2.5.2　圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，涵盖几何法与代数法判定及应用。课前通过基础认知梳理圆心距公式与位置关系的几何条件，结合微训练巩固，为课堂重难突破（相切、相交问题）搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是融合逻辑推理与数学运算核心素养，通过典例剖析（如两圆外切求半径、公共弦长计算）和规律总结（公共弦方程及长度求法），培养学生解题能力。微思考引导探究公共弦方程特殊性，激发创新意识，助力学生掌握方法，为教师提供系统教学资源。

2.5.2　圆与圆的位置关系 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.能根据给定的圆的方程,判断圆与圆的位置关系,提升逻辑推理的核心素养. 2.能应用圆与圆的位置关系解决相关问题,提升数学运算的核心素养. 课前·基础认知 1.用几何法判定圆与圆的位置关系 则两圆C1,C2有以下位置关系: 位置 关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d>r1+r2 d<|r1-r2| |r1-r2| <d<r1+r2 d=|r1-r2| d=r1+r2 图示 微训练 圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 (　　). A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案:B 解析:由题意得两圆的圆心坐标分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2,3,则两圆心的距离d=.由于1<d<5,故选B. 2.用代数法判定圆与圆的位置关系 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 　相交　 　外切　或　内切　 　外离　或　内含　 微思考 将两个相交的非同心圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这个直线方程具有什么样的特殊性呢? 提示:两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 课堂·重难突破 一 圆与圆的位置关系的判定 典例剖析 1.已知圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0(a>0),求当a为何值时,两圆 (1)外切;(2)相交;(3)外离. 解:将两圆方程分别写成标准方程, C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4. 则两圆的圆心和半径分别为C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为d, 则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切, 此时a=-5或a=2. (2)当1<d<5,即1<2a2+6a+5<25时,两圆相交,此时-5<a<-2或 -1<a<2. (3)当d>5,即2a2+6a+5>25时,两圆外离,此时a>2或a<-5. 学以致用 1.圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的公切线有(　　). A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案:C 解析:圆(x-4)2+y2=9的圆心坐标为(4,0),半径等于3, 圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3),半径等于2. 两圆的圆心距等于 =5=2+3,两圆外切,故两圆的公切线的条数为3,故选C. 二 两圆相切问题 典例剖析 2.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程是 　　　　.  答案:(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 当圆C与圆O内切时,r-1=5,r=6, ∴圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16 或(x-4)2+(y+3)2=36. 解析:设圆C的半径为r, ∴当圆C与圆O外切时,r+1=5,r=4, 学以致用 2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则实数m等于 (　　). A.21 B.19 C.9 D.-11 答案:C 解析:圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0化为标准方程为 (x-3)2+(y-4)2=25-m. ∵圆C1,C2的圆心坐标分别为(0,0),(3,4), 三 两圆相交问题 典例剖析 3.已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)判断圆C1和圆C2的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长. 解:(1)将两圆方程化为标准方程, 则圆C1:(x-1)2+(y+5)2=50, 圆C2:(x+1)2+(y+1)2=10, ∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2, ∴两圆相交. (2)由(1)知,圆C1与圆C2相交.将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0. (3)(方法一)圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离d==3, 故公共弦长l=2=2=2. (方法二)设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组 解得 故|AB|==2. 即公共弦长为2. 规律总结　1.当两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法 (1)代数法:先联立两圆的方程,解出交点坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. 学以致用 3.(1)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2= 所截得的弦长为　　　　　.  解析:根据题意将两圆的方程相减,可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0. 又圆C3的圆心坐标为(1,1),半径为r=, 则圆心(1,1)到直线l的距离d=, 由条件知r2-d2=, 所以弦长为2×. (2)求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0. 得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0. 因为所求圆与直线y=x相切,所以Δ=0, 即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3, 故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0. 随堂训练　 1.圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(　　). A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案:B 2.若圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　). A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 答案:C 解析:由题意可知AB的垂直平分线过两圆的圆心,圆 x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为(2,-3),圆x2+y2-6x=0的圆心坐标为(3,0),把圆心(2,-3),(3,0)分别代入各选项,即可排除A,B,D. 3.已知圆A、圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为(　　). A.6 cm或14 cm B.10 cm C.14 cm D.无解 答案:A 解析:设圆B的半径为r cm, ∵圆A与圆B相切包括内切与外切, ∴10=4+r或10=r-4,即r=6或14. 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2 ,则a=　 .  答案:1 5.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0的公切线有　　　　　条.  答案:3 解析:圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0整理得(x+1)2+(y+1)2=4,∴圆C1的圆心坐标为(-1,-1),半径r1=2.圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0整理得 (x-3)2+(y+1)2=4,∴圆C2的圆心坐标为(3,-1),半径r2=2. ∴圆心距为|C1C2|=3+1=4=r1+r2,∴圆C1与圆C2外切,公切线有3条. 谢 谢 $