专题05 因式分解（2大考点）（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦因式分解专题，汇编湖南多地八年级期中真题，覆盖提公因式法与公式法两大核心考点，通过基础辨析、实际应用及数学思想题构建能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|提公因式法概念辨析、公式法适用判断|结合湖南期中真题，注重概念本质理解，如判断因式分解变形| |填空|约15题|公因式确定、公式法分解结果|设置开放性问题，如密码生成应用，体现数学与生活联系| |解答|约15题|综合分解（分组、整体思想）、阅读材料题|融入拼图验证平方差公式、配方法等，渗透转化与建模思想|

专题05 因式分解（2大考点） 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（八上·湖南衡阳·期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后求解． 【详解】 A. ，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； B. ，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合平方差公式，属于因式分解，故B符合题意； C. ，右边通过加法拆分，未形成乘积形式，不属于因式分解，故C不符合题意； D. ，展开右边得，与左边不相等，分解错误，故D不符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）把分解因式，提取的公因式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了因式分解-提公因式法，原式提取公因式即可． 【详解】 解：， 则提取的公因式是． 故选：C． 3．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】 ∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 4．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】 解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】 解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 6．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（   ） A.  B. 2 C. 10 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】 解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 7．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】 A、对于，提取公因式后得到，是把多项式化成了整式的积的形式，符合因式分解的定义，故本选项符合题意． B、这是平方差公式的展开过程，是把整式乘积的形式化成了多项式的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． C、与等式左边不成立，该等式错误，故本选项不符合题意． D、左边是单项式，而因式分解的对象是多项式，因此不符合定义，故本选项不符合题意． 故选A． 8．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】 解：、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 9．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】 解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 10．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列由左到右的变形是因式分解的是（     ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【分析】 本题主要考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．据此一一判断即可． 【详解】 解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．不是因式分解，故该选项不符合题意； ． ，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 11．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列从左到右的等式变形中，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 12．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】 解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解，选项不符合题意； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解，选项不符合题意； C．是因式分解，选项符合题意； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解，选项不符合题意； 故选：C． 13．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（     ） A. 3 B.  C.  D. x 【答案】B 【分析】 本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 【详解】 解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 14．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】 解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 15．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若多项式可分解为，则（     ） A. 8 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】 解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 16．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 【详解】 根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 17．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解． 【详解】 解：， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若多项式可分解为则　　　　　　，　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】 解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 19．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）因式分解：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）多项式分解因式的结果是                           ． 【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法进行因式分解，关键是找到公因式．先把变形为，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若为任意整数，则的值总能（     ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【分析】 本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】 解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 2．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】 解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式：（1）       （2）（3）（4） A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题 【答案】B 【分析】 本题主要考查平方差公式，牢记平方差公式是解题的关键． 【详解】 解：（1）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （2）不符合平方差公式的形式，题目错误； （3）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （4），符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确． 综上分析可知，错的是第（2）道题，故B正确． 故选：B． 4．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）下列因式分解正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据提公因式法，公式法因式分解，逐项分析判断即可求解． 【详解】 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 5．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）将多项式分解因式，正确的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】 解：∵ ． 故选：D． 6．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列式子能用平方差公式分解因式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了利用公式法进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行判断即可，平方差公式适用于形如的表达式，可分解为 ． 【详解】 解：A.该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B. 该选项为完全平方形式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C. 该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D.∵ ，符合平方差公式， ∴ 可分解为 ； 故选：D． 7．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．平方差公式适用于形如的多项式，检查各选项是否可化为该形式即可． 【详解】 解：选项A：，符合平方差公式，能用平方差公式分解因式，故符合题意； 选项B：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项C：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项D：，是提公因式，不是平方差形式，故不符合题意； 故选：A． 8．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可． 【详解】 解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【点睛】 本题考查因式分解的应用，长方形的周长和面积，求代数式的值，运用了整体代入的思想．掌握因式分解是解题的关键． 9．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】 解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 10．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】判断各式有公因式的即可． 【详解】能用提公因式法因式分解的是x2-2x=x（x-2）， 故选B． 【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 11．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【详解】 解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 12．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）对于任何整数，多项式一定能被（        ） A. 整除 B. 整除 C. 整除 D. 整除 【答案】A 【分析】 利用平方差公式对多项式进行因式分解，结合为整数的条件判断可整除的常数因式． 【详解】 解：， ∵是整数， ∴是的倍数， ∴多项式一定能被整除． 13．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）分解因式：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原式进行分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 14．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）因式分解：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 15．（八上·湖南衡阳·期中）已知，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴ 即 故答案为： 16．（八上·湖南衡阳·期中）分解因式． （1） （2） 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 17．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 【答案】 【分析】 本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】 解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式． 19．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：　　　　　　写出一个即可． 【答案】或或 【分析】 把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】 解：， 当，时，；；， 用上述方法产生的密码是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 20．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 21．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）因式分解： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）直接利用平方差公式分解因式得出答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 22．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）因式分解：a3－a=　　　　　　． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【分析】 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】 解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】 本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 23．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）阅读材料：因式分解：．解：将“”看成整体，设，则原式．再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意将“”看成整体，代入，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）将“”看成整体，代入，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解： 将“”看成整体， 设， 则原式． 将代入， 得原式． (2) 小问详解： 将“”看成整体， 设， 则原式． 将代入， 得原式． 【点睛】 题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 24．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式．注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式，还要注意分解要彻底． （1）根据题意先提取公因式2，进而利用平方差公式即可进行因式分解． （2）根据题意先提取公因式x，进而利用完全平方公式即可进行因式分解． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 25．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】 解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 27．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查因式分解，利用平方差公式因式分解，再将已知条件代入求解． 【详解】 解：由平方差公式，得， ∵，， ∴，解得， 故答案为：3． 28．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）一个正方形面积为平方厘米，它的边长是　　　　　厘米． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解，算术平方根的实际应用，利用完全平方公式法进行因式分解，利用算术平方根求出边长即可． 【详解】 解：由题意，正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为厘米； 故答案为： 29．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）分解因式：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】 解： . 故答案为：. 30．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】 解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 31．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 32．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）因式分解：=　　　　　　． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【分析】 先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】 考点：因式分解． 33．（八上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若，求a、b的值； （3）当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】（1）     （2）     （3）当时，式有最小值，最小值为1；      【分析】 （1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 34．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）8；（2） 【分析】 （1）先计算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式，最后用积的乘方计算即可． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，零指数幂，积的乘方，负整数指数幂等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 35．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若实数满足，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2024 36．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）A     （2）2     （3）      【分析】 本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． (1) 小问详解： 解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； (2) 小问详解： 解：，， ； (3) 小问详解： 解：原式， ， ， ． 37．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解的方法，正确的计算是解决本题的关键． （1）根据提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 38．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． （1）下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． （2）关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； （3）关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 【答案】（1）① ③；     （2）；     （3）最小值为7．      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得，即可求解； （3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得 ，即可解答． (1) 小问详解： 解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是① ③； 故答案为：① ③ (2) 小问详解： 解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． (3) 小问详解： 解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 39．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）分解因式：　　　　　． 【答案】 【详解】 解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】 解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 41．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤：___________； （2）分解因式：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令， 则原式 将还原， 得原式． 42．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位密码是：　　　　　　　．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先利用提取公因式和平方差公式对进行因式分解，再进行代数式求值，即可写出密码． 【详解】 解：， ∵，， ， ， ， ∴用上述方法产生的六位密码可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 43．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知为正整数，求证：能被24整除． 【答案】证明： ． ∵为正整数， ∴和是连续的正整数， ∴和中一定有一个是偶数， ∴一定是24的倍数， ∴能被24整除． 【分析】 本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 证明：∵，． ∴， ∴不论取何值，总有比大2．     （3）是， 理由如下： 对进行分组：． 分别展开可得． 令，则原式可化为． 展开式子得． 根据完全平方公式，． 再将还原， 可得． 因为为正整数， 所以也是整数， 所以的值是某一个整数的平方．      【分析】 本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． (1) 小问详解： 解：， 将看成整体，令， 则原式， 再将“A”还原，可得原式， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 45．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）用配方法求的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，平方差公式，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， ， ， 即的最小值为． 46．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，熟知公式法分解方式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 47．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则=　　　　　　　. 【答案】 【详解】中间一项为加上或减去x和4积的2倍， 故m=±8， 解得m=±8， 故答案为±8. 点睛：本题主要考查了完全平方式.先根据两平方项确定出两个数，在根据完全平方公式的乘积的二倍即可确定m的值.根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，书记完全平方公式对解题非常重要. 48．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）因式分解：　　　　　． ． 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 49．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2）是等腰三角形      【分析】 本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： ， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 50．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①   ②   ③   ④ （2）若关于的多项式是的完美多项式，求的值． （3）已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【答案】（1）② ④     （2）     （3），      【分析】 本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到 ，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． (1) 小问详解： 解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④ 符合题意； 故答案为：② ④ ； (2) 小问详解： 解：设 ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解（2大考点） 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（八上·湖南衡阳·期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）把分解因式，提取的公因式是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（   ） A.  B. 2 C. 10 D. 15 7．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）下列由左到右的变形是因式分解的是（     ） A. ； B. ； C. ； D. ； 11．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列从左到右的等式变形中，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（     ） A. 3 B.  C.  D. x 14．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）若多项式可分解为，则（     ） A. 8 B.  C. 4 D.  16．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若多项式可分解为则　　　　　　，　　　　　　． 19．（25-26学年八上·湖南衡阳蒸湘区·期中）因式分解：　　　　　　． 20．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）多项式分解因式的结果是                           ． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若为任意整数，则的值总能（     ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 2．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 3．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式：（1）       （2）（3）（4） A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题 4．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）下列因式分解正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）将多项式分解因式，正确的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）下列式子能用平方差公式分解因式的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）对于任何整数，多项式一定能被（        ） A. 整除 B. 整除 C. 整除 D. 整除 13．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）分解因式：　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）因式分解：　　　　　　　　　　． 15．（八上·湖南衡阳·期中）已知，，则的值为　　　　　　　　． 16．（八上·湖南衡阳·期中）分解因式． （1） （2） 17．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 18．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：　　　　　　写出一个即可． 20．（25-26学年八上·湖南衡阳·期中）因式分解： （1）； （2）． 21．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）因式分解： （1）； （2） 22．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）因式分解：a3－a=　　　　　　． 23．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）阅读材料：因式分解：．解：将“”看成整体，设，则原式．再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 24．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）因式分解： （1） （2） 25．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　　　　　　． 26．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）因式分解： （1）； （2）． 27．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）已知，，则　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·湖南邵阳·期中）一个正方形面积为平方厘米，它的边长是　　　　　厘米． 29．（25-26学年八上·湖南湘潭·期中）分解因式：　　　　　　． 30．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）因式分解： （1） （2） 32．（25-26学年八上·湖南株洲第二中学·期中）因式分解：=　　　　　　． 33．（八上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若，求a、b的值； （3）当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 34．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）（1）计算： （2）因式分解： 35．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）若实数满足，则代数式的值为　　　　　　． 36．（25-26学年八上·湖南湘潭第十六中学·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 37．（25-26学年八上·湖南常德芷兰实验学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 38．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． （1）下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． （2）关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； （3）关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 39．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）分解因式：　　　　　． 40．（25-26学年八上·湖南益阳·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则　　　　　　． 41．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤：___________； （2）分解因式：． 42．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位密码是：　　　　　　　．（写出一个即可）． 43．（25-26学年八上·湖南娄底·期中）已知为正整数，求证：能被24整除． 44．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 45．（25-26学年八上·湖南湘潭电机子弟中学·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）用配方法求的最小值． 46．（25-26学年八上·湖南郴州第三中学·期中）因式分解： （1） （2） 47．（25-26学年八上·湖南常德第五中学·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则=　　　　　　　. 48．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）因式分解：　　　　　． 49．（25-26学年八上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 50．（25-26学年八上·湖南长沙·期中）定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①   ②   ③   ④ （2）若关于的多项式是的完美多项式，求的值． （3）已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解（2大考点） 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．D 10．D 11．B 12．C 13．B 14．C 15．B 16．B 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解． 【详解】 解：， 故答案为：． 18．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】 解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 19．【答案】 【分析】 本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法进行因式分解，关键是找到公因式．先把变形为，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：． 考点02 用公式法分解因式 1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．A 12．A 13．【答案】 【分析】利用完全平方公式对原式进行分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 15．【答案】3 【分析】 此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴ 即 故答案为： 16．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 17．【答案】 【分析】 本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】 解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式． 19．【答案】或或 【分析】 把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】 解：， 当，时，；；， 用上述方法产生的密码是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）直接利用平方差公式分解因式得出答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 22．【答案】a（a－1）（a + 1） 【分析】 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】 解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】 本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意将“”看成整体，代入，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）将“”看成整体，代入，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解： 将“”看成整体， 设， 则原式． 将代入， 得原式． (2) 小问详解： 将“”看成整体， 设， 则原式． 将代入， 得原式． 【点睛】 题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式．注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式，还要注意分解要彻底． （1）根据题意先提取公因式2，进而利用平方差公式即可进行因式分解． （2）根据题意先提取公因式x，进而利用完全平方公式即可进行因式分解． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】 解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 27．【答案】3 【分析】 本题考查因式分解，利用平方差公式因式分解，再将已知条件代入求解． 【详解】 解：由平方差公式，得， ∵，， ∴，解得， 故答案为：3． 28．【答案】 【分析】 本题考查因式分解，算术平方根的实际应用，利用完全平方公式法进行因式分解，利用算术平方根求出边长即可． 【详解】 解：由题意，正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为厘米； 故答案为： 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】 解： . 故答案为：. 30．【答案】 【分析】 分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】 解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 32．【答案】2（x+3）（x﹣3） 【分析】 先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】 考点：因式分解． 33．【答案】（1）     （2）     （3）当时，式有最小值，最小值为1；      【分析】 （1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 34．【答案】（1）8；（2） 【分析】 （1）先计算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式，最后用积的乘方计算即可． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，零指数幂，积的乘方，负整数指数幂等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2024 36．【答案】（1）A     （2）2     （3）      【分析】 本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． (1) 小问详解： 解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； (2) 小问详解： 解：，， ； (3) 小问详解： 解：原式， ， ， ． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解的方法，正确的计算是解决本题的关键． （1）根据提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 38．【答案】（1）① ③；     （2）；     （3）最小值为7．      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得，即可求解； （3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得 ，即可解答． (1) 小问详解： 解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是① ③； 故答案为：① ③ (2) 小问详解： 解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． (3) 小问详解： 解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 39．【答案】 【详解】 解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】 解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令， 则原式 将还原， 得原式． 42．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先利用提取公因式和平方差公式对进行因式分解，再进行代数式求值，即可写出密码． 【详解】 解：， ∵，， ， ， ， ∴用上述方法产生的六位密码可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 43．【答案】证明： ． ∵为正整数， ∴和是连续的正整数， ∴和中一定有一个是偶数， ∴一定是24的倍数， ∴能被24整除． 【分析】 本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】 略 44．【答案】（1）     （2） 证明：∵，． ∴， ∴不论取何值，总有比大2．     （3）是， 理由如下： 对进行分组：． 分别展开可得． 令，则原式可化为． 展开式子得． 根据完全平方公式，． 再将还原， 可得． 因为为正整数， 所以也是整数， 所以的值是某一个整数的平方．      【分析】 本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． (1) 小问详解： 解：， 将看成整体，令， 则原式， 再将“A”还原，可得原式， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，平方差公式，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， ， ， 即的最小值为． 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，熟知公式法分解方式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 47．【答案】 【详解】中间一项为加上或减去x和4积的2倍， 故m=±8， 解得m=±8， 故答案为±8. 点睛：本题主要考查了完全平方式.先根据两平方项确定出两个数，在根据完全平方公式的乘积的二倍即可确定m的值.根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，书记完全平方公式对解题非常重要. 49．【答案】（1）     （2）是等腰三角形      【分析】 本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： ， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 50．【答案】（1）② ④     （2）     （3），      【分析】 本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到 ，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． (1) 小问详解： 解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④ 符合题意； 故答案为：② ④ ； (2) 小问详解： 解：设 ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $