画图；画图略； 4×（6－4） ＝4×2 ＝8（平方米） 答：草坪的面积是8平方米。 【举一反三练习】．（24-25三年级上·浙江湖州·期末）王奶奶要把12块正方形的布拼起来，再在它的四周缝上一圈花边做装饰。下面拼法中，用到花边最少的是（    ）。 A．B． C． 【答案】C 【思路引导】根据题意，求需要多少长的花边，就是求长方形桌布的周长是多少，假设正方形边长为1，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出每个图形的花边长度，据此解答即可。 【规范解答】 A. 长：12，宽：1 花边：（12＋1）×2 ＝13×2 ＝26 B. 长：6，宽：2 花边：（6＋2）×2 ＝8×2 ＝16 C. 长：4，宽：3 花边：（4＋3）×2 ＝7×2 ＝14 26＞16＞14 用到花边最少的是14 故答案为：C 模块四 优选真题 实战演练 一、选择题 1．（26-27四年级上·全国·阶段检测）超市搞促销活动，原来20元1袋的面粉，现在买5袋送1袋。乐乐妈妈带了250元，她最多能买（    ）袋这样的面粉。 A．12 B．14 C．15 D．13 【答案】B 【思路引导】单价×数量＝总价，用原来每袋的价格×袋数＝原来需要多少钱，促销时花5袋的钱能拿到6袋，再计算250元能买几组6袋，有几组，就用几乘6。剩余的钱按原价买，算出买几袋。最后相加总得到总袋数。 【规范解答】20×5＝100（元） 250÷100＝2（组）……50（元） 50÷20＝2（袋）……10（元） 2×6＋2 ＝12＋2 ＝14（袋） 所以，她最多能买14袋这样的面粉。 2．（26-27四年级上·河北·周测）小强的练习题上部分数字看不清了，如图所示。如果商是两位数，那么看不清的数最小是（    ）。 A．1 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【思路引导】要使商是两位数，被除数的前两位组成的数字必须大于或等于除数58。被除数的前两位是●3，即十位为●、个位为3的两位数，需要满足●3≥58。 【规范解答】当●＝6时，63＞58，满足条件；若●＝5，53＜58，不满足条件，因此看不清的数最小是6。 3．（20-21五年级上·山东潍坊·期末）爸爸用两根同样长的木条，一根做成了一个长方形框架，一根做成了一个平行四边形框架。要给这两个框架配上玻璃，两块玻璃的大小相比（    ）。 A．长方形的大 B．平行四边形的大 C．同样大 D．无法判断 【答案】D 【思路引导】本题用两根同样长的木条，做成长方形框架、平行四边形框架，会有多种选择。因为木条长20厘米，所以做成的四边形的一组邻边之和就是10厘米。可采用假设法，来进行验证。 【规范解答】由分析得： 假设木条长20厘米，则做成的四边形相邻的边之和为20÷2＝10（厘米） ①10＝1＋9 S长方形＝9×1＝9（平方厘米） ②10＝3＋7 因为不能准确知道平行四边形的高，所以此时面积也不能够准确求出。但依据图示可知，此时平行四边形的面积一定大于底为7厘米，高为2厘米的长方形的面积；但小于底为7厘米，高为3厘米的长方形的面积。 ③10＝4＋6 S长方形＝6×4＝24（平方厘米） 如果是①和②相比，S长方形＜S平行四边形； 如果是②和③相比，S长方形＞S平行四边形。 故答案为：D。 【考点剖析】本题可转化为比较长方形和平行四边形的面积的大小。如果是一个长方形框架被拉长成为平行四边形框架，则面积肯定会变小，因为此时，平行四边形的底没变，而高变矮了。但本题中的两个图形的元素变化的范围不是固定的，故无法判断。 4．（26-27四年级上·河北·周测）用竖式计算（如图），下面继续试商的方法中，正确的是（    ）。 A．可以商8 B．商8小了，改商9 C．商8大了，改商6 D．商8大了，改商7 【答案】D 【思路引导】先试商8时，42×8＝336，大于被除数332，说明商8过大，应将商调小1改为7。 这样计算得到42×7＝294，294小于332，332减294得38，38比42小，符合竖式除法要求。 【规范解答】由分析可知：竖式试商8偏大，调小1是7即可。 5．（26-27四年级上·江苏·单元测试）美术课上，丽丽按下面的方法，从一张长方形彩纸上折出一个最大的正方形，剩下长方形的面积和周长各是（    ）。 A．260平方厘米；66厘米 B．169平方厘米；52厘米 C．91平方厘米；80厘米 D．91平方厘米；40厘米 【答案】D 【思路引导】因为正方形四条边长度相等，所以最大正方形的边长等于原长方形的宽。剩下图形为长方形，它的其中一条边长度等于原长方形的宽，另一条边长度等于原长方形长减去宽的差。长方形面积＝长×宽，将剩余长方形的长和宽代入计算即可。长方形周长＝（长＋宽）×2，将剩余长方形的长和宽代入计算即可。 【规范解答】20－13＝7（厘米） （13＋7）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 13×7＝91（平方厘米） 剩下长方形的面积是91平方厘米，周长是40厘米。 二、填空题 6．（26-27四年级上·江苏·单元测试）如图，在一个正方形喷水池的四周，如果用边长为6分米的方砖铺一圈，一共用去方砖( )块，喷水池的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 24 12 9 【思路引导】观察图可知，正方形喷水池四周方砖的数量是4个6； 先用方砖的边长乘喷水池一边方砖的数量求出喷水池的边长，再根据正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长求出喷水池的周长和面积。最后根据1米＝10分米、100平方分米＝1平方米进行单位换算。 【规范解答】6×4＝24（块） 6×5＝30（分米） 30×4＝120（分米） 120分米＝12米 30×30＝900（平方分米） 900平方分米＝9平方米 一共用去方砖24块，喷水池的周长是12米，面积是9平方米。 7．（26-27四年级上·江苏·单元测试）（    ）里最大能填几？ ( )    78×( )＜640 ( )    18×( )＜108 【答案】 9 8 7 5 【思路引导】通过用不等式右边的数除以左边的已知因数，如果有余数，那么商就是括号里能填的最大的数，如果没有余数，那么商减1就是括号里能填的最大数，据此解答。 【规范解答】350÷36＝9……26，有余数，所以括号里最大填9； 640÷78＝8……16，有余数，所以括号里最大填8； 370÷52＝7……6，有余数，所以括号里最大填7； 108÷18＝6，没有余数，所以括号里最大填6－1＝5。 8．（26-27四年级上·江苏·单元测试）给小梦的日记填上合适的单位。 2月21日  晴 新年新气象，新的学期发新书了，也换了新的教室。新教室地面的面积约60（    ），教室里摆放着整齐的桌椅，课桌周长是2（    ），课桌桌面面积约是24（    ），新的数学课本封面的面积约6（    ），看着新的环境，新的书本，我开心极了！ 【答案】平方米；米；平方分米；平方分米 【思路引导】根据生活经验，对长度单位、面积单位和数据大小的认识，我们知道大拇指指甲盖的面积约1平方厘米，粉笔盒一个面的面积约1平方分米，一块地砖的面积约1平方米；因此计量教室的面积用“平方米”作单位，桌面的面积用“平方分米”作单位，计量数学书封面的面积用“平方分米”作单位；二年级学生双臂展开的长度大约是1米，计量课桌的周长，结合题干提供的数是2，即周长用米作单位比较合适。据此填空即可。 【规范解答】新教室地面的面积约60（平方米），教室里摆放着整齐的桌椅，课桌周长是2（米），课桌桌面面积约是24（平方分米），新的数学课本封面的面积约6（平方分米）。 三、判断题 9．（26-27四年级上·山东·单元测试）一个正方形如果边长扩大到原来的3倍，那么它的周长和面积扩大到原来的9倍。( ) 【答案】× 【思路引导】根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，可以通过举例，假设正方形的边长为1米，分别求出原来的周长和面积，再分别求出边长扩大到原来3倍后的周长和面积，并对应比较扩大的倍数，即可判断。 【规范解答】假设原正方形边长为1米； 原周长：1×4＝4（米） 原面积：1×1＝1（平方米） 新边长：1×3＝3（米） 新周长：3×4＝12（米） 12÷4＝3 周长扩大到原来的3倍； 新面积：3×3＝9（平方米） 9÷1＝9 面积扩大到原来的9倍； 所以，一个正方形如果边长扩大到原来的3倍，那么它的周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。原题说法错误。 故答案为：× 10．（26-27四年级上·全国·课后作业）除数个位是3、4的两位数除法，都可以用四舍法试商。( ) 【答案】× 【思路引导】四舍法试商的规则是：当除数个位是1、2、3、4的时候，把个位舍去，把除数看成整十数试商，但注意不是所有除数个位是3、4的两位数除法都必须用四舍法试商，题目里“都可以用四舍法试商”的表述不符合试商的实际规则，这个说法是错的。 【规范解答】根据两位数除法的试商规则，除数个位为3、4时，一般可采用四舍法试商，但部分个位为4的除数，例如100÷24，把24看作25试商更简便，并非所有情况都适用四舍法。原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 11．（2026四年级上·江苏·专题练习）用竖式计算，带△的要验算。         △         △ 【答案】6；34；28……6； 10……40；30……6；11……24 【思路引导】除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的最高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小，除到被除数的某一位不够除时，应商0占位。有余数除法可以利用“被除数＝除数×商＋余数”进行验算。 【规范解答】                                                               验算                                                验算 12．（25-26四年级上·河北唐山·期末）脱式计算。 ①410－532÷14        ②960÷（360÷24）        ③52×18÷12 【答案】①372；②64；③78 【思路引导】①先算除法，再算减法。 ②先算括号内的除法，再算括号外的除法。 ③先算乘法，再算除法。 【规范解答】①410－532÷14 ＝410－38 ＝372 ②960÷（360÷24） ＝960÷15 ＝64 ③52×18÷12 ＝936÷12 ＝78 13．（26-27四年级上·江苏·周测）计算下面图形的周长。 【答案】130米 【思路引导】求不规则图形的周长时，可以通过转化的方法，将图形转化为我们熟悉的长方形或正方形，再求周长。如图： 通过平移可知图形的周长就是长37米、宽20米的长方形周长，再加上两个8米。长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【规范解答】11＋15＋11＝37（米） （20＋37）×2 ＝57×2 ＝114（米） 114＋8×2 ＝114＋16 ＝130（米） 五、作图题 14．（26-27四年级上·江苏·单元测试） (1)比较上面方格纸上的①号图形和②号图形，在合适答案后面的□里画“√”。 ①号图形的周长长□    ②号图形的周长长□    周长一样长□ (2)请在方格纸的③号位置画一个正方形，使它的周长和②号图形的周长相等。（每小格的边长表示1厘米） 【答案】(1)□；□；☑ (2) 【思路引导】（1）计算①号图形周长：凹进去的边往上移动或往右移动就得到和②号图形一样的长方形；长方形周长＝（长＋宽）×2。 （2）因为正方形周长和②号相等，所以先用②的周长除以4得到正方形的边长，再在③号位置按边长画正方形。长方形周长＝（长＋宽）×2，正方形边长＝周长÷4。 【规范解答】（1）凹进去的边移动就得到和②号图形一样的长方形，所以①号图形的周长和②号图形的周长一样。 （2）②号图形是长方形，长为5厘米，宽为3厘米； （5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 16÷4＝4（厘米） 因此，正方形的边长为4厘米。 画图略 15．（25-26三年级下·广东广州·期末）操作题。（下面每个□代表1平方厘米。） (1)上面第1题图形的面积是( )平方厘米。 (2)在上面方格纸中画一个面积是12平方厘米的长方形。 (3)观察上面两个图形，我发现：______________________________。 【答案】(1)12 (2) (3)面积相等的图形，形状不一定相同。（答案不唯一，说法合理即可） 【思路引导】（1）每个小方格的面积是1平方厘米，数出涂色的小方格一共是12个，因此图形面积是12×1＝12平方厘米。 （2）画法：长方形面积＝长×宽，要得到面积12平方厘米的长方形，只需长和宽的乘积为12即可。 （3） 第一个图形是不规则图形，第二个是长方形，几个图形面积都是12平方厘米，但形状不一样。结论：面积相等的图形，形状不一定相同。（说法合理即可） 【规范解答】（1）12×1＝12（平方厘米） 第1题图形的面积是12平方厘米。 （2）12×1＝12（平方厘米） 6×2＝12（平方厘米） 4×3＝12（平方厘米） 画长12厘米、宽1厘米的长方形，画长4厘米、宽3厘米的长方形，也可以画长6厘米、宽2厘米的长方形。 略 （3）观察上面两个图形，我发现：面积相等的图形，形状不一定相同。（答案不唯一，说法合理即可） 六、解答题 16．（26-27四年级上·全国·阶段检测）一个工程队预计派50名工人用16天挖一条沟，挖了4天后，又增加25名工人。如果每名工人每天完成的任务一样多，那么可以提前几天完成？ 【答案】4天 【思路引导】这道题中工作总量不变，且每名工人每天的工作量相同，可以把每名工人每天的工作量看作1份，工作总量为1×50×16＝800（份），4天的工作量为：1×50×4＝200（份），剩余工作量为800－200＝600（份），此时的人数为50＋25＝75（名），则剩余的工作量所需的时间为：600÷75＝8（天），用原计划的时间减去4再减去剩余工作量的时间即可。 【规范解答】（1×50×16－1×50×4）÷（50＋25） ＝（800－200）÷75 ＝600÷75 ＝8（天） 16－4－8＝4（天） 答：可以提前4天完成。 17．（26-27四年级上·山东·单元测试）中医药非遗是我国非物质文化遗产的典型代表，三门峡横跨长江、黄河两大流域，得天独厚的自然条件孕育了各类野生中药材1200余种，素有“天然药库”之称。王叔叔有一块正方形（如下图）中药材种植基地，如果将它的一组对边各增加5米，那么面积就增加125平方米，这时土地变成了一个大长方形。原来正方形中药材种植基地的面积是多少平方米？ 【答案】 625平方米 【思路引导】新增部分是一个长方形，已知面积和宽，根据长方形的面积＝长×宽，据此计算出长，也就是原来正方形中药材种植基地的边长；正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【规范解答】 （平方米） 答：原来正方形中药材种植基地的面积是平方米。 18．（26-27四年级上·全国·阶段检测）保温杯厂有两个车间生产保温杯，甲车间每天生产240个保温杯，乙车间每天生产520个保温杯，这些保温杯每20个装一箱。两个车间共同生产一个星期（7天），一共可以生产多少箱保温杯？ 【答案】266箱 【思路引导】先求出两个车间每天的总产量，再乘生产天数得到一周的总产量，最后用总产量除以每箱的个数，即可得到总箱数。 【规范解答】（240＋520）×7÷20 ＝760×7÷20 ＝5320÷20 ＝266（箱） 答：一共可以生产266箱保温杯。 19．（2026四年级上·山东·专题练习）乐乐家的厨房长4米、宽2米，准备在厨房里铺设边长为2分米的正方形地砖。一共需要多少块地砖？如果每块地砖的价钱是8元，一共要花多少元？ 【答案】200块；1600元 【思路引导】1米＝10分米，将题目中的长度单位统一为分米。首先根据长方形的面积＝长×宽，求出厨房地面的面积，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出每块地砖的面积，然后用厨房地面的面积除以每块地砖的面积，即可求出需要的地砖块数；最后用每块地砖的单价×地砖的块数，即可求出需要的钱数。 【规范解答】4米＝40分米    2米＝20分米    （块） （元） 答：一共需要200块地砖；一共要花1600元。 20．（2026四年级上·山东·专题练习）乐乐家有一个长方形鱼塘（如图），四周装了一圈防护栏。如果将鱼塘的宽延长，将其改造成正方形鱼塘，这个鱼塘的防护栏至少增加多少米？面积增加多少平方米？ 【答案】10米；45平方米 【思路引导】改造后的正方形的边长等于原长方形的长。 计算防护栏增加的长度，先根据，分别算出原长方形周长和改造后正方形的周长，再作差。 计算面积增加量，根据长方形的面积＝长×宽，分别算出原长方形面积和改造后正方形的面积，再作差。 【规范解答】9×4－（9＋4）×2 ＝36－13×2 ＝36－26 ＝10（米） 9×9－9×4 ＝81－36 ＝45（平方米） 答：这个鱼塘的防护栏至少增加10米，面积增加45平方米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $