4.5 二次函数的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“二次函数的应用”，通过矩形花圃面积、文创产品利润、抛物线路径等实际问题导入，衔接二次函数表达式与图像性质，以“审找列解检答”步骤和例题导引构建学习支架，帮助学生掌握建模方法。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题（如拱形隧道、实心球运动轨迹），“数学思维”推理函数关系（如利润函数构建与最值计算），“数学语言”规范模型表达（含自变量取值范围检验）。采用“逐点导讲练”结合方法总结，学生能提升应用意识与建模能力，教师可直接利用系统案例与流程高效教学。

4.5 二次函数的应用 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 用二次函数解实际问题 知识点 用二次函数解实际问题 知1－讲 感悟新知 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用二次函数的图象和性质去解决问题 . 1 知1－讲 感悟新知 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，厘清题意； (2)找：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数； (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数表达式； 知1－讲 感悟新知 (4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论； (6)答：确定实际问题的答案. 知1－讲 感悟新知 特别提醒 用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义和已知条件的限制. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P170 复习题T9]如图4.5-1，一个一面用墙、三面用篱笆围成的矩形花圃ABCD 的面积为S m2，与墙垂直的AB 边长为x m . 花圃被其中间的一道篱笆隔成两个小矩形，若墙可利用的最大长度为13 m，篱笆总长为 24 m. 例1 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 感悟新知 (1)求S 关于x的函数表达式. 解：依题意，得BC=(24-3x)m， 所以S=AB·BC=x(24-3x)=-3x2+24x. 因为x>0，且0<24-3x ≤ 13，所以≤ x<8. 所以S 关于x 的函数表达式为S=-3x2+24x(≤ x<8 ). 知1－练 感悟新知 (2)当围成的矩形花圃ABCD的面积为45 m2 时，求AB的长. 解：当围成的矩形花圃ABCD的面积为45 m2 时，45=-3x2+24x， 解得x1=5，x2=3. 由(1)知≤ x<8，所以x=5. 因此，当围成的矩形花圃ABCD的面积为45 m2时，AB的长为5 m. 不要忘记检验 知1－练 感悟新知 (3)当x为何值时，围成的矩形花圃ABCD的面积最大？求出最大面积. 解：由(1)知S=-3x2+24x.因为-3<0，所以当x=-=4 时，S有最大值 =48.因此，当x=4 时，围成的矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积是48 m2. 知1－练 感悟新知 方法总结 在几何图形问题中建立二次函数模型的常用方法 (1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数模型； (2)勾股定理法：利用勾股定理建立函数模型； (3)和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数模型. 知1－练 感悟新知 1-1. 已知矩形ABCD的周长为36 cm.将该矩形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体.设AB=x cm(x>0). (1)用含x的代数式表示BC边的长； 解：根据题意可知BC边的长为(18-x)cm. 知1－练 感悟新知 (2)设旋转后得到的圆柱的侧面积为S cm2，求S关于x的函数表达式； 解：当绕边AB或CD旋转时，S=2π(18-x)x=-2πx2+36πx； 当绕边AD或BC旋转时，S=2πx(18-x)=-2πx2+36πx. 综上所述，S关于x的函数表达式为S=-2πx2+36πx(0<x<18). 知1－练 感悟新知 (3)求该圆柱侧面积的最大值，并指出此时矩形的长和宽各为多少. 解：因为二次函数S=-2πx2+36πx(0<x<18)的图象开口向下，对称轴为直线x=9，所以当x=9时，S取得最大值，最大值为-2×81π+324π=162π，此时18-x=9. 答：该圆柱侧面积的最大值为162π cm2，此时矩形的长和宽均为9 cm. 感悟新知 知1－练 [母题中考· 达州教材P162 例2]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30 元，当售价为40 元时，每天可以售出60 件，经调查发现，售价每降价1 元，每天可以多售出10 件. 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：对于“每……每……”类型的问题，若每涨n 元，就少卖m件，则每涨1元，就少卖件；若每降a元，就多卖b件，则每降1元，就多卖件. 感悟新知 知1－练 (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是__________件. (60+10x) 感悟新知 知1－练 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元？ 解：根据题意，得(40-30-x)(60+10x)=630. 整理，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3 . 由于要让利于游客，因此x=1 舍去. 答：该款巴小虎吉祥物应该降价3元， 文旅公司每天的利润是630元. 感悟新知 知1－练 (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 解：根据题意得W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x2+40x+600=-10(x-2)2+640. 当x=2 时，W取最大值640，此时售价为38 元. 答：当售价为38 元时，每天的利润最大，最大利润是640 元. 知1－练 感悟新知 2-1.[期末·永州冷水滩区]“ 嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰.中华人民共和国成立后，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展.某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本为20元，按每件24 元出售，每日可售出40 件.经市场调查发现，这种模型每件每涨价1 元，日销售量就会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大. 8 感悟新知 知1－练 [新考法 表格信息法]某超市以每件10 元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19 元. 经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 例3 销售单价x/ 元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/ 件 … 36 34 32 … 知1－练 感悟新知 解题秘方：当抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需要根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出最大值：当抛物线开口向上时，在自变量离对称轴较远的端点处，函数取得最大值；当抛物线开口向下时，在自变量离对称轴较近的端点处，函数取得最大值. 感悟新知 知1－练 (1)直接写出y与x之间的函数关系式. 解：y 与x 之间的函数关系式为y=-2x+60(10 ≤ x ≤ 19). 感悟新知 知1－练 (2)若该超市每天销售这种文具获利192 元，则销售单价为多少元？ 解：根据题意，得(x-10)(-2x+60)=192，解得x1=18，x2=22.因为10 ≤ x ≤ 19，所以x=18. 答：销售单价为18 元. 感悟新知 知1－练 (3)设销售这种文具每天获利w元，当销售单价为多少元 时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 知1－练 感悟新知 解：根据题意，得w=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600= -2(x-20)2+200.因为-2<0，所以函数图象开口向下. 又因为函数图象的对称轴为直线x=20， 所以当10≤x≤19时，w随x的增大而增大. 所以当x=19 时，w取最大值，w最大值=-2×(19-20)2+200=198.答：当销售单价为19 元时，每天获利最大，最大利润是198 元. 知1－练 感悟新知 3-1.某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20 元，调查发现：当销售单价是30 元时，月销售量为240 件，而销售单价每上涨1 元，月销售量就减少10 件.若设销售单价上涨x 元时，当月销量为y 件. (1)y 与x 之间的函数表达式是___________________； y=-10x+240 知1－练 感悟新知 (2)设月销售利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式； 解:w=(30+x-20)(-10x+240)=-10x2+140x+2 400. 知1－练 感悟新知 (3)物价部门规定该商品的利润率不得高于70%，当销售单价定为多少时，才能使当月的利润最大，最大利润是多少？ 解：由题意得30+x-20≤20×70%，解得x≤4. w=-10x2+140x+2 400=-10(x-7)2+2 890. 因为-10<0，所以当x≤4时，w随x的增大而增大.所以当x=4时，w最大，最大值为-10×(4-7)2+2 890=2 800. 所以销售单价为30+4=34(元).答：当销售单价定为34元时，才能使当月的利润最大，最大利润是2 800元. 感悟新知 知1－练 [期末·长沙开福区] 掷实心球是长沙市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目，一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系如图4.5-2所示，已知该男生掷球 时的起点高度是2 m，当水平距 离为5 m时，实心球行进至最高 点4 m处. 例4 知1－练 感悟新知 解题秘方：分清抛物线上点的横、纵坐标的实际意 义，将二次函数与一元二次方程密切结合，并利用二次函数的性质解题. 感悟新知 知1－练 (1)求y关于x的函数表达式. 解：因为当水平距离为5 m 时， 实心球行进至最高点4 m 处，所以设y=a(x-5)2+4. 因为抛物线y=a(x-5)2+4 经过点(0，2)， 所以a×(0-5)2+4=2，解得a=-. 所以y=-(x-5)2+4=-x2+ x+2. 感悟新知 知1－练 (2)根据长沙市2026年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准(男生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于10 m，则此项考试得分为满分. 按此评分标准，该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由. 知1－练 感悟新知 解：该男生在此项考试中能得满分. 理由如下： 对于二次函数y=-x2+ x+2，当y=0 时，-x2+ x+2=0， 即x2-10x-25=0，解得x1=5+5 ，x2=5-5 <0(不合题意，舍去).因为5+5 ≈ 12.07>10，所以该男生在此项考试中能得满分. 知1－练 感悟新知 4-1. 如图，将小球从位于点O正上方3 m的点A处抛出，把小球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=-x2+bx+c． 知1－练 感悟新知 (1)若当小球运行的水平距离为1 m 时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度； 解：因为当小球运行的水平距离为1 m时，小球达到最大高度，所以抛物线的对称轴为直线x=1. 所以-=1，解得b=. 知1－练 感悟新知 由题意得，抛物线上点A的坐标为(0，3)，所以c=3. 所以抛物线的表达式为y=-x2+x+3. 当x=1时，y=-++3=. 因此，小球达到的最大高度为 m. 知1－练 感悟新知 (2)若点O的正前方4 m(OC=4 m)处有一个截面为矩形的球筐CDEF，其中CD为2 m，DE为1 m，要使小球落入筐(小球落在点E或点F处均视为入筐)中，求b的取值范围. 知1－练 感悟新知 解：由题意得，点F的坐标为(4，1)，点E的坐标为 (6，1). 易知抛物线的表达式为y=-x2+bx+3. 若抛物线经过点F(4，1)，则-×42+4b+3=1，解得b=12； 若抛物线经过点E(6，1)，则-×62+6b+3=1，解得b=. 所以b的取值范围为≤b≤. 感悟新知 知1－练 [ 一题多解] 如图4.5-3，一拱形隧道的轮廓是抛物线的一部分，拱高6 m，跨度为20 m. 例5 感悟新知 知1－练 (1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的表达式. (2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2 m的隔离带)，其中一个方向的行车道能否并排行驶三辆宽2 m，高3 m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由. 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 感悟新知 解法一：(1)如图4.5-4，建立平面直角坐标系. 根据题意知点B，C的坐标分别是(10，0)，(0，6). 设抛物线的表达式为y=ax2+6. 将点B 的坐标代入y=ax2+6， 得100a+6=0，解得a=-. 所以抛物线的表达式为y=-x2+6. 知1－练 感悟新知 (2)能. 理由如下： 根据题意，得三辆汽车并排行驶时最外侧到原点的距离为 +3×2=7(m). 当x=7 时，y=-×72+6=3.06>3. 所以能并排行驶三辆宽2 m，高3 m 的汽车. 知1－练 感悟新知 解法二：(1)如图4.5-5，建立平面直角坐标系. 根据题意知点A，B，C 的坐标分别是(0，0)，(20，0)， (10，6).设抛物线的表达式为y=ax(x-20). 将点C的坐标代入 y=ax(x-20)， 得 6=10a·(10-20)，解得 a=-. 所以抛物线的表达式为 y=-x2+ x. 已知抛物线与x轴的两个交点，可设交点式 建立的平面直角坐标系不同，表达式也不同，但实际问题的结果不变 知1－练 感悟新知 (2)能 . 理由如下： 令 y=3, 则 -x2+ x=3，即 x2-20x+50=0， 解得 x1=10+5 ，x2=10-5 . 所以=5 . 因为+3×2=7<5 ， 所以能并排行驶三辆宽 2 m，高 3 m 的汽车 . 建立的平面直角坐标系不同，表达式也不同，但实际问题的结果不变 知1－练 感悟新知 方法总结 判断汽车能否并排或货车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法： (1)固定汽车(货车)的宽,看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值,根据函数表达式求y的值,再与限制的高度比较大小)； (2)固定高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y 的值, 根据函数表达式求x 的值,再与限制的宽度比较大小). 知1－练 感悟新知 5-1. 如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m，若水位上升3 m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. 知1－练 感悟新知 (1)建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式； 知1－练 感悟新知 解:(方法一)以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立如图①所示的平面直角坐标系.设抛物线的表达式为y=ax2.因为AB=20 m，CD=10 m，水位上升3 m，水面就会由AB到达CD，所以可设D(5，m)，B(10，m-3). 由抛物线经过点D和点B， 可得解得 所以抛物线的表达式为y=-x2. 知1－练 感悟新知 (方法二)以A为原点，AB所在直线为x轴建立 平面直角坐标系，如图②所示. 设抛物线的表达式为y=ax2+bx. 根据题意知，点B，C的坐标分别为(20，0)，(5，3). 将点B，C的坐标分别代入抛物线的表达式， 得解得 所以抛物线的表达式为y=-x2+x. 知1－练 感悟新知 (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 解：(方法一)对于y=-x2，当x=10时，y=-×102=-4.故易知CD距拱顶的距离为1 m，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为=5(h). 答：从警戒线开始，再持续5 h就能到达拱桥的拱顶. 知1－练 感悟新知 解：(方法二)因为y=-x2+x=-(x-10)2+4， 所以抛物线的顶点坐标为(10，4). 从警戒线开始，到达拱顶的时间为=5(h). 答：从警戒线开始，再持续5 h就能到达拱桥的拱顶. 二次函数的应用 实际问题 实际问题的答案 求解目标 图形面积的最值问题 最大利润问题 抛物线形问题 数学问题 抽象 构建 二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 课堂小结 $