4.5 二次函数的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，通过拱桥纵截面问题导入，引导学生建立平面直角坐标系抽象出二次函数模型，衔接二次函数解析式与性质，形成“实际问题-建模-求解-应用”的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（拱桥转化为抛物线），数学思维推理运算（配方或公式求最值），数学语言总结模型步骤（流程图梳理解题流程）。通过窗框面积、利润问题等实例，培养学生模型意识与应用能力，助力教师高效开展实际问题教学。

4.5 二次函数的应用 已知某拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m.水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？可以通过建立函数模型来解决这个问题吗？ 问题1：拱桥的纵截面是什么函数的图象？ 它是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来刻画． 问题2：要求该二次函数的解析式，先要做什么呢？如何更简单？ 建立平面直角坐标系，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 建立不同的平面直角坐标系，求解函数表达式的难易程度就不同，所得的函数表达式也不同，一般以简洁为原则. 问题3：从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 . 问题4：如何确定 a 的值？ 水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 米，因此点 A( 2，-2)在抛物线上， 由此得出-2=a·2²，解得a=-. 因此，这个函数的表达式为 ，其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数． 自变量x的取值范围：-2.45≤x≤2.45． 思考：试用流程图表示利用二次函数模型解决实际问题的基本步骤. 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的 图象和性质求解 实际问题的解 例1 如图，用 8 m 长的铝材做一个“日”字形窗框. 试问：窗框的高与宽各为多少时，窗框的透光面积 S (m2) 最大？最大面积是多少？(假设铝材的宽度不计) x 解：设矩形窗框的宽为x m，则窗框的高为 m. 这里应有 x ＞ 0， ， 故 0 ＜ x ＜ . 于是，窗框的透光面积为 配方，得 当 x = 时，S取最大值 . 因此，当窗框的宽为 m、高为 2 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 m2. 这时高为 要考虑 是不是在自变量x的取值范围内． 思考：运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？ (1)应当求出函数解析式和自变量的取值范围． (3)确定所求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内． (2)通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值． 例2 某玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 解：设商品的销售单价上涨 x （0 ≤x ≤ 18 ）元， 则每月减少的销售量为 10 x（件）， 实际销售量为 （180 - 10 x）件， 单件利润为（30 + x - 20 ）元. 将一个月内获取的商品总利润为 y 元，则 y = (10 + x )(180 - 10x ) = - 10x2 + 80x + 1 800 = - 10 ( x - 4 )2 + 1 960. 当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时， y 取最大值 1960. 答：当销售单价定为 34 元时,该店在一个月内能获取的最大利润为 1960 元. 你还有其他的解法吗？ 解：当 时，y有最大值， ． 答：当销售单价定为 34 元时,该店在一个月内能获取的最大利润为 1960 元. 求解最大利润问题的一般步骤： (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润也可以画出函数图象的简图，利用简图和性质求解. 实际问题 数学模型 转化 回归 (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 运动中的抛物线问题 (实物型抛物线问题) 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. D 1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 2 m 时，这时水面宽度 AB 为(　　 ) A. -10 m B. m C. m D. m 随堂小练 2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( ) A 3.进价为 80 元的某件衬衣定价为 100 元时，每月可卖出 2 000 件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y (件)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .每月利润 w (元)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简). y=2 000-5(x-100) w=[2 000-5(x-100)](x-80) 4.已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 5.某种文化衫以每件盈利 20 元的价格出售，每天可售出 40 件. 若每件降价 1 元，则每天可多售 10 件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得 y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多. $