专题06 分式（6大考点）（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 专题聚焦分式6大核心考点，精选湖南多地期中试题，融合科技（碳纳米管）、文化（《九章算术》）等真实情境，基础题与创新题梯度分布，适配八年级期中能力检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|分式概念、性质、整数指数幂|科学记数法结合纳米技术（0.000000049米）| |填空|约15题|分式值为零/有意义条件、最简公分母|结合《苔》诗考查花粉直径科学记数法| |解答|约25题|分式运算、方程应用、阅读创新|分式方程应用联系马拉松行程问题，阅读题引入假分式拆分与新定义运算|

专题06 分式（6大考点） 6大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 整数指数幂 考点06 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）要使分式的值为零，则应满足条件是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列式子是分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）在、、、、、中，分式的个数有（     ） A. 6个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）若分式有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若分式 的值为0，则x的值为（        ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若分式 的值为零，则的值为            ． 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若分式的值为0，则m的值为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）当时，分式的值是　　　　　　　　 10．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）使分式的值为0，这时x=　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）若分式有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）当　　　　　　　　　　　　时，分式的值为零． 13．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）如果分式的值不存在，则需满足的条件是　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若分式的值为0，则　　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若分式的值为零，则x的值是　　　　　　． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 是原来的 D. 不变 2．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）如果把的与（，均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（     ） A. 不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的10倍 D. 缩小到原来的 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）将分式中的值都扩大到原来的倍，则扩大后分式的值（       ） A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 4．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）如果把中的、都扩大为原来的10倍，则这个代数式的值（       ）． A. 不变 B. 扩大为原来的10倍 C. 缩小为原来的10倍 D. 扩大为原来的100倍 5．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（       ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的9倍 6．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列分式约分，正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（     ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的10倍 9．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列分式中，是最简分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列各式从左到右变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）下列从左到右变形正确的是（            ） A.  B.  C. （a-b）2=a2-b2 D. （a-2）（a+3）=a2 +a-6 13．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）分式的最简公分母是　　　　　　　　　　　． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）计算：　　　　　　　　　　 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若，则计算的结果等于（       ） A. 1 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）当x分别取，，1，0，，，…，，，时，计算分式，再将所得结果相加，其和等于（     ） A.  B. 1 C. 0 D.  3．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（     ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都错 D. ①②都对 5．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算：，结果是　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值． 7．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）先化简，再求值：，其中 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 10．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 12．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）A，B为常数，如果，则　　　　　　　，　　　　　　　 13．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）定义新运算：，若，则的值是　　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 15．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，则表示分式的值的点应落在数轴的　　　　　　段．（请填写序号） 16．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 17．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 18．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）先化简：，再从-1、0、1中选一个合适的x的值代入求值． 19．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； （2）已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）对于正数x，规定，如：则的值为　　　　　　　 21．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）已知分式 （1）化简该分式； （2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 22．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当时，求代数式的最小值            ． 23．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，并且假分数都可化为带分数．类比分数，对于分式也可以定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 解决下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）假分式可化为带分式_________的形式；请写出你的推导过程； （3）如果分式的值为整数，那么的整数值为_________． 24．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： （1）已知，则_____； （2）已知，求的值； （3）已知，，，且，求的值． 25．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 考点05 整数指数幂 1．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）指大气中直径小于等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）下列计算：①；②；③；④ ，其中正确的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）已知则a，b，c的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为（    ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若，，，，则，，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达．数据用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为　　　　　． 13．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知，那么，，之间的大小关系是　　　　　　（用“”连接）． 15．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算：． 17．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）当时，计算：　　　　　　　　　　．（结果不含负整数指数） 18．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算： 19．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为0.00005米，该数据用科学记数法表示为　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算： 22．（八上·湖南衡阳·期中）计算： （1）； （2）． 23．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若，，，则，，的大小关系为　　　　　　（用“＜”连接）． 24．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）计算． （1） （2）； 考点06 分式方程 1．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）如果关于x的方程无解，则m的值是（       ） A. 2 B. 0或4 C. 0 D. 0或2 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若关于x的分式方程无解，则a的值为（       ） A. 0 B.  C. 1或 D. 1 4．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）雪峰山苏宝顶海拔1934米，素有“湖南的青藏高原”之美名，是湖南省知名的避暑、旅游、登山、科考胜地．甲乙两人分别驾车同时从山脚出发驶往30千米外的苏宝顶．若乙的车速是每小时千米，甲的车速是乙的倍，结果甲比乙早到15分钟．根据题意可以列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（       ） A. 总路程 B. 规定的时间 C. 快马的速度 D. 慢马的速度 6．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（       ） A. 3或 B. 或 C. 3或或 D. 5或或 8．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）解分式方程，去分母后所得的方程是（ ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）定义新运算“◎”： ，如果，那么x的值为（       ） A. 1或2 B. 1或3 C. 2 D. 3 10．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 11．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）解分式方程． 13．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： （1）每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? （2）设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 14．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称这三个数为一组调和数．现有三个数：x，4，6，若要组成一组调和数，则x的值为　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 16．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）解方程： （1）； （2）． 17．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）解方程： （1） （2） 18．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）2022年，国家教育部新颁发的《义务教育语文课程标准》提出明确要求：“要重视培养学生广泛的阅读兴趣，提高阅读品位，提倡多读书、好读书、读好书”．某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在初二年级随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此次调查中，一共抽取了________名学生． （2）补全条形统计图，并求出扇形中“农业”部分的圆心角度数． （3）若该校共有3600名学生，请你估计大约有多少名学生最想阅读“科技”类书籍？ 19．（八上·湖南衡阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是　　　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． （1）求每套《什么是数学》的价格； （2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 21．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）（1）解分式方程； （2）先化简，再求值： ，其中x为满足的整数． 22．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组 有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是　　　　　　． 23．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．在购买树苗时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元； （2）现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，至少购买多少棵乙种树苗？ 24．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）解方程： （1）； （2）． 25．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 26．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若关于x的方程无解，则m的值为　　　　　 ． 27．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（     ）②（     ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 28．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若关于的方程无解，则m的值是　　　　　　　　. 29．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）解方程： （1）； （2） 30．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）为落实全民健身国家战略，聚焦省委做实“有一种叫云南的生活”，全力打造新时代“昭通印象”，真正让“在云南一样样好、在昭通一越来越好”成为新时代“昭通印象”的鲜明标志．昭通市人民政府为丰富广大市民的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，于2024年12月15日在昭通体育中心体育馆举行“博联经纪·2024昭通”马拉松，吸引世界各地1.2万名参赛选手齐聚昭通．某体育俱乐部准备为学员制作、两种纪念章．经了解，每个种纪念章比每个种纪念章多4元，用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，求两种纪念章每个各为多少元？ 31．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则            ，          ． （2）若十字分式方程的两个解分别为求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 32．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）解分式方程： （1）； （2）． 34．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）某商厦进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用8万元购进这种T恤衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元． （1）求第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ （2）商厦销售该款式T恤衫时每件定价都是58元，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元，剩余的T恤衫每件售价至少多少元？ 35．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 36．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 37．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）已知关于x的分式方程， （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 38．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）湘潭河西地下商城某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． （1）甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件? （2）两种恤衫很受顾客欢迎，因此该服装店计划用不超过元的资金再次购进甲、乙两种款式时尚恤衫共件．已知两种时尚恤衫的进价不变，求甲种款式时尚恤衫至少购进多少件? 39．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）分式方程的解为　　　　　　． 40．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 41．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 42．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． （1）求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 43．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花200元采购甲种灭火器的支数和花450元采购乙种灭火器的支数相同． （1）采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ （2）若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过1750元，并且以每支甲种灭火器50元和每支乙种灭火器80元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1640元的目标？若能，请给出所有合理的采购方案；若不能，请说明理由． 44．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）“湘超”联赛(湖南省足球超级联赛)的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购，两类足球作为比赛奖品．已知采购信息如下：购买个类足球与个类足球，花费元；购买个类足球与个类足球，花费元． （1）类足球和类足球的单价分别为多少元? （2）若学校计划采购，两类足球的总数量为个，并要求同时满足以下两个条件：采购类足球的数量不超过个；采购、两类足球的总费用不超过元．问：学校共有哪几种可行的购买方案? 45．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 （1）理解应用：方程 的解为：                                               （2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 46．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，请解这个分式方程； （2）若该分式方程无解，求的值． 47．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）阅读材料：从教材第24页例题1，我们知道：对于一个分式，当分子的值是0且分母的值不为0时，分式的值为0．对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，那么，从而求得它的解，得，．又因为，所以关于x的分式方程就变成了分式方程，它的解为，． （1）理解应用：方程的解为：__________，__________； （2）知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； （3）拓展提升：若关于x的方程的解为，，（，）求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式（6大考点） 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 整数指数幂 考点06 分式方程 考点01 从分数到分式 1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．【答案】-2 【详解】试题分析：∵分式 的值为零 ∴x2-4=0且x-2≠0 解得x=-2 考点：分式值为0的条件 8．【答案】3 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】 解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 9．【答案】 【分析】 本题求分式的值，直接将代入分式，求解即可． 【详解】 解：当时，． 故答案为： 10．【答案】1 【详解】 由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 11．【答案】 【分析】 本题考查了分式有意义的条件, 即分式分母不能为0，可得，即可求解． 【详解】 解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】5 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键． 当，且时，分式的值为零． 【详解】 解：∵的值为零， ∴，且， ∴， 故答案为：5． 13．【答案】 【分析】 本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题的关键．由分式的值不存在，即分母为零，即可解答． 【详解】 解：分式 的值不存在，则分母 ，解得 ， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查分式求值． 根据已知分式的值，引入参数表示变量，代入所求分式进行求解即可． 【详解】 由， 设，则（）， 则． 故答案为： 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解． 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为： 16．【答案】 【分析】 分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】 解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 考点02 分式的基本性质 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．A 10．A 11．A 12．D 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】 解： ∴最简公分母为， 故答案为：． 考点03 分式的乘法与除法 1．A 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了分式的乘法．根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点04 分式的加法与减法 1．C 2．A 3．A 4．A 5．【答案】 【分析】 本题考查同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减． 【详解】 解：原式， 故答案为：． 6．【答案】， 【分析】 本题考查了分式化简求值，注意根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可． 【详解】 解：原式 ∵， ∴ 取，则 7．【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值． 先根据分式混合运算法则算到最简，再代入求值即可． 【详解】 解：原式 当时，原式． 8．【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值．先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可． 【详解】 解：  ，  ， 原式． 9．【答案】，当时，原式 【分析】 此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果． 【详解】 解： ∵，， ∴， ∵，且x为正整数 ∴当时，原式． 10．【答案】 【分析】 本题考查了同分母加减法，约分，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母减法，再进行约分即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 11．【答案】， 【分析】 本题考查分式的化简求值，解题的关键：先根据分式混合运算顺序和运算法则将原式化简得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值即可．也考查了分式有意义的条件． 【详解】 解： ， ∵且， ∴， ∴原式． 12．【答案】① 4    ② 【分析】 本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】 解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】 解：， ，即， ， 故答案为：． 14．【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，提公因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意去m的值时要使原式有意义． 根据分式的乘除运算法则将原式化简，取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴且 ∴m的值取2， 则原式 15．【答案】④ 【分析】 本题主要考查分式的加减运算．先根据分式的基本性质约分，再进行加减运算，再根据结果即可得出答案． 【详解】 解： ； ∴表示的值的点落在线段④ 上， 故答案为：④ ． 16．【答案】，，2 【分析】 本题考查了分式的化简求值,分式有意义的条件，完全平方公式，平方差公式．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把符合题意的x的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： ， ， ∵且， ∴且， ∴选，则原式． 17．【答案】真； ； 或或或． 【分析】 本题考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则整理分式． 根据真分式的定义判断； 根据阅读材料中的思路，可得：； 把分式化为带分式的形式，可得：，因为是整数，所以是整数，可得：或，分情况解方程求出的值即可． 【详解】 解：分式的分子是常数，分母是 分子的次数是，分母的次数是， ， 分式是真分式； 故答案为：真； 解：； 故答案为：； 解： ， 的值为整数， 的值为整数， 的值为整数， 或， 解得：或或或． 18．【答案】；取x=0，原式=1． 【分析】先计算括号内分式的加法，再把除法化为乘法，约分后即可化简题目中的式子；再从-1，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解：原式= = •（x+1）（x-1） = x2+1， ∵x≠±1， ∴取x=0， 当x=0时，原式=1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据分式的四则运算法则及运算顺序进行计算，易错点是没有考虑选取的x值应满足原分式有意义的条件． 19．【答案】（1）是的“差常分式”， ， 根据题目中对于“差常分式”的定义， ，且为正数， 是的“差常分式”，且关于的“差常值”是；     （2）①；②，，      【分析】 本题主要考查了分式的加减运算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据“差常分式”的定义，化简求出的值，看值是否是常数且为正数，即可判断； （2）① 根据题意可知，，代入得，对该等式进行去分母，移项化简可得：；② 把① 中求得代入的式子中得：，则因为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，故有：或或，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2， ，即， 等式两边同时乘以得：， 移项，整理得：； 所代表的整式为：． ， 为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数， 或或， 解得：或或， 满足条件的的值为：，，． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 21．【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查分式的约分与化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据平方差公式，十字相乘法进行因式分解，再约分即可； （2）先推导出且的值为整数，化简，得到，则或或，求出x的值，再根据且，即可解答． (1) 小问详解： 解： 且． (2) 小问详解： ∵的值为整数， ∴且的值为整数， ∵ ， ∴或或， 解得， ∵且， ∴． 答：x的值为． 22．【答案】（1）     （2）或0     （3）3      【分析】 （1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． (1) 小问详解： 解：设，则， ∴原式， ∴； (2) 小问详解： 解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； (3) 小问详解： 解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】 本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 23．【答案】真 【分析】(1)比较分式的分子分母的次数容易判定出它是真分式还是假分式； (2)分式分子变形为，利用同分母分式减法逆运算法则变形即可得； (3)在的基础上，对于这个带分式，只要满足为整数即可求出整数x的值． 【详解】(1)分式的分子是常数，其次数为0，分母x的次数为1,分母的次数大于分子的次数，所以是真分； (2) ； (3)由(2)得： ，当为整数时，原分式的值为整数， ∴此时，整数x可能满足：或或或 ∴． 故答案为：真；； 【点睛】本题考查的是与分式有关的新定义问题、整式次数的判定和分式的相关运算，根据新定义及例题的变形方法解决相关问题是解决此类问题的关键． 24．【答案】（1）4     （2）     （3）      【分析】 本题考查代数式的求值技巧．熟练掌握完全平方公式变形求值，分式的性质， “倒数法”，是解题的关键． （1）利用完全平方公式直接求解； （2）仿照题干解题过程，通过取倒数并利用已知方程变形求解； （3）将方程转化为关于倒数的方程组，求和后取倒数． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 故答案为：4． (2) 小问详解： 解：∵，且， ∴两边除以 x 得：． ∴． ∴ ． 对于， 取倒数得，． ∴． (3) 小问详解： 解：由，且，两边除以  ，得． 由，两边除以 ，得． 由，两边除以 4xz， 得． 设 ， 则 ． 三式相加，得． ∴． 对于，分子分母同除以， 得． 25．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． (1) 小问详解： 解：设， 原式 ， ； (2) 小问详解： 解：， ； (3) 小问详解： 解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 考点05 整数指数幂 1．A 2．B 3．B 4．B 5．D 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 11．A 12．【答案】 【分析】 此题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，分别计算的值，比较大小，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 16．【答案】3 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，先求立方根，乘方运算，零次数幂，负整数次幂，然后再计算加减法即可． 【详解】 解： 17．【答案】 【分析】 本题考查负整数指数幂的意义和幂的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用负整数指数幂的意义和幂的运算法则，将表达式化为不含负整数指数的形式，再根据积的乘方的运算法则计算． 【详解】 根据负整数指数幂的意义，， ， 再根据积的乘方法则，， 故答案为：． 18．【答案】2 【分析】 本题考查了二次根式的化简及运算，零次幂、负指数幂的化简，熟知概念是解题的关键．根据概念和性质依次化简计算即可． 【详解】 解：原式． 19．【答案】 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．用科学记数法表示绝对值小于1的数时，一般形式为，其中，n为负整数，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】 解：将数0.00005用科学记数法表示为． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了负整数指数幂、零指数幂．原式利用负整数指数幂、零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】 解：， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；按顺序注意计算的准确性即可； 【详解】 解：原式 ． 22．【答案】（1）8     （2）      (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 23．【答案】 【分析】 根据，，，比较即可． 【详解】 ∵，，， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键． 24．【答案】（1）4049     （2）12      【分析】 本题考查平方差公式，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）先计算有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，再进行有理数的混合运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 考点06 分式方程 1．A 2．D 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．C 11．【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程、解一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据程序分析即可求解． 【详解】 解：设输入的值为时， 由题意得，， 整理得，， 解得（舍去）； 当时，根据题意得，， 整理得， 解得， 故答案为：． 12．【答案】原分式方程无解 【分析】 根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】 方程两边乘， 得 解得 检验：当时，，因此不是原方式方程的解， 所以，原分式方程无解． 【点睛】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．【答案】（1）A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元；     （2）该超市最多购进B型文具袋个；      【分析】 本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； (1) 小问详解： 解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2) 小问详解： 解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 14．【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的实际应用，根据调和数的定义，由题意，；即可求解； 【详解】 解：由题意，； 解得：； 经检验， 是原方程的根，且满足； 故答案为： 15．【答案】件 【分析】 本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 16．【答案】（1）     （2）原方程无解      【分析】 本题考查了分式方程的解法，同时包含平方差公式与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握掌握分式方程的解法并注意验证． （1）先由平方差公式化简，再去分母，化为一元一次方程求解并验证即可； （2）先提取公因式，再去分母，化为一元一次方程求解并验证即可． (1) 小问详解： 解： ， 同乘可得，， 解得， 经验证：是原方程的解， ∴方程的解为； (2) 小问详解： 解：． ， 同乘可得，， 解得， 经验证：时，原方程分母，是增根， ∴原方程无解． 17．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）去分母化为整式方程求解，并检验分母是否为零即可； （2）去分母化为整式方程，求解后检验发现增根，因此无解． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 即， 解得：． 检验：当时，分母，且， 所以是原方程的解． (2) 小问详解： 解：， 方程化为， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 解得：， 检验：当时，分母，无意义， 所以是增根，原方程无解． 18．【答案】（1）60     （2） 补图如下：      （3）540名      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图，扇形的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用教育的人数除以教育的占比，即可求出此次调查一共抽取的学生总数； （2）先求出国防的人数，再补全条形统计图，再列式计算出扇形中“农业”部分的圆心角度数 （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：由题意知，（名） ∴一共抽取了名学生， (2) 小问详解： 解：由题意知，国防的人数为（人）， ∴， 答：扇形中“农业”部分的圆心角度数为； (3) 小问详解： 解：由题意知，（名）， 答：估计该年级最想读科技类书籍的学生有540名． 19．【答案】 【分析】 根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 20．【答案】（1）50元     （2）《古今数学思想》最多能买20套      【分析】 本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套建立方程求解即可； （2）根据（1）所求可求出《古今数学思想》的价格，设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据购买费用不超过4000元列出不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； (2) 小问详解： 解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 21．【答案】（1）；（2），1 【分析】 本题考查了解分式方程，分式混合运算的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）先将分式混合运算进行化简，再选取符合要求的的值，最后代入化简之后的式子即可得解． 【详解】 解：（1）方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． （2） ∵为满足的整数，由分式有意义可知且 ∴只能取 ∴当时，原式． 22．【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】 解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组 ，得 ， ∵关于y的不等式组 有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 23．【答案】（1）甲种树苗的单价是90元，乙种树苗的单价是60元     （2）至少购买70棵乙种树苗      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，由题意得，求解即可得出答案； （2）设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗，由题意得，求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲种树苗的单价是90元，乙种树苗的单价是60元； (2) 小问详解： 设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗， 由题意得， 解得． 答：至少购买70棵乙种树苗． 24．【答案】（1）无解     （2）      【分析】 本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； （2）先化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； (1) 小问详解： 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 25．【答案】元 【分析】 本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】 解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 26．【答案】或0 【分析】 本题主要考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可． 【详解】 解：将方程化成整式方程为：， 即， 增根为：， ∴， ∴． 当时，方程无解， 故答案为：或0 27．【答案】（1）① √；② ×     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ② ∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：① √；② ×． (2) 小问详解： 解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； (3) 小问详解： 解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴ ，或 ， 解得 ，或 ， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当 时，，， ∴， ∴ ∴与不是“互动分式”，故舍去； 当 时，，， ∴，， ∴． ∴与是“互动分式”， ， 当时的最大值是． 综上所述：最大值为． 28．【答案】1 【分析】由分式方程无解可知x-2=0，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值. 【详解】∵分式方程无解， ∴x-2=0， ∴x=2， ∵， ∴x-1=m， 把x=2代入得， 2-1=m， ∴m=1. 故答案为1. 【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 29．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉解分式方程的基本步骤． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可． (1) 小问详解： 解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原方程的解； (2) 小问详解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 30．【答案】每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设种纪念章为元个，则种纪念章为元个，根据用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】 解：设种纪念章为元个，则种纪念章为元个， 根据题意得：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为 ， 答：每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元. 31．【答案】（1），；     （2）     （3）2      【分析】 本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． (1) 小问详解： 解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． (3) 小问详解： 解：方程是十字分式方程，可化， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 32．【答案】2 【分析】 本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】 解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 33．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． (1) 小问详解： 两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； (2) 小问详解： 两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 34．【答案】（1）第一批T恤衫每件进价是40元     （2）第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元      【分析】 本题主要考查分式方程的应用，不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批T恤衫每件进价是元，根据“第二批这种T恤衫所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元”，列出方程，可求得第一批T恤衫每件进价； （2）设第二批剩余的T恤衫每件售价元，根据“要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元”可列不等式，解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设第一批T恤衫每件进价是元， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：第一批T恤衫每件进价是40元； (2) 小问详解： 解：由（1）知，第一批购进（件），第二批购进4000件， 设第二批剩余的T恤衫每件售价元， 根据题意，得， 解得， 答：第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元． 35．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． (1) 小问详解： 解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； (2) 小问详解： 解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 36．【答案】A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】 解：设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地． 37．【答案】（1）m=0；(2) m<6且m≠0． 【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）方程两边都乘以得， 分式方程有增根 解得 解得 （2）方程两边都乘以得， 解得 方程的根为正数 ，且 ，且 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键． 38．【答案】（1）甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件     （2）件      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （）设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件，根据题意列出方程求出即可求解； （）先求出甲乙两种款式恤衫的进价，设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件，根据题意列出不等式求出的取值范围即可求解； (1) 小问详解： 解：设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件； (2) 小问详解： 解：由（）可得，乙种款式恤衫的进价为元， ∴甲种款式恤衫的进价为元， 设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种款式时尚恤衫至少购进件． 39．【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．方程两边同乘，将分式方程化为整式方程，然后求解即可． 【详解】 解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故答案为： 40．【答案】米 【分析】 本题主要考查的知识点是分式方程的应用(行程问题)，通过设未知数，根据时间关系建立方程求解，涉及到路程、速度、时间的关系(时间路程速度)，属于行程问题中的同地不同时出发且同时到达的情况． 【详解】 解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 41．【答案】（1）70米/分（2）能 【分析】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可； （2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断． 【详解】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分， 根据题意得：， 解得：x=70， 经检验x=70是原方程的解， 即李明步行的速度是70米/分． （2）根据题意得，李明总共需要：+1=41＜42． 即李明能在联欢会开始前赶到． 答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校． 考点：分式方程的应用． 42．【答案】（1）型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂；     （2）该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人．      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，由题意得： ，解得： ， 答：型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； (2) 小问详解： 解：设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为18， 答：该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 43．【答案】（1）采购1支甲种灭火器需要20元，采购1支乙种灭火器需要45元     （2）共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支      【分析】 本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要x元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据花200元采购甲种灭火器的支数和花450元采购乙种灭火器的支数相同建立方程求解即可； （2）设购买甲种灭火器m支，则购买乙种灭火器支，根据购买费用不超过1750元，利润不低于1640元建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设采购1支甲种灭火器需要x元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：采购1支甲种灭火器需要20元，采购1支乙种灭火器需要45元； (2) 小问详解： 解：设购买甲种灭火器m支，则购买乙种灭火器支， 由题意得， ， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值为20或21或22， 当时，； 当时， 当时，， 答：共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 44．【答案】（1）类足球的单价为元，类足球的单价为元；     （2）方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球．      【分析】 本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确地列出方程组，不等式是解题关键． 设，两类足球的单价分别为元、元，根据两种购买方案需要的钱数列方程组求解即可； 设采购类足球个，则采购类足球个，根据购买足球的费用不超过元，列不等式求出的取值范围，再根据购买类足球的数量不超过个确定购买方案． (1) 小问详解： 解：设、两类足球的单价分别为元、元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：类足球的单价为元，类足球的单价为元； (2) 小问详解： 解：设采购类足球个，则采购类足球个， 根据题意可得：， 解得：， 且取正整数， 或或， 答：共有三种购买方案： 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球． 45．【答案】（1）3；      （2）     （3）12      【分析】 （1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． (1) 小问详解： 解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． (2) 小问详解： 解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 47．【答案】（1），或填（，）     （2）21     （3）      【分析】 本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． （1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得，，再由完全平方公式变形可得； （3）先把方程变形为，则方程的解为，，再代入中，化简即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，；或填（，；） (2) 小问详解： 解：由题意知：，， ； (3) 小问详解： 解：， ， 又∵，， ，， ，， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式（6大考点） 6大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 整数指数幂 考点06 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】 解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 2．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）要使分式的值为零，则应满足条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 分式的值为零需分子为零且分母不为零，据此进行求解即可． 【详解】 解：∵分式的值为零， ∴分子且分母， 解得（此时，满足条件）． ∴应满足， 故选：A． 3．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列式子是分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了分式的判定．分式是指分母中含有字母的代数式．选项B的分母中含有字母x，因此是分式． 【详解】 解：∵ 分式需满足分母中含有字母， A、式子中，分母为常数5，无字母，不是分式，该选项不符合题意； B、式子中，分母为，含字母x，是分式，该选项符合题意； C、式子中，分母为常数5，无字母，不是分式，该选项不符合题意； D、式子中，为整式，分母无字母，不是分式，该选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）在、、、、、中，分式的个数有（     ） A. 6个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查了分式的概念，分式的关键特征是分母中含有字母；根据分式的概念判断即可． 【详解】 解：：分母含x，是分式； ：分母为常数2，不是分式； ：分母为常数2，不是分式； ：分母π为常数，不是分式； ：分母含x和y，是分式； ：分母含m，是分式； ∴ 分式共有3个； 故选：B． 5．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）若分式有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查分式有意义的条件．根据分母不为0求解即可． 【详解】 解：根据题意得． 解得． 故选：A． 6．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若分式 的值为0，则x的值为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，根据这两个条件求解即可． 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， 解方程得， 由得， ∴． 7．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若分式 的值为零，则的值为            ． 【答案】-2 【详解】试题分析：∵分式 的值为零 ∴x2-4=0且x-2≠0 解得x=-2 考点：分式值为0的条件 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若分式的值为0，则m的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】 解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 9．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）当时，分式的值是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题求分式的值，直接将代入分式，求解即可． 【详解】 解：当时，． 故答案为： 10．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）使分式的值为0，这时x=　　　　　． 【答案】1 【详解】 由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 11．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）若分式有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式有意义的条件, 即分式分母不能为0，可得，即可求解． 【详解】 解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）当　　　　　　　　　　　　时，分式的值为零． 【答案】5 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键． 当，且时，分式的值为零． 【详解】 解：∵的值为零， ∴，且， ∴， 故答案为：5． 13．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）如果分式的值不存在，则需满足的条件是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题的关键．由分式的值不存在，即分母为零，即可解答． 【详解】 解：分式 的值不存在，则分母 ，解得 ， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式求值． 根据已知分式的值，引入参数表示变量，代入所求分式进行求解即可． 【详解】 由， 设，则（）， 则． 故答案为： 15．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若分式的值为0，则　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解． 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为： 16．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若分式的值为零，则x的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】 解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】D 【分析】 x、y的值都扩大10倍，相当于分子、分母都扩大10倍，根据分式的基本性质，进行判断即可 【详解】 解：由题意，得：． 故选D． 【点睛】 本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键． 2．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）如果把的与（，均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（     ） A. 不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的10倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【分析】 本题主要考查了分式的基本性质， 将x，y值都扩大5倍，并化简可得答案. 【详解】 解：， ∴分式的值扩大到原来的5倍. 故选：B. 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）将分式中的值都扩大到原来的倍，则扩大后分式的值（       ） A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】A 【分析】 先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质化简即可． 【详解】 解：， 即分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 4．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）如果把中的、都扩大为原来的10倍，则这个代数式的值（       ）． A. 不变 B. 扩大为原来的10倍 C. 缩小为原来的10倍 D. 扩大为原来的100倍 【答案】A 【分析】 根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ∴如果把中的x、y都扩大为原来的10倍，则这个代数式的值不变， 故选：A． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，即分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（       ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的9倍 【答案】C 【分析】 本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，即分式的分子和分母同乘或同除同一个不为零的数，分式的值不变． 根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变． 【详解】 ∵和都扩大为原来的 3 倍，即 ，， ∴， ∴代数式的值不变． 故选：C． 6．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】 解：， 故选C． 7．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列分式约分，正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算法则． 分式的约分首先将分子和分母进行因式分解，然后约去公共的因式，据此依次判断即可． 【详解】 解：A．，原变形错误， 不符合题意； B．，原变形错误， 不符合题意； C．，原变形正确， 符合题意； D．，原变形错误， 不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（     ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的10倍 【答案】A 【分析】 本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ x和y都扩大10倍， ∴， ∴ 分式的值不变， 故选：A． 9．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】 解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 10．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列分式中，是最简分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．通过检查各选项分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】 选项A：分子与分母无公因式，是最简分式，故符合题意； 选项B：分母=，与分子有公因式，可约分，故不符合题意； 选项C：分子6与分母有公因数2，可约分，故不符合题意； 选项D：分母=，与分子有公因式，可约分，故不符合题意； 故选：A． 11．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列各式从左到右变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】 解：．，故本选项正确，符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，例如，，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变． 12．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）下列从左到右变形正确的是（            ） A.  B.  C. （a-b）2=a2-b2 D. （a-2）（a+3）=a2 +a-6 【答案】D 【分析】 根据分式的基本性质、完全平方公式、多项式乘多项式的法则解答即可． 【详解】 解：A. 原变形错误，故此选项不符合题意； B. 当m=0时，此时无意义，原变形错误，故此选项不符合题意； C.，原变形错误，故此选项不符合题意； D. （a-2）（a+3）=a2 +a-6，原变形正确，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】 本题考查分式的基本性质、完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，完全平方公式，多项式乘多项式的法则． 13．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）分式的最简公分母是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】 解： ∴最简公分母为， 故答案为：． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】 解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 2．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）计算：　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式的乘法．根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若，则计算的结果等于（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过分式的乘方、乘除运算法则化简代数式，再结合已知条件求值即可． 【详解】 解：原式， ， ， ， ，  原式． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式的乘方、乘除运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）当x分别取，，1，0，，，…，，，时，计算分式，再将所得结果相加，其和等于（     ） A.  B. 1 C. 0 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式化简求值， 当 （）时，；当 时，；可推出当的取值互为倒数时，其结果互为相反数，据此即可求解； 【详解】 解：∵ 当 （）时，； 当 时，； ∴的取值序列为 ， ∴结果为， 故选： A 3．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可． 【详解】 解：撕坏的一角中“■”为 ， 故选A 【点睛】 本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 4．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（     ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都错 D. ①②都对 【答案】A 【分析】 本题主要考查了分式的加减法计算，当时，则，则可求出，，进而求出，据此可判断①；可求出，当时，，即；当时，，但是此时不确定的符号，据此可判断② ． 【详解】 解：当时，则， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴当时，，即； 当时，，但是此时不确定的符号，故不能判断的大小关系，故②错误； 故选：A． 5．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算：，结果是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减． 【详解】 解：原式， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值． 【答案】， 【分析】 本题考查了分式化简求值，注意根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可． 【详解】 解：原式 ∵， ∴ 取，则 7．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值． 先根据分式混合运算法则算到最简，再代入求值即可． 【详解】 解：原式 当时，原式． 8．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值．先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可． 【详解】 解：  ，  ， 原式． 9．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】 此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果． 【详解】 解： ∵，， ∴， ∵，且x为正整数 ∴当时，原式． 10．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同分母加减法，约分，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母减法，再进行约分即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 【答案】， 【分析】 本题考查分式的化简求值，解题的关键：先根据分式混合运算顺序和运算法则将原式化简得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值即可．也考查了分式有意义的条件． 【详解】 解： ， ∵且， ∴， ∴原式． 12．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）A，B为常数，如果，则　　　　　　　，　　　　　　　 【答案】① 4    ② 【分析】 本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】 解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）定义新运算：，若，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】 解：， ，即， ， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）先将化简，再从四个数字选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，提公因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意去m的值时要使原式有意义． 根据分式的乘除运算法则将原式化简，取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴且 ∴m的值取2， 则原式 15．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，则表示分式的值的点应落在数轴的　　　　　　段．（请填写序号） 【答案】④ 【分析】 本题主要考查分式的加减运算．先根据分式的基本性质约分，再进行加减运算，再根据结果即可得出答案． 【详解】 解： ； ∴表示的值的点落在线段④ 上， 故答案为：④ ． 16．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 【答案】，，2 【分析】 本题考查了分式的化简求值,分式有意义的条件，完全平方公式，平方差公式．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把符合题意的x的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： ， ， ∵且， ∴且， ∴选，则原式． 17．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】真； ； 或或或． 【分析】 本题考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则整理分式． 根据真分式的定义判断； 根据阅读材料中的思路，可得：； 把分式化为带分式的形式，可得：，因为是整数，所以是整数，可得：或，分情况解方程求出的值即可． 【详解】 解：分式的分子是常数，分母是 分子的次数是，分母的次数是， ， 分式是真分式； 故答案为：真； 解：； 故答案为：； 解： ， 的值为整数， 的值为整数， 的值为整数， 或， 解得：或或或． 18．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）先化简：，再从-1、0、1中选一个合适的x的值代入求值． 【答案】；取x=0，原式=1． 【分析】先计算括号内分式的加法，再把除法化为乘法，约分后即可化简题目中的式子；再从-1，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解：原式= = •（x+1）（x-1） = x2+1， ∵x≠±1， ∴取x=0， 当x=0时，原式=1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据分式的四则运算法则及运算顺序进行计算，易错点是没有考虑选取的x值应满足原分式有意义的条件． 19．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； （2）已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）是的“差常分式”， ， 根据题目中对于“差常分式”的定义， ，且为正数， 是的“差常分式”，且关于的“差常值”是；     （2）①；②，，      【分析】 本题主要考查了分式的加减运算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据“差常分式”的定义，化简求出的值，看值是否是常数且为正数，即可判断； （2）① 根据题意可知，，代入得，对该等式进行去分母，移项化简可得：；② 把① 中求得代入的式子中得：，则因为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，故有：或或，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2， ，即， 等式两边同时乘以得：， 移项，整理得：； 所代表的整式为：． ， 为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数， 或或， 解得：或或， 满足条件的的值为：，，． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）对于正数x，规定，如：则的值为　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）已知分式 （1）化简该分式； （2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查分式的约分与化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据平方差公式，十字相乘法进行因式分解，再约分即可； （2）先推导出且的值为整数，化简，得到，则或或，求出x的值，再根据且，即可解答． (1) 小问详解： 解： 且． (2) 小问详解： ∵的值为整数， ∴且的值为整数， ∵ ， ∴或或， 解得， ∵且， ∴． 答：x的值为． 22．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当时，求代数式的最小值            ． 【答案】（1）     （2）或0     （3）3      【分析】 （1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． (1) 小问详解： 解：设，则， ∴原式， ∴； (2) 小问详解： 解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； (3) 小问详解： 解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】 本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 23．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，并且假分数都可化为带分数．类比分数，对于分式也可以定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 解决下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）假分式可化为带分式_________的形式；请写出你的推导过程； （3）如果分式的值为整数，那么的整数值为_________． 【答案】真 【分析】(1)比较分式的分子分母的次数容易判定出它是真分式还是假分式； (2)分式分子变形为，利用同分母分式减法逆运算法则变形即可得； (3)在的基础上，对于这个带分式，只要满足为整数即可求出整数x的值． 【详解】(1)分式的分子是常数，其次数为0，分母x的次数为1,分母的次数大于分子的次数，所以是真分； (2) ； (3)由(2)得： ，当为整数时，原分式的值为整数， ∴此时，整数x可能满足：或或或 ∴． 故答案为：真；； 【点睛】本题考查的是与分式有关的新定义问题、整式次数的判定和分式的相关运算，根据新定义及例题的变形方法解决相关问题是解决此类问题的关键． 24．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： （1）已知，则_____； （2）已知，求的值； （3）已知，，，且，求的值． 【答案】（1）4     （2）     （3）      【分析】 本题考查代数式的求值技巧．熟练掌握完全平方公式变形求值，分式的性质， “倒数法”，是解题的关键． （1）利用完全平方公式直接求解； （2）仿照题干解题过程，通过取倒数并利用已知方程变形求解； （3）将方程转化为关于倒数的方程组，求和后取倒数． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 故答案为：4． (2) 小问详解： 解：∵，且， ∴两边除以 x 得：． ∴． ∴ ． 对于， 取倒数得，． ∴． (3) 小问详解： 解：由，且，两边除以  ，得． 由，两边除以 ，得． 由，两边除以 4xz， 得． 设 ， 则 ． 三式相加，得． ∴． 对于，分子分母同除以， 得． 25．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． (1) 小问详解： 解：设， 原式 ， ； (2) 小问详解： 解：， ； (3) 小问详解： 解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 考点05 整数指数幂 1．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】 解：数据0.000000049用科学记数法表示为． 故选：A． 2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 解：0.0000084=8.4×10-6． 故选：B． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）指大气中直径小于等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查科学记数法；科学记数法表示较小数时，形式为，其中，n等于将原数小数点向右移动的位数． 【详解】 解：∵的第一个非零数字为2，小数点向右移动6位得2.5， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）下列计算：①；②；③；④ ，其中正确的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了负整数指数幂的意义，零指数幂的意义． 根据负整数指数幂的意义，，以及零指数幂的意义即可判断． 【详解】 解：①，故原计算错误； ②，故原计算正确； ③，故原计算错误； ④，故原计算正确． 故正确的是：② ④ ． 故选：B． 5．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）已知则a，b，c的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数大小比较，根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则进行计算，从而作出比较． 【详解】 解：，， ， 故选：D． 6．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法，将原数转换为科学记数法，需确定其有效数字部分和指数，科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】 解：原数为，需将小数点向右移动至第一个非零数字后，原数中小数点后共有9个零，第10位为3，因此小数点需向右移动10位，得到（满足），移动方向为向右，故指数为负，即， 因此，原数的科学记数法表示为， 故选：B． 7．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若，，，，则，，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则． 根据整数指数幂的运算法则分别求出、、、，再进行比较即可求解． 【详解】 ， ， ， ， ， 即． 故选：． 8．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达．数据用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查用科学记数法表示绝对值小于的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示绝对值小于的数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】 解：，该数左边起第一个不为零的数字前面的的个数为， 所以， 故选：D． 9．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【分析】 本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据1纳米米，将纳米换算成米，并用科学记数法表示即可． 【详解】 解：∵1纳米米， ∴纳米米米． 故选：C． 10．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查负整数指数幂和算术平方根的性质．选项A涉及算术平方根的计算；选项B涉及同底数幂的除法；选项C涉及幂的乘方；选项D涉及负整数指数幂．需逐一验证每个选项的正确性． 【详解】 解：对于A：∵ ，故A错误． 解：对于B：∵ （其中），∴ B正确． 解：对于C：∵ ，而选项为，∴ C错误． 解：对于D：∵ ，而选项为，∴ D错误． 故选：B． 11．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据实数的计算法则求解即可． 【详解】 解：A、 ，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】 本题主要考查了实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 12．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）已知，那么，，之间的大小关系是　　　　　　（用“”连接）． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，分别计算的值，比较大小，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）计算：． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，先求立方根，乘方运算，零次数幂，负整数次幂，然后再计算加减法即可． 【详解】 解： 17．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）当时，计算：　　　　　　　　　　．（结果不含负整数指数） 【答案】 【分析】 本题考查负整数指数幂的意义和幂的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用负整数指数幂的意义和幂的运算法则，将表达式化为不含负整数指数的形式，再根据积的乘方的运算法则计算． 【详解】 根据负整数指数幂的意义，， ， 再根据积的乘方法则，， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）计算： 【答案】2 【分析】 本题考查了二次根式的化简及运算，零次幂、负指数幂的化简，熟知概念是解题的关键．根据概念和性质依次化简计算即可． 【详解】 解：原式． 19．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为0.00005米，该数据用科学记数法表示为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．用科学记数法表示绝对值小于1的数时，一般形式为，其中，n为负整数，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】 解：将数0.00005用科学记数法表示为． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）计算：　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了负整数指数幂、零指数幂．原式利用负整数指数幂、零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】 解：， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）计算： 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；按顺序注意计算的准确性即可； 【详解】 解：原式 ． 22．（八上·湖南衡阳·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8     （2）      (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 23．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若，，，则，，的大小关系为　　　　　　（用“＜”连接）． 【答案】 【分析】 根据，，，比较即可． 【详解】 ∵，，， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键． 24．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）计算． （1） （2）； 【答案】（1）4049     （2）12      【分析】 本题考查平方差公式，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）先计算有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，再进行有理数的混合运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 考点06 分式方程 1．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】 解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 2．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）如果关于x的方程无解，则m的值是（       ） A. 2 B. 0或4 C. 0 D. 0或2 【答案】D 【分析】 本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先把分式方 程通过去分母化为整式方程，再根据分式方程无解得到或或，再把x的值代入整式方程求出m的值即可． 【详解】 解：方程两边同乘得， ， 整理得 因为方程无解 或或 当时，代入得，舍去； 当时，代入得，解得； 当，解得． 的值是0或2． 故选：D． 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若关于x的分式方程无解，则a的值为（       ） A. 0 B.  C. 1或 D. 1 【答案】D 【分析】 本题考查了分式方程无解．先将分式方程化为整式方程，得到，当解使分母 时，即，代入得，此时原方程无解，其他情况下方程均有解，故，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵原方程 ， ∴ 方程化为， 即 ∴， 整理得 ， ∴ ， 即 当时，分母为零，方程无解， 代入得，解得 ∴ 当时，方程无解． 故选：D 4．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）雪峰山苏宝顶海拔1934米，素有“湖南的青藏高原”之美名，是湖南省知名的避暑、旅游、登山、科考胜地．甲乙两人分别驾车同时从山脚出发驶往30千米外的苏宝顶．若乙的车速是每小时千米，甲的车速是乙的倍，结果甲比乙早到15分钟．根据题意可以列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意是关键． 设乙车速为千米／小时，则甲车速为千米／小时，根据甲比乙早到15分钟列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，即 故选：D． 5．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（       ） A. 总路程 B. 规定的时间 C. 快马的速度 D. 慢马的速度 【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由快、慢马需要的时间与规定时间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示慢马的速度，根据各数量之间的关系及所列方程，找出的意义是解题的关键． 【详解】 解：已知快马的速度是慢马的倍，根据题意列方程为， ∴表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间， ∴表示慢马的速度， 故选：． 6．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】 解：由题意可得， ， 故选：A． 7．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（       ） A. 3或 B. 或 C. 3或或 D. 5或或 【答案】C 【分析】 本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．原分式方程无解有两种情况，由分式方程化为的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，据此解答即可． 【详解】 解： 方程两边同乘以得： ， 若，即时，方程无解，故原方程也无解； 若有解，但此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解， 即， 解得或， 综上所述，或或时，原方程无解． 故选：C． 8．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）解分式方程，去分母后所得的方程是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】本题的最简公分母是3x，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程． 【详解】解：方程两边都乘3x， 得1-3（2x+1）=69x． 故选C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握去分母法则是解题关键． 9．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）定义新运算“◎”： ，如果，那么x的值为（       ） A. 1或2 B. 1或3 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程． 根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】 解：∵ ， 当 时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； 当时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； ∴ 的值为1或3． 故选：B 10．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 该题考查了分式方程，先解分式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非正数（）和分母不为零（）的条件，求k的取值范围． 【详解】 解：∵方程， 两边同乘公分母，得：， 展开并简化：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴，即，解得：， ∵分母不为零，∴且， 当时，，解得， 当时，，解得， 但，故自动满足，只需， ∴且， 故选：C． 11．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程、解一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据程序分析即可求解． 【详解】 解：设输入的值为时， 由题意得，， 整理得，， 解得（舍去）； 当时，根据题意得，， 整理得， 解得， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）解分式方程． 【答案】原分式方程无解 【分析】 根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】 方程两边乘， 得 解得 检验：当时，，因此不是原方式方程的解， 所以，原分式方程无解． 【点睛】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： （1）每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? （2）设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】（1）A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元；     （2）该超市最多购进B型文具袋个；      【分析】 本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； (1) 小问详解： 解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2) 小问详解： 解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 14．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称这三个数为一组调和数．现有三个数：x，4，6，若要组成一组调和数，则x的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的实际应用，根据调和数的定义，由题意，；即可求解； 【详解】 解：由题意，； 解得：； 经检验， 是原方程的根，且满足； 故答案为： 15．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 【答案】件 【分析】 本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 16．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）原方程无解      【分析】 本题考查了分式方程的解法，同时包含平方差公式与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握掌握分式方程的解法并注意验证． （1）先由平方差公式化简，再去分母，化为一元一次方程求解并验证即可； （2）先提取公因式，再去分母，化为一元一次方程求解并验证即可． (1) 小问详解： 解： ， 同乘可得，， 解得， 经验证：是原方程的解， ∴方程的解为； (2) 小问详解： 解：． ， 同乘可得，， 解得， 经验证：时，原方程分母，是增根， ∴原方程无解． 17．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）去分母化为整式方程求解，并检验分母是否为零即可； （2）去分母化为整式方程，求解后检验发现增根，因此无解． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 即， 解得：． 检验：当时，分母，且， 所以是原方程的解． (2) 小问详解： 解：， 方程化为， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 解得：， 检验：当时，分母，无意义， 所以是增根，原方程无解． 18．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）2022年，国家教育部新颁发的《义务教育语文课程标准》提出明确要求：“要重视培养学生广泛的阅读兴趣，提高阅读品位，提倡多读书、好读书、读好书”．某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在初二年级随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此次调查中，一共抽取了________名学生． （2）补全条形统计图，并求出扇形中“农业”部分的圆心角度数． （3）若该校共有3600名学生，请你估计大约有多少名学生最想阅读“科技”类书籍？ 【答案】（1）60     （2） 补图如下：      （3）540名      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图，扇形的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用教育的人数除以教育的占比，即可求出此次调查一共抽取的学生总数； （2）先求出国防的人数，再补全条形统计图，再列式计算出扇形中“农业”部分的圆心角度数 （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：由题意知，（名） ∴一共抽取了名学生， (2) 小问详解： 解：由题意知，国防的人数为（人）， ∴， 答：扇形中“农业”部分的圆心角度数为； (3) 小问详解： 解：由题意知，（名）， 答：估计该年级最想读科技类书籍的学生有540名． 19．（八上·湖南衡阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 20．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． （1）求每套《什么是数学》的价格； （2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 【答案】（1）50元     （2）《古今数学思想》最多能买20套      【分析】 本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套建立方程求解即可； （2）根据（1）所求可求出《古今数学思想》的价格，设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据购买费用不超过4000元列出不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； (2) 小问详解： 解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 21．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）（1）解分式方程； （2）先化简，再求值： ，其中x为满足的整数． 【答案】（1）；（2），1 【分析】 本题考查了解分式方程，分式混合运算的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）先将分式混合运算进行化简，再选取符合要求的的值，最后代入化简之后的式子即可得解． 【详解】 解：（1）方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． （2） ∵为满足的整数，由分式有意义可知且 ∴只能取 ∴当时，原式． 22．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组 有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】 解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组 ，得 ， ∵关于y的不等式组 有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．在购买树苗时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元； （2）现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，至少购买多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗的单价是90元，乙种树苗的单价是60元     （2）至少购买70棵乙种树苗      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，由题意得，求解即可得出答案； （2）设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗，由题意得，求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲种树苗的单价是90元，乙种树苗的单价是60元； (2) 小问详解： 设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗， 由题意得， 解得． 答：至少购买70棵乙种树苗． 24．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解     （2）      【分析】 本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； （2）先化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； (1) 小问详解： 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 25．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】 本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】 解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 26．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若关于x的方程无解，则m的值为　　　　　 ． 【答案】或0 【分析】 本题主要考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可． 【详解】 解：将方程化成整式方程为：， 即， 增根为：， ∴， ∴． 当时，方程无解， 故答案为：或0 27．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（     ）②（     ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】（1）① √；② ×     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ② ∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：① √；② ×． (2) 小问详解： 解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； (3) 小问详解： 解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴ ，或 ， 解得 ，或 ， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当 时，，， ∴， ∴ ∴与不是“互动分式”，故舍去； 当 时，，， ∴，， ∴． ∴与是“互动分式”， ， 当时的最大值是． 综上所述：最大值为． 28．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）若关于的方程无解，则m的值是　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】由分式方程无解可知x-2=0，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值. 【详解】∵分式方程无解， ∴x-2=0， ∴x=2， ∵， ∴x-1=m， 把x=2代入得， 2-1=m， ∴m=1. 故答案为1. 【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 29．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉解分式方程的基本步骤． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可． (1) 小问详解： 解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原方程的解； (2) 小问详解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 30．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）为落实全民健身国家战略，聚焦省委做实“有一种叫云南的生活”，全力打造新时代“昭通印象”，真正让“在云南一样样好、在昭通一越来越好”成为新时代“昭通印象”的鲜明标志．昭通市人民政府为丰富广大市民的体育生活，展现市民健康向上的精神风貌，于2024年12月15日在昭通体育中心体育馆举行“博联经纪·2024昭通”马拉松，吸引世界各地1.2万名参赛选手齐聚昭通．某体育俱乐部准备为学员制作、两种纪念章．经了解，每个种纪念章比每个种纪念章多4元，用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，求两种纪念章每个各为多少元？ 【答案】每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设种纪念章为元个，则种纪念章为元个，根据用1000元订制种纪念章的数量与用800元订制种纪念章的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】 解：设种纪念章为元个，则种纪念章为元个， 根据题意得：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为 ， 答：每个种纪念章和种纪念章分别为20元和16元. 31．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则            ，          ． （2）若十字分式方程的两个解分别为求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1），；     （2）     （3）2      【分析】 本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． (1) 小问详解： 解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． (3) 小问详解： 解：方程是十字分式方程，可化， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 32．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】 解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 33．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． (1) 小问详解： 两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； (2) 小问详解： 两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 34．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）某商厦进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用8万元购进这种T恤衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元． （1）求第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ （2）商厦销售该款式T恤衫时每件定价都是58元，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元，剩余的T恤衫每件售价至少多少元？ 【答案】（1）第一批T恤衫每件进价是40元     （2）第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元      【分析】 本题主要考查分式方程的应用，不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批T恤衫每件进价是元，根据“第二批这种T恤衫所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元”，列出方程，可求得第一批T恤衫每件进价； （2）设第二批剩余的T恤衫每件售价元，根据“要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元”可列不等式，解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设第一批T恤衫每件进价是元， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：第一批T恤衫每件进价是40元； (2) 小问详解： 解：由（1）知，第一批购进（件），第二批购进4000件， 设第二批剩余的T恤衫每件售价元， 根据题意，得， 解得， 答：第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元． 35．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． (1) 小问详解： 解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； (2) 小问详解： 解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 36．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 【答案】A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】 解：设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地． 37．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）已知关于x的分式方程， （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】（1）m=0；(2) m<6且m≠0． 【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）方程两边都乘以得， 分式方程有增根 解得 解得 （2）方程两边都乘以得， 解得 方程的根为正数 ，且 ，且 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键． 38．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）湘潭河西地下商城某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． （1）甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件? （2）两种恤衫很受顾客欢迎，因此该服装店计划用不超过元的资金再次购进甲、乙两种款式时尚恤衫共件．已知两种时尚恤衫的进价不变，求甲种款式时尚恤衫至少购进多少件? 【答案】（1）甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件     （2）件      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （）设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件，根据题意列出方程求出即可求解； （）先求出甲乙两种款式恤衫的进价，设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件，根据题意列出不等式求出的取值范围即可求解； (1) 小问详解： 解：设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件； (2) 小问详解： 解：由（）可得，乙种款式恤衫的进价为元， ∴甲种款式恤衫的进价为元， 设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种款式时尚恤衫至少购进件． 39．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）分式方程的解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．方程两边同乘，将分式方程化为整式方程，然后求解即可． 【详解】 解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故答案为： 40．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【分析】 本题主要考查的知识点是分式方程的应用(行程问题)，通过设未知数，根据时间关系建立方程求解，涉及到路程、速度、时间的关系(时间路程速度)，属于行程问题中的同地不同时出发且同时到达的情况． 【详解】 解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 41．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 【答案】（1）70米/分（2）能 【分析】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可； （2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断． 【详解】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分， 根据题意得：， 解得：x=70， 经检验x=70是原方程的解， 即李明步行的速度是70米/分． （2）根据题意得，李明总共需要：+1=41＜42． 即李明能在联欢会开始前赶到． 答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校． 考点：分式方程的应用． 42．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． （1）求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 【答案】（1）型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂；     （2）该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人．      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，由题意得： ，解得： ， 答：型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； (2) 小问详解： 解：设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为18， 答：该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 43．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花200元采购甲种灭火器的支数和花450元采购乙种灭火器的支数相同． （1）采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ （2）若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过1750元，并且以每支甲种灭火器50元和每支乙种灭火器80元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1640元的目标？若能，请给出所有合理的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）采购1支甲种灭火器需要20元，采购1支乙种灭火器需要45元     （2）共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支      【分析】 本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要x元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据花200元采购甲种灭火器的支数和花450元采购乙种灭火器的支数相同建立方程求解即可； （2）设购买甲种灭火器m支，则购买乙种灭火器支，根据购买费用不超过1750元，利润不低于1640元建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设采购1支甲种灭火器需要x元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：采购1支甲种灭火器需要20元，采购1支乙种灭火器需要45元； (2) 小问详解： 解：设购买甲种灭火器m支，则购买乙种灭火器支， 由题意得， ， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值为20或21或22， 当时，； 当时， 当时，， 答：共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 44．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）“湘超”联赛(湖南省足球超级联赛)的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购，两类足球作为比赛奖品．已知采购信息如下：购买个类足球与个类足球，花费元；购买个类足球与个类足球，花费元． （1）类足球和类足球的单价分别为多少元? （2）若学校计划采购，两类足球的总数量为个，并要求同时满足以下两个条件：采购类足球的数量不超过个；采购、两类足球的总费用不超过元．问：学校共有哪几种可行的购买方案? 【答案】（1）类足球的单价为元，类足球的单价为元；     （2）方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球．      【分析】 本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确地列出方程组，不等式是解题关键． 设，两类足球的单价分别为元、元，根据两种购买方案需要的钱数列方程组求解即可； 设采购类足球个，则采购类足球个，根据购买足球的费用不超过元，列不等式求出的取值范围，再根据购买类足球的数量不超过个确定购买方案． (1) 小问详解： 解：设、两类足球的单价分别为元、元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：类足球的单价为元，类足球的单价为元； (2) 小问详解： 解：设采购类足球个，则采购类足球个， 根据题意可得：， 解得：， 且取正整数， 或或， 答：共有三种购买方案： 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球． 45．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 （1）理解应用：方程 的解为：                                               （2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】（1）3；      （2）     （3）12      【分析】 （1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 46．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）已知关于x的分式方程：． （1）当时，请解这个分式方程； （2）若该分式方程无解，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． (1) 小问详解： 解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． (2) 小问详解： 解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 47．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）阅读材料：从教材第24页例题1，我们知道：对于一个分式，当分子的值是0且分母的值不为0时，分式的值为0．对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，那么，从而求得它的解，得，．又因为，所以关于x的分式方程就变成了分式方程，它的解为，． （1）理解应用：方程的解为：__________，__________； （2）知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； （3）拓展提升：若关于x的方程的解为，，（，）求的值． 【答案】（1），或填（，）     （2）21     （3）      【分析】 本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． （1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得，，再由完全平方公式变形可得； （3）先把方程变形为，则方程的解为，，再代入中，化简即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，；或填（，；） (2) 小问详解： 解：由题意知：，， ； (3) 小问详解： 解：， ， 又∵，， ，， ，， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $