专题02 二次函数（5大考点）（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数5大核心考点，整合湖南多地期中试题，以湘超联赛、乡村振兴等真实情境为载体，设计基础巩固到创新应用的梯度题型，突出新定义与实际问题的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|二次函数概念、图象性质、与方程关系|结合坐标变换考查y=a(x-h)²+k平移规律，如抛物线平移后表达式判断| |填空|约8题|顶点坐标、函数值比较、参数计算|通过点坐标关系比较函数值大小，如给定三点判断y1,y2,y3大小| |解答|约10题|新定义问题、实际应用、综合计算|新定义“幸福抛物线”“互换函数”考查抽象能力，湘绣销售、乡村振兴产品利润问题体现应用意识|

专题02 二次函数（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的图象的顶点坐标是　　　　　　　． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A. 图象开口向下 B. 当时，y有最大值为2 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点坐标为 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（     ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　   　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若点在抛物线上，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　 10．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　　 （用“＜”连接）． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； （2）若抛物线：的顶点在其“幸福抛物线”的图像上，试求出抛物线的图像经过的定点坐标； （3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点M，其“幸福抛物线”与轴交于点（在的上方），两抛物线始终有一个交点，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截轴得到的线段长度的取值范围． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． （1）若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； （3）若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． （1）求的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 15．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若抛物线和与轴交于相同的两点A，B，我们就称抛物线与互为“友好”抛物线，两个交点A，B为“友好”点． （1）若互为“友好”抛物线，求它们的“友好”点； （2）抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，其顶点分别为点C，D． ①若，求证：四边形为菱形； ②若点A的坐标为，且四边形为正方形，当时，求正方形的面积S的取值范围． 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）我们约定：当，，，满足，且时，则称点与点为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”，则_____，_____，_____（将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于的一次函数与（，都是常数，且）均是“互换函数”，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，函数的图象与轴，轴分别交于点，，求四边形的面积； （3）若点，为关于的“互换函数”（，，是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线过点，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 17．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的图象与轴的交点的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）“两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数” （1）下列函数是“两重两新函数”的有          ； ；； （2）直线上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； （3）抛物线 )上是否存在四个不同的“两重两新点”其中 ，且使得若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（　　） A. 2.5 B. 2.4 C. 2.8 D. 3 2．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元， （1）求y关于x的函数关系式； （2）为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ （3）当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）2025年10月，湖南省足球超级联赛(湘超联赛)正掀起全民观赛热潮，联赛吉祥物是一对极具湖湘特色的卡通形象，分别取名“湘湘”和“超超”．“湘湘”以湖南省鸟红嘴相思鸟为设计原型，张开的翅膀寓意湖南足球的腾飞，体现足球运动在湖南的深厚群众基础；“超超”则以超级水稻为核心元素，设计成留着冲天稻穗头的阳光少年足球小将形象，呼应湖南稻作文化根基，传递“超越自我”的体育精神．某工厂生产了一批“湘湘”、“超超”联名毛绒玩偶，每件成本为20元，投放“湘超购”线上小程序销售．在销售过程中发现，每天的销售量(单位：件)与每件售价(单位：元)之间存在一次函数关系(其中且为整数)．当每件售价55元时，每天的销售量为75件；当每件售价50元时，每天的销售量为90件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若销售这种玩偶每天获得2025元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)； （3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】 A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”直接计算，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， 则平移后的抛物线的表达式为． 故选：A． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点公式，进行求解即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是； 故选：C． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据左加上加的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得． 故选B． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的图象的顶点坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．据此求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】 解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A. 图象开口向下 B. 当时，y有最大值为2 C. 对称轴是直线 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】 解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（     ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】 解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据，利用二次函数的对称性、开口方向及根的存在性判断各结论即可． 【详解】 解：∵当时，，且中时， ∴，故②正确； ∵当和时，，且函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确； ∵对称轴为直线，且值随增大先减后增（从到，从减至；从到，从增至）， ∴抛物线开口向上，即，故①正确； ∵当时，时， ∴方程 在内有一根，即； ∵当时，时， ∴在内有一根，即，故④正确； 因此，所有结论正确； 故选：D． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　   　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论① ；由处的函数值可判断结论② ；由处函数值可判断结论③ ；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④ ． 【详解】 解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故① 正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故② 正确； 时，， ， ，即，故③ 错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④ 正确． 综上所述，正确的选项是① ② ④ ，共3个． 故选： C． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的图像，确定a，b，c的符号，后根据一次函数k,b的符号性质确定图像的分布即可． 【详解】 ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴在原点的左边， ∴＜0，且a＜0， ∴b＜0， ∴bc＜0； ∴的图像分布在第二，第三，第四象限， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当过点C时，有最大值，即可求解． 【详解】 解：如图，取点，连结， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点， ∴对称轴为， 当时，， ∴顶点， ∵与y轴相切， ∴的半径为4， ∵点D为的中点， ∴， ∴最大时，有最大值， ∴当过点C时，有最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【详解】 解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若点在抛物线上，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】2025 【分析】 本题考查点在二次函数的图象上，代数式求值．根据点在二次函数图象上的性质，将点坐标代入函数解析式，得到m与n的关系式，再代入求解即可． 【详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：2025． 10．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　　 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴是，并且，所以抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，根据对称性可得：点的对称点是，再根据判断函数值的大小关系． 【详解】 解：二次函数的对称轴是， 点的对称点是， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： （1）若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； （2）若抛物线：的顶点在其“幸福抛物线”的图像上，试求出抛物线的图像经过的定点坐标； （3）在同一平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点M，其“幸福抛物线”与轴交于点（在的上方），两抛物线始终有一个交点，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截轴得到的线段长度的取值范围． 【答案】（1），，．     （2），     （3），且      【分析】 （1）根据“幸福抛物线”的定义求解即可； （2）由二次函数的图象和性质，可得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的解析式，令，即可得抛物线的图象经过的定点坐标； （3）联立 ，得出与的交点在直线上，根据，，，得出，可得，结合，得出，再结合，即可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：由抛物线的“幸福抛物线”是， 可得，，， 解得，，． 故答案为：，，． (2) 小问详解： 解：∵抛物线：， ∴抛物线的顶点横坐标为， ∴抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线：的顶点在其“幸福抛物线”：的图像上， ∴， ∴， ∴：， 令得，， ∴抛物线的图像经过的定点坐标为，． (3) 小问详解： 解：联立 ， 得， 是方程的一个根， 故与的交点在直线上， ，，， ，得， 对于， ， ， ，即，， 又， ，且， 且， 即， （且）， 且． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，求根公式等知识点，解题的关键是理解题意，掌握以上知识点． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． （1）若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； （3）若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 【答案】（1）抛物线解析式为；     （2）的面积为；     （3）的值为或．      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 【详解】 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． （1）求的坐标； （2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 【答案】（1）点的坐标为     （2），最大值      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为，顶点坐标公式为，． （1）根据、两点的坐标及点在轴正半轴上，且，求出点的坐标即可； （2）设二次函数的解析式为，把、、三点的坐标代入解析式，可求出、、的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值． (1) 小问详解： ，， ，， ， ，即点的坐标为； (2) 小问详解： 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 由于这个函数图象过点，可以得到， 又由于该图象过点，， 则 ， 解方程组，得 ， 所求的函数解析式为． ， 当时，有最大值； 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 点在图象上， 把坐标代入得：，解得：， 所求的二次函数解析式为， 点，的坐标分别是点，， 线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线， ， 当时，有最大值，为． 15．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若抛物线和与轴交于相同的两点A，B，我们就称抛物线与互为“友好”抛物线，两个交点A，B为“友好”点． （1）若互为“友好”抛物线，求它们的“友好”点； （2）抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，其顶点分别为点C，D． ①若，求证：四边形为菱形； ②若点A的坐标为，且四边形为正方形，当时，求正方形的面积S的取值范围． 【答案】（1）“友好”点为和     （2） ① 证明：∵点分别为“友好”抛物线与的顶点， ∴， ∴垂直平分． ∵抛物线与抛物线互为“友好”抛物线， ∴方程与的解相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， 抛物线的顶点关于轴对称， ∴平分， ∴四边形为菱形． ②      【分析】 （1）根据“友好”抛物线的定义可知：两个一元二次方程和的解相同，据此根据一元二次方程根与系数的关系列方程可求出，将值代入方程，即要求出它们的“友好”点； （2）① 证明四边形对角线互相垂直平分即可；② 由四边形为正方形，得出为等腰直角三角形，得出，整理得，将点的坐标代入抛物线，得到，方程与方程联立得出，由于，，得出，最后根据，求得正方形的面积S的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵互为“友好”抛物线， ∴方程与解相同， ∴， ∴， ∴，解得， ∴“友好”点为和． (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 整理得， ∵点的坐标为， ∴， 联立可得， 由① 可知：，即， ∵， ， ∴，， ∴，解得， 又， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称性等知识，理解 “友好”抛物线定义，运用抛物线的对称性求解是解题的关键． 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）我们约定：当，，，满足，且时，则称点与点为一对“互换点”．若某函数图象上至少存在一对“互换点”，就称该函数为“互换函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”，则_____，_____，_____（将正确答案填在相应的横线上）； （2）若关于的一次函数与（，都是常数，且）均是“互换函数”，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，函数的图象与轴，轴分别交于点，，求四边形的面积； （3）若点，为关于的“互换函数”（，，是常数）的图象上的一对“互换点”，且直线过点，则该“互换函数”的图象是否总经过除原点外的某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1），，     （2）     （3）过定点，定点为      【分析】 本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，难度较大，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性得到，，即，，据此即可求解，然后将代入，即可求解； （2）设上至少存在一对“互换点”，，则 ，可求得，，则，，再分别求出直线与坐标轴的交点，即可求解四边形的面积； （3）设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，，则 ，由①② 得，由（2）得，设直线，根据直线过点，求出，则直线，将代入得，，则，那么，即可求解过定点． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”， ∴， ∴， 将代入，则， 解得， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设上至少存在一对“互换点”，， 则 ， 得： ∵， ∴， 同理可求：， ∴，， 令，则， 解得， 令，则 ∴，， 同理，， 可画示意图为： ∴四边形的面积； (3) 小问详解： 解：过定点，定点为，理由如下： 由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，， ∴ ， 由①② 得：， ∵， ∴， 由（2）得， ∴设直线， ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线， 将代入得，， 由得，， ∴， ∴ ， 当时，解得，（舍）， ∴过定点． 17．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，最大值为1      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值等知识，读懂题意是解题的关键． （1）用待定系数法求出解析式即可； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，根据三角形的面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵的图象与x轴交于，， ∴设， 将代入，解得， ∴． (2) 小问详解： 解：的面积存在最大值，理由如下： 过点D作轴交于点E， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴时，有最大值为1． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）二次函数的图象与轴的交点的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 通过计算二次函数对应方程的判别式，判断与x轴的交点个数即可． 【详解】 解：∵二次函数与x轴的交点个数取决于方程的实数根个数， ∴计算判别式，其中，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴图象与x轴有2个交点． 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）“两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数” （1）下列函数是“两重两新函数”的有          ； ；； （2）直线上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； （3）抛物线 )上是否存在四个不同的“两重两新点”其中 ，且使得若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）① ③     （2）     （3）      【分析】 （1）若对应的函数图象上有点满足横纵坐标相同或横纵坐标互为相反数，则该函数是“两重两新函数”，据此求解即可； （2）根据直线上只存在两个不同的“两重两新点”，可推出关于x的方程和都有解，且二者的解不相同，据此求解即可； （3）根据题意可得点A和点B是直线与抛物线的两个交点，点C和点D是直线与抛物线的两个交点；联立 得，则 ，同理可得 ，据此可求出 ；可求出，，则可得到，进而推出，则 ，可解得． (1) 小问详解： 解：在中，当时，则，解得， ∴点在函数的图象上， ∵， ∴点 是“两重两新点”，函数为“两重两新函数”； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标相等的点； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标互为相反数的点， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标的绝对值相等的点， ∴函数不是“两重两新函数”； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程有实数根， ∴在函数的图象上存在横纵坐标相等的点， ∴在函数的图象上存在横纵坐标的绝对值相等的点， ∴函数是“两重两新函数”； 故答案为：① ③； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴； ∵方程和方程都最多只有一个解，而直线上只存在两个不同的“两重两新点”， ∴方程和都有解，且二者的解不能相同， ∴ ， ∴； (3) 小问详解： 解：∵函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”， ∴所有的“两重两新点”都在直线和直线上， ∵抛物线上存在四个不同的“两重两新点” ∴直线和直线都与抛物线有两个不同的交点， ∵抛物线开口向下，且 ∴点A和点B是直线与抛物线的两个交点，点C和点D是直线与抛物线的两个交点； 联立 得， ∴ ， ∴ ； 联立 得， ∴ ， ∴ ； ∴ ； ∵，且， ∴； ∵，且， ∴， ∴， ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与一元一次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（　　） A. 2.5 B. 2.4 C. 2.8 D. 3 【答案】B 【分析】 如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．    ∵PO=PE，OM=ME， ∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM， ∵PF=PA，NF=NA， ∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN， ∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°， ∴四边形PMJN是矩形， ∴MN=PJ， ∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小， ∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x ∴设直线AF的解析式为y=x+b ∵直线AF过A（5，0）， ∴=0， ∴b=， ∴y=， 由 ，解得 ∴ ∴PJ的最小值为=2.4 即MN的最小值为2.4 故选：B． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元， （1）求y关于x的函数关系式； （2）为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ （3）当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元     （3）当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把， ； (2) 小问详解： 当利润为w元时， ， 当元时，， ， ， ， 或， 每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元． (3) 小问详解： 由（2）可得， ， 当时，函数有最大值， 当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）2025年10月，湖南省足球超级联赛(湘超联赛)正掀起全民观赛热潮，联赛吉祥物是一对极具湖湘特色的卡通形象，分别取名“湘湘”和“超超”．“湘湘”以湖南省鸟红嘴相思鸟为设计原型，张开的翅膀寓意湖南足球的腾飞，体现足球运动在湖南的深厚群众基础；“超超”则以超级水稻为核心元素，设计成留着冲天稻穗头的阳光少年足球小将形象，呼应湖南稻作文化根基，传递“超越自我”的体育精神．某工厂生产了一批“湘湘”、“超超”联名毛绒玩偶，每件成本为20元，投放“湘超购”线上小程序销售．在销售过程中发现，每天的销售量(单位：件)与每件售价(单位：元)之间存在一次函数关系(其中且为整数)．当每件售价55元时，每天的销售量为75件；当每件售价50元时，每天的销售量为90件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若销售这种玩偶每天获得2025元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ （3）设销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（，且x为整数）     （2）每件玩偶的销售价为35元     （3）当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元．      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和二次函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可。 (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， ∵当每件售价为55元时，每天的销售量为75件；当每件售价为50元时，每天的销售量为90件， ∴ ， 解得 ， 即y与x之间的函数关系式为，且x为整数）． (2) 小问详解： 根据题意得，， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每件玩偶的销售价为35元． (3) 小问详解： 由题意可得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，且x为整数， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】（1）；     （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．     （3）55元件      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)； （3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）A原料的单价为元，B原料的单价为3元     （2）每盒产品的成本为40元     （3）当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000 元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）根据（1）中原料和原料单价，结合生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元，即可解答． （3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定拋物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设原料单价为元，A原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ∴， 答：A原料单价为元，原料单价为元． (2) 小问详解： 解：∵A原料单价为元，原料单价为元， ∴每盒产品的成本是：（元）， 答：每盒产品的成本为40 元． (3) 小问详解： 解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元， 根据题意，得， ， ， ∴抛物线开口向下， ∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（5大考点） 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．D 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．C 3．B 4．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．据此求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【详解】 解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 9．【答案】2025 【分析】 本题考查点在二次函数的图象上，代数式求值．根据点在二次函数图象上的性质，将点坐标代入函数解析式，得到m与n的关系式，再代入求解即可． 【详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：2025． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴是，并且，所以抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，根据对称性可得：点的对称点是，再根据判断函数值的大小关系． 【详解】 解：二次函数的对称轴是， 点的对称点是， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 11．【答案】（1），，．     （2），     （3），且      【分析】 （1）根据“幸福抛物线”的定义求解即可； （2）由二次函数的图象和性质，可得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的解析式，令，即可得抛物线的图象经过的定点坐标； （3）联立 ，得出与的交点在直线上，根据，，，得出，可得，结合，得出，再结合，即可得的取值范围． (1) 小问详解： 解：由抛物线的“幸福抛物线”是， 可得，，， 解得，，． 故答案为：，，． (2) 小问详解： 解：∵抛物线：， ∴抛物线的顶点横坐标为， ∴抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线：的顶点在其“幸福抛物线”：的图像上， ∴， ∴， ∴：， 令得，， ∴抛物线的图像经过的定点坐标为，． (3) 小问详解： 解：联立 ， 得， 是方程的一个根， 故与的交点在直线上， ，，， ，得， 对于， ， ， ，即，， 又， ，且， 且， 即， （且）， 且． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，求根公式等知识点，解题的关键是理解题意，掌握以上知识点． 12．【答案】（1）抛物线解析式为；     （2）的面积为；     （3）的值为或．      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 13．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 【详解】 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 14．【答案】（1）点的坐标为     （2），最大值      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为，顶点坐标公式为，． （1）根据、两点的坐标及点在轴正半轴上，且，求出点的坐标即可； （2）设二次函数的解析式为，把、、三点的坐标代入解析式，可求出、、的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值． (1) 小问详解： ，， ，， ， ，即点的坐标为； (2) 小问详解： 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 由于这个函数图象过点，可以得到， 又由于该图象过点，， 则 ， 解方程组，得 ， 所求的函数解析式为． ， 当时，有最大值； 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 点在图象上， 把坐标代入得：，解得：， 所求的二次函数解析式为， 点，的坐标分别是点，， 线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线， ， 当时，有最大值，为． 15．【答案】（1）“友好”点为和     （2） ① 证明：∵点分别为“友好”抛物线与的顶点， ∴， ∴垂直平分． ∵抛物线与抛物线互为“友好”抛物线， ∴方程与的解相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， 抛物线的顶点关于轴对称， ∴平分， ∴四边形为菱形． ②      【分析】 （1）根据“友好”抛物线的定义可知：两个一元二次方程和的解相同，据此根据一元二次方程根与系数的关系列方程可求出，将值代入方程，即要求出它们的“友好”点； （2）① 证明四边形对角线互相垂直平分即可；② 由四边形为正方形，得出为等腰直角三角形，得出，整理得，将点的坐标代入抛物线，得到，方程与方程联立得出，由于，，得出，最后根据，求得正方形的面积S的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵互为“友好”抛物线， ∴方程与解相同， ∴， ∴， ∴，解得， ∴“友好”点为和． (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 整理得， ∵点的坐标为， ∴， 联立可得， 由① 可知：，即， ∵， ， ∴，， ∴，解得， 又， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称性等知识，理解 “友好”抛物线定义，运用抛物线的对称性求解是解题的关键． 16．【答案】（1），，     （2）     （3）过定点，定点为      【分析】 本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，难度较大，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性得到，，即，，据此即可求解，然后将代入，即可求解； （2）设上至少存在一对“互换点”，，则 ，可求得，，则，，再分别求出直线与坐标轴的交点，即可求解四边形的面积； （3）设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，，则 ，由①② 得，由（2）得，设直线，根据直线过点，求出，则直线，将代入得，，则，那么，即可求解过定点． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵点与点是关于的“互换函数”（，是常数）的图象上的一对“互换点”， ∴， ∴， 将代入，则， 解得， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设上至少存在一对“互换点”，， 则 ， 得： ∵， ∴， 同理可求：， ∴，， 令，则， 解得， 令，则 ∴，， 同理，， 可画示意图为： ∴四边形的面积； (3) 小问详解： 解：过定点，定点为，理由如下： 由（1）可得点与点为一对“互换点”，则，， ∴设“互换函数”的图象上至少存在一对“互换点”为，， ∴ ， 由①② 得：， ∵， ∴， 由（2）得， ∴设直线， ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线， 将代入得，， 由得，， ∴， ∴ ， 当时，解得，（舍）， ∴过定点． 17．【答案】（1）     （2）存在，最大值为1      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值等知识，读懂题意是解题的关键． （1）用待定系数法求出解析式即可； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，根据三角形的面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵的图象与x轴交于，， ∴设， 将代入，解得， ∴． (2) 小问详解： 解：的面积存在最大值，理由如下： 过点D作轴交于点E， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴时，有最大值为1． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．C 2．【答案】（1）① ③     （2）     （3）      【分析】 （1）若对应的函数图象上有点满足横纵坐标相同或横纵坐标互为相反数，则该函数是“两重两新函数”，据此求解即可； （2）根据直线上只存在两个不同的“两重两新点”，可推出关于x的方程和都有解，且二者的解不相同，据此求解即可； （3）根据题意可得点A和点B是直线与抛物线的两个交点，点C和点D是直线与抛物线的两个交点；联立 得，则 ，同理可得 ，据此可求出 ；可求出，，则可得到，进而推出，则 ，可解得． (1) 小问详解： 解：在中，当时，则，解得， ∴点在函数的图象上， ∵， ∴点 是“两重两新点”，函数为“两重两新函数”； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标相等的点； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标互为相反数的点， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标的绝对值相等的点， ∴函数不是“两重两新函数”； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程有实数根， ∴在函数的图象上存在横纵坐标相等的点， ∴在函数的图象上存在横纵坐标的绝对值相等的点， ∴函数是“两重两新函数”； 故答案为：① ③； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴； ∵方程和方程都最多只有一个解，而直线上只存在两个不同的“两重两新点”， ∴方程和都有解，且二者的解不能相同， ∴ ， ∴； (3) 小问详解： 解：∵函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”， ∴所有的“两重两新点”都在直线和直线上， ∵抛物线上存在四个不同的“两重两新点” ∴直线和直线都与抛物线有两个不同的交点， ∵抛物线开口向下，且 ∴点A和点B是直线与抛物线的两个交点，点C和点D是直线与抛物线的两个交点； 联立 得， ∴ ， ∴ ； 联立 得， ∴ ， ∴ ； ∴ ； ∵，且， ∴； ∵，且， ∴， ∴， ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与一元一次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 考点05 实际问题与二次函数 1．B 2．【答案】（1）     （2）每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元     （3）当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把， ； (2) 小问详解： 当利润为w元时， ， 当元时，， ， ， ， 或， 每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元． (3) 小问详解： 由（2）可得， ， 当时，函数有最大值， 当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元． 3．【答案】（1）（，且x为整数）     （2）每件玩偶的销售价为35元     （3）当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元．      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和二次函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可。 (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， ∵当每件售价为55元时，每天的销售量为75件；当每件售价为50元时，每天的销售量为90件， ∴ ， 解得 ， 即y与x之间的函数关系式为，且x为整数）． (2) 小问详解： 根据题意得，， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每件玩偶的销售价为35元． (3) 小问详解： 由题意可得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，且x为整数， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元． 4．【答案】（1）；     （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．     （3）55元件      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 5．【答案】（1）A原料的单价为元，B原料的单价为3元     （2）每盒产品的成本为40元     （3）当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000 元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）根据（1）中原料和原料单价，结合生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元，即可解答． （3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定拋物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设原料单价为元，A原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ∴， 答：A原料单价为元，原料单价为元． (2) 小问详解： 解：∵A原料单价为元，原料单价为元， ∴每盒产品的成本是：（元）， 答：每盒产品的成本为40 元． (3) 小问详解： 解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元， 根据题意，得， ， ， ∴抛物线开口向下， ∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元． 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