精品解析：湖南衡阳市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(华师大版)

九年级数学（华师大版） （试题卷） 时量120分钟．满分120分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项1是符合题目要求的． 1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义直接解答即可． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 当时，方程为，符合定义． 故选：B． 2. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求表达式直接计算，即可作答． 【详解】∵ ， ∴设， ∴． 故选：B． 3. 已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）． A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，得到与为同类二次根式，根据同类二次根式的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并， ∴， ∴； 故选C． 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，关键是理解“剩下的运费等于一株椽的价钱”这一等量关系． 根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱，可求出一株椽的价钱，再结合总价钱列方程，即可作答． 【详解】解：∵少拿一株椽后， ∴剩下的椽数量为株， ∵每株运费为5文， ∴ 剩下的运费为 文 又∵剩下的运费等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， ∵总价钱为3250文，等于椽的数量乘以每株价钱， 即， 故选：A． 8. 如图，O是三条角平分线的交点，过点O作，分别交于D，E两点，设则关于x的方程的说法正确的是（ ） A. 一定有两个相等实数根 B. 一定有两个不相等实数根 C. 有两个实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，再结合平行线的性质，以及角的等量代换，得，则，然后整理，即可作答． 【详解】解：∵O是三条角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 则， 即， ∵， ∴ ， ∴关于x的方程有两个实数根， 故选：C． 9. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由折叠可得， ，，，，，即得，得到是等腰直角三角形，进而得，又得，，，利用得，最后根据即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，点A在线段上，在的同侧作和，，连接与分别相交于点F，G，与相交于点H，连接．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①④⑤ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得 ，得 ，可得①，在根据，可得②，由，可得③，根据，可得④，根据 ，可得⑤，逐一分析即可求解. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故②错误； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故③正确； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确； ∵， ∴ ∴ ∵没有平分， ∴ ∴，故⑤错误； 故正确的有：①③④ 故选：D. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形内角和，直角三角形等相关知识点，解题关键在于熟练掌握各个知识体系的运用，难点较大，需要综合能力强. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 要使有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为0，二次根式被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得： 12. 现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 13. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形的内角和等于求出另一个角的度数，从而确定出最小的角的度数，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根为m，n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，一元二次方程的两根之积为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为： 15. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 【详解】解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 16. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴化简代数式，熟练掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键． 根据数轴得到，得出，，，继而得到算术平方根，绝对值进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ，，， ． 17. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为，则把纵向路平移到最左侧、横向路平移到最下方后， 整个草坪可看作一个长为、宽为的矩形． 再利用长和宽得到面积的表达式，求出x的长度. 【详解】解：设道路的宽为, 由题意得:． 整理，得，解得，（舍去）． 故道路的宽为． 故答案为:2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用长度和面积的关系列出表达式是解题的关键. 18. 如图，四边形是正方形，连接，点E是上一点，连接交于点F，连接，过点D作于点G，连接． （1）若，则的值为______； （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）运用正方形的性质，得，证明，再代入数值到进行化简，即可作答． （2）先运用正方形的性质，证明，则，再与（1）同理，证明，又因为，得，把，代入，得出，整理得，在中，，所以，再结合公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， 故答案为：3 （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 则， ∴， ∴，（舍去）， 则 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，公式法进行解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ，． 20. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 21. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务． 斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1），这是用无理数表示有理数的一个范例． 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 【答案】1，1 【解析】 【分析】分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可． 【详解】解：当n＝1时，； 当n＝2时， ＝ ＝1． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】（1） 如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， （2） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【小问1详解】 ，， ， ，， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 点即为所求作的点． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：， 此方程有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，，据此可得不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程的两个实数根为， ∴， ∵方程的两根均小于0， ∴， ． 24. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 25. 某水果店销售的畅销水果苹果和梨子的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 苹果 a 8 梨子 b 6 已知该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元． （1）求a，b的值； （2）水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为，为了促进苹果的销量，商家决定：苹果售价每千克降低1元，日销售量就增加；当总利润达到980元时苹果降价了多少元．（保持梨子的销量、售价都不变） 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元．进行列方程组，解得，即可作答． （2）先分析，得出销售的苹果与梨子的质量，再设当总利润达到980元时苹果降价了元，根据总利润公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元 ∴得， 解得； 【小问2详解】 解：∵水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为， ∴梨子的质量为， 则苹果的质量为， 依题意，设总利润达到980元时苹果降价了元， 由（1）得， ∵保持梨子的销量、售价都不变 ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去）， ∴当总利润达到980元时苹果降价了元． 26. 在中，，点是上一点，过点作于点． （1）如图1，证明：； （2）已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ，即； （2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，， 平分， ， ，， ，即， ， ； ②，，平分， ， 又，， ， ，则， 由（1）可知，则，且， ， 解得， 过点作，与延长线交于点，如图，则， ，， 又点是的中点，即， ， ， ，则， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（华师大版） （试题卷） 时量120分钟．满分120分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项1是符合题目要求的． 1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 0 2. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）． A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“三贯二百一五十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱五文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为3250文．如果每株椽的运费是5文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意，设这批椽的数量为x，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，O是三条角平分线的交点，过点O作，分别交于D，E两点，设则关于x的方程的说法正确的是（ ） A. 一定有两个相等实数根 B. 一定有两个不相等实数根 C. 有两个实数根 D. 无实数根 9. 如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点A在线段上，在的同侧作和，，连接与分别相交于点F，G，与相交于点H，连接．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①④⑤ D. ①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 要使有意义，则x的取值范围是_______． 12. 现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 13. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为__________． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根为m，n，则______． 15. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是______． 16. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 17. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 18. 如图，四边形是正方形，连接，点E是上一点，连接交于点F，连接，过点D作于点G，连接． （1）若，则的值为______； （2）若，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 21. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务． 斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n≥1），这是用无理数表示有理数的一个范例． 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求的取值范围． 24. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 25. 某水果店销售的畅销水果苹果和梨子的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 苹果 a 8 梨子 b 6 已知该水果店购进苹果和梨子共需1250元；购进苹果和梨子共需1300元． （1）求a，b的值； （2）水果店每天大概能卖苹果和梨子一共，其中销售的苹果与梨子的质量比例约为，为了促进苹果的销量，商家决定：苹果售价每千克降低1元，日销售量就增加；当总利润达到980元时苹果降价了多少元．（保持梨子的销量、售价都不变） 26. 在中，，点是上一点，过点作于点． （1）如图1，证明：； （2）已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $