专题07 二次根式（3大考点）（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 湖南多地期中试题汇编，聚焦二次根式3大核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合基础运算与规律探究，适配八年级期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|二次根式有意义条件、最简二次根式判定|结合数轴化简（如第9题）、无理数识别（第6题）| |填空|约15题|性质应用、运算规律探究|规律归纳（第21题）、新定义运算（第29题）| |解答|约12题|混合运算、几何应用|阅读理解（第33题无理数整数部分）、实际问题（第12题长方形空地）|

专题07 二次根式（3大考点） 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．A 11．B 12．D 13．C 14．C 15．B 16．【答案】 【分析】 根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】 解：， 的平方根是． 17．【答案】5 【详解】 解：∵， ∴． 18．【答案】4 【分析】 根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】 解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】 此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 19．【答案】6 【分析】 本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义，求36的算术平方根即可． 【详解】 因为， 所以． 故答案为：6． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】 解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】 解：， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 22．【答案】④ 【分析】 本题考查二次根式的计算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解题的关键，利用二次根式的运算将式子化简，得到的值，再通过对无理数的估算，得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】 解：由题可得：， ∵， ∴， ∴a落在了数轴上的④ 段， 故答案为：④ ． 23．【答案】 【分析】 此题考查了二次根式的乘法性质及化简，熟练应用二次根式的乘法性质是解题关键． 根据，利用二次根式的乘法性质求解． 【详解】 解：． 故答案为：． 24．【答案】± 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义，求出a、b的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】∵5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，4a+2b﹣8＝16， ∴a＝5，b＝2， ∴a+3b＝5+6＝11， ∴a+3b的平方根是±． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 25．【答案】12 【分析】 根据乘方，零指数幂，二次根式及负指数幂进行计算即可， 【详解】 解：原式=9-1+2+2=12． 【点睛】 本题考查了乘方，零指数幂，二次根式化简及负指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的非负性．根据二次根式的非负性求出x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根定义，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出，． 【详解】 解：∵， ∴ ， 解得：， ∴， ∴， 36的平方根为， 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的化简，根据新定义的运算法则，先计算，再计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ， 故答案为：． 30．【答案】1 【分析】 本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 31．【答案】625 【分析】 先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】 解：∵， ， ， …， ， ， ∴原式． 故答案为：625． 【点睛】 本题考查取整函数的知识，难度较大，解答本题的关键是具有一般规律推导特殊性质的能力． 32．【答案】（1），；     （2）；     （3） 解：由题意可得， 第n个等式为：， 证明：左边 右边， ∴．      【分析】 （1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案； （2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案； （3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可 (1) 小问详解： 解：由题意可得， ， ∴，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 33．【答案】（1）3，-3；（2）23；（3）-7 【分析】 （1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案； （3）先求出的整数部分，得到-3的整数部分即为x的值，从而表示出y的结果，再求x-y的相反数即可． 【详解】 解：（1）∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分为3，小数部分为-3． 故答案为：3，-3； （2）∵1＜3＜4， ∴1＜＜2， ∴10+1＜＜10+2， 即11＜10+＜12， ∴a=11，b=12， ∴a+b=23． 故答案为：23； （3）∵25＜30＜36， ∴5＜＜6， ∴5-3＜-3＜6-3， 即2＜-3＜3， ∴-3的整数部分为2，小数部分为-3-2=-5， ∴x=2，y=-5， ∴x-y=2-(-5)=7-， ∴x-y的相反数为-7． 【点睛】 本题考查了无理数的估值方法，不等式的性质，理解题中所给信息并能灵活运用是解决此题的关键． 34．【答案】 【分析】 本题考查算术平方根的应用，涉及正方形面积计算和面积割补法．解题关键是通过面积割补法（大正方形面积减空白部分面积）求出阴影正方形的面积，再由面积推导边长；易错点是误判空白三角形的直角边长度，导致面积计算错误． 先确定大正方形边长为4，面积为；再计算空白部分（4个直角三角形）的总面积：每个三角形直角边为1和3，面积为，4个总面积为；最后用大正方形面积减空白面积得阴影正方形面积，由正方形面积公式得边长为． 【详解】 解：大正方形面积为， 空白部分是4个直角边为1和3的三角形，总面积为． 阴影正方形面积为， 故其边长为． 故答案为：． 35．【答案】1 【分析】 本题主要考查了实数和数轴，二次根式和绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的化简法则． 通过数轴得出的取值范围，然后利用二次根式和绝对值的化简法则进行化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 36．【答案】16 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，因式分解，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，代入原方程得到与的关系，进而求出的值，最后利用因式分解求代数式的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：16． 37．【答案】（1）4，0，1，（2） 【分析】 本题考查算术平方根的性质，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，进行求解即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，进行化简即可． 【详解】 解：（1）， ∴对于任意有理数； （2）由图可知：，， ∴， ∴． 38．【答案】（1）小明     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； (2) 小问详解： 解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．D 9．D 10．C 11．【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．【答案】 【分析】 根据二次根式的性质计算． 【详解】 解：原式=． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 13．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用二次根式乘除运算法则计算即可求出答案； （）利用化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂、有理数乘方分别化简，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 14．【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根的应用，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算．熟练掌握算术平方根的应用，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，（千米/时）， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 【详解】 ， 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，计算二次根式除法，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式和二次根式乘法，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．A 9．【答案】 【分析】 根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 10．【答案】8，32 【分析】 本题考查了同类二次根式的定义．要化简为最简二次根式后再判断． 先化简二次根式，然后再判断是否与是同类二次根式． 【详解】 解：，与不是同类二次根式； 与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； 故答案为：8，32． 11．【答案】 【分析】 本题考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 分子和分母同乘以进行分母有理化，消除分母中的根式． 【详解】 解： 故答案为：． 12．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． (1) 小问详解： 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． (2) 小问详解： 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 13．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，首先将各平方根化简，然后利用长方形面积公式计算乘积即可求解； 【详解】 解：，； 长方形面积为：。 故答案为： 14．【答案】（1）③     （2）      【分析】 本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 小明从第③ 步开始出错的； 故答案为：③ ； (2) 小问详解： 原式 ． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了绝对值、算术平方根以及偶次方根的非负性，二次根式的加减运算，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）将a，b，c代入计算即可； (1) 小问详解： 解：由题意得：， ∴； (2) 小问详解： 解：三角形的周长； 16．【答案】（1）     （2） 不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．      【分析】 本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解题意是关键； （1）设正方形的边长为，可得，再解方程即可； （2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； (2) 小问详解： 略 17．【答案】 【分析】 根据已知法则将原式化简进而求出即可． 【详解】 解：∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了新定义运算，二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键． 18．【答案】或 【分析】 本题主要考查二次根式的新定义问题，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；由题意可设，由可知，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得： 由，可设：， ∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当取的正整数时，明显不符合题意，故x的值只能为1， ∴，即， ∴， ∴或2， 当时，则；当时，则； 故答案为或． 19．【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】 解： ， 当时，原式． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，绝对值，掌握运算法则即可解题． （1）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 21．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解，完全平方公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 22．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． (1) 小问详解： 解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 23．【答案】（1），，     （2）9     （3）7      【分析】 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行合并即可； （3）先进行分母有理化，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴的有理化因式为，的有理化因式为； ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，整式的四则混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘方和负整数的指数幂，然后进行整式的乘除即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 25．【答案】 【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)． 【详解】∵①3﹣2＝(﹣1)2， ②5﹣2＝(﹣)2， ③7﹣2＝(﹣)2， …， ∴第n个等式为：(2n+1)-2=(﹣)2， ∴第6个等式为：， 故答案为． 【点睛】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与右边的变化规律是解题的关键. 26．【答案】 【分析】 本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】 解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 27．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出，再利用完全平方公式把代数式变形为，代入求值即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 28．【答案】（1）     （2）9     （3）      【分析】 本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）根据分母有理化的方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：能， ． 29．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ． 30．【答案】（1）；（2）无解 【分析】 本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则，解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简后，代值计算即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】 解：（1）， 当时，原式； （2）， ， ， ， ； 检验，当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 31．【答案】（1），，     （2）9      【分析】 本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴；，； (2) 小问详解： 由（1）可知：，， ∴． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； (2) 小问详解： 解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 33．【答案】（1）0     （2）4      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用完全平方公式和零指数幂的法则进行计算即可； （2）先化简，进行二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 34．【答案】（1）     （2）7      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据运算顺序计算即可； （2）结合乘法公式先去括号，并计算除法，再进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式． 35．【答案】3 【分析】 本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据题意， 与 可以合并，说明它们是同类二次根式，先将 化简，再确定 的值即可． 【详解】 解： 与 可以合并，， 则 与 是同类二次根式， 即 （ 为正整数）， 两边平方得 ， 当 时， 取最小值，即 ， 验证： 与 可以合并， 故答案为：3． 36．【答案】剩余部分的面积为平方米 【分析】 根据矩形的面积-正方形的面积即可得到剩余部分的面积． 【详解】 解： 平方米， 答：剩余部分的面积为平方米． 【点睛】 本题考查了二次根式的应用，掌握是解题的关键． 37．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）① 根据新定义可得，，而，据此代值计算即可；②设，则可推出，即；再根据题意可得，则，即． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：①∵，， ∴， ， ∴ ； ② 设， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和去绝对值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 39．【答案】（1），     （2）当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米     （3）当时，代数式取最大值，最大值为     （4）或       【分析】 本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． (1) 小问详解： 解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： (2) 小问详解： 设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； (3) 小问详解： ， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． (4) 小问详解： 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 40．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值、利用平方差公式进行二次根式的分母有理化运算． 把二次根式的分子、分母同时乘以进行分母有理化即可； 根据中的思路，把算式的各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可； 把分母有理化可得：，再整理可得：，再整体代入代数式中计算求值即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ， ， 移项得：， 两边同时平方，可得：， 移项、合并同类项，可得：， ． 41．【答案】 【分析】 本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】 解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． （1）利用配方法分解因式； （2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值； （3）利用配方法变式分组因式分解，求出，，再代入算式中计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， 所以当时，它有最小值是，所以的最小值是． (3) 小问详解： ， ， ， ， ，， \therefore \frac{1}{\sqrt{~ b}-\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2\right)}}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）8的立方根是（       ） A. 2 B. －2 C. 8 D. 2 2．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（八上·湖南衡阳·期中）如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）实数，，，…（两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若，则的算术平方根是（       ） A. 2 B. 4 C.  D. 0 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列各式中，属于二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A.  B.  C. b D.  10．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）使二次根式有意义的的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意的值都能使下列二次根式有意义的选项是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（     ） A. 0 B.  C. 2 D. 不能确定 14．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）16的平方根是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）　　　　． 18．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）计算：=　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 　　　　　． 21．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为　　　　　． 22．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的　　　　　　段． 23．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）已知，，则　　　　　　． 24．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）已知5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4，求a+3b的平方根． 25．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）计算：． 26．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知x、y为实数，且．则的值　　　　　　． 28．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知x、y为实数，且．则的平方根　　　　　　． 29．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）定义运算“”的运算法则为：，则　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）若，为实数，且，则的值为　　　　　　． 31．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）设表示不大于x的最大整数，如，则　　　　　　． 32．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则______，______． （2）的值为_________． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 33．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜＜3，是因为＜＜：根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）10+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+＜b则a+b＝　 　． （3）若﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数． 34．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简　　　　　． 36．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知，则的值　　　　　． 37．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）（1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 38．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程：     解：原式 解：原式     （1）填空：        的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）下列选项中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列根式是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列各式中，运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）化为最简二次根式　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）化简：=　　　　　　　　　　 13．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）计算： （1）； （2）． 14．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示动摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得米，，肇事汽车的车速大约是　　　　　　千米/时．（结果保留根号） 15．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）化简：　　　　　． 16．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算： （1）； （2）． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （       ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算，结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）如图，甲，乙，两三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（　　） 甲 乙 丙 A. 0张 B. 1张 C. 2张 D. 3张 6．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（     ） A. 42 B. 43 C. 44 D. 45 7．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算的结果是（     ） A.  B.  C. 4 D.  8．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）比较大小：3　　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖南怀化·期中） 与 是同类二次根式，n 可以取的数为4，6，8，12，16，32中的　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 13．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）长方形的两边的长分别为，，则该长方形的面积为　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 15．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）以a，b，c为三角形的三边长，请求出这个三角形的周长． 16．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．    （1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； （2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 17．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算：　　　　　． 18．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为　　　　　　． 19．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）先化简，再代入求值：，其中． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）计算： （1） （2）) 21．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 22．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； （2）若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 23．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： 材料三：因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式为_________，的有理化因式为________．（均写一个即可）________． （2）计算：（要求写出计算过程） （3）利用上述方法：若，求的值． 24．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）计算： （1）； （2）． 25．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）观察下列等式： ①3﹣2＝(﹣1)2， ②5﹣2＝(﹣)2， ③7﹣2＝(﹣)2， … 请你根据以上规律，写出第6个等式　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）计算=　　　　　　． 27．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知，则代数式的值为 　　　　　． 28．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照b式化简＝______； （2）化简：； （3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 29．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 30．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）（1）当时，求分式的值． （2）解分式方程：． 31．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知． （1）求的值； （2）求的值． 32．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜和香菜部分的面积差． 33．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）计算： （1）； （2）． 34．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算： （1） （2） 35．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）在一个长为，宽为的矩形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 37．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： （1）将下列根式进行分母有理化，并化简： （2）定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 38．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）计算 （1） （2） 39．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当        时，代数式取到最小值，最小值为       ; （2）用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ （4）若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为         40．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）在数学小组探究学习中，小组成员遇到这样一道题： 已知，求 的值．他们是这样解答的： 即， ， ， 请你根据以上的解题方法和过程，解决以下问题： （1）填空：          ； （2）化简； （3），求的值． 41．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为　　　　　． 42．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 又例如：求代数式的最小值． 可知：当时，的最小值是，因此有最小值，最小值是． 请你用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________； （2）请你求的最小值； （3）若a、b满足，请计算； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）8的立方根是（       ） A. 2 B. －2 C. 8 D. 2 【答案】A 【详解】分析：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 解答：解：∵2的立方等于8， ∴8的立方根等于2． 故选A． 2．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的意义可得，求解即可，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】 解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．由在实数范围内有意义，可得，即可求解． 【详解】 解：在实数范围内有意义， ， 解得：， 故选：A． 5．（八上·湖南衡阳·期中）如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设被墨迹覆盖住的无理数为，由图可知被墨迹遮住的无理数在3和4之间，估算出无理数，，，的范围，进而解决此题． 【详解】 解：设被墨迹覆盖住的无理数为． 由图可知：． ∵，，，， ∴，，，， ∴被墨迹覆盖住的无理数可能是． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查无理数的估算，熟练掌握数轴上的点表示的数的意义是解决本题的关键． 6．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）实数，，，…（两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数， 根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】 解：∵ = 2，为整数， ∴ 是有理数； ∵ 0 是整数， ∴ 是有理数； ∵ ，为整数， ∴ 是有理数； ∵ …（两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是无理数， ∴ 是无理数； ∵是分数， ∴ 是有理数； ∵ 开方不尽， ∴ 是无理数， ∴ 无理数有…， 和 ，共3个． 故选：C． 7．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若，则的算术平方根是（       ） A. 2 B. 4 C.  D. 0 【答案】A 【分析】 本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性等知识，依据题意得出，，从而求出a、b的值，继而得解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是：， 故选：A． 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列各式中，属于二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如的式子是二次根式． 【详解】 解：A. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； C. 是二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】 本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 9．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A.  B.  C. b D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】 解：由数轴可得， 则， ， 故选：D． 10．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）使二次根式有意义的的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】 解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 11．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，解不等式即可． 【详解】 解：二次根式 在实数范围内有意义， ， 解得． 故选：B． 12．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意的值都能使下列二次根式有意义的选项是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件．根据数轴判断出的取值范围，再根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0逐项进行判断即可． 【详解】 解：由数轴可知，， A、当时，没有意义，故此选项不符合题意； B、当时，没有意义，故此选项不符合题意； C、当时，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，有意义，故此选项符合题意； 故选：D． 13．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（     ） A. 0 B.  C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】 解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 14．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了数轴的性质、二次根式的性质、绝对值的性质及整式的加减运算，根据数轴上a、b、c的位置，确定它们的正负性及绝对值关系，然后利用绝对值和根号的性质化简给定的表达式即可． 【详解】 解：由数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴原式． 故选：C． 15．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】 解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 16．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）16的平方根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】 解：， 的平方根是． 17．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）　　　　． 【答案】5 【详解】 解：∵， ∴． 18．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）计算：=　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】 解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】 此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 19．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义，求36的算术平方根即可． 【详解】 因为， 所以． 故答案为：6． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】 解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】 解：， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的　　　　　　段． 【答案】④ 【分析】 本题考查二次根式的计算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解题的关键，利用二次根式的运算将式子化简，得到的值，再通过对无理数的估算，得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】 解：由题可得：， ∵， ∴， ∴a落在了数轴上的④ 段， 故答案为：④ ． 23．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）已知，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次根式的乘法性质及化简，熟练应用二次根式的乘法性质是解题关键． 根据，利用二次根式的乘法性质求解． 【详解】 解：． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）已知5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4，求a+3b的平方根． 【答案】± 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义，求出a、b的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】∵5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，4a+2b﹣8＝16， ∴a＝5，b＝2， ∴a+3b＝5+6＝11， ∴a+3b的平方根是±． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 25．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）计算：． 【答案】12 【分析】 根据乘方，零指数幂，二次根式及负指数幂进行计算即可， 【详解】 解：原式=9-1+2+2=12． 【点睛】 本题考查了乘方，零指数幂，二次根式化简及负指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 26．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 27．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知x、y为实数，且．则的值　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的非负性．根据二次根式的非负性求出x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知x、y为实数，且．则的平方根　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根定义，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出，． 【详解】 解：∵， ∴ ， 解得：， ∴， ∴， 36的平方根为， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）定义运算“”的运算法则为：，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的化简，根据新定义的运算法则，先计算，再计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）若，为实数，且，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 31．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）设表示不大于x的最大整数，如，则　　　　　　． 【答案】625 【分析】 先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】 解：∵， ， ， …， ， ， ∴原式． 故答案为：625． 【点睛】 本题考查取整函数的知识，难度较大，解答本题的关键是具有一般规律推导特殊性质的能力． 32．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）若；则______，______． （2）的值为_________． （3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1），；     （2）；     （3） 解：由题意可得， 第n个等式为：， 证明：左边 右边， ∴．      【分析】 （1）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第8个等式，即可答案； （2）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第100个等式：即可答案； （3）本题考查根式的规律，根据题目规律得到第个等式：，再证明即可 (1) 小问详解： 解：由题意可得， ， ∴，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜＜3，是因为＜＜：根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）10+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+＜b则a+b＝　 　． （3）若﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数． 【答案】（1）3，-3；（2）23；（3）-7 【分析】 （1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案； （3）先求出的整数部分，得到-3的整数部分即为x的值，从而表示出y的结果，再求x-y的相反数即可． 【详解】 解：（1）∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分为3，小数部分为-3． 故答案为：3，-3； （2）∵1＜3＜4， ∴1＜＜2， ∴10+1＜＜10+2， 即11＜10+＜12， ∴a=11，b=12， ∴a+b=23． 故答案为：23； （3）∵25＜30＜36， ∴5＜＜6， ∴5-3＜-3＜6-3， 即2＜-3＜3， ∴-3的整数部分为2，小数部分为-3-2=-5， ∴x=2，y=-5， ∴x-y=2-(-5)=7-， ∴x-y的相反数为-7． 【点睛】 本题考查了无理数的估值方法，不等式的性质，理解题中所给信息并能灵活运用是解决此题的关键． 34．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查算术平方根的应用，涉及正方形面积计算和面积割补法．解题关键是通过面积割补法（大正方形面积减空白部分面积）求出阴影正方形的面积，再由面积推导边长；易错点是误判空白三角形的直角边长度，导致面积计算错误． 先确定大正方形边长为4，面积为；再计算空白部分（4个直角三角形）的总面积：每个三角形直角边为1和3，面积为，4个总面积为；最后用大正方形面积减空白面积得阴影正方形面积，由正方形面积公式得边长为． 【详解】 解：大正方形面积为， 空白部分是4个直角边为1和3的三角形，总面积为． 阴影正方形面积为， 故其边长为． 故答案为：． 35．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了实数和数轴，二次根式和绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的化简法则． 通过数轴得出的取值范围，然后利用二次根式和绝对值的化简法则进行化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 36．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知，则的值　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，因式分解，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，代入原方程得到与的关系，进而求出的值，最后利用因式分解求代数式的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：16． 37．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）（1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 【答案】（1）4，0，1，（2） 【分析】 本题考查算术平方根的性质，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，进行求解即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，进行化简即可． 【详解】 解：（1）， ∴对于任意有理数； （2）由图可知：，， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程：     解：原式 解：原式     （1）填空：        的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【答案】（1）小明     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； (2) 小问详解： 解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】 解：A选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B选项，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意； C选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）下列选项中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答． 【详解】 解：A、的被开方数是分数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、可以分解为，是能开得尽方的因数，它可以化简为，所以它不是最简二次根式，不符合题意； D、可以分解为，其中是能开得尽方的因数，它可以化简为，所以它不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，逐项分析即可得解，熟练掌握最简二次根式需要满足的条件是解此题的关键． 【详解】 解：A、，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； B、中，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列根式是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、不一定是最简二次根式，如，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】 解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 6．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，被开方数不含有分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】 选项A.被开方数含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项B.，含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项C.，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项D.，被开方数15是整数，且无平方因子，是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式满足的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】 解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； B. ，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； C. 符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； 故选：C． 8．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】 解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键． 9．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列各式中，运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】 解：A：，错误，为无理数，无法与有理数3直接合并为，正确结果为； B：，错误，平方根的结果非负，，而非； C：，错误，根据二次根式乘法法则，，故，而非； D：，正确，根据二次根式除法法则，，故． 故选：D． 10．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】 矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 11．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）化为最简二次根式　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）化简：=　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质计算． 【详解】 解：原式=． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 13．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用二次根式乘除运算法则计算即可求出答案； （）利用化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂、有理数乘方分别化简，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 14．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示动摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得米，，肇事汽车的车速大约是　　　　　　千米/时．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根的应用，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算．熟练掌握算术平方根的应用，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，（千米/时）， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）化简：　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 【详解】 ， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，计算二次根式除法，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式和二次根式乘法，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （       ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】 解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】 A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 3．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算，结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再根据二次根式的减法计算法则求解即可． 【详解】 解： ， 故选：C． 4．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式． 【详解】 解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意， 故选：C． 5．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）如图，甲，乙，两三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（　　） 甲 乙 丙 A. 0张 B. 1张 C. 2张 D. 3张 【答案】B 【分析】 本题考查二次根式的运算和有理数的判断，完全平方公式，掌握二次根式的化简和运算是解题关键． 分别计算甲、乙、丙三个算式的值，判断结果是否为有理数． 【详解】 解：对于甲： ∵ ，且是无理数， ∴是无理数． 对于乙： ∵， ∴ ， ∴是有理数． 对于丙： ∵，， ， ∴，且是无理数， ∴是无理数． 综上，只有乙的计算结果是有理数． 故选B． 6．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（     ） A. 42 B. 43 C. 44 D. 45 【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】 解：原式 ． 7．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算的结果是（     ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的化简及其加减法，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先对化简，然后按照二次根式的加减法进行计算，然后即可求解； 【详解】 解： ； 故选：B； 8．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据代数式求值对① 进行判断即可；② 将化为，根据式子为整数分析求解即可；③ 求出，即可得出最小值；④ 根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】 解：① 当时，，故① 正确； ② 当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或或或时，为整数，故② 错误； ③， 当时，的最小值为，故③ 错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④ 错误， 故选：A． 9．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）比较大小：3　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 10．（25-26学年八上·湖南怀化·期中） 与 是同类二次根式，n 可以取的数为4，6，8，12，16，32中的　　　　　． 【答案】8，32 【分析】 本题考查了同类二次根式的定义．要化简为最简二次根式后再判断． 先化简二次根式，然后再判断是否与是同类二次根式． 【详解】 解：，与不是同类二次根式； 与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； 故答案为：8，32． 11．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 分子和分母同乘以进行分母有理化，消除分母中的根式． 【详解】 解： 故答案为：． 12．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． (1) 小问详解： 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． (2) 小问详解： 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 13．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）长方形的两边的长分别为，，则该长方形的面积为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，首先将各平方根化简，然后利用长方形面积公式计算乘积即可求解； 【详解】 解：，； 长方形面积为：。 故答案为： 14．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③     （2）      【分析】 本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 小明从第③ 步开始出错的； 故答案为：③ ； (2) 小问详解： 原式 ． 15．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）以a，b，c为三角形的三边长，请求出这个三角形的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了绝对值、算术平方根以及偶次方根的非负性，二次根式的加减运算，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）将a，b，c代入计算即可； (1) 小问详解： 解：由题意得：， ∴； (2) 小问详解： 解：三角形的周长； 16．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．    （1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； （2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 【答案】（1）     （2） 不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．      【分析】 本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解题意是关键； （1）设正方形的边长为，可得，再解方程即可； （2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算：　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知法则将原式化简进而求出即可． 【详解】 解：∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了新定义运算，二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键． 18．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查二次根式的新定义问题，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；由题意可设，由可知，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得： 由，可设：， ∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当取的正整数时，明显不符合题意，故x的值只能为1， ∴，即， ∴， ∴或2， 当时，则；当时，则； 故答案为或． 19．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】 解： ， 当时，原式． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）计算： （1） （2）) 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，绝对值，掌握运算法则即可解题． （1）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 21．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解，完全平方公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 22．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； （2）若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． (1) 小问详解： 解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 23．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： 材料三：因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式为_________，的有理化因式为________．（均写一个即可）________． （2）计算：（要求写出计算过程） （3）利用上述方法：若，求的值． 【答案】（1），，     （2）9     （3）7      【分析】 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行合并即可； （3）先进行分母有理化，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴的有理化因式为，的有理化因式为； ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，整式的四则混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘方和负整数的指数幂，然后进行整式的乘除即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 25．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）观察下列等式： ①3﹣2＝(﹣1)2， ②5﹣2＝(﹣)2， ③7﹣2＝(﹣)2， … 请你根据以上规律，写出第6个等式　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)． 【详解】∵①3﹣2＝(﹣1)2， ②5﹣2＝(﹣)2， ③7﹣2＝(﹣)2， …， ∴第n个等式为：(2n+1)-2=(﹣)2， ∴第6个等式为：， 故答案为． 【点睛】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与右边的变化规律是解题的关键. 26．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）计算=　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】 解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 27．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知，则代数式的值为 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出，再利用完全平方公式把代数式变形为，代入求值即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照b式化简＝______； （2）化简：； （3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【答案】（1）     （2）9     （3）      【分析】 本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）根据分母有理化的方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：能， ． 29．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ． 30．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）（1）当时，求分式的值． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】 本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则，解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简后，代值计算即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】 解：（1）， 当时，原式； （2）， ， ， ， ； 检验，当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 31．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），，     （2）9      【分析】 本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴；，； (2) 小问详解： 由（1）可知：，， ∴． 32．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； (2) 小问详解： 解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 33．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0     （2）4      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用完全平方公式和零指数幂的法则进行计算即可； （2）先化简，进行二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 34．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）7      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据运算顺序计算即可； （2）结合乘法公式先去括号，并计算除法，再进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式． 35．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据题意， 与 可以合并，说明它们是同类二次根式，先将 化简，再确定 的值即可． 【详解】 解： 与 可以合并，， 则 与 是同类二次根式， 即 （ 为正整数）， 两边平方得 ， 当 时， 取最小值，即 ， 验证： 与 可以合并， 故答案为：3． 36．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）在一个长为，宽为的矩形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】剩余部分的面积为平方米 【分析】 根据矩形的面积-正方形的面积即可得到剩余部分的面积． 【详解】 解： 平方米， 答：剩余部分的面积为平方米． 【点睛】 本题考查了二次根式的应用，掌握是解题的关键． 37．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： （1）将下列根式进行分母有理化，并化简： （2）定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）① 根据新定义可得，，而，据此代值计算即可；②设，则可推出，即；再根据题意可得，则，即． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：①∵，， ∴， ， ∴ ； ② 设， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和去绝对值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 39．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当        时，代数式取到最小值，最小值为       ; （2）用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ （4）若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为         【答案】（1），     （2）当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米     （3）当时，代数式取最大值，最大值为     （4）或       【分析】 本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． (1) 小问详解： 解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： (2) 小问详解： 设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； (3) 小问详解： ， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． (4) 小问详解： 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 40．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）在数学小组探究学习中，小组成员遇到这样一道题： 已知，求 的值．他们是这样解答的： 即， ， ， 请你根据以上的解题方法和过程，解决以下问题： （1）填空：          ； （2）化简； （3），求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值、利用平方差公式进行二次根式的分母有理化运算． 把二次根式的分子、分母同时乘以进行分母有理化即可； 根据中的思路，把算式的各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可； 把分母有理化可得：，再整理可得：，再整体代入代数式中计算求值即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ， ， 移项得：， 两边同时平方，可得：， 移项、合并同类项，可得：， ． 41．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】 解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 42．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 又例如：求代数式的最小值． 可知：当时，的最小值是，因此有最小值，最小值是． 请你用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________； （2）请你求的最小值； （3）若a、b满足，请计算； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． （1）利用配方法分解因式； （2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值； （3）利用配方法变式分组因式分解，求出，，再代入算式中计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， 所以当时，它有最小值是，所以的最小值是． (3) 小问详解： ， ， ， ， ，， \therefore \frac{1}{\sqrt{~ b}-\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2\right)}}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $