专题01 一元二次方程（6大考点）（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 湖南多地期中试题汇编，系统覆盖一元二次方程6大核心考点，注重基础巩固与实际应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题量，全考点覆盖|概念辨析、四种解法（配方法/公式法/因式分解法）、根与系数关系、实际应用（增长率/利润问题）|湖南各地期中真题，基础题与综合题结合，融入生活情境（如销售利润、矩形面积），训练数学思维与应用能力|

专题01 一元二次方程（6大考点） 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．A 9．B 10．【答案】-2 【分析】 根据一元二次方程的定义得到：=2且m-2≠0，由此可以求得m的值． 【详解】 解：∵关于x的方程，是一元二次方程， ∴=2且m-2≠0， 解得m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不等于零． 11．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知根代入方程求解即可得的值． 【详解】 解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 12．【答案】2 【分析】 将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】 解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13．【答案】2026 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再代入所求表达式即可求解． 【详解】 解：因为是一元二次方程的一个实数根，所以满足方程，即，则有， ∴； 故答案为2026． 14．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．把代入求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．【答案】 【详解】试题解析：方程整理得： 故答案为 点睛：一元二次方程的一般形式： 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，再整体代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得，． 故答案为：． 18．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（为常数）．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】 解：一元二次方程的常数项是1， 故答案为：1． 19．【答案】2023 【分析】 先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：2023． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 20．【答案】1 【分析】 根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】 解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 考点02 配方法 1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C 11．B 12．A 13．D 14．D 15．【答案】； 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】 解： ＝ ＝， 当，时， 原式． 16．【答案】11 【分析】 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【详解】 ． ∴． 故答案为：11． 17．【答案】（1），，     （2），     （3），      【分析】 （1）根据虚数的计算规则进行计算即可； （2）根据虚数的计算规则，把方程两边同时开平方即可求出方程的解； （3）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ； ； ； (2) 小问详解： 解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； (3) 小问详解： 解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 18．【答案】0 【分析】 本题主要考查了代数式求值、完全平方公式、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先将化成，然后将代入计算即可． 【详解】 解： 当， 原式 ． 故答案为：0． 19．【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案； （）根据题意得出的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 20．【答案】 【分析】 先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 考点03 公式法 1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．【答案】（1） 原方程总有两个不相等的实数根，中，，， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．     （2）的值或      【分析】 （1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出，的值，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：中，，，且是原方程的两根，， ∴，， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， 整理得，， 解方程得，，， ∴的值或． 【点睛】 本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键． 10．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 11．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况，利用根的判别式求即可． 【详解】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 12．【答案】1 【分析】 由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 13．【答案】， 【分析】 由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解． 【详解】 解：对于方程，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即方程的解为，． 14．【答案】（1）x1＝，x2＝（2）m＜ 【分析】（1）令m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可． 【详解】（1）当m=0时，方程为x2+x﹣1=0． △=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x，∴x1，x2． （2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac． 15．【答案】且 【分析】 本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义．根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可． 【详解】 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围是且． 故答案为：且． 16．【答案】（1） 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 17．【答案】（1）2     （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． (1) 小问详解： 解：将代入方程可得： ，解得： (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）；5；2 （2）不能，理由：当时，直线为， 联立与， 得， 即， 判别式， 无交点，所以不能围出； 通过图象可得：函数 与无交点，所以不能围出； （3）， 【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）联立解析式解方程组得到另一个交点坐标； （2）联立一次函数和反比例函数的解析式组成方程组，方程组无解所以不能围出； （3）两个图象有唯一交点，即联立一次函数和反比例函数的解析式，消元后的一元二方程有两个相等实根，根据求解即可． 【详解】 解：（1）将反比例函数与直线联立得： ， 整理得：， 解得：，， 另一个交点坐标为， 为米，为米， 米，米． 故答案为：，5，2； （2）略 （3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得， 即， 判别式， 解得（舍去）， 此时， ∴交点坐标为． 考点04 因式分解法 1．A 2．B 3．【答案】， 【详解】 解：由方程可得， 解得， ． 4．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 (1) 小问详解： 解：， ， ，； (2) 小问详解： ， ， ，． 5．【答案】 【分析】 先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】 解： ． 故答案为：． 7．【答案】二 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程．第二步直接除以代数式，但可能为零，违背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：正确解法应从第一步开始， 移项得， 再因式分解得， 由因式分解法可得或， 解得或， 第二步直接除以时，未考虑的情况，导致丢失根，违背了方程变形的基本法则， 即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则 故答案为：二 8．【答案】 【分析】 本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，提取公因式即可分解． 【详解】 解：， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．直接利用因式分解法求解方程即可． 【详解】 解： 或 解得：． 10．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或 解得，． 11．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12．【答案】2或8 【分析】 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：2或8． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握分解因式是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 则， 解得． 14．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）先移项，然后利用直接开平方法即可得到答案． （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，． 15．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了根的判别式，解一元二次方程． （1）根据根的判别式得到，解不等式即可； （2）将代入求解即可． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 实数的取值范围是； (2) 小问详解： 解：当时，原方程为， ， ，． 16．【答案】12 【分析】 解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 【详解】 ∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）移项后用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ， (2) 小问详解： ， ， 或， ． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法求解方程即可； （2）利用因式分解法求解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴． 19．【答案】 【分析】 原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 解得 ，； (2) 小问详解： 解： ， ， ，． 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 分解因式得：， 即或， ∴，． (2) 小问详解： 解：原方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， ∴，． 22．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 23．【答案】 【分析】 根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】 解：原式 ． 24．【答案】（1） 解：， ， 无论取何值，此方程总有两个不相等得实根；     （2）7     （3）6      【分析】 （1）计算判别式，即可得证； （2）把代入方程，求出n，然后根据三角形三边的关系判断三角形的存在性，最后求出的长即可； （3）根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入方程，得：， 解得：或， ，的长是关于的方程的两个根， ， 当时，， 不构成三角形，不符合题意，舍去； 当时，， 构成三角形，符合题意， ； (3) 小问详解： 解：的长是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 是以为斜边的直角三角形，且， ， ， ， （舍） ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 25．【答案】4 【分析】 本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】 解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 26．【答案】（1），      （2） ，       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，， ∴ ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ，， ∴，． 27．【答案】（1），；     （2），；      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用因式分解法法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 28．【答案】或 【分析】 本题考查新定义，解一元二次方程． 根据新定义，可得方程，解一元二次方程即可． 【详解】 解：∵， ， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得， 故答案为：或． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或． 解得，． (2) 小问详解： 解： ，，． ． ． ，． 30．【答案】 【分析】 提取公因式，分解因式即可． 本题考查了因式分解，正确选择分解方法是解题的关键． 【详解】 解： 故答案为：． 31．【答案】（1）证明：∵m≠0，=m2﹣4m+4=（m﹣2）2， 而（m﹣2）2≥0，即， ∴方程总有两个实数根； （2）正整数m的值为1或2 【分析】 （1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 【详解】 （1）略 （2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=， 当m为正整数1或2时，x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．C 3．C 4．A 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系列出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】 解：根据题意得，， ∴， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，一元二次方程的两根之积为，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，； 故答案为： 7．【答案】 【分析】 本题考查分式方程的解法，通过去分母转化为整式方程求解，并需验根确保分母不为零． 将分式方程转化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】 解：原方程为， 去分母得：， 解得， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为： 8．【答案】 【分析】 本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 9．【答案】（1） 证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵方程两根均为负数， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴． 10．【答案】2024 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数，已知式子的值求代数式的值．根据根与系数的关系，求出和的值，再代入代数式，进行化简计算，即可作答． 【详解】 ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：2024． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根     （2）方程的另一个根为5，m的值为      【分析】 (1)求出的值，再根据根的判别式判断即可； (2)把代入方程, 求出m的值, 再设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出a的值即可. (1) 小问详解： 解：因为关于x的一元二次方程 ∴根的判别式， 因为， 所以， ∴方程有两个不相等的实数根. (2) 小问详解： 设方程的另一个根为a， 由根与系数的关系得:， 解得:， ， 方程的另一个根为5，m的值为. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键. 13．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，由m，n分别为一元二次方程的两个实数根，得出，即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程中根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，，是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后代入所求表达式． 【详解】 解：∵方程 ，其中 ，，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查根的判别式和根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，先求出的值，再根据根与系数的关系和整体代入法，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵方程有实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： 由题意，， ∴， ∴， ∴． 16．【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． (1) 小问详解： 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系以及韦达定理的内容是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，结合韦达定理中两根之积的符号确定的取值范围； （2）根据根的符号特征对进行变形，再结合韦达定理和完全平方公式建立关于的方程，进而求解． (1) 小问详解： 关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． (2) 小问详解： ， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 18．【答案】-2 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系的值，再进行分式加法运算解答即可． 【详解】 解：由一元二次方程根与系数关系 ∴ ∴ 故答案为：-2 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数关系和分式加法运算，解答关键是按照相关法则进行计算． 19．【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】 解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 20．【答案】（1）；     （2）；     （3）此方程的表达式为．      【分析】 （）根据“倍根方程”的定义，找出方程① 、② 中K的值，由此即可得出结论； （）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； （）根据方程是“倍根方程”即可得出之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出之间的关系，进而求出的值即可； 本题考查了解二元一次方程组，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：在方程中，， 在方程中，， ∴是倍根方程的是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：整理得：， ∵是倍根方程， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵是倍根方程， ∴， 整理得：， ∵在一次函数的图象上， ∴， 联立 ， 解得： ， ∴此方程的表达式为． 21．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可； （2）先由一元二次方程根与系数的关系得到， ，代入求值即可； （3）由题意是方程的两根，则，将所求代数式变形，先由求出的值，代入即可求解． (1) 小问详解： 解：一元二次方程的两个根为， 则，． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴是方程的两根， ∴ ， ， ∴， 则． 22．【答案】（1）；；     （2）；     （3）-1       【分析】 （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． (1) 小问详解： ，； 故答案为；； (2) 小问详解： ，，且， 、可看作方程， ，， ； (3) 小问详解： 把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D 11．D 12．B 13．【答案】（1）5平方米；3平方米   （2）10520元 【分析】 （1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可； （2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可． 【详解】 解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米 由题意得 解得， ∴，经检验为分式方程的解 ∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米 （2）设建类摊位个，则类个，费用为 ∵ ∴ ， ∵110>0， ∴z随着a的增大而增大， 又∵a为整数， ∴当时z有最大值，此时 ∴建造90个摊位的最大费用为10520元 【点睛】 本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键． 14．【答案】（1）车棚的长为11米，宽为10米     （2）小路的宽为米      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设与墙垂直的一面为米，根据另外三边用总长为的木板墙．与墙平行的一边上开一个宽的门，得出另一面则为米，再结合面积为的矩形车棚，进行列式计算，即可作答． （2）先设小路的宽为米，再根据停车区的面积为，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：设与墙垂直的一面为米， 依题意，另一面则为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为11米，宽为10米． (2) 小问详解： 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 15．【答案】 【分析】 设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】 设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 16．【答案】（1），     （2）1      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 17．【答案】 【分析】 可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】 解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 18．【答案】（1）     （2）20万元      【分析】 本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； (2) 小问详解： 解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 19．【答案】（1）；     （2）每份商品涨价2元时，销售这款产品每天能实现420元的利润      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，解方程即可． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售这款产品每天能实现420元的利润，列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每份蕨根糍粑涨价元，则每件盈利元，每天可销售件； (2) 小问详解： 解：依题意得， 化简为， 解得或 为减少库存，应选择涨价少的，即， 答：每份商品涨价2元时，销售这款产品每天能实现420元的利润． 20．【答案】（1）     （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 21．【答案】（1）     （2）售价为60元      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得 ， ∴， (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 22．【答案】（1）1350     （2）10      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． (1) 小问详解： 解：（个）； （元）． 答：每天获利1350元； (2) 小问详解： 解：设每个模型降价x元，根据题意得， ， 整理得：， ∴，， ∵每个模型盈利不少于35元, ∴, ∴， ∴，即每个模型应降价10元． 答：每个模型应降价10元． 23．【答案】20 【分析】 本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长． 【详解】 解：， ， 或， ， ① 三角形的三边是5，7，2， ∵， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ② 三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 24．【答案】（1）     （2）2元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元．进行列方程组，解得，即可作答． （2）先分析，得出销售的苹果与梨子的质量，再设当总利润达到980元时苹果降价了元，根据总利润公式进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元 ∴得 ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：∵水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为， ∴梨子的质量为， 则苹果的质量为， 依题意，设总利润达到980元时苹果降价了元， 由（1）得， ∵保持梨子的销量、售价都不变 ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去）， ∴当总利润达到980元时苹果降价了元． 25．【答案】（1）平均增长率为      （2）每杯售价定为元时，可实现每天元的利润额      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率问题和利润问题．解题关键是根据题意建立方程模型，增长率问题利用“初始量最终量”的公式，利润问题利用“利润=每杯利润销量”的关系．易错点是增长率问题忽略对解的合理性检验（增长率为正），利润问题忽略“让顾客获得最大优惠”的实际要求（选择较低售价）． （1）设平均增长率为x，根据2024年游客量10万人次和2026年预计14.4万人次，代入增长率公式，求解后根据增长率的实际意义确定． （2）设每杯售价为y元，每杯利润为元，销量为杯，根据利润公式建立方程，求解后结合“让顾客获得最大优惠”的要求，选择较低售价元． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，根据题意可得： 因为增长率，所以，解得． 答：平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设每杯售价定为y元，每杯利润为元，销量为杯． 解得，． 因为要让顾客获得最大优惠，所以选择较低售价，即元． 答：每杯售价定为20元，可实现每天 元的利润额． 26．【答案】（1）      （2） 7元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 27．【答案】（1）60     （2）34元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用日销售量=20＋10×降低的价格，即可求出结论． （2）设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出每件售价． (1) 小问详解： ， 答：若每件售价为52元，则日销量是60件． (2) 小问详解： 设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定元，这样日销量大． 答：每件售价应定为34元． 28．【答案】2 【分析】 设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可． 【详解】 解：设人行通道的宽度为xm， 由题意得（30-3x）（24-2x）=480， 解得x1=2，x2=20（舍去）， ∴人行通道的宽度为2m， 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 29．【答案】（1）     （2）8元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 30．【答案】任务1：件，件；任务2：甲店每天的盈利为1050元，乙店每天的盈利为1040元；任务3：11元 【分析】 任务1，由题意即可得出结论； 任务2，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：任务1，根据题意得： 甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件， 故答案为：件，件； 任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）； 当时，乙店每天的盈利为（元）； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．【答案】（1）     （2）5元      【分析】 此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． (1) 小问详解： 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 32．【答案】（1）能，秒     （2）秒或秒      【分析】 本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 (1) 小问详解： 解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； (2) 小问详解： 解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（6大考点） 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（       ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，是解题的关键． 根据一元二次方程一般式的各项系数，即可得到答案． 【详解】 解：一元二次方程的化为一般式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是：3，，， 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）下列选项中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】 解：A项：方程中含有两个未知数a和c，不符合“一元”条件，不符合题意； B项：方程中未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合题意； C项：方程中含有两个未知数a和b，不符合“一元”条件，不符合题意； D项：方程中仅含有一个未知数b，且b的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 故答案为：D． 3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）关于的方程是一元二次方程，则（       ）． A. 或 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义直接解答即可． 【详解】 由题意得， ， 故选：． 【点睛】 此题考查了一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 4．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程即可判断． 【详解】 解：A．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； B．含有两个未知数，不是一元二次方程； C．是分式方程，不是一元二次方程； D．未知数的最高次数为3，不是一元二次方程； 故选：A． 5．（25-26学年九上·湖南常德·期中）一元二次方程的二次项系数为2时，其一次项系数为（     ） A.  B. 3 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项化为一般形式后确定各项系数．将方程化为一般形式 后，直接读取一次项系数． 【详解】 解：∵ 原方程为， 移项得， ∴ 一次项系数为； 故选：A． 6．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）下列选项中的方程，是一元二次方程的为（　　） A. x+＝1 B. x2+2y﹣3＝0 C. 3x2＝1 D. x3﹣2x+1＝0 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 7．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义分析即可，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】 ∵是一元二次方程， ∴ 故选B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 8．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】 ，符合条件，故A选项正确； ，为分式方程，故B选项错误； ，含有两个未知数，故C选项错误； ，x的最高次数为1，故D选项错误； 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 9．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（     ） A. 2 B.  C. 2或 D. 0 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 【详解】 解：由题意得： ，解得， 故选：B． 【点睛】 本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 10．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据一元二次方程的定义得到：=2且m-2≠0，由此可以求得m的值． 【详解】 解：∵关于x的方程，是一元二次方程， ∴=2且m-2≠0， 解得m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不等于零． 11．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）关于的一元二次方程的一个根为3，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知根代入方程求解即可得的值． 【详解】 解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是　　　　　． 【答案】2 【分析】 将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】 解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是　　　　　． 【答案】2026 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再代入所求表达式即可求解． 【详解】 解：因为是一元二次方程的一个实数根，所以满足方程，即，则有， ∴； 故答案为2026． 14．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．把代入求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）将方程化为一般形式为　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】试题解析：方程整理得： 故答案为 点睛：一元二次方程的一般形式： 16．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）若是方程的根，则式子的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，再整体代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得，． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程的常数项是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（为常数）．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】 解：一元二次方程的常数项是1， 故答案为：1． 19．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）若m是方程的一个根，则的值为　　　　　． 【答案】2023 【分析】 先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：2023． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 20．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】 解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】 解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【详解】 ， 则， ∴． 故选C． 【点睛】 本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了用直接开平方法求一元二次方程的解，熟练掌握用直接开平方法求一元二次方程的解是关键．用直接开平方法求两个解即可． 【详解】 解：， ， ，． 故选：C． 4．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程的根是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过直接开平方法求解方程即可． 【详解】 解：， ， ． 故选：B． 5．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）一元二次方程配方后，结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 移项，得， 方程两边同时加上4，得， 配方得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键． 6．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 两边同时加一次项系数的一半的平方，使等式左边可以进行配方，即可得出答案． 【详解】 故选A 【点睛】 考查用配方法解一元二次方程，步骤： ① 把原方程化为一般形式； ② 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤ 进一步通过直接开平方法求出方程的解． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（       ） A. －1 B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 8．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】 解：， 移项得， ， ， 故选：D． 9．（25-26学年九上·湖南常德·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】 解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 10．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列说法中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据整式的乘法运算法则，整式的减法运算法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法计算即可解答． 【详解】 A、，该选项不符合题意． B、，该选项符合题意． C、，该选项不符合题意． D、，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了整式的乘法运算，整式的减法运算，完全平方公式以及同底数幂的乘法． 12．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程，配方后可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．使用配方法将一元二次方程变形为完全平方形式． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】 解：∵，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，故C不符合题意； ∵，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键． 14．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（       ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【分析】 本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴， ∴， ， 解得： ， ， ∵， ∴， 当时，能取的最小值是2024， 故选：． 15．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：其中，． 【答案】； 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】 解： ＝ ＝， 当，时， 原式． 16．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）把方程化成的形式，则m的值是　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【详解】 ． ∴． 故答案为：11． 17．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： （1）填空：______，______，______， （2）在复数范围内解方程：； （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1），，     （2），     （3），      【分析】 （1）根据虚数的计算规则进行计算即可； （2）根据虚数的计算规则，把方程两边同时开平方即可求出方程的解； （3）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ； ； ； (2) 小问详解： 解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； (3) 小问详解： 解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 18．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）若，则代数式　　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查了代数式求值、完全平方公式、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先将化成，然后将代入计算即可． 【详解】 解： 当， 原式 ． 故答案为：0． 19．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：               ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案； （）根据题意得出的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 20．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）方程的根的情况为（     ） A. 没有实数根 B. 有个相等的实数根 C. 有个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式直接判断即可． 【详解】 解：， 方程没有实数根． 故选：A ． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 计算一元二次方程根的判别式，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：掌握根的判别式与一元二次方程的根的关系． 【详解】 解：由，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根，选项符合题意， 故选：． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 16 【答案】C 【分析】 根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】 ∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，据此得到，再结合选项选择． 【详解】 解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意， 故选：D． 5．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，O是三条角平分线的交点，过点O作，分别交于D，E两点，设则关于x的方程的说法正确的是（       ） A. 一定有两个相等实数根 B. 一定有两个不相等实数根 C. 有两个实数根 D. 无实数根 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，再结合平行线的性质，以及角的等量代换，得，则，然后整理，即可作答． 【详解】 解：∵O是三条角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 则， 即， ∵， ∴ ， ∴关于x的方程有两个实数根， 故选：C． 6．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程判别式．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时，必须满足． 【详解】 解：由题意得：，， 解得：，， ∴m的取值范围是且， 故选：D． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程x2﹣4x＝5的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 首先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】 解：原方程化为x2﹣4x﹣5＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣5）＝36＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac，当判别式大于0时，有两个不同的实数根，当判别式小于0时没有实数根，当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根． 9．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 原方程总有两个不相等的实数根，中，，， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．     （2）的值或      【分析】 （1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出，的值，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：中，，，且是原方程的两根，， ∴，， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， 整理得，， 解方程得，，， ∴的值或． 【点睛】 本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键． 10．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况，利用根的判别式求即可． 【详解】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 13．（25-26学年九上·湖南常德·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解． 【详解】 解：对于方程，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即方程的解为，． 14．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （1）当m＝0时，求方程的实数根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1）x1＝，x2＝（2）m＜ 【分析】（1）令m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可． 【详解】（1）当m=0时，方程为x2+x﹣1=0． △=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x，∴x1，x2． （2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac． 15．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义．根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可． 【详解】 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围是且． 故答案为：且． 16．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 17．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2     （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． (1) 小问详解： 解：将代入方程可得： ，解得： (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． 【答案】（1）；5；2 （2）不能，理由：当时，直线为， 联立与， 得， 即， 判别式， 无交点，所以不能围出； 通过图象可得：函数 与无交点，所以不能围出； （3）， 【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）联立解析式解方程组得到另一个交点坐标； （2）联立一次函数和反比例函数的解析式组成方程组，方程组无解所以不能围出； （3）两个图象有唯一交点，即联立一次函数和反比例函数的解析式，消元后的一元二方程有两个相等实根，根据求解即可． 【详解】 解：（1）将反比例函数与直线联立得： ， 整理得：， 解得：，， 另一个交点坐标为， 为米，为米， 米，米． 故答案为：，5，2； （2）略 （3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得， 即， 判别式， 解得（舍去）， 此时， ∴交点坐标为． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（            ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 18或20 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得，， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即6＜第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 综上所述，只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】 ， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解：由方程可得， 解得， ． 4．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 (1) 小问详解： 解：， ， ，； (2) 小问详解： ， ， ，． 5．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）因式分解：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）因式分解：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】 解： ． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第　　　　　　　　　　步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】二 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程．第二步直接除以代数式，但可能为零，违背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：正确解法应从第一步开始， 移项得， 再因式分解得， 由因式分解法可得或， 解得或， 第二步直接除以时，未考虑的情况，导致丢失根，违背了方程变形的基本法则， 即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则 故答案为：二 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）分解因式：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，提取公因式即可分解． 【详解】 解：， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．直接利用因式分解法求解方程即可． 【详解】 解： 或 解得：． 10．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或 解得，． 11．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】2或8 【分析】 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：2或8． 13．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）用合适的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握分解因式是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 则， 解得． 14．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）先移项，然后利用直接开平方法即可得到答案． （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，． 15．（25-26学年九上·湖南常德·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求方程的根． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了根的判别式，解一元二次方程． （1）根据根的判别式得到，解不等式即可； （2）将代入求解即可． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 实数的取值范围是； (2) 小问详解： 解：当时，原方程为， ， ，． 16．（25-26学年九上·湖南常德·期中）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　　　　　. 【答案】12 【分析】 解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 【详解】 ∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 17．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）移项后用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ， (2) 小问详解： ， ， 或， ． 18．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法求解方程即可； （2）利用因式分解法求解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ∴或 ∴． 19．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）分解因式：　　　　　　． 【答案】 【分析】 原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）用适当的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 解得 ，； (2) 小问详解： 解： ， ， ，． 21．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 分解因式得：， 即或， ∴，． (2) 小问详解： 解：原方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， ∴，． 22．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 23．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）因式分解：=　　　． 【答案】 【分析】 根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】 解：原式 ． 24．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）已知的两边，的长是关于的方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，求的长； （3）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1） 解：， ， 无论取何值，此方程总有两个不相等得实根；     （2）7     （3）6      【分析】 （1）计算判别式，即可得证； （2）把代入方程，求出n，然后根据三角形三边的关系判断三角形的存在性，最后求出的长即可； （3）根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入方程，得：， 解得：或， ，的长是关于的方程的两个根， ， 当时，， 不构成三角形，不符合题意，舍去； 当时，， 构成三角形，符合题意， ； (3) 小问详解： 解：的长是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 是以为斜边的直角三角形，且， ， ， ， （舍） ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 25．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】 解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 26．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），      （2） ，       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，， ∴ ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ，， ∴，． 27．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；     （2），；      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用因式分解法法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 28．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．若，求　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查新定义，解一元二次方程． 根据新定义，可得方程，解一元二次方程即可． 【详解】 解：∵， ， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得， 故答案为：或． 29．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或． 解得，． (2) 小问详解： 解： ，，． ． ． ，． 30．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）分解因式： 　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 提取公因式，分解因式即可． 本题考查了因式分解，正确选择分解方法是解题的关键． 【详解】 解： 故答案为：． 31．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．      （1）求证：方程总有两个实数根；      （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】（1）证明：∵m≠0，=m2﹣4m+4=（m﹣2）2， 而（m﹣2）2≥0，即， ∴方程总有两个实数根； （2）正整数m的值为1或2 【分析】 （1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 【详解】 （1）略 （2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=， 当m为正整数1或2时，x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）设方程的两个根为，那么的值等于（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】 解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识．先根据题意得到，，再把变形为整体代入即可求解． 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 4．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，    ∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c， 解得b=﹣2，c=﹣8 ∴b+c=﹣10． 故选A． 【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键. 5．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系列出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】 解：根据题意得，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为m，n，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，一元二次方程的两根之积为，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，； 故答案为： 7．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）方程的解为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式方程的解法，通过去分母转化为整式方程求解，并需验根确保分母不为零． 将分式方程转化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】 解：原方程为， 去分母得：， 解得， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为： 8．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）一元二次方程的两根为a与β．则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 【答案】（1） 证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵方程两根均为负数， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴． 10．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2024 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数，已知式子的值求代数式的值．根据根与系数的关系，求出和的值，再代入代数式，进行化简计算，即可作答． 【详解】 ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：2024． 11．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由． （2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根     （2）方程的另一个根为5，m的值为      【分析】 (1)求出的值，再根据根的判别式判断即可； (2)把代入方程, 求出m的值, 再设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出a的值即可. (1) 小问详解： 解：因为关于x的一元二次方程 ∴根的判别式， 因为， 所以， ∴方程有两个不相等的实数根. (2) 小问详解： 设方程的另一个根为a， 由根与系数的关系得:， 解得:， ， 方程的另一个根为5，m的值为. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键. 13．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，由m，n分别为一元二次方程的两个实数根，得出，即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·湖南常德·期中）已知方程的两个根是，则　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程中根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，，是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后代入所求表达式． 【详解】 解：∵方程 ，其中 ，，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 15．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于 x的一元二次方程 ． （1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围． （2）若是方程的两根，且时，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查根的判别式和根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，先求出的值，再根据根与系数的关系和整体代入法，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵方程有实数根， ∴， ∴； (2) 小问详解： 由题意，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． (1) 小问详解： 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 17．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系以及韦达定理的内容是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，结合韦达定理中两根之积的符号确定的取值范围； （2）根据根的符号特征对进行变形，再结合韦达定理和完全平方公式建立关于的方程，进而求解． (1) 小问详解： 关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． (2) 小问详解： ， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 18．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如果一元二次方程的两个根是，那么　　　　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系的值，再进行分式加法运算解答即可． 【详解】 解：由一元二次方程根与系数关系 ∴ ∴ 故答案为：-2 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数关系和分式加法运算，解答关键是按照相关法则进行计算． 19．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　． 【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】 解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 20．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可） （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 【答案】（1）；     （2）；     （3）此方程的表达式为．      【分析】 （）根据“倍根方程”的定义，找出方程① 、② 中K的值，由此即可得出结论； （）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； （）根据方程是“倍根方程”即可得出之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出之间的关系，进而求出的值即可； 本题考查了解二元一次方程组，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：在方程中，， 在方程中，， ∴是倍根方程的是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：整理得：， ∵是倍根方程， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵是倍根方程， ∴， 整理得：， ∵在一次函数的图象上， ∴， 联立 ， 解得： ， ∴此方程的表达式为． 21．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）阅读下面两个材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为， ， 则 解决问题： （1）一元二次方程的两个根为，则______，______． （2）已知一元二次方程的两根分别为求的值． （3）已知实数满足，且，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可； （2）先由一元二次方程根与系数的关系得到， ，代入求值即可； （3）由题意是方程的两根，则，将所求代数式变形，先由求出的值，代入即可求解． (1) 小问详解： 解：一元二次方程的两个根为， 则，． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴是方程的两根， ∴ ， ， ∴， 则． 22．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）；；     （2）；     （3）-1       【分析】 （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． (1) 小问详解： ，； 故答案为；； (2) 小问详解： ，，且， 、可看作方程， ，， ； (3) 小问详解： 把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】 解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】 考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 3．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）某市2019年财政总收入为60亿元，2021年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 2021年财政总收入=2019年财政收入×（1+增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】 解：2020年财政总收入为， 2021年财政总收入为， 可列方程为， 故选：A． 【点睛】 本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 4．（25-26学年九上·湖南常德·期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】 解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系． 5．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查列一元二次方程，关键是理解“剩下的运费等于一株椽的价钱”这一等量关系． 根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱，可求出一株椽的价钱，再结合总价钱列方程，即可作答． 【详解】 解：∵少拿一株椽后， ∴剩下的椽数量为株， ∵每株运费为5文， ∴ 剩下的运费为 文 又∵剩下的运费等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， ∵总价钱为3250文，等于椽的数量乘以每株价钱， 即， 故选：A． 6．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，年约为万人次，年约为万人次，设观赏人数年均增长率为，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据年及年的观赏人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：依题意，得， 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%． 【详解】 经过一次降息，是2.25%（1－x），经过两次降息，是2.25%（1－x）2， ∴ 可得：2.25%（1－x）2＝1.21%， 故选：D． 【点睛】 考查了列一元二次方程解应用题的问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】 解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势．部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到元/升，三季度跌至元/升．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为，根据题意列出方程，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为，根据“部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到元/升，三季度跌至元/升”，用初始价格乘以等于最终价格，列出方程即可． 【详解】 解：设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为， 故选：A． 10．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）某品牌电动车经销商7月至9月统计，该品牌电动车7月销售辆，9月销售辆．设该品牌电动车销售量的月平均增长率为，根据题意列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设月平均增长率为x，根据增长率问题，从7月到9月经过两个月增长，9月销售量应为辆，据此列方程． 【详解】 解：∵ 月平均增长率为x， ∴ 8月销售量为辆， 9月销售量为辆， ∴． 故选：D． 11．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】 解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 12．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）假设每一位参加宴会的人跟其他与会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手28次，则参加宴会的人数为（     ） A. 4 B. 8 C. 14 D. 28 【答案】B 【分析】 设这次宴会有人参加，则根据两两握手一次，每个人都需要和人握手，除去重复的，共握了次手，由题意可列出方程，解出即可． 本题考查一元二次方程的应用，识别是单循环问题，排除重复的情况是解答本题的关键， 【详解】 解：设这次宴会有人参加， 则根据分析可得：， 解得：（不合题意舍去）． 即参加的人数为8人． 故选：B． 13．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 【答案】（1）5平方米；3平方米   （2）10520元 【分析】 （1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可； （2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可． 【详解】 解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米 由题意得 解得， ∴，经检验为分式方程的解 ∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米 （2）设建类摊位个，则类个，费用为 ∵ ∴ ， ∵110>0， ∴z随着a的增大而增大， 又∵a为整数， ∴当时z有最大值，此时 ∴建造90个摊位的最大费用为10520元 【点睛】 本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键． 14．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）为了倡导绿色出行，某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． （1）如图1，为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图2，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为11米，宽为10米     （2）小路的宽为米      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设与墙垂直的一面为米，根据另外三边用总长为的木板墙．与墙平行的一边上开一个宽的门，得出另一面则为米，再结合面积为的矩形车棚，进行列式计算，即可作答． （2）先设小路的宽为米，再根据停车区的面积为，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：设与墙垂直的一面为米， 依题意，另一面则为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为11米，宽为10米． (2) 小问详解： 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 15．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】 设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）1      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 17．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】 解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 18．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）     （2）20万元      【分析】 本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； (2) 小问详解： 解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 19．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）作为《舌尖上的中国2——心传》中湖南地区的唯一入选美食，宜章莽山蕨根糍粑深深镌刻着当地瑶族的文化印记，从过去维系温饱的补充食材，到如今风靡市场的原生态绿色美食．郴州某特产店销售这款蕨根糍粑，每份进价为7元，经市场调研发现，当售价定为11元时，平均每天可销售80份；若售价每提高1元，平均每天少销售5份，设每份蕨根糍粑涨价元时： （1）每件盈利______元，每天可销售______件．（用含的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每份商品涨价多少元时，销售这款产品每天能实现420元的利润？ 【答案】（1）；     （2）每份商品涨价2元时，销售这款产品每天能实现420元的利润      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，解方程即可． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售这款产品每天能实现420元的利润，列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每份蕨根糍粑涨价元，则每件盈利元，每天可销售件； (2) 小问详解： 解：依题意得， 化简为， 解得或 为减少库存，应选择涨价少的，即， 答：每份商品涨价2元时，销售这款产品每天能实现420元的利润． 20．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）     （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 21．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 【答案】（1）     （2）售价为60元      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得 ， ∴， (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 22．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天售出20个，每个盈利50元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降价1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，该网店每天可获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于35元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1600元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）1350     （2）10      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． (1) 小问详解： 解：（个）； （元）． 答：每天获利1350元； (2) 小问详解： 解：设每个模型降价x元，根据题意得， ， 整理得：， ∴，， ∵每个模型盈利不少于35元, ∴, ∴， ∴，即每个模型应降价10元． 答：每个模型应降价10元． 23．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为　　　　　　　　　　　 ． 【答案】20 【分析】 本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长． 【详解】 解：， ， 或， ， ① 三角形的三边是5，7，2， ∵， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ② 三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 24．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）某水果店销售的畅销水果苹果和梨子的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 苹果 a 8 梨子 b 6 已知该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元． （1）求a，b的值； （2）水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为，为了促进苹果的销量，商家决定：苹果售价每千克降低1元，日销售量就增加；当总利润达到980元时苹果降价了多少元．（保持梨子的销量、售价都不变） 【答案】（1）     （2）2元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元．进行列方程组，解得，即可作答． （2）先分析，得出销售的苹果与梨子的质量，再设当总利润达到980元时苹果降价了元，根据总利润公式进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元 ∴得 ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：∵水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为， ∴梨子的质量为， 则苹果的质量为， 依题意，设总利润达到980元时苹果降价了元， 由（1）得， ∵保持梨子的销量、售价都不变 ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去）， ∴当总利润达到980元时苹果降价了元． 25．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）溆水丹霞，楚辞之源，溆浦雪峰山索道，全程7600米．垂直高差1158米，是全球最长高山索道之一，山川、河流、云海、梯田尽收眼底，被誉为“云端之路”，2025年9月26日试运行，国庆假期迎来旅游高峰．溆浦雪峰山景区2024年春节长假期间共接待游客达10万人次，预计在2026年春节长假期间，将接待游客达14.4万人次． （1）求溆浦雪峰山景区2024至2026年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）溆浦雪峰山景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2026年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1）平均增长率为      （2）每杯售价定为元时，可实现每天元的利润额      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率问题和利润问题．解题关键是根据题意建立方程模型，增长率问题利用“初始量最终量”的公式，利润问题利用“利润=每杯利润销量”的关系．易错点是增长率问题忽略对解的合理性检验（增长率为正），利润问题忽略“让顾客获得最大优惠”的实际要求（选择较低售价）． （1）设平均增长率为x，根据2024年游客量10万人次和2026年预计14.4万人次，代入增长率公式，求解后根据增长率的实际意义确定． （2）设每杯售价为y元，每杯利润为元，销量为杯，根据利润公式建立方程，求解后结合“让顾客获得最大优惠”的要求，选择较低售价元． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，根据题意可得： 因为增长率，所以，解得． 答：平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设每杯售价定为y元，每杯利润为元，销量为杯． 解得，． 因为要让顾客获得最大优惠，所以选择较低售价，即元． 答：每杯售价定为20元，可实现每天 元的利润额． 26．（25-26学年九上·湖南常德·期中）2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1）      （2） 7元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 27．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为20元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低2元，日销售量增加10件． （1）若每件售价为52元，则日销量是________件； （2）若每天要盈利2100元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）60     （2）34元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用日销售量=20＋10×降低的价格，即可求出结论． （2）设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出每件售价． (1) 小问详解： ， 答：若每件售价为52元，则日销量是60件． (2) 小问详解： 设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定元，这样日销量大． 答：每件售价应定为34元． 28．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可． 【详解】 解：设人行通道的宽度为xm， 由题意得（30-3x）（24-2x）=480， 解得x1=2，x2=20（舍去）， ∴人行通道的宽度为2m， 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 29．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1）     （2）8元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 30．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　                  　（用含的代数式表示）．乙店每天的销售量 　                  　（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【答案】任务1：件，件；任务2：甲店每天的盈利为1050元，乙店每天的盈利为1040元；任务3：11元 【分析】 任务1，由题意即可得出结论； 任务2，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：任务1，根据题意得： 甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件， 故答案为：件，件； 任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）； 当时，乙店每天的盈利为（元）； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 【答案】（1）     （2）5元      【分析】 此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． (1) 小问详解： 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 32．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． （1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． （2）当为何值时，的面积为？ 【答案】（1）能，秒     （2）秒或秒      【分析】 本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 (1) 小问详解： 解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； (2) 小问详解： 解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（6大考点） 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（       ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）下列选项中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）关于的方程是一元二次方程，则（       ）． A. 或 B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖南常德·期中）一元二次方程的二次项系数为2时，其一次项系数为（     ） A.  B. 3 C. 1 D.  6．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）下列选项中的方程，是一元二次方程的为（　　） A. x+＝1 B. x2+2y﹣3＝0 C. 3x2＝1 D. x3﹣2x+1＝0 7．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则（       ）． A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（     ） A. 2 B.  C. 2或 D. 0 10．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）关于的一元二次方程的一个根为3，则的值为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是　　　　　． 13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是　　　　　． 14．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则　　　　　　． 15．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）将方程化为一般形式为　　　　　　　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）若是方程的根，则式子的值为　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程的常数项是　　　　　　． 19．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）若m是方程的一个根，则的值为　　　　　． 20．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 4．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程的根是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）一元二次方程配方后，结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（       ） A. －1 B.  C.  D. 1 8．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖南常德·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列说法中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程，配方后可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（       ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 15．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：其中，． 16．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）把方程化成的形式，则m的值是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： （1）填空：______，______，______， （2）在复数范围内解方程：； （3）在复数范围内解方程：． 18．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）若，则代数式　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：               ； （2）计算：； （3）若，求的值． 20．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　　　　　　． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）方程的根的情况为（     ） A. 没有实数根 B. 有个相等的实数根 C. 有个不相等的实数根 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 16 4．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  5．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，O是三条角平分线的交点，过点O作，分别交于D，E两点，设则关于x的方程的说法正确的是（       ） A. 一定有两个相等实数根 B. 一定有两个不相等实数根 C. 有两个实数根 D. 无实数根 6．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 8．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）一元二次方程x2﹣4x＝5的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 10．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·湖南常德·期中）解方程：． 14．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （1）当m＝0时，求方程的实数根． （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 15．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 17．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 18．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（            ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 18或20 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A.  B. 或 C. 或 D.  3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）解方程： （1）； （2）． 5．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）因式分解：　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）因式分解：　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第　　　　　　　　　　步是错误的，它违背了数学的基本法则． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）分解因式：　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）解方程：． 10．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）解方程：． 11．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）用合适的方法解方程 （1） （2） 14．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 15．（25-26学年九上·湖南常德·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求方程的根． 16．（25-26学年九上·湖南常德·期中）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　　　　　. 17．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）解方程： （1） （2） 18．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 19．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）分解因式：　　　　　　． 20．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）用适当的方法解下列方程． （1） （2） 21．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）解方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）方程的解是　　　　　　． 23．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）因式分解：=　　　． 24．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）已知的两边，的长是关于的方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，求的长； （3）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 25．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）解方程： （1） （2） 27．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）解方程： （1）； （2） 28．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．若，求　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）解方程： （1）； （2）． 30．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）分解因式： 　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．      （1）求证：方程总有两个实数根；      （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 8 D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）设方程的两个根为，那么的值等于（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 4．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 5．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为m，n，则　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）方程的解为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）一元二次方程的两根为a与β．则的值是　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 10．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由． （2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 13．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·湖南常德·期中）已知方程的两个根是，则　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于 x的一元二次方程 ． （1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围． （2）若是方程的两根，且时，求的值． 16．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 17．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是该方程的两个根，且，求的值． 18．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如果一元二次方程的两个根是，那么　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可） （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 21．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）阅读下面两个材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为， ， 则 解决问题： （1）一元二次方程的两个根为，则______，______． （2）已知一元二次方程的两根分别为求的值． （3）已知实数满足，且，求的值． 22．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）某市2019年财政总收入为60亿元，2021年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南常德·期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，年约为万人次，年约为万人次，设观赏人数年均增长率为，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势．部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到元/升，三季度跌至元/升．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为，根据题意列出方程，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）某品牌电动车经销商7月至9月统计，该品牌电动车7月销售辆，9月销售辆．设该品牌电动车销售量的月平均增长率为，根据题意列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）假设每一位参加宴会的人跟其他与会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手28次，则参加宴会的人数为（     ） A. 4 B. 8 C. 14 D. 28 13．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 14．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）为了倡导绿色出行，某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． （1）如图1，为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图2，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 15．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 19．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）作为《舌尖上的中国2——心传》中湖南地区的唯一入选美食，宜章莽山蕨根糍粑深深镌刻着当地瑶族的文化印记，从过去维系温饱的补充食材，到如今风靡市场的原生态绿色美食．郴州某特产店销售这款蕨根糍粑，每份进价为7元，经市场调研发现，当售价定为11元时，平均每天可销售80份；若售价每提高1元，平均每天少销售5份，设每份蕨根糍粑涨价元时： （1）每件盈利______元，每天可销售______件．（用含的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每份商品涨价多少元时，销售这款产品每天能实现420元的利润？ 20．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 22．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天售出20个，每个盈利50元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降价1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，该网店每天可获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于35元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1600元，每个模型应降价多少元？ 23．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为　　　　　　　　　　　 ． 24．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）某水果店销售的畅销水果苹果和梨子的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 苹果 a 8 梨子 b 6 已知该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元． （1）求a，b的值； （2）水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为，为了促进苹果的销量，商家决定：苹果售价每千克降低1元，日销售量就增加；当总利润达到980元时苹果降价了多少元．（保持梨子的销量、售价都不变） 25．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）溆水丹霞，楚辞之源，溆浦雪峰山索道，全程7600米．垂直高差1158米，是全球最长高山索道之一，山川、河流、云海、梯田尽收眼底，被誉为“云端之路”，2025年9月26日试运行，国庆假期迎来旅游高峰．溆浦雪峰山景区2024年春节长假期间共接待游客达10万人次，预计在2026年春节长假期间，将接待游客达14.4万人次． （1）求溆浦雪峰山景区2024至2026年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）溆浦雪峰山景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2026年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 26．（25-26学年九上·湖南常德·期中）2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 27．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为20元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低2元，日销售量增加10件． （1）若每件售价为52元，则日销量是________件； （2）若每天要盈利2100元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 28．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 30．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　                  　（用含的代数式表示）．乙店每天的销售量 　                  　（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 31．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 32．（25-26学年九上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． （1）在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． （2）当为何值时，的面积为？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $