专题03 轴对称（5大考点）（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦八年级轴对称专题，精选湖南多地期中试题，融合抗战阅兵、科技图标等现实情境，设置选择、填空、解答梯度题型，覆盖5大核心考点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|轴对称性质、垂直平分线、等腰三角形判定|以校徽图案、节约标识考轴对称识别，结合缆车模型考等腰三角形应用| |填空|约10题|对称点坐标、线段垂直平分线性质、等腰三角形角度计算|通过尺规作图痕迹分析线段关系，设置动态点求最小值问题| |解答|约10题|轴对称作图、等腰/等边三角形证明与计算|杜甫江阁屋顶结构考三线合一，等边三角形动态问题融合旋转与全等推理|

专题03 轴对称（5大考点） 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．【答案】19 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】 解：由折叠的性质可得，， ∵周长等于， ∴， ∴， ∴， ∴周长， 故答案为：19． 考点02 线段的垂直平分线 1．C 2．D 3．B 4．B 5．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 6．【答案】53 【分析】 本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】 解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：53． 7．【答案】6 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．  由的垂直平分线交于点得， 从而得到，由的周长为，即，代入即可得解． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴． 故答案为：． 8．【答案】16 【分析】 本题考查线段垂直平分线的判定和性质．根据题意可判断为的垂直平分线，即得出，再利用三角形周长公式即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 故答案为：16． 9．【答案】12 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义得到，再由三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】 解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：． 10．【答案】50 【分析】 本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余，能根据作图痕迹知道是解题的关键．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】 解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：50． 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．A 3．D 4．B 5．【答案】（1） 如图所示， ∴即为所求图形；     （2）     （3）5      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的性质是关键． （1）根据点关于轴对称的特点得到点的坐标，连接各点即可求解； （2）根据点关于轴对称的特点求解，即关于轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变； （3）运用分割法计算即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：根据题意得到； (3) 小问详解： 解：． 6．【答案】（1） ，     （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称： （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求； ∵与关于轴对称，， ∴． (2) 小问详解： 解；由题意得，． 7．【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，即为所求；      （3）4      【分析】 本题考查坐标与图形变换—平移和轴对称，熟练掌握平移的性质，轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）利用网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ． 8．【答案】（1）如图所示     （2）     （3）如图所示      【分析】 本题考查坐标系中点的特征，轴对称图形，熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键， （1）根据坐标系中点的特征，分别找到点的坐标，再依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据“将军饮马”的数学思想，连接于轴的交点即为所求． (1) 小问详解： 解：由图可知：， ∴关于轴对称的点为：， 依次连接如图所示： (2) 小问详解： 解：由（1）可得：． (3) 小问详解： 解：连接于轴的交于点，此时的值最小． 9．【答案】（1） 解：如图，即为所求作：      （2）点的坐标为      【分析】 本题考查在平面直角坐标系中进行轴对称变换作图及平行于y轴的直线上的点的坐标的特点，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，是正确解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，即可求出a的值，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，点与点关于轴对称， ． ，轴， 点的纵坐标为4， ， ， ， 点的坐标为． 10．【答案】（1）     （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义可得的坐标是，则可得方程组 ，解方程组即可得到答案； （3）根据“一中对称点”的定义可得的坐标是，则根据第三象限内的点的横纵坐标都为负得到 ，解不等式组得到，则一定存在一个整数k满足 ，据此求出k的整数解，进而求出m的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； (2) 小问详解： 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； 又∵的坐标是， ∴ ， ∴ ； (3) 小问详解： 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； ∵点在第三象限， ∴ ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴不等式组的解集为． ∵x恰有2个整数解， ∴存在这样的整数k满足 ∴ ∵不等式组有解， ∴ 解得． ∴k取或0或1， 当时，可得 ，解得； 当时，可得 ，解得； 当时，可得 ，解得． 综上所述：或或． 考点04 等腰三角形 1．D 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D 7．【答案】3 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 8．【答案】 【分析】 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 9．【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 10．【答案】20 【分析】 根据等腰三角形的性质与判定分别求得，进而求得的周长． 【详解】 ∵在中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵于点D， ∴． ∵， ∴的周长． 故答案为：20 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 11．【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中，        ．     （2）6      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等腰三角形的判定及性质． （1）利用证明，即可； （2）根据，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，再证明，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作于点，设线段交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．【答案】（1） 证明：， ， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰三角形．     （2）3      【分析】 此题考查平行线的性质，等角对等边，直角三角形30度角的性质， （1）由平行线推出，结合角平分线得到，由此证得，即可得到结论； （2）由角平分线求出，得到，据此求出． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 由（1）， 中，， ． 13．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， （）     （2）．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为． （1）根据，得，即可求证； （2）由，得到；即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， 即的度数为． 14．【答案】（1） 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）先由平行线的性质得，易证得，即可得； （2）由，，得，又，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ， ． 15．【答案】度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解． 【详解】 解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 16．【答案】50度 【分析】 先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】 解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 17．【答案】（1） 证明：由题得， ， 又， ， ．     （2） ，理由如下： ① 如图1，当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点， ， ，， ，， 又， ， ，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ； ② 如图2，当在点右边时，由，，可知， 同理可证， 有，则， 同理可证， ，又， ．     （3）1．      【分析】 （1）根据，，可得，，从而得证； （2）当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点，证明，得到，，再证明，得到，从而得到与的数量关系；当在点右边时，由，，可知，同理可证，有，则，同理可证，从而得到与的数量关系； （3）当在左侧时，先证明是等边三角形，，设，然后结合角所对的直角边等于斜边的一半，表示出，，，， 然后利用表示出，最后表示出；当在右侧时，此时，则，由（2）知，，故，那么，可推出，此时，与矛盾，故在右侧时不成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，当在左侧时， 由（2）可知， 是等腰三角形， ， 又， 是等边三角形，． 设， ，， ， ，， ， 在中，， ，， ， 又， ， 同理在中，，， ， ； 如图4，当在右侧时，此时，则， 由（2）知，，故， ， 当时，， ， ，与矛盾，故在右侧时不成立， 综上，． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并分类讨论是解题的关键． 18．【答案】（1），     （2） 证明：解法一：如图2中，过作于点，又于点， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ，又， ，即， 又 ． 解法二：如图3中，过点作于，交于，设交于． ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ．      【分析】 （1）由，，，得，由，得， 过作于点，证明 ，得，即得 ． （2）法一：过作于点，可得，得，，由，可得，得，即得． 法二：过点作于，交于，设交于．证明，， 得，得，由，即得． (1) 小问详解： 解：于点， ，又， ， ∵， ， 如图1中，过作于点，又于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查含30度的直角三角形和等腰直角三角形．熟练掌握直角三角形30度角的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，是解题的关键． 19．【答案】① ② ③ ④ ⑤ 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． ① 利用三角形内角和定理即可说明其正确；② 利用等腰三角形的判定和性质及判定全等即可；③ 根据三角形的三条高交于一点判断即可；④ 首先根据全等三角形的性质，可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质，可证得为等腰直角三角形，为的垂直平分线，再结合等量代换和等式的性质，即可得出结论；⑤ 利用② 中的结论结合等量代换和等式的性质，即可得出结论． 【详解】 解：设与交于点M，如图，     ，， ，故① 正确； ，， 、都是等腰直角三角形， ，.， 在和中， ， ，故②正确； ∵，，连接并延长交于点， ∴，故③ 正确； ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 是的平分线， ，， 即为的垂直平分线， ，故④ 正确； ， ，故⑤ 正确． ∴正确的有① ② ③ ④ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ． 考点05 等边三角形 1．C 2．C 3．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，最短路径的计算，掌握等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算方法是关键． 根据题意，取的中点，则米，连接交于点，则点关于的对称点为点，由三线合一可证，根据角的和差计算即可求解． 【详解】 解：∵是边长为5米的等边三角形， ∴米， ∵米， ∴点是的中点， 如图所示，取的中点，则米，连接交于点， ∴点关于的对称点为点， ∴，此时水管长度最短， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴，， ∵点关于的对称点为点， ∴米，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系的特点，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据偶次方，绝对值的非负性求解，得到的值，根据两点之间距离的计算得到的值； （2）根据题意可证，则，所以有，根据三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意得到点在直线上运动，结合（2）的计算，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 故答案为：4；10；6． (2) 小问详解： 解：根据题意，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当时， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，的长度最短， ∴， ∴， ∴． 5．【答案】（1）     （2）或；     （3）当点在点左侧时，；当点在点右侧时，．      【分析】 此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质得，由等边三角形的三线合一的性质及求出，即可根据三角形内角和定理求出； （2）根据等腰三角形的性质，分三种情况：（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，分别求出的度数； （3）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，利用全等三角形进行证明，即可得到结论 (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形，点运动到线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： （i）当时，， ，即 ； （ii）当时，， ； （iii）当时，， 又，矛盾，舍去． 综上，或． (3) 小问详解： （i）当点在点左侧时， 在上截取，使，连接． 是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ． 是的外角平分线，． 是的外角， ． ， ． 在和中， ， ， ， 又， ； （ii）当点在点右侧时， 延长到，使，连接． 又， 是等边三角形， ， ， 又是等边三角形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 综上所述，当点在点左侧时，； 当点在点右侧时， 6．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）7      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．【答案】解：①和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，① 正确； ②， 在和中， ， ， ， ， ， ，② 正确； ③ 由② 得， ∴， ∵， ∴ ，③ 正确； ④， ， 是等边三角形，， ， ，③ 中已证， ． ，④ 正确． 【分析】 本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． ① 由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故① 正确； ② 证明，推出，可知② 正确； ③ 由② 得，再结合即可得到，故③ 正确； ④ 利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④ 正确； 【详解】 略 8．【答案】（1） 证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， ．     （2） 解：线段、、之间的数量关系为， 证明：如图1，延长到点，使得， ，都是等边三角形， ，，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （3）的最小值为．      【分析】 （1）由等边三角形的性质，可证明，可得，从而可得，即可证得结论； （2）延长到点，使得，可证明，，可得，由等腰三角形的性质，等量代换，即可得线段、、之间的数量关系； （3）过作于点，由等边三角形的性质，结合三角形的面积，可得， 连接，可证明，对应角相等，在射线上截取，连接，可证明，对应边相等，由垂线段最短，即可得的最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，过作于点， 是等边三角形， ， ， ， 连接，同（1）可得， ， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ，且当于点时，有最小值， ，于点，于点， ，即的最小值为． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，沿着过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知周长等于，则周长为　　　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（     ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　） A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，用图示尺规作图的方法在边上确定一点，则的周长为（     ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 21 4．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得　　　　　． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，，则　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，于点，，若，，的周长是　　　　　． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，点D在边上，且是边的垂直平分线，若，的周长为，则的周长是　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，根据图中尺规作图的痕迹，可得　　　　　　　　　　 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）点关于x轴的对称点是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出与关于轴对称的，并写出点和点的坐标； （2）求的面积． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知的各顶点坐标分别为． （1）画出向右平移5个单位长度后的图形； （2）画出关于x轴对称的图形； （3）求的面积． 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题：    （1）在网格图中画出关于轴的对称图形； （2）请直接写出的坐标：（______，______）（______，______）（______，______）； （3）在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在直角坐标平面内，已知点，，． （1）画出关于轴对称的． （2）已知点，直线轴，求点的坐标． 10．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 （1）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是                      ； （2）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； （3）若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（       ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（     ） A. 3米 B. 6米 C. 9米 D. 12米 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，线段为某景区缆车的缆绳，是缆绳与水平面的夹角．已知米，，则缆车从位置到位置，垂直上升的高度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（          ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，阁楼顶部中线恰好也是高线，若，则下列结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分   ③若，则   ④若，，则   ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①③⑤ 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为　　　　　　　　　　　米． 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）在中，于点D，若，则的周长是　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，点在同一直线上． （1）证明：； （2）若，求． 12．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，是的角平分线，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求线段的长度． 13．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 14．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 15．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，已知在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，则的度数为　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点，是线段上的动点（，两点不重合），且．连接，过点作交于点，交直线于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）当时，连接，求的面积． 18．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知在中，，为线段上一点且满足，连接，过点作于点，与交于点． （1）如图1，，，，求的长和的面积． （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接．若，求证：． 19．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，，，，与相交于点，连接并延长交于点，的平分线交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的序号是　　　　　． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列命题中，是真命题的是（       ） A. 的算术平方根是2 B. 9的立方根是3 C. 全等三角形的周长相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（     ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一株特殊的花卉，已知米．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉花卉．为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度最短，此时　　　　　． 4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，将等腰三角形的底边如图放置在平面直角坐标系轴正半轴上，，，满足，，点为线段上的动点（不与端点重合），若，，连接、． （1）_____；_____；_____； （2）求的大小（用含的代数式表示）； （3）若，当的长度最短时，求的长． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，是等边三角形，点是射线上的一动点（不与点，点重合），点在的外角平分线上，连接与，线段与线段交于点． （1）当点运动到线段的中点，且时，__________； （2）当点在线段上运动时，若为等腰三角形，记，求的度数（用字母表示）； （3）当点在射线上运动时，且时，求之间的数量关系． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，． （1）求证：； （2）求的长． 7．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正（已知正三角形的三边相等，三角相等且均为），与交于点，与交于点，与交于点，连接，得到以下四个结论：①；②；③；④，请从中选择两个你认为正确的结论，并写出证明过程． （多选以前两个为准）你的选择是（1）求证：______（2）求证：______ 证明： 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，求证：． （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，作射线，为射线上一点，为上的动点，连接和．若，的面积为，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（5大考点） 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】 解：A中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中、是轴对称图形，故本选项符合题意； C中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 4．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，正确理解相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】 解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，沿着过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知周长等于，则周长为　　　　　　　　． 【答案】19 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】 解：由折叠的性质可得，， ∵周长等于， ∴， ∴， ∴， ∴周长， 故答案为：19． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（     ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】 解：∵三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使比赛公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　） A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质，DC=DB，从而等量代换求解. 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16， 故选D． 【点睛】利用垂直平分线的性质是本题的解题关键.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等. 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，用图示尺规作图的方法在边上确定一点，则的周长为（     ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 21 【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质. 根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是 的垂直平分线，可得 ，从而得到的周长为，即可求解． 【详解】 解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是 的垂直平分线， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴的周长为 ． 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】 根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】 本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得　　　　　． 【答案】53 【分析】 本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】 解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：53． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．  由的垂直平分线交于点得， 从而得到，由的周长为，即，代入即可得解． 【详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，于点，，若，，的周长是　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查线段垂直平分线的判定和性质．根据题意可判断为的垂直平分线，即得出，再利用三角形周长公式即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 故答案为：16． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，点D在边上，且是边的垂直平分线，若，的周长为，则的周长是　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义得到，再由三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】 解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，根据图中尺规作图的痕迹，可得　　　　　　　　　　 【答案】50 【分析】 本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余，能根据作图痕迹知道是解题的关键．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】 解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：50． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称与坐标变换．关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点和点B关于轴对称， ∴点B的坐标为． 故选：B． 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）点关于x轴的对称点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握知识点是解题的关键． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点关于x轴的对称点是． 故选A． 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】 本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了坐标系中的轴对称变换，牢记关于x轴对称的点坐标关系是解题关键。 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接计算即可． 【详解】 解：点关于轴的对称点是， 故选：B． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示， ∴即为所求图形；     （2）     （3）5      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的性质是关键． （1）根据点关于轴对称的特点得到点的坐标，连接各点即可求解； （2）根据点关于轴对称的特点求解，即关于轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变； （3）运用分割法计算即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：根据题意得到； (3) 小问详解： 解：． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出与关于轴对称的，并写出点和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） ，     （2）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称： （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求； ∵与关于轴对称，， ∴． (2) 小问详解： 解；由题意得，． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知的各顶点坐标分别为． （1）画出向右平移5个单位长度后的图形； （2）画出关于x轴对称的图形； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，即为所求；      （3）4      【分析】 本题考查坐标与图形变换—平移和轴对称，熟练掌握平移的性质，轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）利用网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ． 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题：    （1）在网格图中画出关于轴的对称图形； （2）请直接写出的坐标：（______，______）（______，______）（______，______）； （3）在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图所示     （2）     （3）如图所示      【分析】 本题考查坐标系中点的特征，轴对称图形，熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键， （1）根据坐标系中点的特征，分别找到点的坐标，再依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据“将军饮马”的数学思想，连接于轴的交点即为所求． (1) 小问详解： 解：由图可知：， ∴关于轴对称的点为：， 依次连接如图所示： (2) 小问详解： 解：由（1）可得：． (3) 小问详解： 解：连接于轴的交于点，此时的值最小． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在直角坐标平面内，已知点，，． （1）画出关于轴对称的． （2）已知点，直线轴，求点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作：      （2）点的坐标为      【分析】 本题考查在平面直角坐标系中进行轴对称变换作图及平行于y轴的直线上的点的坐标的特点，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，是正确解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，即可求出a的值，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，点与点关于轴对称， ． ，轴， 点的纵坐标为4， ， ， ， 点的坐标为． 10．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 （1）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是                      ； （2）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； （3）若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围． 【答案】（1）     （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义可得的坐标是，则可得方程组 ，解方程组即可得到答案； （3）根据“一中对称点”的定义可得的坐标是，则根据第三象限内的点的横纵坐标都为负得到 ，解不等式组得到，则一定存在一个整数k满足 ，据此求出k的整数解，进而求出m的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； (2) 小问详解： 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； 又∵的坐标是， ∴ ， ∴ ； (3) 小问详解： 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； ∵点在第三象限， ∴ ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴不等式组的解集为． ∵x恰有2个整数解， ∴存在这样的整数k满足 ∴ ∵不等式组有解， ∴ 解得． ∴k取或0或1， 当时，可得 ，解得； 当时，可得 ，解得； 当时，可得 ，解得． 综上所述：或或． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（       ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（     ） A. 3米 B. 6米 C. 9米 D. 12米 【答案】C 【分析】 本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】 解：如图，根据题意米， ∵，， ∴米， ∴（米）． 故选． 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，线段为某景区缆车的缆绳，是缆绳与水平面的夹角．已知米，，则缆车从位置到位置，垂直上升的高度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题． 根据直角三角形的角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（          ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°， ∴∠ADC=180°-∠ADB=110°， ∵AD=CD， ∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，阁楼顶部中线恰好也是高线，若，则下列结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解此题的关键．根据等腰三角形的性质（三线合一）和直角三角形的性质作答． 【详解】 解：∵，是等腰三角形，， ∴，，都是直角三角形，，故① ② ③ 正确； ∴， ∴，即，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分   ③若，则   ④若，，则   ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①③⑤ 【答案】D 【分析】 ① 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，判断与的关系． ② 通过证明三角形全等得到，，再根据垂直平分线的判定定理判断． ③ 根据四边形内角和求出，再结合直角三角形的性质判断． ④ 利用三角形面积公式，结合，判断的值． ⑤ 根据为中点且，结合直角三角形全等，判断的形状． 【详解】 解：① ∵ 是的角平分线，，， ∴ ，故① 正确． ②在和中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ 垂直平分，而非垂直平分，故② 错误． ③ ∵ ，， ∴ ， 又∵ ，四边形内角和为， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， 在中，， ∴ ，故③ 正确． ④ ∵ ，，且， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，故④ 错误． ⑤ ∵ 为中点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即为等腰三角形，故⑤ 正确． 综上，① ③ ⑤ 正确， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、直角三角形的性质等，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 7．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为　　　　　　　　　　　米． 【答案】3 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 9．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 10．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）在中，于点D，若，则的周长是　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 根据等腰三角形的性质与判定分别求得，进而求得的周长． 【详解】 ∵在中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵于点D， ∴． ∵， ∴的周长． 故答案为：20 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，点在同一直线上． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中，        ．     （2）6      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等腰三角形的判定及性质． （1）利用证明，即可； （2）根据，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，再证明，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作于点，设线段交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，是的角平分线，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰三角形．     （2）3      【分析】 此题考查平行线的性质，等角对等边，直角三角形30度角的性质， （1）由平行线推出，结合角平分线得到，由此证得，即可得到结论； （2）由角平分线求出，得到，据此求出． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 由（1）， 中，， ． 13．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在中，，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， （）     （2）．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为． （1）根据，得，即可求证； （2）由，得到；即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， 即的度数为． 14．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）先由平行线的性质得，易证得，即可得； （2）由，，得，又，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ， ． 15．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，已知在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解． 【详解】 解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 16．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是　　　　　　． 【答案】50度 【分析】 先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】 解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 17．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点，是线段上的动点（，两点不重合），且．连接，过点作交于点，交直线于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）当时，连接，求的面积． 【答案】（1） 证明：由题得， ， 又， ， ．     （2） ，理由如下： ① 如图1，当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点， ， ，， ，， 又， ， ，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ； ② 如图2，当在点右边时，由，，可知， 同理可证， 有，则， 同理可证， ，又， ．     （3）1．      【分析】 （1）根据，，可得，，从而得证； （2）当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点，证明，得到，，再证明，得到，从而得到与的数量关系；当在点右边时，由，，可知，同理可证，有，则，同理可证，从而得到与的数量关系； （3）当在左侧时，先证明是等边三角形，，设，然后结合角所对的直角边等于斜边的一半，表示出，，，， 然后利用表示出，最后表示出；当在右侧时，此时，则，由（2）知，，故，那么，可推出，此时，与矛盾，故在右侧时不成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，当在左侧时， 由（2）可知， 是等腰三角形， ， 又， 是等边三角形，． 设， ，， ， ，， ， 在中，， ，， ， 又， ， 同理在中，，， ， ； 如图4，当在右侧时，此时，则， 由（2）知，，故， ， 当时，， ， ，与矛盾，故在右侧时不成立， 综上，． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并分类讨论是解题的关键． 18．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知在中，，为线段上一点且满足，连接，过点作于点，与交于点． （1）如图1，，，，求的长和的面积． （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接．若，求证：． 【答案】（1），     （2） 证明：解法一：如图2中，过作于点，又于点， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ，又， ，即， 又 ． 解法二：如图3中，过点作于，交于，设交于． ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ．      【分析】 （1）由，，，得，由，得， 过作于点，证明 ，得，即得 ． （2）法一：过作于点，可得，得，，由，可得，得，即得． 法二：过点作于，交于，设交于．证明，， 得，得，由，即得． (1) 小问详解： 解：于点， ，又， ， ∵， ， 如图1中，过作于点，又于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查含30度的直角三角形和等腰直角三角形．熟练掌握直角三角形30度角的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，是解题的关键． 19．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，，，，与相交于点，连接并延长交于点，的平分线交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的序号是　　　　　． 【答案】① ② ③ ④ ⑤ 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． ① 利用三角形内角和定理即可说明其正确；② 利用等腰三角形的判定和性质及判定全等即可；③ 根据三角形的三条高交于一点判断即可；④ 首先根据全等三角形的性质，可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质，可证得为等腰直角三角形，为的垂直平分线，再结合等量代换和等式的性质，即可得出结论；⑤ 利用② 中的结论结合等量代换和等式的性质，即可得出结论． 【详解】 解：设与交于点M，如图，     ，， ，故① 正确； ，， 、都是等腰直角三角形， ，.， 在和中， ， ，故②正确； ∵，，连接并延长交于点， ∴，故③ 正确； ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 是的平分线， ，， 即为的垂直平分线， ，故④ 正确； ， ，故⑤ 正确． ∴正确的有① ② ③ ④ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）下列命题中，是真命题的是（       ） A. 的算术平方根是2 B. 9的立方根是3 C. 全等三角形的周长相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了判断命题真假，立方根和算术平方根，全等三角形的性质，等边三角形的判定，根据立方根和算术平方根的定义可判断A、B；根据全等三角形的性质可判断C；根据等边三角形的判定定理可判断D． 【详解】 解：A、的算术平方根是，原命题是假命题，不符合题意； B、9的立方根是，而不是3，原命题是假命题，不符合题意； C、全等三角形的周长相等，原命题是真命题，符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（     ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】 解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一株特殊的花卉，已知米．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉花卉．为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度最短，此时　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，最短路径的计算，掌握等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算方法是关键． 根据题意，取的中点，则米，连接交于点，则点关于的对称点为点，由三线合一可证，根据角的和差计算即可求解． 【详解】 解：∵是边长为5米的等边三角形， ∴米， ∵米， ∴点是的中点， 如图所示，取的中点，则米，连接交于点， ∴点关于的对称点为点， ∴，此时水管长度最短， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴，， ∵点关于的对称点为点， ∴米，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，将等腰三角形的底边如图放置在平面直角坐标系轴正半轴上，，，满足，，点为线段上的动点（不与端点重合），若，，连接、． （1）_____；_____；_____； （2）求的大小（用含的代数式表示）； （3）若，当的长度最短时，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系的特点，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据偶次方，绝对值的非负性求解，得到的值，根据两点之间距离的计算得到的值； （2）根据题意可证，则，所以有，根据三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意得到点在直线上运动，结合（2）的计算，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 故答案为：4；10；6． (2) 小问详解： 解：根据题意，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当时， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，的长度最短， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，是等边三角形，点是射线上的一动点（不与点，点重合），点在的外角平分线上，连接与，线段与线段交于点． （1）当点运动到线段的中点，且时，__________； （2）当点在线段上运动时，若为等腰三角形，记，求的度数（用字母表示）； （3）当点在射线上运动时，且时，求之间的数量关系． 【答案】（1）     （2）或；     （3）当点在点左侧时，；当点在点右侧时，．      【分析】 此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质得，由等边三角形的三线合一的性质及求出，即可根据三角形内角和定理求出； （2）根据等腰三角形的性质，分三种情况：（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，分别求出的度数； （3）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，利用全等三角形进行证明，即可得到结论 (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形，点运动到线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： （i）当时，， ，即 ； （ii）当时，， ； （iii）当时，， 又，矛盾，舍去． 综上，或． (3) 小问详解： （i）当点在点左侧时， 在上截取，使，连接． 是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ． 是的外角平分线，． 是的外角， ． ， ． 在和中， ， ， ， 又， ； （ii）当点在点右侧时， 延长到，使，连接． 又， 是等边三角形， ， ， 又是等边三角形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 综上所述，当点在点左侧时，； 当点在点右侧时， 6．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）7      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正（已知正三角形的三边相等，三角相等且均为），与交于点，与交于点，与交于点，连接，得到以下四个结论：①；②；③；④，请从中选择两个你认为正确的结论，并写出证明过程． （多选以前两个为准）你的选择是（1）求证：______（2）求证：______ 证明： 【答案】解：①和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，① 正确； ②， 在和中， ， ， ， ， ， ，② 正确； ③ 由② 得， ∴， ∵， ∴ ，③ 正确； ④， ， 是等边三角形，， ， ，③ 中已证， ． ，④ 正确． 【分析】 本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． ① 由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故① 正确； ② 证明，推出，可知② 正确； ③ 由② 得，再结合即可得到，故③ 正确； ④ 利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④ 正确； 【详解】 略 8．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，求证：． （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，作射线，为射线上一点，为上的动点，连接和．若，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） 证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， ．     （2） 解：线段、、之间的数量关系为， 证明：如图1，延长到点，使得， ，都是等边三角形， ，，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （3）的最小值为．      【分析】 （1）由等边三角形的性质，可证明，可得，从而可得，即可证得结论； （2）延长到点，使得，可证明，，可得，由等腰三角形的性质，等量代换，即可得线段、、之间的数量关系； （3）过作于点，由等边三角形的性质，结合三角形的面积，可得， 连接，可证明，对应角相等，在射线上截取，连接，可证明，对应边相等，由垂线段最短，即可得的最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，过作于点， 是等边三角形， ， ， ， 连接，同（1）可得， ， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ，且当于点时，有最小值， ，于点，于点， ，即的最小值为． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $