专题05 圆、直线与圆的位置关系（7大考点）（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦圆与直线位置关系7大核心考点，融合《九章算术》圆材问题、筒车水利工具等文化与应用情境，分层设计选择、填空及综合解答题，适配九年级期中复习，覆盖圆的概念、位置关系、计算与证明等关键能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约12题|圆的概念、切线判定、正多边形性质|结合经线圈劣弧长计算等跨学科情境| |填空|约8题|垂径定理、圆周角、弧长面积|设置“梦之三角形”新定义探究题| |解答|约15题|切线证明、动态几何综合|融入《九章算术》古算题及筒车运行轨道计算|

专题05 圆、直线与圆的位置关系（7大考点） 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点07 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．A 考点02 过三点的圆 1．【答案】90 【分析】 本题考查了反证法，根据题意，正整数N满足，且甲、乙、丙、丁四人中有一人说错，其余三人说对．分别考虑甲错、乙错、丙错、丁错四种情况，计算满足条件的N值，并比较得出最大值． 【详解】 解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数．3、5、7的最小公倍数为105，但，无解； 若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数．2、5、7的最小公倍数为70，70在50到100之间且不是3的倍数，故； 若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数．2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数在50到100之间有84，84不是5的倍数，故； 若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数．2、3、5的最小公倍数为30，30的倍数在50到100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故或90． 比较各情况，N的最大值为90． 验证：当时，甲说正确（90是2的倍数），乙说正确（90是3的倍数），丙说正确（90是5的倍数），丁说错误（90不是7的倍数），符合题意． 故答案为：90． 考点03 垂直于弦的直径 1．C 2．D 3．B 4．【答案】16 【分析】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 5．【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25° 【分析】 （1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】 解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 【点睛】 本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键． 6．【答案】（1）；     （2） 解：当四边形的面积最大时，，理由如下： 如图所示，分别过点A和点D作线段的垂线，垂足分别为P、Q， ∴； ∵， ∴， ∴当三点重合时，有最大值，即此时四边形的面积有最大值， ∴此时， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3），y的最小值为      【分析】 （1），连接，取的中点H，连接，可求出，由垂径定理可得，则可推出，由直角三角形的性质可得，再导角可证明，据此利用勾股定理可得答案； （2）分别过点A和点D作线段的垂线，垂足分别为P、Q，则；可证明，则当三点重合时，有最大值，即此时四边形的面积有最大值，此时，可得；证明，即可得到； （3）将绕点O逆时针旋转度得到，连接，可证明，得到；可导角证明；则以线段为边构成的三角形为直角三角形，即可得到；再求出，则；设，则，由勾股定理得，可得，即可得到；可证明，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，取的中点H，连接； ∵为圆O的直径，且 ∴； ∵， ∴， ， ∴； ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，将绕点O逆时针旋转度得到，连接， ∴，； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴以线段为边构成的三角形为直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点O到的距离为， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴当（不符合题意）时有最小值，最小值为，即此时y有最小值，最小值为． 【点睛】 本题主要考查了圆的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 考点04 圆周角 1．D 2．B 3．B 4．D 5．【答案】140 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】 解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 6．【答案】（1） 证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分；     （2）      【分析】 （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，过作的延长线于点，则，证明四边形是矩形，设，则，由勾股定理得，，求得，则，是中位线，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过作的延长线于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴，， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】 本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 7．【答案】（1）的直径为；     （2）．      【分析】 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 (1) 小问详解： 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 8．【答案】（1）     （2）     （3）不变，      【分析】 （1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合得出为等边三角形，即可得解； （2）由垂径定理可得，由圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，证明，得出，即可得解； （3）由题意可得垂直平分，连接，，则，由（1）可知，，将绕A点顺时针旋转至，则，，，，证明、、三点共线，过A作于，则，设，则，证明出，即可得解． (1) 小问详解： 解：如图：连接， ∵，， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 解：直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； (3) 小问详解： 解：由题可得，直径，， ∴垂直平分， 如图，连接，，则，   由（1）可知，， 将绕A点顺时针旋转至， ，，，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∴、、三点共线， ， 过A作于，则， ∵， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．【答案】（1） 解：是． 理由：如图，连接，， 为的内接等边三角形， ，点为的内心即外心， ， ，且， ， ， ， ， ， 等边的内心关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”．     （2）     （3）或或      【分析】 （1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分和两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分，平分， ， 点和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． (3) 小问详解： 解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接，， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接，， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为或或． 【点睛】 本题考查了三角形的内心，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．C 2．B 3．A 4．【答案】（1） 如图，即为所求． ；      （2）点C的运动轨迹的长度为．      【分析】 本题考查了中心对称图形的画法、旋转的性质以及弧长公式，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和弧长计算公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、的对称点、、的坐标，再画出图形； （2）先求出点到原点的距离，再根据弧长公式计算点的运动轨迹长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 弧的长度＝， 答：点C的运动轨迹的长度为． 5．【答案】 【分析】 本题考查扇形的面积的计算，扇形面积等于扇形圆心角度数乘以半径的平方并除以360，据此求解即可． 【详解】 解：， 这个扇形的面积为 故答案为： 6．【答案】（1） 如图，点即为所求，      （2）     （3）内     （4）      【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可； （2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解； （3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解； （4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， 故由勾股定理可得：， 故的半径长为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴点在内， 故答案为：内； (4) 小问详解： 解：∵的半径长为， ∴， ∵, ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴弧的长为， ∴该圆锥的底面圆半径为， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 考点06 圆的切线 1．C 2．B 3．【答案】（1） 证明： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分；     （2）①；②      【分析】 本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的判定和性质，垂径定理、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）先根据圆的切线的性质得出，再根据平行线的判定得出，然后根据平行线的性质得出，最后根据等腰三角形的性质、等量代换可得，由此即可得证； （2）① 先根据平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理即可得； ② 如图，先根据垂径定理得出，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的和差即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①， ， ， ； ② 如图，作于点， 则， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 4．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 5．【答案】（1） ① 证明：如解图① ，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； ②     （2）      【分析】 本题主要运用矩形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理以及弧长公式等知识求解，灵活运用这些性质定理是解题关键． （1）① 通过证明三角形全等得到直角来判定切线；对于② ，利用全等三角形性质和勾股定理求线段长度； （2）根据折叠性质求出角度，进而确定三角形形状，再用弧长公式求弧长． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：如解图① ，由① 可知 ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， ， ， 解得； (2) 小问详解： (2)解：如解图② ，连接，由题意可知， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 的长为． 6．【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分；     （2）5     （3）4      【分析】 （1）连接，因是的切线，故，已知，所以，则，又因为，所以，因此，即平分． （2）过点 D 作于 F，由（1）知平分，且，得．因是的直径，故，则面积可求． （3）因为，在中，由勾股定理，故，由可证，则 ． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点 D 作于 F， 由（1）知即平分，且， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：连接 ∵， ∴， 在中，由勾股定理： ∴， 在 和中， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线性质，平行线判定与性质，等腰三角形性质，角平分线性质定理，勾股定理， 全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先利用等边对等角分别得出与，结合对顶角的性质，可得出，再结合切线的性质可得出，从而可利用圆周角定理得出结果； （2）延长到G，使，连接，利用圆内接四边形的性质，结合证明，从而可得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出，从而可得出． (1) 小问详解： 解：连接，，， ∵过点B的切线与线段的延长线交于点D， ∴，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ， 理由：延长到G，使，连接， ，， ， 解得：， ， ， 四边形是的圆内接四边形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】 本题考查了对顶角的性质，圆周角定理及推论，切线的性质，等边对等角，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 8．【答案】（1） 证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切．      （2） 证明：如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补．      （3）      【分析】 此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得① ，由，得② ，由① ② 可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由① ② 可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 9．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）过点作于点，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，结合垂径定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得解； （2）过点作于点，连接、，作于，于，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内心的性质可得平分，平分，点在上，由角平分线的性质定理可得，由三角形的面积公式计算得出，延长交于点，连接，，则，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，点在边的垂直平分线上，点在边的垂直平分线上，由垂径定理可得垂直平分，即可得出点为的外心，求出，即可得解； （3）过点作于点，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，交于点，四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由（1）可得是的中位线，，得出，由平行线分线段成比例定理以及平行线的性质可得，，从而得出四边形、均为矩形，进而可得，求出，结合完全平方公式得出，由三角形面积公式计算可得，从而可得，连接，由勾股定理可得，再分两种情况：当时，；当时，，分别结合勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点是弦的中点，点是弦的中点， ∴是的中位线， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点，连接、，作于，于， ， ∵，，， ∴， ∵记的内心为， ∴平分，平分，点在上， ∴由角平分线的性质定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 延长交于点，连接，， ∵，， ∴，均为等边三角形， ∴由等边三角形的性质可得，点在边的垂直平分线上，点在边的垂直平分线上， ∵由垂径定理可得垂直平分， ∴点为的外心， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，交于点， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）可得是的中位线，， ∴， ∴，， ∴，四边形、均为矩形， ∴， ∵记，的面积为，， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的内心、三角形的外心等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活，添加适当的辅助线是解此题的关键． 考点07 正多边形与圆 1．D 2．【答案】 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：360^°12=30°， 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°． 故答案为150°． 3．【答案】6 【分析】 本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【详解】 解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆、直线与圆的位置关系（7大考点） 7大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点07 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（     ） A.  B. 5 C. 6 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 根据菱形的性质得出、、、，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】 解：四边形是菱形， 、、、 、 、 由勾股定理得： 解得． 故选：A． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为　　　　　　　　． 【答案】90 【分析】 本题考查了反证法，根据题意，正整数N满足，且甲、乙、丙、丁四人中有一人说错，其余三人说对．分别考虑甲错、乙错、丙错、丁错四种情况，计算满足条件的N值，并比较得出最大值． 【详解】 解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数．3、5、7的最小公倍数为105，但，无解； 若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数．2、5、7的最小公倍数为70，70在50到100之间且不是3的倍数，故； 若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数．2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数在50到100之间有84，84不是5的倍数，故； 若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数．2、3、5的最小公倍数为30，30的倍数在50到100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故或90． 比较各情况，N的最大值为90． 验证：当时，甲说正确（90是2的倍数），乙说正确（90是3的倍数），丙说正确（90是5的倍数），丁说错误（90不是7的倍数），符合题意． 故答案为：90． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】 解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（       ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 【答案】D 【分析】 连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】 连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（     ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】B 【分析】 连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解． 【详解】 解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3， 在Rt△OAD中，OA=4，AD=3， ∴OD===， ∴CD=OC﹣OD=4﹣， 即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25° 【分析】 （1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】 解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 【点睛】 本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，为圆O的直径，且点E是弧上的一个动点(不与点 A，D重合)，于点 F，于点G，连接分别交于点M，N； （1）如图1，若，则_______，                      ； （2）如图2，连接交于点H，当四边形的面积最大时，试判断线段和的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设，记 的面积为以线段为边构成的三角形的外接圆的面积为试求y与x的函数关系，并求出 y的最小值． 【答案】（1）；     （2） 解：当四边形的面积最大时，，理由如下： 如图所示，分别过点A和点D作线段的垂线，垂足分别为P、Q， ∴； ∵， ∴， ∴当三点重合时，有最大值，即此时四边形的面积有最大值， ∴此时， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3），y的最小值为      【分析】 （1），连接，取的中点H，连接，可求出，由垂径定理可得，则可推出，由直角三角形的性质可得，再导角可证明，据此利用勾股定理可得答案； （2）分别过点A和点D作线段的垂线，垂足分别为P、Q，则；可证明，则当三点重合时，有最大值，即此时四边形的面积有最大值，此时，可得；证明，即可得到； （3）将绕点O逆时针旋转度得到，连接，可证明，得到；可导角证明；则以线段为边构成的三角形为直角三角形，即可得到；再求出，则；设，则，由勾股定理得，可得，即可得到；可证明，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，取的中点H，连接； ∵为圆O的直径，且 ∴； ∵， ∴， ， ∴； ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，将绕点O逆时针旋转度得到，连接， ∴，； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴以线段为边构成的三角形为直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点O到的距离为， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴当（不符合题意）时有最小值，最小值为，即此时y有最小值，最小值为． 【点睛】 本题主要考查了圆的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，点在上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查圆周角定理，根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列说法正确的是（       ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 圆内接四边形对角互补 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】 本题考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识是解题关键．根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论逐项判断即可得． 【详解】 解：A、不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，则此项错误，不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，则此项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则此项错误，不符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，线段是的直径，弦，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由线段是的直径，弦，根据垂径定理的即可求得，然后由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】 解：∵线段是的直径，弦， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】 ∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，四边形内接于，，连接、，则　　　　． 【答案】140 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】 解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分；     （2）      【分析】 （1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，过作的延长线于点，则，证明四边形是矩形，设，则，由勾股定理得，，求得，则，是中位线，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过作的延长线于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴，， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】 本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径为；     （2）．      【分析】 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 (1) 小问详解： 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． （1）如图1，连接，则的度数为             ； （2）如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； （3）如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 【答案】（1）     （2）     （3）不变，      【分析】 （1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合得出为等边三角形，即可得解； （2）由垂径定理可得，由圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，证明，得出，即可得解； （3）由题意可得垂直平分，连接，，则，由（1）可知，，将绕A点顺时针旋转至，则，，，，证明、、三点共线，过A作于，则，设，则，证明出，即可得解． (1) 小问详解： 解：如图：连接， ∵，， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 解：直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； (3) 小问详解： 解：由题可得，直径，， ∴垂直平分， 如图，连接，，则，   由（1）可知，， 将绕A点顺时针旋转至， ，，，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∴、、三点共线， ， 过A作于，则， ∵， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； （3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【答案】（1） 解：是． 理由：如图，连接，， 为的内接等边三角形， ，点为的内心即外心， ， ，且， ， ， ， ， ， 等边的内心关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”．     （2）     （3）或或      【分析】 （1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分和两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分，平分， ， 点和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． (3) 小问详解： 解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接，， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接，， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为或或． 【点睛】 本题考查了三角形的内心，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】 是等边三角形，是边上的中点 ， 扇形 故选C． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】 解：， 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，长沙市某处位于北纬28°（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（       ）千米 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式，能根据纬度求出和两点对应的圆心角的度数是解题的关键． 由位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上，得出它们的圆心角是，再根据弧长公式计算劣弧的长度即可． 【详解】 解：∵位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上， ∴， ∴点和点之间的劣弧长为：． 故选：． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转90°，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 【答案】（1） 如图，即为所求． ；      （2）点C的运动轨迹的长度为．      【分析】 本题考查了中心对称图形的画法、旋转的性质以及弧长公式，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和弧长计算公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、的对称点、、的坐标，再画出图形； （2）先求出点到原点的距离，再根据弧长公式计算点的运动轨迹长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 弧的长度＝， 答：点C的运动轨迹的长度为． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）一个扇形的圆心角为，半径为5，则这个扇形的面积为　　　　　　．结果保留 【答案】 【分析】 本题考查扇形的面积的计算，扇形面积等于扇形圆心角度数乘以半径的平方并除以360，据此求解即可． 【详解】 解：， 这个扇形的面积为 故答案为： 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧． （1）用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）． （2）的半径长为___________． （3）点在___________（填“内”“外”“上”）． （4）若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________． 【答案】（1） 如图，点即为所求，      （2）     （3）内     （4）      【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可； （2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解； （3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解； （4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， 故由勾股定理可得：， 故的半径长为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴点在内， 故答案为：内； (4) 小问详解： 解：∵的半径长为， ∴， ∵, ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴弧的长为， ∴该圆锥的底面圆半径为， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 考点06 圆的切线 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（     ） A. 6 B. 8 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】 解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（     ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【分析】 连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上一点，交于点，连接、． （1）求证：平分． （2）若， ①求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 【答案】（1） 证明： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分；     （2）①；②      【分析】 本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的判定和性质，垂径定理、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）先根据圆的切线的性质得出，再根据平行线的判定得出，然后根据平行线的性质得出，最后根据等腰三角形的性质、等量代换可得，由此即可得证； （2）① 先根据平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理即可得； ② 如图，先根据垂径定理得出，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的和差即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①， ， ， ； ② 如图，作于点， 则， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知矩形，，以为直径作，点为上一点． （1）如图1，连接，交于点，若，． ①求证：是的切线； ②求的长； （2）如图2，若点是上的动点，将四边形沿折叠，点恰好落在处，点的对应点为点，交于点．若，求的长． 【答案】（1） ① 证明：如解图① ，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； ②     （2）      【分析】 本题主要运用矩形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理以及弧长公式等知识求解，灵活运用这些性质定理是解题关键． （1）① 通过证明三角形全等得到直角来判定切线；对于② ，利用全等三角形性质和勾股定理求线段长度； （2）根据折叠性质求出角度，进而确定三角形形状，再用弧长公式求弧长． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：如解图① ，由① 可知 ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， ， ， 解得； (2) 小问详解： (2)解：如解图② ，连接，由题意可知， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 的长为． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图所示，为的直径，直线与相切于点 D，过点 B作，垂足为点 E，交于点 C． （1）求证：平分； （2）若，求的面积； （3）在(2)的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分；     （2）5     （3）4      【分析】 （1）连接，因是的切线，故，已知，所以，则，又因为，所以，因此，即平分． （2）过点 D 作于 F，由（1）知平分，且，得．因是的直径，故，则面积可求． （3）因为，在中，由勾股定理，故，由可证，则 ． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点 D 作于 F， 由（1）知即平分，且， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：连接 ∵， ∴， 在中，由勾股定理： ∴， 在 和中， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线性质，平行线判定与性质，等腰三角形性质，角平分线性质定理，勾股定理， 全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，内接于，过点B的切线与线段的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F，． （1）求的度数； （2）连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先利用等边对等角分别得出与，结合对顶角的性质，可得出，再结合切线的性质可得出，从而可利用圆周角定理得出结果； （2）延长到G，使，连接，利用圆内接四边形的性质，结合证明，从而可得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出，从而可得出． (1) 小问详解： 解：连接，，， ∵过点B的切线与线段的延长线交于点D， ∴，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ， 理由：延长到G，使，连接， ，， ， 解得：， ， ， 四边形是的圆内接四边形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】 本题考查了对顶角的性质，圆周角定理及推论，切线的性质，等边对等角，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． （1）求证：与相切； （2）如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； （3）如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】（1） 证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切．      （2） 证明：如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补．      （3）      【分析】 此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得① ，由，得② ，由① ② 可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由① ② 可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图1，半径为4的中，点是上的一个动点，，点是弦的中点，点是弦的中点，连接． （1）求的长； （2）记的内心为，外心为，求，两点间的距离； （3）如图2，连接，，分别记，的面积为，，当时，求弦的长． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）过点作于点，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，结合垂径定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得解； （2）过点作于点，连接、，作于，于，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内心的性质可得平分，平分，点在上，由角平分线的性质定理可得，由三角形的面积公式计算得出，延长交于点，连接，，则，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，点在边的垂直平分线上，点在边的垂直平分线上，由垂径定理可得垂直平分，即可得出点为的外心，求出，即可得解； （3）过点作于点，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，交于点，四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由（1）可得是的中位线，，得出，由平行线分线段成比例定理以及平行线的性质可得，，从而得出四边形、均为矩形，进而可得，求出，结合完全平方公式得出，由三角形面积公式计算可得，从而可得，连接，由勾股定理可得，再分两种情况：当时，；当时，，分别结合勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点是弦的中点，点是弦的中点， ∴是的中位线， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点，连接、，作于，于， ， ∵，，， ∴， ∵记的内心为， ∴平分，平分，点在上， ∴由角平分线的性质定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 延长交于点，连接，， ∵，， ∴，均为等边三角形， ∴由等边三角形的性质可得，点在边的垂直平分线上，点在边的垂直平分线上， ∵由垂径定理可得垂直平分， ∴点为的外心， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，交于点， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）可得是的中位线，， ∴， ∴，， ∴，四边形、均为矩形， ∴， ∵记，的面积为，， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的内心、三角形的外心等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活，添加适当的辅助线是解此题的关键． 考点07 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（     ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】 解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 2．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）正十二边形每个内角的度数为       ． 【答案】 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：360^°12=30°， 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°． 故答案为150°． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【详解】 解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆、直线与圆的位置关系（7大考点） 7大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点07 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（     ） A.  B. 5 C. 6 D.  考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为　　　　　　　　． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（       ） A. 12寸 B. 15寸 C. 14寸 D. 13寸 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（     ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，为圆O的直径，且点E是弧上的一个动点(不与点 A，D重合)，于点 F，于点G，连接分别交于点M，N； （1）如图1，若，则_______，                      ； （2）如图2，连接交于点H，当四边形的面积最大时，试判断线段和的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设，记 的面积为以线段为边构成的三角形的外接圆的面积为试求y与x的函数关系，并求出 y的最小值． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，点在上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）下列说法正确的是（       ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 圆内接四边形对角互补 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，线段是的直径，弦，，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，四边形内接于，，连接、，则　　　　． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． （1）如图1，连接，则的度数为             ； （2）如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； （3）如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； （3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，长沙市某处位于北纬28°（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（       ）千米 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转90°，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）一个扇形的圆心角为，半径为5，则这个扇形的面积为　　　　　　．结果保留 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧． （1）用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）． （2）的半径长为___________． （3）点在___________（填“内”“外”“上”）． （4）若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为　　　　　　　　． 考点06 圆的切线 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（     ） A. 6 B. 8 C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（     ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上一点，交于点，连接、． （1）求证：平分． （2）若， ①求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知矩形，，以为直径作，点为上一点． （1）如图1，连接，交于点，若，． ①求证：是的切线； ②求的长； （2）如图2，若点是上的动点，将四边形沿折叠，点恰好落在处，点的对应点为点，交于点．若，求的长． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图所示，为的直径，直线与相切于点 D，过点 B作，垂足为点 E，交于点 C． （1）求证：平分； （2）若，求的面积； （3）在(2)的条件下，求的长． 7．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，内接于，过点B的切线与线段的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F，． （1）求的度数； （2）连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 8．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． （1）求证：与相切； （2）如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； （3）如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 9．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图1，半径为4的中，点是上的一个动点，，点是弦的中点，点是弦的中点，连接． （1）求的长； （2）记的内心为，外心为，求，两点间的距离； （3）如图2，连接，，分别记，的面积为，，当时，求弦的长． 考点07 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（     ） A. 3 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）正十二边形每个内角的度数为       ． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $