2.5.2.2直线与圆的方程的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的方程的应用，通过实例复习直线与圆的位置关系，衔接审题、建系、求解、还原四步解决法，搭建从理论到实际问题的学习支架。 其亮点是以圆拱桥、海岛暗礁等实际情境为载体，运用坐标法将几何问题转化为代数问题，体现数学思维与建模素养。通过步骤总结和探究问题，帮助学生掌握解决方法，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

第二章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 课时2 直线与圆的方程的应用 1 学习目标 1.通过实例复习直线与圆的位置关系，加深对它的理解.（直观想象） 2.掌握利用直线与圆的位置关系解决实际问题的方法.（数学建模） 2 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面： 3 课本例题--P93 例：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到). 4 解：建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心坐标为 ，圆的半径是，那么圆的方程是. 由题，点，在圆上，且它们的坐标分别为，. 则有，解得. 所以，圆的方程是. 把点的横坐标代入圆的方程，得， 所以. 答：支柱的高度约为. A O B P y x 5 例1 如图，某海面上有，， 三个小岛（面积忽略不 计），岛在岛的北偏东 方向处，岛在 岛 的正东方向 处. （1）以为坐标原点，的正东方向为轴正方向， 为 单位长度，建立平面直角坐标系，写出， 的坐标，并求 ， 两岛之间的距离; （2）已知在经过，， 三个点的圆形区域内有未知暗礁， 现有一船在岛的南偏西 方向距岛处，正沿着北偏东 方向行驶，若不 改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 6 [解析] （1）因为在的北偏东 方向处，在的正东方向 处，所 以， ， 由两点间的距离公式得 . （2）设过，，三点的圆的方程为，将 ， ，分别代入上式得解得 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径 . 设船起初所在的位置为点，则 ，且该船航线所在直线的斜率为1， 由点斜式得该船的航线为直线 ， 所以圆心到的距离 ， 所以该船有触礁的危险. 7 巩固训练 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地 （如图），它的附近有一条公路.从基地中心处向东走 是储备 基地的边界上的点，接着向东再走到达公路上的点 ；从基 地中心向正北方向走到达公路的另一点 .现准备在储备基地 的边界上选一点，修建一条由通往公路的专用线路 ，求 的最短距离. 8 [解析] 以为坐标原点，，所在直线分别为轴， 轴建立平面直角坐标系，如图. 由题意知圆的方程为，点，，所以直线 的方程为 ，即.过点作，则， 即 的最小值为 . 9 探究2 坐标法在直线与圆的方程中的应用 如图，在中， ，， ， 过点作的外接圆的切线交线段的延长线于点 ，则线 段 的长是多少？ 问题1: 若用坐标法解决上面问题，应怎样建立平面直角坐标系？ [答案] 以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴建立平面直角坐标系比较合适， 理由是图中这两条直线恰好互相垂直. 10 问题2: 坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则是什么？ [答案] 坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则： （1）若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为轴和 轴； （2）充分利用图形的对称性； （3）让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称； （4）关键点的坐标易求得. 11 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如 点、直线和圆，把平面几何问题转化为代数问题. 第二步：通过代数运算，解决代数问题. 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 12 例2 如图，正方形的边长为20米，圆 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 ，分别在线段，上，若线段与圆有公共点，则称点在点 的“盲区”内. 已知点以1.5米/秒的速度从出发向移动，同时点以1米/秒的速度从出发向 移动， 则在点从移动到的过程中，点在点的“盲区”内的时长约为____秒. , 结果精确到 4.4 13 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 可设点， ， 可得出直线的方程为，圆 的方 程为 ， 由直线与圆有公共点，可得 ，化为 ， 解得，而 ， 因此点在点 的“盲区”内的时长约为4.4秒. 14 巩固训练 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为 的圆形区域，一艘外籍 轮船从位于海监船正东方向的处出发径直驶向位于海监船正北方向的 处岛屿，船速为，则这艘外籍轮船能被海监船监测到的持续时间为( ) . B A.1 B.2 C.3 D.4 15 [解析] 如图，根据题意，以海监船的位置为坐标原点，其正东方 向为轴的正半轴，正北方向为 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 则，，圆， ，即 . 因为点到 的距离为 ，所以与圆相交，且交点为， ， 所以 ， 所以监测持续时间为 . 16 1.一涵洞的横截面是半径为 的半圆，则该半圆的方程是( ) . D A. B. C. D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化 2.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车 篷的篷顶距离地面的高度最高约为( ) . A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 B 3.设村庄外围所在曲线的方程可用 表示，村外一小路的方程可 用 表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_ _____． 17 4.直线与坐标轴的交点为，，以线段为直径的圆 经过点 . （1）求圆 的标准方程； （2）若直线与圆交于，两点，求 . [解析] （1）直线与坐标轴的交点为， . 因为以线段为直径的圆经过点，所以，所以 ，解得 ，所以圆的圆心为线段的中点，其坐标为，半径 ， 圆的标准方程为 . （2）因为圆心到直线的距离为 ， 所以 . 18 1.已知在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，若经过， 两点 的圆与 轴的正半轴相切，则该圆的方程为( ) . D A. B. C. D. 2.已知直线与圆交于， 两点，则当弦 最短时，直线 的方程为( ) . B A. B. C. D. 3.已知圆与直线相切于点，点在圆内，且过点 的最短 弦所在直线的方程为，则圆 的标准方程为_________________． 19 4.一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为____米． 16 [解析] 以圆拱拱顶为坐标原点，以水平且与圆拱相切的直线为 轴， 以过拱顶的竖线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设圆的方程为（其中 为圆的半径）， 因为拱顶离水面2米，水面宽12米，将 代入圆的方程中，解得 ， 所以圆的方程为 ， 当水面下降2米后，设 ，并将其代入圆的方程中， 得，解得 ，所以水面宽为16米． 20 $