专题05 一元一次方程（4大考点）（期中真题汇编，湖南专用）七年级数学上学期

**基本信息** 一元一次方程专题汇编，涵盖4大考点，精选湖南多地期中试题，基础题与综合题结合，新定义运算、数轴动点等情境突出数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|多题|从算式到方程、等式性质|结合方程解求参数，考查概念辨析| |填空|多题|解一元一次方程|含新定义运算（如“积差等数对”）| |解答|多题|实际问题与一元一次方程|数轴动点问题（如两点距离、相遇运动），层次分明|

专题05 一元一次方程（4大考点） 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．C 2．D 考点02 等式的性质 1．D 2．D 3．【答案】 【分析】 利用等式的性质，两边同除以即可求出的值． 【详解】 解： ， 等式两边同时除以，得， ． 考点03 解一元一次方程 1．C 2．A 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后未知数的系数化为1； （2）去括号，然后移项，再合并同类项，最后未知数的系数化为1． (1) 小问详解： 解：移项得 合并同类项得 系数化为1得． (2) 小问详解： 解：去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 4．【答案】5 【分析】 本题考查了数轴上数的分布特点，绝对值的定义，熟练掌握原点右边的点表示的数是正数是解答本题的关键．根据数轴上数的分布特点、绝对值的定义求解即可． 【详解】 解：∵数a在数轴上的对应点在原点右边， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程，整式加减中的无关型问题，先整理原式等于，再结合“不含项”，得，再解得，即可作答． 【详解】 解： ∵整式中不含项， ∴含项的系数必须为0，即． ∴ 解得． 故答案为：． 6．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练计算是解题的关键． （1）先去括号，再进行加减计算； （2）先算乘方和小括号，再算乘除，最后进行加减计算； （3）利用解一元一次方程的步骤进行解答即可； （4）对分子分母同乘以可得，再利用解一元一次方程的步骤进行解答即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 7．【答案】 【分析】 本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出的值． 先解第一个方程得到的值，再把的值代入第二个方程，解关于的方程； 【详解】 解：解方程 移项可得 通分得到 即 系数化为1得 因为两个方程的解相同，把代入 得到 去分母得 移项可得 合并同类项得 系数化为1得 故答案为：． 8．【答案】（1）① 是② 否③ 是     （2）     （3）      【分析】 （1）根据新定义法则进行计算，从而作出判断即可； （2）根据新定义法则列方程求解即可； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值即可． 本题属于新定义题型，考查解一元一次方程，整式的加减，化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项和去括号的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 是积差等数对 ② 不是积差等数对 ③ 是积差等数对 (2) 小问详解： 解：数对是“积差等数对” 解得： 的值为 (3) 小问详解： 解： ∵是“积差等数对”， , ∴原式 9．【答案】（1）②     （2）95或97     （3）16      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． (1) 小问详解： 解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ① 不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ② 是“景元方程”，符合题意， 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； (3) 小问详解： 解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 10．【答案】（1），     （2）     （3）0或1      【分析】 本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算． （1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分，，根据新定义的运算，得出关于m的方程，然后解方程即可； （3）分，，根据新定义的运算，得出关于n的方程，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解：因为，所以； 因为，所以． (2) 小问详解： 解：已知，分情况讨论： 当，， ∴，但不满足，舍去；                  当，， 所以，成立，所以．                  综上：． (3) 小问详解： 解：因为，所以，分情况讨论： 若，则，即， 又，所以，所以，即，无解；                  若，则， 对于整数，使得，只需n为非负整数，所以或．                  综上：n的值为0或1． 11．【答案】（1），，10     （2）或     （3）当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为；当时，      【分析】 本题主要考查列代数式、整式的加减运算、绝对值方程及数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式、整式的加减运算、绝对值方程及数轴上的动点问题是解题的关键； （1）根据绝对值的平方式的非负性得出结论即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分情况列出代数式即可． (1) 小问详解： 解：是最小的两位正整数， ， ∴， ∴，； 故答案为，，10； (2) 小问详解： 解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：或； (3) 小问详解： 解：由（1）可知，， 则：点从运动至需16秒，点从运动至需36秒，点从运动至需时间为：（秒），点从返回至需时间为秒， ①当时，即， ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ②当时， ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴； ③ 当，即， 此时点点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴； ④ 当时，； 综上所述：当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为；当时，； 12．【答案】（1）表示的数为2，B表示的数为     （2）1或5     （3）当时，，定值为0，当时， ，定值为，当时， ，定值为      【分析】 本题考查数轴上两点间的距离，解方程，代数式的值与某字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两动点速度之比为，运动的时间相同，则两动点运动路程为，由此可求得两点的运动路程，则题目可求； （2）设点 表示的数为，利用 可列方程，求解即可； （3）B 钢珠到达 处的钢板所需时间秒，分三种情况讨论当，，时，分别表示出，根据列式，让k的系数为零即可． (1) 小问详解： 解：∵两动点速度之比为，运动的时间相同， ∴两动点运动路程为， ∵两点相距3个单位长度， ∴A点运动路程为单位长度， B点运动路程为个单位长度， ∴ ∴表示的数为2，B表示的数为； (2) 小问详解： 解：设点 表示的数为，则： 由 得： 或 解得或， 故P点所表示的数为1或5； (3) 小问详解： 解：B 钢珠到达 处的钢板所需时间：秒， 当时， A处钢球所在的点表示为，B处钢球所在点表示为， ，        令 得 ， 此时（与 无关）； 当时， A处钢球所在的点表示为，B处钢球所在点表示为， ， 令 得 ， 此时 （与 无关）； 当时， ， 令 得 ， 此时（与 无关）； ∴存在常数 使表达式在特定时间段内为定值：当时，，定值为0，当时， ，定值为，当时， ，定值为． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．【答案】（1）     （2）；     （3）或     （4）不会随着t的改变而变化，的值恒等于6      【分析】 （1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据数轴上点的移动：左移减，右移加，列出代数式即可； （3）利用两点间的距离公式，列出方程求解即可； （4）分别求出，计算出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：6； (2) 小问详解： 由题意，得：点所表示的数，点所表示的数； 故答案为：，； (3) 小问详解： 由（2）知点所表示的数，点所表示的数， ∴， ∴， 解得：或； (4) 小问详解： 不会改变，理由如下： 由题意，，， ∴； ∴的值不随的变化而变化，为定值6． 【点睛】 本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 2．【答案】（1）4；或8．     （2）移动时间为0.5秒或4.5秒．     （3）点B表示的数为或或或．      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后说表示的数． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）设点P移动到点Q（Q表示的数是y）时，到点A、点B的距离之和是8，然后分3种情况列方程求解可得答案； （3）设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度，然后分4种情况求解即可． (1) 小问详解： ∵数轴上点A表示的数为－1，点B表示的数为3， ∴， ∴线段的长度为4； ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：4；或8． (2) 小问详解： 设点P移动到点Q（Q表示的数是y）时，到点A、点B的距离之和是8， 当时，，解得， 当时，，y无解， 当时，，解得， ∴，则移动时间为0.5秒，或，则移动时间为4.5秒， 综上可知：移动时间为0.5秒或4.5秒． (3) 小问详解： 设经过t秒， ①当点A、点B相向而行时， 经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为， 则， 解得或， 点B对应的数为或； ②当点A、点B同向向右运动时， 经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为， 则， 解得：或， 点B表示的数为或； ③当点A、点B同向向左运动时， 因为，点A的运动速度大于点B的运动速度，不能满足题意； ④当点A、点B反向运动时，不能满足题意． 综上：点B表示的数为或或或． 3．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）秒或秒      【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （3）分当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案； （4）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示和两点之间的距离是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：由题意得，， 当两只蚂蚁相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，则（秒）， 当两只蚂蚁相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时：则（秒）， 综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 4．【答案】（1）13     （2）M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5     （3）时，N对应的数为；时，N对应的数为18      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用∶ （1）根据非负数的性质可求出a，b的值，即可求解； （2）根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据题意得M返回A时，，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， ∴点A与点B之间的距离是； 故答案为：13 (2) 小问详解： 解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 解得：， 此时点P表示的数为； 综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5； (3) 小问详解： 解：根据题意得：M返回A时，， 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10， ∴， 解得：， 此时点N表示的数为； 当时，，则， 解得：， 此时，N对应的数为18； 综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18． 5．【答案】（1）点P表示的数为19，点Q表示的数为5；（2）当t为或时点P与点相距3个单位长度；（3）当t为或时，C为的“整十点” 【分析】 （1）先求出点A、B表示的数，再求出t=2时点P、Q运动的路程，即可求得点P、Q所表示的数； （2）先求出点P、Q表示的数，再根据PQ=3列出关于t的一元一次方程，解方程即可解答； （3）根据AC=10可求得点C表示的数，再分情况表示出点P表示的数，然后分0＜t≤、＜t≤5、5＜t≤8、8＜t≤10四种情况，根据点C为的“整十点”列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，点B表示的数为﹣1，点A表示的数为23， 当t=2时，AP=2×2=4，BQ=3×2=6， 则点P表示的数为23﹣4=19，点Q表示的数为﹣1+6=5； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为23﹣2×2﹣2t=19﹣2t，点Q表示的数为﹣1+3t， 由题意得：∣（19﹣2t）﹣（﹣1+3t）∣=3， 即20﹣5t=3或5t﹣20=3， 解得：t=或t=， 答：当t为或时点P与点相距3个单位长度； （3）依题意，点C表示的数是13，点P运动到C点需10÷2=5秒，返回到A点需10秒， ∴点P表示的数为 ， 点Q运动到C点需要14÷3=秒，运动到A点需24÷3=8秒, ∴点Q表示的数为﹣1+3t（0＜t≤8） 当0＜t≤时，由CQ+CP=10得：13﹣（﹣1+3t）+23﹣2t﹣13=24﹣5t=10， 解得：t=； 当＜t≤5时，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+23﹣2t﹣13=t﹣4=10， 解得：t=14＞5，不存在； 当5＜t≤8时，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+3+2t﹣13=5t﹣24=10， 解得：t=； 当8＜t≤10时，由CQ+CP=10得：10+3+2t﹣13=10， 解得：t=5＜8，不存在， 综上，当t为或时，C为的“整十点”． 【点睛】 本题考查数轴、一元一次方程的应用，解答的关键是会表示数轴上的数，找准等量关系，利用分类讨论思想列出对应的一元一次方程． 6．【答案】（1），     （2）①或10；② 存在常数，使得的值为定值，定值为      【分析】 （1）根据多项式的常数项与多项式的次数的定义即可求出答案； （2）① 分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时；点A、B在相遇时；依此可求t的值； ② 当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，可得，依此可求m的值． (1) 小问详解： 解：∵多项式的常数项是，次数是30． ∴，； (2) 小问详解： 解：① 如下图所示： 当时，，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为， ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； 下面分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得：； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得：； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ② 当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值，此时： ． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，根据多项式的定义，找出a，b的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．【答案】（1）；     （2）当或时，     （3）的最大值为秒      【分析】 （1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， (2) 小问详解： 解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， (3) 小问详解： 解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 8．【答案】（1）① 不是     ② 是     （2）或     （3）或或或或秒      【分析】 （1）① 根据“智慧点”的定义进行判断即可；② 根据“智慧点”的定义进行判断即可； （2）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，然后分两种情况讨论：① 当点在点、之间时；② 当点在点的左侧时；分别根据“智慧点”的定义进行求解即可； （3）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”，然后分四种情况讨论：① 当点为的“智慧点”时；② 当点为的“智慧点”时；③ 当点为的“智慧点”时；④ 当点为的“智慧点”时；分别求解即可；综合以上，即可得出的值． (1) 小问详解： 解：① 由题意得： ，， ， 点不是的“智慧点”， 故答案为：不是； ② 由题意得： ，， ， 点是的“智慧点”， 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 点是的“智慧点”， 当点在点、之间时，点到点的距离是到点的距离的倍，故此时点表示的数为：； 当点在点的左侧时，点到点的距离是到点的距离的倍， 设此时点表示的数为，则， 解得：， 故此时点表示的数为； 综上，点表示的数为或； (3) 小问详解： 解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：或， 或（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 综上所述，点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 答：点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”． 【点睛】 本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 9．【答案】（1）点C表示的数是5     （2）的值为或或     （3）      【分析】 本题考查非负数的性质以及数轴上点的对称关系，数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键 （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上点的对称关系求出折点C表示的数； （2）分当从A向C运动时，当从C向A运动时，当时再次从A向C运动三种情况分别讨论； （3）分别求出到，到，到的距离，得出规律即可． (1) 小问详解： 解：，，且， ，且． ，． 依题意，点C是点A和点B的中点， 点C表示的数是． (2) 小问详解： 解：第一次到C点时，用时：（秒） 当从A向C运动时，，速度为5个单位长度每秒， 则点对应的数是2时，，解得； 返回C点时用时：（秒）， 到点A时用时：（秒）， 当从C向A运动时，，经过两次C点，速度为（个）单位长度每秒， 则点对应的数是2时，，解得； 当时再次从A向C运动，速度为1个单位长度每秒， 到C点时用时（秒） 再次从A向C运动，用时， 则点对应的数是2时，，解得． 综上所述，的值为或或． (3) 小问详解： 解：正常数轴原来距离为的，现在距离为9∶ 原来距离为的，现在距离为， 原来距离为的，现在距离为 到距离为：； 到距离为：； 到距离为：； 和相比，差的数不含2，故不缺数； 和相比，差的数含两个数∶2和，故实际距离为． 当m，n为正整数，时，和的两个点之间的距离． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（4大考点） 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数． 【详解】 解：∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得：， ∴， ∴， ∴， 故被污染的常数是3． 故选：C． 2．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（     ） A. 1 B.  C. 1或0 D. 0 【答案】D 【分析】 本题考查根据一元一次方程的定义求参数，根据一元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，且， 解得， 故选：D． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）下列等式变形正确的是（     ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【分析】 本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】 解：、当时，由，等式两边同时除以，得；当时，等式两边同时除以无意义，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得到，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时乘以，得，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得，该选项等式变形正确； 故选：． 2．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）运用等式性质进行的变形，不正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式性质要求除数不能为零是解题的关键． 根据等式的基本性质求解即可． 【详解】 解：∵ 等式性质要求除数不能为零， ∴ 选项D中若，则除法无意义，变形不正确，符合题意； 选项A、B、C均符合等式性质（两边加、减、乘同一数或式子，等式仍成立），正确，不符合题意． 故选D． 3．（25-26学年七上·湖南湘潭江声实验学校·期中）如果，那么　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用等式的性质，两边同除以即可求出的值． 【详解】 解： ， 等式两边同时除以，得， ． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）规定新运算“*”：对于任意实数都有，例如：，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，根据“*”的定义，列方程并求解即可． 【详解】 解：由题意可得 ， 故选：C． 2．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（       ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断① 和② ，求出或时的判断③ ，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④ ；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】 解：由题意，得：，故① 正确； ，故② 错误； 当时，，， 当时：，；故③ 错误； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当时，，，此时； 时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④ 错误． 故选A. 3．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后未知数的系数化为1； （2）去括号，然后移项，再合并同类项，最后未知数的系数化为1． (1) 小问详解： 解：移项得 合并同类项得 系数化为1得． (2) 小问详解： 解：去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 4．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）数a在数轴上的对应点在原点的右侧，且，则　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了数轴上数的分布特点，绝对值的定义，熟练掌握原点右边的点表示的数是正数是解答本题的关键．根据数轴上数的分布特点、绝对值的定义求解即可． 【详解】 解：∵数a在数轴上的对应点在原点右边， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26学年七上·湖南郴州直学校·期中）当　　　　　时，关于、的整式中不含项． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程，整式加减中的无关型问题，先整理原式等于，再结合“不含项”，得，再解得，即可作答． 【详解】 解： ∵整式中不含项， ∴含项的系数必须为0，即． ∴ 解得． 故答案为：． 6．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）计算或解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练计算是解题的关键． （1）先去括号，再进行加减计算； （2）先算乘方和小括号，再算乘除，最后进行加减计算； （3）利用解一元一次方程的步骤进行解答即可； （4）对分子分母同乘以可得，再利用解一元一次方程的步骤进行解答即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出的值． 先解第一个方程得到的值，再把的值代入第二个方程，解关于的方程； 【详解】 解：解方程 移项可得 通分得到 即 系数化为1得 因为两个方程的解相同，把代入 得到 去分母得 移项可得 合并同类项得 系数化为1得 故答案为：． 8．（25-26学年七上·湖南益阳·期中）我们规定：使得成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为．例如：因为，，所以数对都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①___________（填“是”或者“否”）； ②____________（填“是”或者“否”）； ③____________（填“是”或者“否”）； （2）若数对是“积差等数对”，求的值； （3）若数对是“积差等数对”，求代数式的值． 【答案】（1）① 是② 否③ 是     （2）     （3）      【分析】 （1）根据新定义法则进行计算，从而作出判断即可； （2）根据新定义法则列方程求解即可； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值即可． 本题属于新定义题型，考查解一元一次方程，整式的加减，化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项和去括号的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 是积差等数对 ② 不是积差等数对 ③ 是积差等数对 (2) 小问详解： 解：数对是“积差等数对” 解得： 的值为 (3) 小问详解： 解： ∵是“积差等数对”， , ∴原式 9．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； （3）如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）②     （2）95或97     （3）16      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． (1) 小问详解： 解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ① 不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ② 是“景元方程”，符合题意， 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； (3) 小问详解： 解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 10．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． （1）计算：________；________； （2）如，求m的值； （3）在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 【答案】（1），     （2）     （3）0或1      【分析】 本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算． （1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分，，根据新定义的运算，得出关于m的方程，然后解方程即可； （3）分，，根据新定义的运算，得出关于n的方程，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解：因为，所以； 因为，所以． (2) 小问详解： 解：已知，分情况讨论： 当，， ∴，但不满足，舍去；                  当，， 所以，成立，所以．                  综上：． (3) 小问详解： 解：因为，所以，分情况讨论： 若，则，即， 又，所以，所以，即，无解；                  若，则， 对于整数，使得，只需n为非负整数，所以或．                  综上：n的值为0或1． 11．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）已知：是最小的两位正整数，且满足，请回答下列问题： （1）请直接写出的值：_____，_____，_____； （2）在数轴上、、所对应的点分别为、、，若点为该数轴上的一个动点，且满足，求此时点在数轴上对应的数． （3）在（1）（2）的条件下，若点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，当点运动到点时，点从出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回点，设点移动时间为秒，当点开始运动后，请用含的代数式表示两点间的距离． 【答案】（1），，10     （2）或     （3）当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为；当时，      【分析】 本题主要考查列代数式、整式的加减运算、绝对值方程及数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式、整式的加减运算、绝对值方程及数轴上的动点问题是解题的关键； （1）根据绝对值的平方式的非负性得出结论即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分情况列出代数式即可． (1) 小问详解： 解：是最小的两位正整数， ， ∴， ∴，； 故答案为，，10； (2) 小问详解： 解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：或； (3) 小问详解： 解：由（1）可知，， 则：点从运动至需16秒，点从运动至需36秒，点从运动至需时间为：（秒），点从返回至需时间为秒， ①当时，即， ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ②当时， ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴； ③ 当，即， 此时点点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴； ④ 当时，； 综上所述：当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为，当时，两点间的距离为；当时，； 12．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）距离是数学、天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．如图一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为． （1）求A，B两点在数轴上表示的数值； （2）若P点为数轴上一点，且满足，求P点表示的数； （3）若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个单位长度的速度向左运动，当它碰到数轴处的钢板时立即反弹，速度保持不变．忽略钢珠的大小，设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值并求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）表示的数为2，B表示的数为     （2）1或5     （3）当时，，定值为0，当时， ，定值为，当时， ，定值为      【分析】 本题考查数轴上两点间的距离，解方程，代数式的值与某字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两动点速度之比为，运动的时间相同，则两动点运动路程为，由此可求得两点的运动路程，则题目可求； （2）设点 表示的数为，利用 可列方程，求解即可； （3）B 钢珠到达 处的钢板所需时间秒，分三种情况讨论当，，时，分别表示出，根据列式，让k的系数为零即可． (1) 小问详解： 解：∵两动点速度之比为，运动的时间相同， ∴两动点运动路程为， ∵两点相距3个单位长度， ∴A点运动路程为单位长度， B点运动路程为个单位长度， ∴ ∴表示的数为2，B表示的数为； (2) 小问详解： 解：设点 表示的数为，则： 由 得： 或 解得或， 故P点所表示的数为1或5； (3) 小问详解： 解：B 钢珠到达 处的钢板所需时间：秒， 当时， A处钢球所在的点表示为，B处钢球所在点表示为， ，        令 得 ， 此时（与 无关）； 当时， A处钢球所在的点表示为，B处钢球所在点表示为， ， 令 得 ， 此时 （与 无关）； 当时， ， 令 得 ， 此时（与 无关）； ∴存在常数 使表达式在特定时间段内为定值：当时，，定值为0，当时， ，定值为，当时， ，定值为． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·湖南娄底·期中）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离为，在数轴上两点之间的距离．如图所示，点A所表示的数为．点B所表示的数为2．回答下列问题： （1）求A、B两点之间的距离                      ； （2）若动点、分别从A、B两点同时向左移动，点、的速度分别为每秒2个单位长度和每秒4个单位长度，设移动时间为t（）秒．t秒后，点所表示的数为                      ，点所表示的数为                      ．（用含t的代数式表示） （3）在运动过程中，当、间的距离时，求的值； （4）在、运动过程中，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1）     （2）；     （3）或     （4）不会随着t的改变而变化，的值恒等于6      【分析】 （1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据数轴上点的移动：左移减，右移加，列出代数式即可； （3）利用两点间的距离公式，列出方程求解即可； （4）分别求出，计算出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：6； (2) 小问详解： 由题意，得：点所表示的数，点所表示的数； 故答案为：，； (3) 小问详解： 由（2）知点所表示的数，点所表示的数， ∴， ∴， 解得：或； (4) 小问详解： 不会改变，理由如下： 由题意，，， ∴； ∴的值不随的变化而变化，为定值6． 【点睛】 本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 2．（25-26学年七上·湖南益阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微 ”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为3．    （1）线段AB的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； （2）若点P表示的数是，将点P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当经过多少秒时，点P到点A、点B的距离之和是8？ （3）若点A以每秒3个单位长度的速度运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？ 【答案】（1）4；或8．     （2）移动时间为0.5秒或4.5秒．     （3）点B表示的数为或或或．      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后说表示的数． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）设点P移动到点Q（Q表示的数是y）时，到点A、点B的距离之和是8，然后分3种情况列方程求解可得答案； （3）设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度，然后分4种情况求解即可． (1) 小问详解： ∵数轴上点A表示的数为－1，点B表示的数为3， ∴， ∴线段的长度为4； ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：4；或8． (2) 小问详解： 设点P移动到点Q（Q表示的数是y）时，到点A、点B的距离之和是8， 当时，，解得， 当时，，y无解， 当时，，解得， ∴，则移动时间为0.5秒，或，则移动时间为4.5秒， 综上可知：移动时间为0.5秒或4.5秒． (3) 小问详解： 设经过t秒， ①当点A、点B相向而行时， 经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为， 则， 解得或， 点B对应的数为或； ②当点A、点B同向向右运动时， 经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为， 则， 解得：或， 点B表示的数为或； ③当点A、点B同向向左运动时， 因为，点A的运动速度大于点B的运动速度，不能满足题意； ④当点A、点B反向运动时，不能满足题意． 综上：点B表示的数为或或或． 3．（25-26学年七上·湖南湘西土家族苗族自治州龙山县第一中学·期中）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示4和8两点之间的距离是______． （2）数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______． （3）若表示一个有理数，则的最小值______． （4）已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． 若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）秒或秒      【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （3）分当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案； （4）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示和两点之间的距离是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：由题意得，， 当两只蚂蚁相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，则（秒）， 当两只蚂蚁相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时：则（秒）， 综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 4．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒． （1）点A与点B之间的距离是          ； （2）求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数； （3）两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）13     （2）M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5     （3）时，N对应的数为；时，N对应的数为18      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用∶ （1）根据非负数的性质可求出a，b的值，即可求解； （2）根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据题意得M返回A时，，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， ∴点A与点B之间的距离是； 故答案为：13 (2) 小问详解： 解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 解得：， 此时点P表示的数为； 综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5； (3) 小问详解： 解：根据题意得：M返回A时，， 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10， ∴， 解得：， 此时点N表示的数为； 当时，，则， 解得：， 此时，N对应的数为18； 综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18． 5．（七上·湖南衡阳衡东一中教育集团衡东县第一中学·期中）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，且AB=24．若有一动点Р从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设Q运动时间为t秒． （1）若点Р和点Q同时出发，当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数； （2）若点P，Q分别从A，B两点出发，Р先出发2秒，然后Q才出发，问当t为何值点P与点相距3个单位长度； （3）若点О到点M，N两点的距离之和为10，则称点О是的“整十点”，设点C为线段AB上的点，且，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P向左运动到C点时返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动，求当t为何值时，点C为的“整十点”． 【答案】（1）点P表示的数为19，点Q表示的数为5；（2）当t为或时点P与点相距3个单位长度；（3）当t为或时，C为的“整十点” 【分析】 （1）先求出点A、B表示的数，再求出t=2时点P、Q运动的路程，即可求得点P、Q所表示的数； （2）先求出点P、Q表示的数，再根据PQ=3列出关于t的一元一次方程，解方程即可解答； （3）根据AC=10可求得点C表示的数，再分情况表示出点P表示的数，然后分0＜t≤、＜t≤5、5＜t≤8、8＜t≤10四种情况，根据点C为的“整十点”列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，点B表示的数为﹣1，点A表示的数为23， 当t=2时，AP=2×2=4，BQ=3×2=6， 则点P表示的数为23﹣4=19，点Q表示的数为﹣1+6=5； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为23﹣2×2﹣2t=19﹣2t，点Q表示的数为﹣1+3t， 由题意得：∣（19﹣2t）﹣（﹣1+3t）∣=3， 即20﹣5t=3或5t﹣20=3， 解得：t=或t=， 答：当t为或时点P与点相距3个单位长度； （3）依题意，点C表示的数是13，点P运动到C点需10÷2=5秒，返回到A点需10秒， ∴点P表示的数为 ， 点Q运动到C点需要14÷3=秒，运动到A点需24÷3=8秒, ∴点Q表示的数为﹣1+3t（0＜t≤8） 当0＜t≤时，由CQ+CP=10得：13﹣（﹣1+3t）+23﹣2t﹣13=24﹣5t=10， 解得：t=； 当＜t≤5时，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+23﹣2t﹣13=t﹣4=10， 解得：t=14＞5，不存在； 当5＜t≤8时，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+3+2t﹣13=5t﹣24=10， 解得：t=； 当8＜t≤10时，由CQ+CP=10得：10+3+2t﹣13=10， 解得：t=5＜8，不存在， 综上，当t为或时，C为的“整十点”． 【点睛】 本题考查数轴、一元一次方程的应用，解答的关键是会表示数轴上的数，找准等量关系，利用分类讨论思想列出对应的一元一次方程． 6．（25-26学年七上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点与点之间的距离记作． （1）求的值； （2）动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，问是否存在常数，使得的值为定值？若存在，求出的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】（1），     （2）①或10；② 存在常数，使得的值为定值，定值为      【分析】 （1）根据多项式的常数项与多项式的次数的定义即可求出答案； （2）① 分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时；点A、B在相遇时；依此可求t的值； ② 当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，可得，依此可求m的值． (1) 小问详解： 解：∵多项式的常数项是，次数是30． ∴，； (2) 小问详解： 解：① 如下图所示： 当时，，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为， ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； 下面分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得：； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得：； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ② 当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值，此时： ． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，根据多项式的定义，找出a，b的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． （1）直接写出，的值：______；______； （2）若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； （3）我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】（1）；     （2）当或时，     （3）的最大值为秒      【分析】 （1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， (2) 小问详解： 解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， (3) 小问详解： 解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 8．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点O到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． （1）判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是（       ）     ②点表示的数是2（       ） （2）若点是的“智慧点”，求点表示的数； （3）现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 【答案】（1）① 不是     ② 是     （2）或     （3）或或或或秒      【分析】 （1）① 根据“智慧点”的定义进行判断即可；② 根据“智慧点”的定义进行判断即可； （2）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，然后分两种情况讨论：① 当点在点、之间时；② 当点在点的左侧时；分别根据“智慧点”的定义进行求解即可； （3）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”，然后分四种情况讨论：① 当点为的“智慧点”时；② 当点为的“智慧点”时；③ 当点为的“智慧点”时；④ 当点为的“智慧点”时；分别求解即可；综合以上，即可得出的值． (1) 小问详解： 解：① 由题意得： ，， ， 点不是的“智慧点”， 故答案为：不是； ② 由题意得： ，， ， 点是的“智慧点”， 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 点是的“智慧点”， 当点在点、之间时，点到点的距离是到点的距离的倍，故此时点表示的数为：； 当点在点的左侧时，点到点的距离是到点的距离的倍， 设此时点表示的数为，则， 解得：， 故此时点表示的数为； 综上，点表示的数为或； (3) 小问详解： 解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：或， 或（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 综上所述，点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 答：点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”． 【点睛】 本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 9．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前3章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． （1）小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点为折点对折，使点和点重合．已知点表示的数分别为．若满足，求折点表示的数； （2）小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在，两点各添加一块挡板，在点添加一块减速板，动点在，之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点从点出发，以5个单位长度每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒．当点对应的数是2时，求的值； （3）小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字的整数，制作了一个“缺数字的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字．例如，当时，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，，，，，，，，，．已知正整数满足，且某“缺数字的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含的代数式表示） 【答案】（1）点C表示的数是5     （2）的值为或或     （3）      【分析】 本题考查非负数的性质以及数轴上点的对称关系，数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键 （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据数轴上点的对称关系求出折点C表示的数； （2）分当从A向C运动时，当从C向A运动时，当时再次从A向C运动三种情况分别讨论； （3）分别求出到，到，到的距离，得出规律即可． (1) 小问详解： 解：，，且， ，且． ，． 依题意，点C是点A和点B的中点， 点C表示的数是． (2) 小问详解： 解：第一次到C点时，用时：（秒） 当从A向C运动时，，速度为5个单位长度每秒， 则点对应的数是2时，，解得； 返回C点时用时：（秒）， 到点A时用时：（秒）， 当从C向A运动时，，经过两次C点，速度为（个）单位长度每秒， 则点对应的数是2时，，解得； 当时再次从A向C运动，速度为1个单位长度每秒， 到C点时用时（秒） 再次从A向C运动，用时， 则点对应的数是2时，，解得． 综上所述，的值为或或． (3) 小问详解： 解：正常数轴原来距离为的，现在距离为9∶ 原来距离为的，现在距离为， 原来距离为的，现在距离为 到距离为：； 到距离为：； 到距离为：； 和相比，差的数不含2，故不缺数； 和相比，差的数含两个数∶2和，故实际距离为． 当m，n为正整数，时，和的两个点之间的距离． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（4大考点） 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（     ） A. 1 B.  C. 1或0 D. 0 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）下列等式变形正确的是（     ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 2．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）运用等式性质进行的变形，不正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3．（25-26学年七上·湖南湘潭江声实验学校·期中）如果，那么　　　　　　　　． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）规定新运算“*”：对于任意实数都有，例如：，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 2．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（       ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）解方程： （1）； （2）． 4．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）数a在数轴上的对应点在原点的右侧，且，则　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·湖南郴州直学校·期中）当　　　　　时，关于、的整式中不含项． 6．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）计算或解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 7．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为　　　　　　　　． 8．（25-26学年七上·湖南益阳·期中）我们规定：使得成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为．例如：因为，，所以数对都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①___________（填“是”或者“否”）； ②____________（填“是”或者“否”）； ③____________（填“是”或者“否”）； （2）若数对是“积差等数对”，求的值； （3）若数对是“积差等数对”，求代数式的值． 9．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）新定义：若关于x的一元一次方程的解是，一个关于y的方程有解满足，则称关于y的方程为这个一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； （3）如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 10．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． （1）计算：________；________； （2）如，求m的值； （3）在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 11．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）已知：是最小的两位正整数，且满足，请回答下列问题： （1）请直接写出的值：_____，_____，_____； （2）在数轴上、、所对应的点分别为、、，若点为该数轴上的一个动点，且满足，求此时点在数轴上对应的数． （3）在（1）（2）的条件下，若点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，当点运动到点时，点从出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回点，设点移动时间为秒，当点开始运动后，请用含的代数式表示两点间的距离． 12．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）距离是数学、天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．如图一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为． （1）求A，B两点在数轴上表示的数值； （2）若P点为数轴上一点，且满足，求P点表示的数； （3）若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个单位长度的速度向左运动，当它碰到数轴处的钢板时立即反弹，速度保持不变．忽略钢珠的大小，设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值并求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·湖南娄底·期中）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离为，在数轴上两点之间的距离．如图所示，点A所表示的数为．点B所表示的数为2．回答下列问题： （1）求A、B两点之间的距离                      ； （2）若动点、分别从A、B两点同时向左移动，点、的速度分别为每秒2个单位长度和每秒4个单位长度，设移动时间为t（）秒．t秒后，点所表示的数为                      ，点所表示的数为                      ．（用含t的代数式表示） （3）在运动过程中，当、间的距离时，求的值； （4）在、运动过程中，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 2．（25-26学年七上·湖南益阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微 ”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为3．    （1）线段AB的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； （2）若点P表示的数是，将点P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当经过多少秒时，点P到点A、点B的距离之和是8？ （3）若点A以每秒3个单位长度的速度运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？ 3．（25-26学年七上·湖南湘西土家族苗族自治州龙山县第一中学·期中）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示4和8两点之间的距离是______． （2）数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______． （3）若表示一个有理数，则的最小值______． （4）已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． 若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 4．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒． （1）点A与点B之间的距离是          ； （2）求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数； （3）两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 5．（七上·湖南衡阳衡东一中教育集团衡东县第一中学·期中）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，且AB=24．若有一动点Р从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设Q运动时间为t秒． （1）若点Р和点Q同时出发，当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数； （2）若点P，Q分别从A，B两点出发，Р先出发2秒，然后Q才出发，问当t为何值点P与点相距3个单位长度； （3）若点О到点M，N两点的距离之和为10，则称点О是的“整十点”，设点C为线段AB上的点，且，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P向左运动到C点时返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动，求当t为何值时，点C为的“整十点”． 6．（25-26学年七上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点与点之间的距离记作． （1）求的值； （2）动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，问是否存在常数，使得的值为定值？若存在，求出的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 7．（25-26学年七上·湖南怀化·期中）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． （1）直接写出，的值：______；______； （2）若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； （3）我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 8．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点O到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． （1）判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是（       ）     ②点表示的数是2（       ） （2）若点是的“智慧点”，求点表示的数； （3）现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 9．（25-26学年七上·湖南长沙·期中）数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前3章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴． （1）小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点为折点对折，使点和点重合．已知点表示的数分别为．若满足，求折点表示的数； （2）小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在，两点各添加一块挡板，在点添加一块减速板，动点在，之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点从点出发，以5个单位长度每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒．当点对应的数是2时，求的值； （3）小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字的整数，制作了一个“缺数字的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字．例如，当时，自原点向右，距离原点个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，，，，，，，，，．已知正整数满足，且某“缺数字的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含的代数式表示） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $