第2章 2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的方程应用，核心涵盖与圆有关的最值问题（距离、代数式几何意义）及实际应用。课堂从课标要求切入，通过例题（如圆上点到直线距离、切线长）和训练题，搭建从基础公式到综合应用的学习支架，衔接直线与圆位置关系等前期知识。 其亮点在于以数学眼光抽象几何模型（如将y/x看作斜率），用数学思维推理最值规律（如圆心距与半径关系），通过数学语言建立方程解决实际问题（如机器人拦截轨迹、拱桥通行计算）。“感悟提升”总结方法，例题与训练题结合，助力学生发展几何直观和应用意识，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第2课时　直线与圆的方程的应用 课标要求 1.掌握与圆有关的最值问题的求法．　2.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用． 返回首页 C　 返回首页 返回首页 (2)已知直线x＋ay＋2a－1＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________． 4 返回首页 返回首页 【感悟提升】　与距离有关的最值问题常涉及的情况 (1)圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d－r，最大值为d＋r.(d为圆外一点到圆心的距离) (2)直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d－r，最大值为d＋r.(d为圆心到直线的距离) 返回首页 返回首页 　　　1.已知点P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x＋1)2＋(y－4)2的最大值为(　　) A．5 B．6 C．25 D．36 D　 训练 返回首页 2．(2026·绍兴期中)过直线y＝x＋1上一动点P作圆M：(x－5)2＋y2＝2的一条切线l，切点为A，则线段PA长度的最小值为________． 4 返回首页 返回首页 返回首页 (2)x2＋y2； 返回首页 (3)x＋y. 返回首页 返回首页 返回首页 母题探究2　本例其他条件不变，求|3x＋4y－2|的最值． 返回首页 返回首页 D　 训练 返回首页 解析：对于A，圆C的圆心为C(2，0)，半径为1，所以a的取值范围是[1，3]，故A正确； 返回首页 返回首页 应用点二　直线与圆的实际应用 例3　(对接教材例4)(2026·扬州期中)在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点A(0，0)出发，发现一个目标机器人在点B(3，6)处正欲逃跑．追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍．假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动． 返回首页 (1)若追踪机器人在点P处成功拦截目标机器人，求点P的轨迹方程； 返回首页 (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区(x≤8.4的区域)内成功拦截？并说明理由． 返回首页 【感悟提升】　直线与圆的实际应用问题的解题步骤 返回首页 　　　(2026·连云港月考)河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈内最高点距水面9 m，拱圈内水面宽22 m．一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，可以通行无阻．近日水位暴涨了3 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身至少应该降低多少？ 训练 返回首页 返回首页 返回首页 课堂巩固自测 A　 返回首页 ABD　 返回首页 返回首页 返回首页 3．(教材P95T2改编)(2026·广州期中)据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度AB＝40 m，拱高OP＝10 m，与OP相距a m的支柱A1P1＝5 m，则a＝________． 15 返回首页 解析：设桥拱所在圆的圆心为O1，连接OO1，O1B，O1P1，作P1P2⊥OP于点P2，如图所示， 设OO1＝x m，则圆O1的半径r＝(x＋10)m， 因为AB＝40 m，所以OB＝20 m，在Rt△OBO1中，根据勾股定理可得x2＋202＝(x＋10)2，解得x＝15， 在Rt△O1P1P2中，P1P2＝a m，OP2＝A1P1＝5 m，所以O1P2＝20 m，根据勾股定理可得a2＋202＝252，解得a＝15. 返回首页 返回首页 (2)若P是圆C上任意一点，求点P到直线l距离的最小值． 解：由(1)知，要使圆C上一点P到直线l的距离最小，则P为圆与过圆心且垂直于l的直线的交点，且在圆心和直线l之间，所以点P到直线l距离的最小值为d－r＝2. 返回首页 1．已学习：直线与圆的方程的实际应用、与圆有关的最值问题． 2．须贯通：与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常用平面几何的性质求解． 3．应注意：建立平面直角坐标系时，尽量利用图形对称性，把尽可能多的几何元素置于坐标轴上，使方程简单化． 课堂小结 返回首页 $