4.5 二次函数的应用 (课件) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，通过抛物线形桥拱实例导入，先在坐标系下求表达式，再追问无坐标系情况，结合复习二次函数定义等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以实际情境（拱桥、窗框、玩具销售）驱动，引导学生经历“设变量-列函数-求最值-验合理性”，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。采用流程图总结步骤，分层作业设计，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学路径。

第4章 二次函数 4.5 二次函数的应用 思路一 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在如图所示的平面直角坐标系中，如何求出这条抛物线的表达式？ 利用顶点式求出抛物线的表达式是y＝ (x－20)2＋16；或者利 用一般形式求出抛物线的表达式是y＝ x2＋ x. 导入新课 2 这个问题中将桥拱的图形放在了平面直角坐标系中，如果没有给出平面直角坐标系，还能求出抛物线的表达式进而用来解决问题吗？ 导入新课 3 思路二 1.什么是二次函数？ 如何确定二次函数的表达式？ 2.在平面直角坐标系中，如何画二次函数的图象？ 二次函数有哪些性质？ 3.二次函数与一元二次方程之间有怎样的关系？ 导入新课 4 任务一：探究建立二次函数模型解决实际问题的方法 已知某拱桥(见图)的纵截面可看作是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m.水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？ 可以通过建立函数模型来解决这个问题吗？ 高效课堂 5 下面以拱顶为原点建立平面直角坐标系为例进行说明. 拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来刻画. 为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 高效课堂 6 由于顶点坐标是(0，0)，因此，这个二次函数的表达式为y＝ax2(a为常数，a≠0). 已知水面宽4 m时，拱顶离水面高2 m，因此，点A(2，－2)在抛物线上. 由此得出－2＝a·22， 解得a＝－ 因此，这个函数的表达式是y＝－ x2，其中 |x| 是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数. 高效课堂 7 能分析一下两个变量之间的关系吗？ 依据实际问题，自变量x 的取值范围是什么？ 拱桥下水面宽度越大，拱顶离水面高度越高； 水面宽度越小，拱顶离水面高度越低. 由于拱桥的跨度为4.9 m， 因此自变量 x 的取值范围是－2.45≤x≤2.45. 高效课堂 8 用哪种建系方式最合适？ 建立不同的平面直角坐标系，求解函数表达式的难易程度就不同，所得的函数表达式也不同. 一般以简洁为原则来建立平面直角坐标系. 高效课堂 9 当水面宽为4.6 m时，拱顶离水面多远？ 当水面宽为4.6 m时，即 |x| ＝2.3，代入函数 y＝－ x2 可得， y＝－ ×2.32＝－2.645. 所以拱顶离水面 2.645 m. 高效课堂 10 能试用流程图表示利用二次函数模型解决实际问题的基本步骤吗？ 高效课堂 11 任务二：利用二次函数模型解决面积最大问题 例1 如图，用8 m长的铝材做一个“日”字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积最大？ 最大面积是多少？ (假设铝材的宽度不计) 高效课堂 12 高效课堂 “日”字形窗框的铝材由几条边组成？ 如果设宽为 x 米，高该如何用含 x 的代数式表示？ 有3 条宽、2 条高，得出高为 m. 透光面积和宽、高之间有什么函数关系？ 这个函数属于哪一类函数？ 二次函数. x 的取值范围是什么？ 为什么要考虑这个范围？ 0＜x＜ ，验证计算结果在合理范围内. 13 高效课堂 要考虑 x＝ 是不是在自变量 x 的取值范围内. 14 解决这类几何图形中面积最大问题的一般步骤是什么？ 设变量—列函数—求最值—验合理性. 高效课堂 15 任务三：利用二次函数模型解决利润最大化问题 例2 某玩具店引进一批进价为20 元/件的玩具，如果以单价30 元销售，那么一个月内可售出180 件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1 元，月销售量将相应减少10 件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 高效课堂 16 题目里给了进价、原售价、原销量，还有单价上涨和销量下降的规律，要怎么用数学语言表示这些量？ (1)设销售单价在30 元基础上上涨 x 元； (2)设最终销售单价为 x 元. 用第一种思路推导：总利润＝单件利润×销售数量. 高效课堂 17 解 设商品的销售单价上涨x(0≤x≤18)元，则每月减少的销售量为10x 件，实际销售量为(180－10x)件， 单件利润为(30＋x－20)元. 将一个月内获取的商品总利润记为 y 元，则 y＝(10＋x)(180－10x)＝－10x2＋80x＋1800＝－10(x－4)2＋1960. 当x＝4，即销售单价为34 元时，y 取最大值1960. 答：当销售单价定为34 元时，该店在一个月内能获得最大利润1960 元. 高效课堂 18 解决这类利润最大化问题的一般步骤是什么？ 设变量—列函数—求最值—验合理性. 高效课堂 19 1.已知抛物线图形建立二次函数模型的基本步骤有哪些？ 2.在几何图形中建立二次函数应注意什么？ 3.如何利用二次函数求最大利润？ 课堂总结 20 基础性作业：教材练习第1~3题. 提高性作业：教材习题4.5第3，4题. 拓展性作业：查阅资料，寻找几个能利用二次函数解决的实际问题，并给出解答过程. 作业设计 21 $