专题04 整式的乘法（5大考点）（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 湖南多地期中试题汇编，聚焦整式乘法5大核心考点，融合DF—5C导弹射程、《哪吒2》票房等时代情境，基础题与创新题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|同底数幂乘法、幂的乘方等|结合科学记数法考查运算能力| |填空|约20题|整式乘法、公式逆用|设置“相伴数对”新定义问题| |解答|约15题|平方差公式、完全平方公式|融入杨辉三角、阴影面积等探究题|

专题04 整式的乘法（5大考点） 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．C 2．【答案】2025 【分析】 本题考查同底数幂的乘法的逆运算，掌握知识点是解题的关键． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】 解：由已知条件和，根据指数运算法则，得 ． 故答案为2025． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．C 2．B 3．B 4．A 5．【答案】9 【分析】 本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 ，利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：9． 考点03 整式的乘法 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．A 11．B 12．B 13．D 14．B 15．D 16．C 17．B 18．C 19．D 20．A 21．A 22．B 23．【答案】 【详解】 解∶ 24．【答案】 【分析】 本题考查了列代数式，能根据题意列代数式是解题的关键． 根据题意，用含m的代数式表示小明还差的钱即可． 【详解】 解：∵苹果的总价为元，微信里全部余额元，且扫码付款时提示余额不足， ∴他还差的钱为元． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：72万， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 根据多项式乘多项式法则展开，再根据乘积中不含的一次项故可求解． 【详解】 解：原式， ， ∵的乘积中不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 此题考查多项式乘多项式法则，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 27．【答案】 【分析】 本题考查多项式除以单项式．利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答． 【详解】 解：长方形的另一边长为：， 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂的除法法则的逆用． 逆用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算． 先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】 解： ． 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 31．【答案】4 【分析】 本题考查了同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法法则，将代入，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：4． 32．【答案】 【分析】 本题考查了立方根、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据立方根、零指数幂、绝对值、有理数乘方的运算法则化简，再计算加减即可． 【详解】 解：原式 ． 33．【答案】 【分析】 本题考查的是多项式的乘法运算，先利用多项式乘以多项式法则展开，再根据不含的一次项可得关于 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】 解：， ∵ 展开结果中不含的一次项， ∴ ， 解得 ． 故答案为： 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的混合运算， （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算完全平方公式，单项式乘以多项式，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 35．【答案】解：，理由如下， ， ． 【分析】 本题考查整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先作差，再计算多项式乘多项式，最后合并同类项即可得出结论． 【详解】 略 36．【答案】 【分析】 本题考查同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义，两个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，由此列出方程求解和的值，再代入表达式计算． 【详解】 解：∵和是同类项， ∴的指数相等，即， 的指数相等，即． 代入，得：． 故答案为：． 37．【答案】， 【分析】 根据去括号，合并同类项，化简，后代入求值即可． 本题考查了整式的化简求值，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】 解： ． 当时， 原式． 38．【答案】 【分析】 此题考查同底数幂除法的逆运算，利用同底数幂的除法法则，将 表示为 ，再代入已知数值计算． 【详解】 解：∵ ，， ∴ ． 故答案为 ． 39．【答案】2 【分析】 本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】 解：，， 代入得 ， 解得， 故答案为：2． 40．【答案】2 【分析】 将已知两个等式相除，再根据同底数幂的除法法则进行解答便可． 【详解】 解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查同底数幂的除法的应用，关键是灵活应用同底数幂的除法法则的逆运算解题． 41．【答案】 【分析】 本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质是解题的关键．先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】 解： ． 42．【答案】 【分析】 本题主要考查了同底数幂除法法则的应用，掌握逆用同底数幂除法法则是解题的关键． 先将转化为，然后将已知条件代入计算即可解答． 【详解】 解：． 故答案为：． 43．【答案】， 【分析】 此题主要考查了整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键．去括号后合并同类项，最后把已知的数值代入求解即可． 【详解】 解：原式 ； 当时， 原式． 44．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题主要考查的是阴影部分面积的表示和多项式的乘法，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． （1）观察图形可知长方形的面积中间正方形的面积，长方形与中间正方形的边长均已知，结合长方形积正方形的面积公式，分别表示出它们的面积，进一步可表示出阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积化简结果，然后代入数据，，即可得到阴影部分面积，即可计算绿化总费用． (1) 小问详解： 解：阴影部分的面积为： ； (2) 小问详解： 解：当，时， 原式（平方米） 绿化总费用为（元） 答：绿化总费用为元． 45．【答案】8 【分析】 根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】 解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 46．【答案】-4或-2或0 【详解】分三种情况讨论： 当x+4=0，即x=-4时， 当x+1=1，即x=0时， 当x+1=-1，即x=-2时，， 综上，x的值为-4或-2或0， 故答案为-4或-2或0. 47．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． (1) 小问详解： 解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 48．【答案】6 【详解】解：（x﹣t）（x+6）=x2+（6﹣t）x﹣6t，由于其中不含一次项，则6﹣t=0，解得：t=6． 点睛：本题考查了多项式乘多项式的运算法则，不含哪一项就是让这一项的系数等于0，准确列式是解答本题的关键． 49．【答案】 【分析】 本题考查多项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 将已知乘积除以单项式，即可得到所求多项式． 【详解】 解：由题意，得 故答案为：． 50．【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题考查有理数及整式的混合运算，解题关键是掌握整式相关运算的法则． （1）先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加减即可； （2）先算积的乘方，再从左到右依次计算． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式 ． 51．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了整式的加减和化简求值，弄清楚题中的新定义是解本题的关键． （1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出的值； （2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，再把原式进行化简，最后代入进行计算即可． 【详解】 解：（1）根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． （2）由题意得：，即， 整理得：，即， ， 故答案为：． 52．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． （1）把B和A的式子代入，然后根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）由的结果与x的取值无关得出，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：若的结果与x的取值无关，则， 解得，． 53．【答案】（1）① 没有完成，；②     （2）2026      【分析】 本题考查了利用换元法和公式法分解因式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）① 该同学没有完成因式分解；再利用完全平方公式分解因式即可得； ② 设，则原式可变形为，先利用完全平方公式分解因式，再将代入，利用完全平方公式分解因式即可得； （2）设，则原式可变形为，计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． (1) 小问详解： 解：① 该同学没有完成因式分解． 最后的结果是：原式 ， 故答案为：． ② 设， 原式 ． (2) 小问详解： 解：设， 原式 ． 54．【答案】，4 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 55．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）逆用同底数幂的除法及幂的乘方即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∵ ，， ； (2) 小问详解： 解：， ， ． 考点04 平方差公式 1．D 2．A 3．D 4．D 5．B 6．【答案】6． 【详解】试题分析：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×3=6． 故答案是6． 考点：平方差公式． 7．【答案】（1），     （2） 证明：设， ， ，符合定义， 又， ， 除以外的所有正奇数都是“麓山数”；     （3）      【分析】 本题考查了整数问题的综合运用，新定义运算问题，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案． （1）根据“麓山数”的定义和规律即可解答； （2）设，根据“麓山数”的定义进行解答即可； （3）由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，再通过总结偶数中“麓山数”的特点，即可得解． (1) 小问详解： 解：由平方差公式知，无法分解成整数的平方差形式，， ，均为正整数， 最小的“麓山数”是， ， 两位数中最大的“麓山数”是； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，又偶数中也存在“麓山数”，故讨论偶数是“麓山数”的特点． 设，且为偶数，则， 为偶数，故因式与为一奇一偶或两个偶数． 当与为一奇一偶时，奇偶奇数， ，为正整数， 为偶数，这与为奇数矛盾， 故与不可能为一奇一偶； 当与为两个偶数时，不妨设，， ， ，均为正整数，且， 且， 当为偶数时，除之外所有的倍数是“麓山数”． 以内（含）除掉有个奇数为“麓山数”， 以内（含）以外是的倍数的偶数共有个数为“麓山数”， 合计个“麓山数”， 第个“麓山数”是，第个“麓山数”是， 第个“麓山数”是． 考点05 完全平方公式 1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．【答案】 【分析】 本题考查代数式求值．将化为，代入计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 7．【答案】，1 【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】 此题考查整式的混合运算-化简求值，掌握运算法则是解题关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减，最后代入数值求解即可． 【详解】 解：原式 ， 当，时，原式． 9．【答案】 【分析】 此题考查了整式的混合运算和化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入求值即可． 【详解】 解：原式 当时， 原式． 10．【答案】绿化面积是平方米，当，时的绿化面积为 【分析】 此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．阴影部分即绿化面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；然后把，的值代入计算即可． 【详解】 解：绿化面积为 ， ， 当，时，原式， 答：绿化面积是平方米，当，时的绿化面积为． 11．【答案】 【分析】 根据完全平方式的特点得出，再求出m即可． 【详解】 解：， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 12．【答案】， 【分析】 本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，以及代数式的化简求值．解题关键是正确展开公式并合并同类项，化简原式后再代入数值计算；易错点是展开公式时符号处理错误（如平方差公式中的去括号）． 先利用完全平方公式展开得，利用平方差公式展开得；再去括号、合并同类项，将原式化简为；最后把、代入化简后的式子，计算得出结果． 【详解】 解：原式， 当，时， 13．【答案】（1）8；     （2）．      【分析】 本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① ，② ， ①② 得：， 则． (2) 小问详解： ①② 得：， 即． 14．【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可；． （3）利用完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解：原式 (4) 小问详解： 解：原式 ． 15．【答案】14 【分析】 本题主要考查了完全平方公式．利用已知条件和，通过平方公式求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴，即 故答案为：14 16．【答案】 【分析】 利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】 解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 17．【答案】（1）52；     （2）；     （3）．      【分析】 此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴ ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 18．【答案】（1）     （2）17     （3）图中阴影部分面积为      【分析】 （1）根据公式变形计算即可． （2）设，则，，，根据公式，变形计算即可． （3）设，则，求得后，计算三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：12． (2) 小问详解： ∵， 设， 则，，， ∵， ∴， 故． (3) 小问详解： ∵，两正方形的面积和， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式变形是解题的关键． 19．【答案】（1）；是     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“智慧数”的定义可得； （2）利用配方法，将S配成智慧数，可求k的值． (1) 小问详解： ， 是“智慧数”． 小于的（5除外）“智慧数”为；（答案不唯一）， 是“智慧数”． (2) 小问详解： ， 是“智慧数”， ， ． 当时，S为“智慧数”． 20．【答案】（1），     （2）     （3） 如图； ；     （4）①；②16      【分析】 本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可； （4）① 由题意可求出，即，再将代入求解即可； ② 将原等式改为，再将看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． (1) 小问详解： 解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； (2) 小问详解： 解：由图2可直接得出； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：① ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ， ∴． 21．【答案】 【分析】 先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可． 【详解】 解：∵两个正方形边长分别为m，n， ∴阴影部分的面积为： ； ∵， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是列代数式，整式的乘法运算，完全平方公式的变形，熟练的利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解本题的关键． 22．【答案】2025 【分析】 本题考查了代数式求值．先对进行变形为，然后整体逐次代入计算即可，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键． 【详解】 解：由可得， ∴ ． 故答案为2025． 23．【答案】（1）② ④     （2）     （3）有最小值，最小值为2      【分析】 本题考查完全平方式和完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行判断即可； （2）根据完全平方式的特点，进行作答即可； （3）仿照题干方法，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：在；②；③；④中，是完全平方式的有② ④； 故答案为：② ④； (2) 小问详解： ，故可以加上，变成一个完全平方式； 故答案为：； (3) 小问详解： 有最小值： ， ∵， ∴， ∴有最小值为2． 24．【答案】﹣8x＋13，21 【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】 原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9）        =4x2-8x+4-4x2+9        =﹣8x+13， 当x=-1时，原式=8+13=21． 【点睛】 此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 25．【答案】，1 【分析】 本题考查了整式的混合运算-化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】 解： ； 当，时，原式． 26．【答案】（1）     （2）①；② 图② 中空白部分图形的面积为      【分析】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图① 中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图① 中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ② 根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． (1) 小问详解： 解：由题意知，将图① 中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图① 大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：① 由图② 可知，， 故答案为：． ② 由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图② 中空白部分图形的面积为． 27．【答案】（1）5，19     （2）10     （3）阴影部分的面积为11．      【分析】 本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：设，， 则，， ∴； (2) 小问详解： 足，求的值 解：设， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是30， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为11． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）已知，，则的值为　　　　　　． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列各式中，计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）下列运算正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）已知，则的值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知 ，那么的值为　　　　　　　　　　　　 考点03 整式的乘法 1．（八上·湖南衡阳·期中）若，则的值分别是（       ） A.  B.  C.  D. 1，6 2．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是 （    ） A.  B.  C.  D. 或 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）年月日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．在阅兵仪式上，最后登场的是护国重器DF—5C洲际弹道导弹，这款导弹射程超过公里，可以覆盖全球任意角落，展示了中国战略核力量的全新高度．用科学记数法将数据表示为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（八上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列运算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若 3x= 15，3y =5，则=（       ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 9．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知，，则的值等于（       ） A. 0 B.  C. 72 D.  10．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（     ） A.  B. 3 C. 0 D. 1 11．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）单项式的系数和次数分别是（     ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 15．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）截止到2025年10月17日，电影《哪吒2》的全球总票房突破159亿元人民币，位居全球影史票房榜第五名，成为首部跻身此列的亚洲电影，这一成绩不仅是中国动画工业的一次飞跃，更是中国文化自信与科技自信的双重胜利，数据15900000000用科学记数法表示应为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（       ）    A. 10 B. 11 C. 56 D. 112 17．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知：，，若符合前面式子的规律，则（     ） A. 100 B. 110 C. 99 D. 109 20．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）一定规律排列的一列单项式如下：，，，，，第2025个单项式是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列计算正确的是（　　） A. a2•a3=a5 B. a+a=a2 C. （a2）3=a5 D. a2（a+1）=a3+1 22．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（       ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 23．（八上·湖南衡阳·期中）　　　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差　　　　　　　　　　　　　　　元 25．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）据统计，2025年湖南省多个地区中考报名人数合计72万人，将72万用科学记数法表示为　　　　　． 26．（八上·湖南衡阳·期中）若的乘积中不含项，则　　　　 ． 27．（八上·湖南衡阳·期中）若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为　　　　　　． 28．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，，则　　　　　． 29．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算：． 30．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算：． 33．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知的展开结果中不含的一次项，则　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）化简： （1）； （2）． 35．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）为了比较两个数大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若差为负数，则被减数小于减数．已知：，，其中为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 36．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）如果和是同类项，那么　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）先化简，再求值：，其中． 38．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）已知，，则　　　　． 39．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）若，，则　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若，，则　　　　　　． 41．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算：． 42．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，，则　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：其中． 44．（八上·湖南衡阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像. （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积，如果绿化费用为每平方米元，求绿化总费用. 45．（八上·湖南衡阳·期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是　　　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知则x=　　　　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项． （1）求、的值； （2）求的值． 48．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）若(x-t)(x+6)的积中不含有x的一次项，则t的值是　　　　　　　. 49．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）若一个多项式与单项式的乘积为，则这个多项式为　　　　　　． 50．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）计算： （1）； （2）． 51．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则　　　　　　； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为　　　　　　． 52．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）已知关于x的多项式A、B，其中． （1）化简； （2）若的结果与x的取值无关，求m、n的值． 53．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： ． 54．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 55．（八上·湖南衡阳·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 考点04 平方差公式 1．（八上·湖南衡阳·期中）如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（八上·湖南衡阳·期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）计算，结果的个位数字是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若a+b=2，a－b=3，则a2－b2=　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“麓山数”，即：若正整数（，为正整数，且），则称正整数为“麓山数”．例如：，，所以和都是“麓山数”． （1）根据定义，请写出最小的“麓山数”是______，两位数中最大的“麓山数”是______； （2）求证：除以外的所有正奇数都是“麓山数”； （3）将所有麓山数从小到大排列，请求出第个“麓山数”是多少． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若是完全平方式，则k的值是（     ） A. 8 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（     ） A. 5 B.  C. 9或 D. 5或 3．（八上·湖南衡阳·期中）若是完全平方式，则的值是（     ） A. 6 B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）对于实数a、b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（　　） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 5．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）若x2+8x+m是完全平方式，则m的值为(     ) A. 4 B. ﹣4 C. 16 D. ﹣16 6．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）若，则的值为　　　　　． 7．（八上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值： ，其中，． 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为米的雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当，时的绿化面积． 11．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）已知是一个完全平方式，则　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）先化简，再求值：，其中，． 13．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 14．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）若，，则　　　　　． 16．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若是一个完全平方式，则的值是　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 18．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）对完全平方公式：适当的变形可以解决很多数学问题，例如： 若，，求的值． 解：因为， 所以，即：，又因为， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，．求的值； （2）填空：若．则______； （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 19．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” （1）请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； （2）已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 20．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． （2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 21．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）如图，两个正方形边长分别为m，n，如果，则阴影部分的面积为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）已知，则　　　　　　． 23．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以所以的最小值为4 问题： （1）下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） （2）给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） （3）代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 24．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 25．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 26．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为                 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为                 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 27．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若满足，求解的值过程如下：设，，则，，则． 请仿照上面的整体思想，结合所学乘法公式求解下面的问题： （1）若满足，求解的值时，设，，则，__________； （2）若满足，求的值； （3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是30，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查乘方运算的含义，同底数幂的乘法运算，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】 解： ． 故选： C． 2．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）已知，，则的值为　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查同底数幂的乘法的逆运算，掌握知识点是解题的关键． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】 解：由已知条件和，根据指数运算法则，得 ． 故答案为2025． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列各式中，计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】 解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）下列运算正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方）以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．根据幂的运算法则（积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方）以及完全平方公式，对每个选项进行分析判断，即可解题． 【详解】 解：，故选项A错误，不符合题意． ，故选项B正确，符合题意． ，故选项C错误，不符合题意． ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）已知，则的值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方运算，将方程中的9和27都转化为以3为底的幂，利用同底数幂相乘的法则和指数相等的性质求解． 【详解】 解：∵ ， ， ∴ ，， 原方程化为：， 即 ， ∴ ， ∴ 解得 ， ∴ ． 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，根据这些性质逐一判断各选项即可 【详解】 ∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，选项A正确； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，选项B错误； ∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，选项C错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，选项D错误； 故选：A 5．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知 ，那么的值为　　　　　　　　　　　　 【答案】9 【分析】 本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 ，利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：9． 考点03 整式的乘法 1．（八上·湖南衡阳·期中）若，则的值分别是（       ） A.  B.  C.  D. 1，6 【答案】A 【分析】 由多项式乘以多项式可得，从而可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， 故选A 【点睛】 本题考查的是多项式乘以多项式，熟记多项式的乘法运算是解本题的关键． 2．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是 （    ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】 解；∵多项式是关于的四次三项式， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了多项式的次数和项定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）年月日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．在阅兵仪式上，最后登场的是护国重器DF—5C洲际弹道导弹，这款导弹射程超过公里，可以覆盖全球任意角落，展示了中国战略核力量的全新高度．用科学记数法将数据表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式是做题的关键．根据科学记数法要求形式为 ，其中 ， 为整数即可表示出 20000 的科学记数法． 【详解】 解：∵ ，且 满足 ， ∴的科学记数法为： ． 故选：A． 4．（八上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂的运算法则以及合并同类项法则，逐个进行判断即可． 【详解】 解：A、和不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母指数不变，只把系数相加减． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列运算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查幂的运算，包括积的乘方、同底数幂的乘法和除法运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、，，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了多项式除以单项式， 每一项分别除以该单项式，即可得出结果． 【详解】 解： = = ， 故选：B． 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若 3x= 15，3y =5，则=（       ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 【答案】B 【分析】 先逆用同底数幂的除法法则把变形，再把3x= 15，3y =5代入计算． 【详解】 解：∵3x= 15，3y =5， ∴==15÷5=3， 故选B． 【点睛】 本题考查了同底数幂除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 9．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知，，则的值等于（       ） A. 0 B.  C. 72 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算．根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴． 故选：D． 10．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（     ） A.  B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【分析】 本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】 解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 11．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可． 【详解】 解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能熟记知识点是解此题的关键． 12．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方以及加减法的合并条件． 【详解】 选项A：∵ 和不是同类项，不能合并， ∴，A错误； 选项B：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，B正确。 选项C：∵ ， ∴ ，C错误； 选项D：∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，D错误； 故选：B． 13．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则，直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【详解】 解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；        B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 14．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）单项式的系数和次数分别是（     ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】B 【分析】 本题考查单项式的有关概念，根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，包括符号，次数是所有字母的指数之和，即可求解． 【详解】 解：∵单项式的数字因数是， ∴系数为； 又∵的指数是，的指数是， ∴次数为． 故选：B． 15．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）截止到2025年10月17日，电影《哪吒2》的全球总票房突破159亿元人民币，位居全球影史票房榜第五名，成为首部跻身此列的亚洲电影，这一成绩不仅是中国动画工业的一次飞跃，更是中国文化自信与科技自信的双重胜利，数据15900000000用科学记数法表示应为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：， 故选：D． 16．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（       ）    A. 10 B. 11 C. 56 D. 112 【答案】C 【分析】 本题考查程序流程图与代数式求值．将时代入， 并计算，若结果大于50，则直接输出，否则将结果作为x重新计算 ，直至结果大于50为止． 【详解】 解：当时，， ； 当时，， ， 输出结果为 故选：C． 17．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】 解：A、，故该选项不正确，不符合题意；         B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；        D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 18．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据同类项合并规则、单项式的乘法与除法的运算法则、幂的乘方法则逐一判断选项，得到正确结果． 【详解】 解：∵选项A中，与不是同类项，不能合并， ∴A错误． ∵选项B中，根据同底数幂除法法则，， ∴B错误． ∵选项C中，根据同底数幂乘法法则，，计算正确， ∴C正确． ∵选项D中，根据幂的乘方法则，， ∴D错误． 19．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知：，，若符合前面式子的规律，则（     ） A. 100 B. 110 C. 99 D. 109 【答案】D 【分析】 本题考查了数字等式规律的探究，解题的关键是找出等式中整数部分与分数部分分子、分母的关系，即整数n对应的分数分子为n，分母为． 先观察已知等式，发现等式左边整数与分数分子相同（如2与2、3与3），分数分母为整数的平方减1（如、）；再根据此规律确定当整数为10时，分数的分子b和分母a，最后计算，匹配选项． 【详解】 解：观察已知等式规律：对于整数n，等式为（如时，）． 当时，由规律得，，则，对应选项D． 故选：D． 20．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）一定规律排列的一列单项式如下：，，，，，第2025个单项式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查单项式的规律探究，解题的关键是分别分析单项式的系数符号、系数绝对值、字母及指数的规律． 先分别找出单项式的系数符号、系数绝对值、字母及指数的规律，再根据规律求出第2025个单项式． 【详解】 解：由题可知， 奇数项为正，偶数项为负，第2025项是奇数项，所以系数符号为正． 第一个单项式：，系数分母； 第二个单项式：，系数分母； 第三个单项式：，系数分母； ．．．．．． 第个单项式的系数分母为， 所以第个单项式可表示为：； 所以第2025个单项式是，对应选项A． 故选：A． 21．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列计算正确的是（　　） A. a2•a3=a5 B. a+a=a2 C. （a2）3=a5 D. a2（a+1）=a3+1 【答案】A 【详解】A．a2•a3=a5，故此选项正确；B．a+a=2a，故此选项错误； C．（a2）3=a6，故此选项错误；D．a2（a+1）=a3+a2，故此选项错误；故选A． 22．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（       ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】 解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 23．（八上·湖南衡阳·期中）　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解∶ 24．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差　　　　　　　　　　　　　　　元 【答案】 【分析】 本题考查了列代数式，能根据题意列代数式是解题的关键． 根据题意，用含m的代数式表示小明还差的钱即可． 【详解】 解：∵苹果的总价为元，微信里全部余额元，且扫码付款时提示余额不足， ∴他还差的钱为元． 故答案为：． 25．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）据统计，2025年湖南省多个地区中考报名人数合计72万人，将72万用科学记数法表示为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：72万， 故答案为：． 26．（八上·湖南衡阳·期中）若的乘积中不含项，则　　　　 ． 【答案】 【分析】 根据多项式乘多项式法则展开，再根据乘积中不含的一次项故可求解． 【详解】 解：原式， ， ∵的乘积中不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 此题考查多项式乘多项式法则，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 27．（八上·湖南衡阳·期中）若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查多项式除以单项式．利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答． 【详解】 解：长方形的另一边长为：， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂的除法法则的逆用． 逆用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 29．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算． 先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】 解： ． 30．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 31．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法法则，将代入，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：4． 32．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了立方根、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据立方根、零指数幂、绝对值、有理数乘方的运算法则化简，再计算加减即可． 【详解】 解：原式 ． 33．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知的展开结果中不含的一次项，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是多项式的乘法运算，先利用多项式乘以多项式法则展开，再根据不含的一次项可得关于 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】 解：， ∵ 展开结果中不含的一次项， ∴ ， 解得 ． 故答案为： 34．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的混合运算， （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算完全平方公式，单项式乘以多项式，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 35．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）为了比较两个数大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若差为负数，则被减数小于减数．已知：，，其中为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】解：，理由如下， ， ． 【分析】 本题考查整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先作差，再计算多项式乘多项式，最后合并同类项即可得出结论． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）如果和是同类项，那么　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义，两个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，由此列出方程求解和的值，再代入表达式计算． 【详解】 解：∵和是同类项， ∴的指数相等，即， 的指数相等，即． 代入，得：． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 根据去括号，合并同类项，化简，后代入求值即可． 本题考查了整式的化简求值，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】 解： ． 当时， 原式． 38．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）已知，，则　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查同底数幂除法的逆运算，利用同底数幂的除法法则，将 表示为 ，再代入已知数值计算． 【详解】 解：∵ ，， ∴ ． 故答案为 ． 39．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）若，，则　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】 解：，， 代入得 ， 解得， 故答案为：2． 40．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若，，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 将已知两个等式相除，再根据同底数幂的除法法则进行解答便可． 【详解】 解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查同底数幂的除法的应用，关键是灵活应用同底数幂的除法法则的逆运算解题． 41．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质是解题的关键．先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】 解： ． 42．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了同底数幂除法法则的应用，掌握逆用同底数幂除法法则是解题的关键． 先将转化为，然后将已知条件代入计算即可解答． 【详解】 解：． 故答案为：． 43．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】 此题主要考查了整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键．去括号后合并同类项，最后把已知的数值代入求解即可． 【详解】 解：原式 ； 当时， 原式． 44．（八上·湖南衡阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像. （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积，如果绿化费用为每平方米元，求绿化总费用. 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题主要考查的是阴影部分面积的表示和多项式的乘法，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． （1）观察图形可知长方形的面积中间正方形的面积，长方形与中间正方形的边长均已知，结合长方形积正方形的面积公式，分别表示出它们的面积，进一步可表示出阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积化简结果，然后代入数据，，即可得到阴影部分面积，即可计算绿化总费用． (1) 小问详解： 解：阴影部分的面积为： ； (2) 小问详解： 解：当，时， 原式（平方米） 绿化总费用为（元） 答：绿化总费用为元． 45．（八上·湖南衡阳·期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】 解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 46．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知则x=　　　　　　　　　　　　　． 【答案】-4或-2或0 【详解】分三种情况讨论： 当x+4=0，即x=-4时， 当x+1=1，即x=0时， 当x+1=-1，即x=-2时，， 综上，x的值为-4或-2或0， 故答案为-4或-2或0. 47．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项． （1）求、的值； （2）求的值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． (1) 小问详解： 解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 48．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）若(x-t)(x+6)的积中不含有x的一次项，则t的值是　　　　　　　. 【答案】6 【详解】解：（x﹣t）（x+6）=x2+（6﹣t）x﹣6t，由于其中不含一次项，则6﹣t=0，解得：t=6． 点睛：本题考查了多项式乘多项式的运算法则，不含哪一项就是让这一项的系数等于0，准确列式是解答本题的关键． 49．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）若一个多项式与单项式的乘积为，则这个多项式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查多项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 将已知乘积除以单项式，即可得到所求多项式． 【详解】 解：由题意，得 故答案为：． 50．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题考查有理数及整式的混合运算，解题关键是掌握整式相关运算的法则． （1）先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加减即可； （2）先算积的乘方，再从左到右依次计算． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式 ． 51．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则　　　　　　； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了整式的加减和化简求值，弄清楚题中的新定义是解本题的关键． （1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出的值； （2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，再把原式进行化简，最后代入进行计算即可． 【详解】 解：（1）根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． （2）由题意得：，即， 整理得：，即， ， 故答案为：． 52．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）已知关于x的多项式A、B，其中． （1）化简； （2）若的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． （1）把B和A的式子代入，然后根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）由的结果与x的取值无关得出，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：若的结果与x的取值无关，则， 解得，． 53．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】（1）① 没有完成，；②     （2）2026      【分析】 本题考查了利用换元法和公式法分解因式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）① 该同学没有完成因式分解；再利用完全平方公式分解因式即可得； ② 设，则原式可变形为，先利用完全平方公式分解因式，再将代入，利用完全平方公式分解因式即可得； （2）设，则原式可变形为，计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． (1) 小问详解： 解：① 该同学没有完成因式分解． 最后的结果是：原式 ， 故答案为：． ② 设， 原式 ． (2) 小问详解： 解：设， 原式 ． 54．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 55．（八上·湖南衡阳·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）逆用同底数幂的除法及幂的乘方即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∵ ，， ； (2) 小问详解： 解：， ， ． 考点04 平方差公式 1．（八上·湖南衡阳·期中）如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系式推导出乘法公式． 根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果． 【详解】 解：解：∵图形① 中阴影部分的面积可表示为：， 图形② 中阴影部分的面积可表示为， ∴， 故选：D． 2．（八上·湖南衡阳·期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 【详解】 解：A、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选符合题意； B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键． 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：． 4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平方差公式．平方差公式适用于两数和与两数差的乘积，即的形式，需逐一检查各选项是否匹配此结构，即可作答． 【详解】 解： A、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； B、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； C、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； D、具有相同项和相反项，符合平方差公式，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）计算，结果的个位数字是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】B 【分析】 根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5． 【详解】 解： … ． ∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现． ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为． 故选B． 【点睛】 本题考查平方差公式的应用，数字类变化规律．正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若a+b=2，a－b=3，则a2－b2=　　　　　　　　　　． 【答案】6． 【详解】试题分析：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×3=6． 故答案是6． 考点：平方差公式． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“麓山数”，即：若正整数（，为正整数，且），则称正整数为“麓山数”．例如：，，所以和都是“麓山数”． （1）根据定义，请写出最小的“麓山数”是______，两位数中最大的“麓山数”是______； （2）求证：除以外的所有正奇数都是“麓山数”； （3）将所有麓山数从小到大排列，请求出第个“麓山数”是多少． 【答案】（1），     （2） 证明：设， ， ，符合定义， 又， ， 除以外的所有正奇数都是“麓山数”；     （3）      【分析】 本题考查了整数问题的综合运用，新定义运算问题，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案． （1）根据“麓山数”的定义和规律即可解答； （2）设，根据“麓山数”的定义进行解答即可； （3）由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，再通过总结偶数中“麓山数”的特点，即可得解． (1) 小问详解： 解：由平方差公式知，无法分解成整数的平方差形式，， ，均为正整数， 最小的“麓山数”是， ， 两位数中最大的“麓山数”是； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，又偶数中也存在“麓山数”，故讨论偶数是“麓山数”的特点． 设，且为偶数，则， 为偶数，故因式与为一奇一偶或两个偶数． 当与为一奇一偶时，奇偶奇数， ，为正整数， 为偶数，这与为奇数矛盾， 故与不可能为一奇一偶； 当与为两个偶数时，不妨设，， ， ，均为正整数，且， 且， 当为偶数时，除之外所有的倍数是“麓山数”． 以内（含）除掉有个奇数为“麓山数”， 以内（含）以外是的倍数的偶数共有个数为“麓山数”， 合计个“麓山数”， 第个“麓山数”是，第个“麓山数”是， 第个“麓山数”是． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若是完全平方式，则k的值是（     ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征，将给定的代数式与完全平方公式的形式对比，求出的值． 【详解】 解：∵ 是完全平方式， ∴ 设， ∴ ，解得， ∴ ， 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（     ） A. 5 B.  C. 9或 D. 5或 【答案】D 【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】 解：根据完全平方公式可得：， 解得：或， 故选：D． 3．（八上·湖南衡阳·期中）若是完全平方式，则的值是（     ） A. 6 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的两倍放中间，进行求解即可． 【详解】 解：由条件可得， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）对于实数a、b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（　　） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【分析】 本题主要考查新定义，准确理解题意是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案． 【详解】 解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数， ， ， 的算术平方根为， 故选D． 5．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）若x2+8x+m是完全平方式，则m的值为(     ) A. 4 B. ﹣4 C. 16 D. ﹣16 【答案】C 【分析】根据乘积项先确定出这两个数是x和4，再根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可 【详解】∵x2+8x+m是完全平方式， ∴这两个数是x、4， ∴m=42=16． 故选C. 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是解题的关键． 6．（25-26学年八上·湖南岳阳弘毅新华中学·期中）若，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查代数式求值．将化为，代入计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 7．（八上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，1 【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】 此题考查整式的混合运算-化简求值，掌握运算法则是解题关键． 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减，最后代入数值求解即可． 【详解】 解：原式 ， 当，时，原式． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】 此题考查了整式的混合运算和化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入求值即可． 【详解】 解：原式 当时， 原式． 10．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为米的雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当，时的绿化面积． 【答案】绿化面积是平方米，当，时的绿化面积为 【分析】 此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．阴影部分即绿化面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；然后把，的值代入计算即可． 【详解】 解：绿化面积为 ， ， 当，时，原式， 答：绿化面积是平方米，当，时的绿化面积为． 11．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）已知是一个完全平方式，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据完全平方式的特点得出，再求出m即可． 【详解】 解：， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 12．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，以及代数式的化简求值．解题关键是正确展开公式并合并同类项，化简原式后再代入数值计算；易错点是展开公式时符号处理错误（如平方差公式中的去括号）． 先利用完全平方公式展开得，利用平方差公式展开得；再去括号、合并同类项，将原式化简为；最后把、代入化简后的式子，计算得出结果． 【详解】 解：原式， 当，时， 13．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）8；     （2）．      【分析】 本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① ，② ， ①② 得：， 则． (2) 小问详解： ①② 得：， 即． 14．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可；． （3）利用完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解：原式 (4) 小问详解： 解：原式 ． 15．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）若，，则　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题主要考查了完全平方公式．利用已知条件和，通过平方公式求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴，即 故答案为：14 16．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若是一个完全平方式，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】 解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 17．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）52；     （2）；     （3）．      【分析】 此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴ ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 18．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）对完全平方公式：适当的变形可以解决很多数学问题，例如： 若，，求的值． 解：因为， 所以，即：，又因为， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，．求的值； （2）填空：若．则______； （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）     （2）17     （3）图中阴影部分面积为      【分析】 （1）根据公式变形计算即可． （2）设，则，，，根据公式，变形计算即可． （3）设，则，求得后，计算三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：12． (2) 小问详解： ∵， 设， 则，，， ∵， ∴， 故． (3) 小问详解： ∵，两正方形的面积和， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式变形是解题的关键． 19．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” （1）请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； （2）已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 【答案】（1）；是     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“智慧数”的定义可得； （2）利用配方法，将S配成智慧数，可求k的值． (1) 小问详解： ， 是“智慧数”． 小于的（5除外）“智慧数”为；（答案不唯一）， 是“智慧数”． (2) 小问详解： ， 是“智慧数”， ， ． 当时，S为“智慧数”． 20．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1______；方法2______． （2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上； （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1），     （2）     （3） 如图； ；     （4）①；②16      【分析】 本题考查完全平方公式的运用，利用数形结合的思想和熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积计算，两个小正方形和两个小矩形的面积计算即可； （2）由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积即得出答案； （3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，即由2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形即可； （4）① 由题意可求出，即，再将代入求解即可； ② 将原等式改为，再将看作整体，由完全平方公式去括号计算即可． (1) 小问详解： 解：方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； (2) 小问详解： 解：由图2可直接得出； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：① ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ， ∴． 21．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）如图，两个正方形边长分别为m，n，如果，则阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可． 【详解】 解：∵两个正方形边长分别为m，n， ∴阴影部分的面积为： ； ∵， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是列代数式，整式的乘法运算，完全平方公式的变形，熟练的利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解本题的关键． 22．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查了代数式求值．先对进行变形为，然后整体逐次代入计算即可，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键． 【详解】 解：由可得， ∴ ． 故答案为2025． 23．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以所以的最小值为4 问题： （1）下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） （2）给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） （3）代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 【答案】（1）② ④     （2）     （3）有最小值，最小值为2      【分析】 本题考查完全平方式和完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行判断即可； （2）根据完全平方式的特点，进行作答即可； （3）仿照题干方法，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：在；②；③；④中，是完全平方式的有② ④； 故答案为：② ④； (2) 小问详解： ，故可以加上，变成一个完全平方式； 故答案为：； (3) 小问详解： 有最小值： ， ∵， ∴， ∴有最小值为2． 24．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣8x＋13，21 【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】 原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9）        =4x2-8x+4-4x2+9        =﹣8x+13， 当x=-1时，原式=8+13=21． 【点睛】 此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 25．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】 本题考查了整式的混合运算-化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】 解： ； 当，时，原式． 26．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为                 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为                 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】（1）     （2）①；② 图② 中空白部分图形的面积为      【分析】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图① 中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图① 中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ② 根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． (1) 小问详解： 解：由题意知，将图① 中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图① 大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：① 由图② 可知，， 故答案为：． ② 由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图② 中空白部分图形的面积为． 27．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）若满足，求解的值过程如下：设，，则，，则． 请仿照上面的整体思想，结合所学乘法公式求解下面的问题： （1）若满足，求解的值时，设，，则，__________； （2）若满足，求的值； （3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是30，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）5，19     （2）10     （3）阴影部分的面积为11．      【分析】 本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：设，， 则，， ∴； (2) 小问详解： 足，求的值 解：设， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是30， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为11． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $