专题07 锐角三角函数（3大考点）（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦锐角三角函数3大核心考点，汇编湖南多地中学期中试题，涵盖基础计算、图形变换及实际应用，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|约28题|锐角三角函数定义、解直角三角形、坡度坡角等|结合网格求正切值、矩形折叠相似探究，融入挖掘机工作示意图、河堤坡度等实际情境，综合动态几何与反比例函数知识|

专题07 锐角三角函数（3大考点） 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．A 2．【答案】2 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可． 【详解】 解：原式＝ ＝ ＝2 【点睛】 此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键． 3．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】 解： 5．【答案】-度 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 6．【答案】（1）2     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）先化简各数，进行特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： ， ， 解得． 7．【答案】4 【分析】 结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】 在网格上取点D，得， ∵CD=4，BD=1 ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查锐角三角函数，解题的关键是作出点D，构造直角三角形求解． 8．【答案】16 【分析】 连接EF交CD于O，先证明四边形CFDE为菱形，从而求出CO的长度，然后根据余弦定义求出CE即可得出答案． 【详解】 解：连接EF交CD于O，如图： ∵DEAC，DFBC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠FCD＝∠ECD， ∵DEAC， ∴∠FCD＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形CEDF是菱形， ∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝， 在Rt△COE中， CE＝＝＝4， ∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，余弦的定义等知识，解题的关键是判断出四边形CEDF为菱形． 9．【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，最后计算加法即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点02 解直角三角形 1．B 2．A 3．C 4．D 5．【答案】米 【分析】 本题考查直角三角形的实际应用．根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半得到求解即可． 【详解】 解：∵，，米， ∴米， ∴（米）， 即这棵树折断前的高度为米． 故答案为：米． 6．【答案】（1）     （2）的面积为      【分析】 本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）知：在中，，， ， ． 7．【答案】12 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 8．【答案】（1）-3；7；（2）（0，4）或（0，6）；（3）4 【分析】 （1）设直线的解析式为y＝2x+b，将A（1，3）代入求出b＝1，得到函数解析式，再将点B、C分别代入求出m、n的值； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，根据 KPA•KPC＝﹣1，得到，求解即可； （3）连接DE，证得AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA，求出AD、DE、DG，利用勾股定理求出EG，及sin∠GFA的值，过M作MN⊥GF于N，则， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值，由DH•GE＝DG•DE得到DH＝4． 【详解】 解：（1）设直线的解析式为y＝2x+b， 将A（1，3）代入得b＝1， ∴直线的解析式为y＝2x+1， 将B（m，﹣5）、C（3，n）两点分别代入解析式， 得m＝﹣3，n＝7； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，有KPA•KPC＝﹣1， 由（1）知，A（1，3）、C（3，7）， ∴， 解得y＝4或y＝6， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，6）． （3） 如图，连接DE，由题意知，KAB＝2，， ∵KAB＝KDE，， ∴AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA， ∴， ∴， ∴， 过M作MN⊥GF于N，则， ∴， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值．由DH•GE＝DG•DE， 得DH＝4， 即的最小值为4． 【点睛】 此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出，，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】 解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为，即； 故答案为：． 10．【答案】度 【分析】 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出的度数． 【详解】 解：作轴于C，轴于D，如图：     点A、B分别在反比例函数，的图象上， ，， ， ， ∵， ， ， ∵轴于 ∴ ， ． 即 即， 故答案为：． 11．【答案】（1）证明：∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF=∠FDE=45°， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC，∠B=∠ADF=45°， ∴∠BAD=∠FDC， ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△CDF， ∴=， ∴AB•CF=BD•CD； （2）；（3） 【分析】 （1）证明△ABD∽△CDF即可解决问题； （2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．求出BD，CD，利用（1）中即可解决问题； （3）如图2−1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设CD=a，则BD=2a，BC=3a．利用相似三角形的性质求出AF，EF即可解决问题． 【详解】 （1）略 （2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H， ∵∠B=∠C=45°， ∴AB=AC=， ∴BC=AB=12， ∵AH⊥BC， ∴BH=CH=6，AH=BH=CH=6， ∵AD⊥DE，∠AED=75°， ∴∠ADE=90°，∠DAE=15°， ∴∠ADH=∠DAE+∠C=60°， ∴∠DAH=30°，DH=AH•tan30°=， ∴BD=6+2，CD=6﹣2， ∵AB•CF=BD•CD， ∴6•CF=（6+2）（6﹣2）， ∴CF=； （3）如下图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G，设BD=a，则CD=3a，BC=4a， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴AH=HB=HC=2a，DH=a，∠C=∠B=45°， ∵∠AHD=∠ADE=∠DGE=90°， ∴∠ADH+∠EDG=90°，∠EDG+∠DEG=90°， ∴∠ADH=∠DEG， ∴△ADH∽△DEG，设EG=CG=y，则DG=3a+y， ∴=， ∴=， 解得y=3a， ∴CG=EG=３a，EC=， ∵AB=， ∵CF==， ∴AF=AC﹣CF=，EF=CF+CE=， ∴=． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 12．【答案】（1）相等；（2）；（3）或 【分析】 （1） 由折叠得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （2）过点作垂直于点G，同（1）可得出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，然后在中，根据正弦的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点P在上时，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据余弦定义可得出，即可求解；②当点P在上时，可证明，则，根据等角对等边得出，则，解方程即可求解． 【详解】 解：（1） 相等 理由：由题意垂直平分线段， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，过点作垂直于点G， ∵， ∴， 由题意垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点P在上时， ∵， ∴， 又， ∴， 由（2）知， ∴， ∴ ， ∴． ②当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上， 或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确分类讨论是解题的关键． 13．【答案】（1）或     （2） ①，理由如下： ∵， ∴， ∵由沿翻折得到， ∴， ∵， ∴； ②     （3）或      【分析】 （1）根据折叠的性质可得，可证明，从而得到，进而得到，即可； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质，即可求解；②证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或； (2) 小问详解： 解：①略 ② ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； (3) 小问详解： 解：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴， 当F在上时，如图： AI ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴， 当F在直线上时，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 【点睛】 本题属于相似形综合题，本题考查了折叠的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．【答案】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN， ∴∠BAN＝∠CAM＝120°， ∴△BAN≌△CAM， ∴CM＝BN； （2）∵∠APF＝∠APC−∠CPF＝∠APC−30°，∠AMC＝∠APC−∠MAB＝∠APC−30°， ∴∠APF＝∠AMC， 又∵∠MAC＝∠PAF＝120°， ∴△APF∽△AMC； （3） 【分析】 （1）根据△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，即可得到AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，进而得出△BAN≌△CAM，进而得到CM＝BN； （2）依据∠APF＝∠AMC，∠MAC＝∠PAF＝120°，即可判定△APF∽△AMC； （3）连接CF，依据A，F，C，P四点共圆，可得∠AFP＋∠CFN＝90°，根据∠CFN＋∠FCN＝90°，可得∠FCN＝∠AFP＝∠ACM．再根据∠FNC＝∠PAC＝90°，可得△PAC∽△FNC，进而得出＝2① ；根据△APF∽△AMC，可得② ，联立① ② 可得，进而得到． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图② ，连接CF， ∵△APF∽△AMC， ∴∠AFP＝∠ACM， ∴A，F，C，P四点共圆， ∴∠PFC＝∠PAC＝90°， ∴∠AFP＋∠CFN＝90°， ∵∠CFN＋∠FCN＝90°， ∴∠FCN＝∠AFP＝∠ACM． 又∵∠FNC＝∠PAC＝90°． ∴△PAC∽△FNC， ∴＝=2① ； ∵△APF∽△AMC， ∴② ， 由① 可得，FN＝AP；由② 可得，AF＝AP， ∴． ∵△APF∽△AMC， ∴，AM＝AN， ∴． 【点睛】 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质及三角函数的应用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 15．【答案】3 【分析】 作于点I，作于点L，证明得．证明得，由等角对等边证明，结合可证，再根据平行线分线段成比例定理得，设，，根据，，求出．证明，设，，则，求出，根据得，代入数据求出即可求解． 【详解】 解：作于点I，作于点L，作于点K， ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ， 解得， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， 设，，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理，勾股定理，以及锐角三角三角函数的知识，难度较大属中考压轴题． 考点03 应用举例 1．【答案】6． 【详解】 解：如图： 由题意得，BC：AC=3：4． ∴BC：AB=3：5． ∵AB=10， ∴BC=6． 故答案为：6 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 2．【答案】16 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 3．【答案】（1）点P到的距离约为     （2）伸展臂的长约为      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形，，再利用锐角三角函数，求出，即可求解； （2）根据同角的余角相等，得到，再利用锐角三角函数求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， 即点P到的距离约为； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 即伸展臂的长约为． 4．【答案】（1）0.6米；     （2）4米      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． （1）过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形，所以，，根据三角函数即可求解； （2）根据锐角三角函数列出方程即可求解． (1) 小问详解： 解：过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形， ∴，． 在中，米，． ∴（米）， （米）； 答：点C到墙壁AM的距离为0.6米； (2) 小问详解： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， （米）， 答：匾额悬挂的高度是4米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 锐角三角函数（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）在中，，，，那么（　　） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 依据中，，，，进行表示即可． 【详解】 解：∵在中，，画图如下： ∴， 故选A． 2．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）计算：． 【答案】2 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可． 【详解】 解：原式＝ ＝ ＝2 【点睛】 此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知是锐角，若，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】 解： 5．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）在中，为锐角， ，则的度数是　　　　　． 【答案】-度 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）计算与解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）2     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）先化简各数，进行特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： ， ， 解得． 7．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】 在网格上取点D，得， ∵CD=4，BD=1 ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查锐角三角函数，解题的关键是作出点D，构造直角三角形求解． 8．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 连接EF交CD于O，先证明四边形CFDE为菱形，从而求出CO的长度，然后根据余弦定义求出CE即可得出答案． 【详解】 解：连接EF交CD于O，如图： ∵DEAC，DFBC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠FCD＝∠ECD， ∵DEAC， ∴∠FCD＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形CEDF是菱形， ∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝， 在Rt△COE中， CE＝＝＝4， ∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，余弦的定义等知识，解题的关键是判断出四边形CEDF为菱形． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，最后计算加法即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则M、C两点间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，得出，代入求出即可． 【详解】 解：， ， 为的中点， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】 解：∵E是中斜边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：A． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故选：C． 4．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（       ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 过点作于点，利用三线和一以及正切的定义，求出，即可判断① ；过点作于点，利用勾股定理求出，判断② ；过点作于点，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出的值，进而求出的长，判断③ ；证明，推出，根据折叠的性质，推出，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④ ． 【详解】 解：① 过点作于点，    ∵， ∴， ∴， ∴；故① 正确； ② 过点作于点，则：四边形为矩形，    ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故② 正确； ③ 过点作于点，    ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故③ 错误； ④ 当点恰好落在线段上时，如图：设与交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴；故④ 正确， 综上：正确的是① ② ④ ； 故选D． 【点睛】 本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键． 5．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为　　　　　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题考查直角三角形的实际应用．根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半得到求解即可． 【详解】 解：∵，，米， ∴米， ∴（米）， 即这棵树折断前的高度为米． 故答案为：米． 6．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 【答案】（1）     （2）的面积为      【分析】 本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）知：在中，，， ， ． 7．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 【答案】（1）-3；7；（2）（0，4）或（0，6）；（3）4 【分析】 （1）设直线的解析式为y＝2x+b，将A（1，3）代入求出b＝1，得到函数解析式，再将点B、C分别代入求出m、n的值； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，根据 KPA•KPC＝﹣1，得到，求解即可； （3）连接DE，证得AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA，求出AD、DE、DG，利用勾股定理求出EG，及sin∠GFA的值，过M作MN⊥GF于N，则， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值，由DH•GE＝DG•DE得到DH＝4． 【详解】 解：（1）设直线的解析式为y＝2x+b， 将A（1，3）代入得b＝1， ∴直线的解析式为y＝2x+1， 将B（m，﹣5）、C（3，n）两点分别代入解析式， 得m＝﹣3，n＝7； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，有KPA•KPC＝﹣1， 由（1）知，A（1，3）、C（3，7）， ∴， 解得y＝4或y＝6， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，6）． （3） 如图，连接DE，由题意知，KAB＝2，， ∵KAB＝KDE，， ∴AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA， ∴， ∴， ∴， 过M作MN⊥GF于N，则， ∴， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值．由DH•GE＝DG•DE， 得DH＝4， 即的最小值为4． 【点睛】 此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将 绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到…，依此规律，得到三角形，则的横坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出，，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】 解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为，即； 故答案为：． 10．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的度数为　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出的度数． 【详解】 解：作轴于C，轴于D，如图：     点A、B分别在反比例函数，的图象上， ，， ， ， ∵， ， ， ∵轴于 ∴ ， ． 即 即， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F． （1）求证：AB•CF＝BD•CD； （2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长； （3）若CD＝3BD，求． 【答案】（1）证明：∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF=∠FDE=45°， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC，∠B=∠ADF=45°， ∴∠BAD=∠FDC， ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△CDF， ∴=， ∴AB•CF=BD•CD； （2）；（3） 【分析】 （1）证明△ABD∽△CDF即可解决问题； （2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．求出BD，CD，利用（1）中即可解决问题； （3）如图2−1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设CD=a，则BD=2a，BC=3a．利用相似三角形的性质求出AF，EF即可解决问题． 【详解】 （1）略 （2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H， ∵∠B=∠C=45°， ∴AB=AC=， ∴BC=AB=12， ∵AH⊥BC， ∴BH=CH=6，AH=BH=CH=6， ∵AD⊥DE，∠AED=75°， ∴∠ADE=90°，∠DAE=15°， ∴∠ADH=∠DAE+∠C=60°， ∴∠DAH=30°，DH=AH•tan30°=， ∴BD=6+2，CD=6﹣2， ∵AB•CF=BD•CD， ∴6•CF=（6+2）（6﹣2）， ∴CF=； （3）如下图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G，设BD=a，则CD=3a，BC=4a， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴AH=HB=HC=2a，DH=a，∠C=∠B=45°， ∵∠AHD=∠ADE=∠DGE=90°， ∴∠ADH+∠EDG=90°，∠EDG+∠DEG=90°， ∴∠ADH=∠DEG， ∴△ADH∽△DEG，设EG=CG=y，则DG=3a+y， ∴=， ∴=， 解得y=3a， ∴CG=EG=３a，EC=， ∵AB=， ∵CF==， ∴AF=AC﹣CF=，EF=CF+CE=， ∴=． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 12．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为       ； （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值； （3）如图③，在（2）的条件下．动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，点Q沿向终点A运动，速度为每秒1个单位长度，连结．设点的运动时间为．当时，以为对角线作矩形，且点E在射线边上，当时，求t的值． 【答案】（1）相等；（2）；（3）或 【分析】 （1） 由折叠得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （2）过点作垂直于点G，同（1）可得出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，然后在中，根据正弦的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点P在上时，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据余弦定义可得出，即可求解；②当点P在上时，可证明，则，根据等角对等边得出，则，解方程即可求解． 【详解】 解：（1） 相等 理由：由题意垂直平分线段， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，过点作垂直于点G， ∵， ∴， 由题意垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点P在上时， ∵， ∴， 又， ∴， 由（2）知， ∴， ∴ ， ∴． ②当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上， 或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确分类讨论是解题的关键． 13．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答． 如图，已知在矩形中，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形：　                              　． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2． ①设，请判断的数量关系，并说明理由； ②求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长． 【答案】（1）或     （2） ①，理由如下： ∵， ∴， ∵由沿翻折得到， ∴， ∵， ∴； ②     （3）或      【分析】 （1）根据折叠的性质可得，可证明，从而得到，进而得到，即可； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质，即可求解；②证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或； (2) 小问详解： 解：①略 ② ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； (3) 小问详解： 解：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴， 当F在上时，如图： AI ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴， 当F在直线上时，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 【点睛】 本题属于相似形综合题，本题考查了折叠的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）（多选）如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P． （1）求证：CM＝BN； （2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN， ∴∠BAN＝∠CAM＝120°， ∴△BAN≌△CAM， ∴CM＝BN； （2）∵∠APF＝∠APC−∠CPF＝∠APC−30°，∠AMC＝∠APC−∠MAB＝∠APC−30°， ∴∠APF＝∠AMC， 又∵∠MAC＝∠PAF＝120°， ∴△APF∽△AMC； （3） 【分析】 （1）根据△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，即可得到AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，进而得出△BAN≌△CAM，进而得到CM＝BN； （2）依据∠APF＝∠AMC，∠MAC＝∠PAF＝120°，即可判定△APF∽△AMC； （3）连接CF，依据A，F，C，P四点共圆，可得∠AFP＋∠CFN＝90°，根据∠CFN＋∠FCN＝90°，可得∠FCN＝∠AFP＝∠ACM．再根据∠FNC＝∠PAC＝90°，可得△PAC∽△FNC，进而得出＝2① ；根据△APF∽△AMC，可得② ，联立① ② 可得，进而得到． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图② ，连接CF， ∵△APF∽△AMC， ∴∠AFP＝∠ACM， ∴A，F，C，P四点共圆， ∴∠PFC＝∠PAC＝90°， ∴∠AFP＋∠CFN＝90°， ∵∠CFN＋∠FCN＝90°， ∴∠FCN＝∠AFP＝∠ACM． 又∵∠FNC＝∠PAC＝90°． ∴△PAC∽△FNC， ∴＝=2① ； ∵△APF∽△AMC， ∴② ， 由① 可得，FN＝AP；由② 可得，AF＝AP， ∴． ∵△APF∽△AMC， ∴，AM＝AN， ∴． 【点睛】 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质及三角函数的应用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 15．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，，，平分交于点F，于点E，交于点M，垂直于点H，交延长线于点G，若，且，，则的长　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 作于点I，作于点L，证明得．证明得，由等角对等边证明，结合可证，再根据平行线分线段成比例定理得，设，，根据，，求出．证明，设，，则，求出，根据得，代入数据求出即可求解． 【详解】 解：作于点I，作于点L，作于点K， ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ， 解得， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， 设，，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理，勾股定理，以及锐角三角三角函数的知识，难度较大属中考压轴题． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了　　　　　　　　　m． 【答案】6． 【详解】 解：如图： 由题意得，BC：AC=3：4． ∴BC：AB=3：5． ∵AB=10， ∴BC=6． 故答案为：6 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为，是伸展臂，，，主臂伸展角． （1）求点P到的距离； （2）若此时，求伸展臂的长．（参考数据：，，） 【答案】（1）点P到的距离约为     （2）伸展臂的长约为      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形，，再利用锐角三角函数，求出，即可求解； （2）根据同角的余角相等，得到，再利用锐角三角函数求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， 即点P到的距离约为； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 即伸展臂的长约为． 4．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点的仰角，从点处看点的仰角，且米． （1）求点到墙壁的距离； （2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 【答案】（1）0.6米；     （2）4米      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． （1）过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形，所以，，根据三角函数即可求解； （2）根据锐角三角函数列出方程即可求解． (1) 小问详解： 解：过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形， ∴，． 在中，米，． ∴（米）， （米）； 答：点C到墙壁AM的距离为0.6米； (2) 小问详解： 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， （米）， 答：匾额悬挂的高度是4米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 锐角三角函数（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）在中，，，，那么（　　） A.  B.  C. 2 D.  2．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）计算：． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知是锐角，若，则的值为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）计算：． 5．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）在中，为锐角， ，则的度数是　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）计算与解方程： （1）； （2）． 7．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）计算： （1）； （2）． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则M、C两点间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（       ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 5．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 7．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将 绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到…，依此规律，得到三角形，则的横坐标为　　　　　． 10．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的度数为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F． （1）求证：AB•CF＝BD•CD； （2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长； （3）若CD＝3BD，求． 12．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为       ； （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值； （3）如图③，在（2）的条件下．动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，点Q沿向终点A运动，速度为每秒1个单位长度，连结．设点的运动时间为．当时，以为对角线作矩形，且点E在射线边上，当时，求t的值． 13．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答． 如图，已知在矩形中，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形：　                              　． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2． ①设，请判断的数量关系，并说明理由； ②求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长． 14．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）（多选）如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P． （1）求证：CM＝BN； （2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC； （3）在（2）的条件下，求的值． 15．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，，，平分交于点F，于点E，交于点M，垂直于点H，交延长线于点G，若，且，，则的长　　　　　　　　　． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了　　　　　　　　　m． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为，是伸展臂，，，主臂伸展角． （1）求点P到的距离； （2）若此时，求伸展臂的长．（参考数据：，，） 4．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点的仰角，从点处看点的仰角，且米． （1）求点到墙壁的距离； （2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $