4.4 二次函数与一元二次方程的关系课件--2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件核心围绕二次函数与一元二次方程的关系展开，通过回顾一次函数与一元一次方程的“数”“形”联系搭建学习支架，引导学生类比探究二次函数图像与x轴交点和方程根的关系。 其亮点在于以图像观察和分类讨论为核心，结合判别式Δ系统梳理交点个数与根的情况，融入铅球运动等实际问题（模型意识），培养学生几何直观与推理意识。学生能深化知识联系，教师可借助结构化内容提升教学效率。

4.4 二次函数与一元二次方程的关系 　　 回想一下一次函数与一元一次方程之间的关系？ 一次函数与 一元一次方程 数：在函数 y＝ax＋b(a≠0)中，当 y＝0 时， x 的值 一元一次方程 ax＋b＝0 的解 形：函数 y＝ax＋b(a≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标 一元一次方程 ax＋b＝0 的解 思考：类似地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间又会有怎样的关系呢？ 探究：画二次函数y=x2-2x-3的图象，思考并回答下列问题. 问题1：如图，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？ 二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）． 观察图象与x轴的交点坐标，当x=-1时，y=___，即________，也就是说x=-1是一元二次方程_________的一个根．同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说______是一元二次方程__________的一个根． 0 x2-2x-3=0 x=3 x2-2x-3=0 x2-2x-3=0 问题2：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系呢？ 一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个不同交点，坐标分别是A(x1，0），B（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根分别是x=x1，x=x2． 思考1：观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况． （1）抛物线y=x2-6x+9的图象与x轴有______交点，它们的横坐标是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-6x+9=0的根是_________． （2）抛物线y=x2-2x+2的图象与x轴______交点，所以一元二次方程x2-2x+2=0______实根． y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 一个 3 x1=x2=3 没有 没有 思考2：观察这三个函数的图象，说一说一元二次方程的根与二次函数与x轴交点有什么关系？小组交流讨论. y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 y=x2-2x-3 一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系： 二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根 判别式△=b2-4ac △ = 0 △ > 0 有两个相等实数根x1=x2=- x1 x1=x2 x2 没有实数根 △ < 0 有两个不相等实数根x1，x2（x1<x2） 思考3：从前面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切，那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？ 求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数与x轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的． 例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）． 分析：一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x轴的交点的横坐标． 以上这种解一元二次方程的方法叫作图象法． 解：设二次函数y=x2-2x-1．画出二次y=x2-2x-1的图象，如图所示． 可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间． 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4． 还有其他方法吗？ 借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．其方法是将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下： x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1 观察表格可以发现， 当x=-0.5时，y=0.25>0； 当x=-0.4时，y=-0.04<0． 结合图象可以看出，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5<x<-0.4． 要求把方程的根精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求．当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时，y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4． 试借助计算器，确定一元二次方程的另一个实数根x=2.4． 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤： 1.用描点法作二次函数的图象； 2.通过观察、测量或借助计算器估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； 3.确定一元二次方程的解． 例2 如图，小李扔铅球时， 若将铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数 的图象来刻画，其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. （3）铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？ (1)当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？ 解:（1） 由函数的表达式得 即 x2 - 6x + 5 = 0 ， 解得 x1 = 1， x2 = 5. 即当铅球离地面的高度为2.1 m时， 它离初始位置的水平距离是1 m或5 m. 为什么在不同的水平距离，铅球的高度均为2.1m？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. （2） 由函数的表达式得 即 x2 - 6x + 9 = 0 ， 解得 x1 = x2 = 3. 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时， 它离初始位置的水平距离是 3 m. （3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？ （3） 由函数的表达式得 即 x2 - 6x + 14 = 0 ， 因为 Δ = （-6）2 - 4×1×14 = -20 < 0, 所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 1．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　 　) A．y＝3x2－9x＋3 B．y＝2x2－4x＋12 C．y＝x2－6x＋9 D．y＝5x2－3x＋9 A 随堂小练 2．已知二次函数y=x2−3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是( ) A. x1=1, x2=−1 B. x1=1, x2=2 C. x1=1, x2=0 D. x1=1, x2=3 B 3.已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（　　） A．-1.3 B．-2.3 C．-0.3 D．-3.3 D 4.试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况： （1） y ＝ x2 － x － 2 ； （2） y ＝ 9x2 ＋ 12x ＋ 4 ； （3） y ＝ x2 － 2x ＋ 3 ． 解：（1） x2 － x － 2 = 0，Δ =（-1）2-4×1×（-2）= 9 > 0， 与 x 轴有两个不同的交点. （2） 9x2 +12 x + 4 = 0，Δ =（12）2-4×9×4= 0， 与 x 轴有一个交点. （3） x2 -2 x + 3 = 0，Δ =（-2）2-4×1×3= -8 < 0， 与 x 轴没有交点. 5.在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t-t2． （1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10 m； （2）经过多少秒钟，球又落到地面． 解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t-t2得，7t-t2=10， 解得t1=2，t2=5， 答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10 m； （2）把h=0代入函数解析式h=7t-t2得，7t-t2=0， 解得t1=0（为球开始飞出时间），t2=7（球又落到地面经过的时间）， 答：经过7秒钟，球又落到地面． $