3.5 课时2 图形面积问题课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程在图形面积问题中的应用，通过矩形纸板剪正方形折盒子的情境问题导入，结合列方程解应用题的七步流程作为学习支架，衔接方程解法与实际图形问题，构建完整知识脉络。 其亮点在于以图形转化（如道路平移）和动点问题为实例，培养学生几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言），采用问题链引导分析，总结几何图形与动点问题解题方法，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供清晰教学路径。

3.5 一元二次方程的应用 课时2 图形面积问题 1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量 2.设：设未知数 3.找：找出等量关系 4.列：列出方程 5.解：解方程，求出未知数的值 6.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义 7.答：写出答语 列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？ 情境：在一长为40cm、宽为28cm的矩形纸板的四角剪去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体形盒子，如图所示. 已知长方体形盒子的底面积为364cm2，则剪去的四个小正方形的边长是多少？ 设剪去的小正方形的边长为x cm，则 长：(40-2x)cm; 宽：(28-2x)cm. 分析：将纸板剪去四个小正方形后， 可以得到下图． 这个长方体形盒子的底面就是图中心位置的大矩形. 等量关系：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽 问题1：如何设未知数来表示长方体形盒子的长和宽？ x cm 问题2：根据题意列出方程并求解. 解：设剪去的小正方形的边长为xcm， 则无盖长方体形盒子的底面长为(40-2x)cm，底面宽为(28-2x)cm. 根据等量关系， 可以列出方程： (40-2x)(28-2x)=364． 整理， 得 x2-34x+189=0． 解得 x1=27，x2=7． 思考：上面得出的这两个值都满足题意吗？为什么？ 如果截去的小正方形的边长为 27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 54 cm，这超过了矩形铁皮的长 40 cm. 于是 x1 = 27 不合题意，应当舍去． 因此，剪去的小正方形的边长为 7 cm. 注意：得出的方程的解一定要检验是否符合实际意义. 例1 一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建同样宽的道路，如图所示，余下部分进行了绿化. 若已知绿化面积为540m2，求道路的宽． 思考：虽然 “整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形， 因此不便于计算.那么你有什么方法使计算更简单吗? 通过平移道路可得到下图， 此时绿化部分是一个新的矩形. 设道路宽为x m, 新矩形的长：(32-x) m； 新矩形的宽：(20-x) m； 新矩形的面积： (32-x)(20-x) m2. 等量关系：矩形的面积 = 矩形的长 × 矩形的宽 问题：用含未知数的式子表示等量关系中的各个量？并列方程求解. 解：设道路宽为x m，则新矩形的长为(32-x) m，宽为(20-x) m. 根据等量关系得 (32-x)(20-x)=540. 整理，得x2-52x+100=0. 解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）. 答： 道路宽为2 m. 思考：为什么x=50不符合题意？ 矩形地面的长为32m、宽为20m，因为50>20，道路的宽不能大于地面的宽，所以x=50不符合题意. 几何图形问题一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可,不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法: 如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为　 　m. 1 例2 在△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8cm. 点 P沿 AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点 C 向终点 B 以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，如图所示 . 问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ 的面积为9 cm2? 分析：设未知数,用含未知数的式子表示AP=x cm， PC=(6-x) cm，CQ=2x cm,再由S△PCQ=PC·CQ求解. x cm 2x cm 解：设点P，Q出发x s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm2. 根据题意得 AP=x cm，PC=(6-x) cm，CQ=2x cm. 则由 S△PCQ=PC·CQ 可得 ·(6-x)·2x=9. 整理， 得 x2-6x+9=0. 解得 x1=x2=3. 答：点P，Q同时出发 3 s 后可使△PCQ的面积为9 cm2. 在解决动点问题时,应先分析点的运动过程,画出代表图形和临界图形,然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度,再根据题目中的等量关系列方程求解. 利用一元二次方程解决动点问题: 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过____s后，P，Q两点之间相距25 cm. 10 图形面积问题 几何图形 类型 运用常见几何图形的面积公式构建等量关系 封面包装问题 彩条/小路宽度问题 动点面积问题 1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( ) A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375 C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375 A 随堂小练 2.以正方形木板的边长为长，在正方形木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是( ) A．8 cm2 B．8 cm2或64 cm2 C．64 cm2 D．36 cm2 C 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝ ______时，S△DPQ＝28cm2． 2或4 4.如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．若长方形纸板边长分别为40 cm和30 cm，且折成的长方体盒子表面积是950 cm2，求此时长方体盒子的体积． 解：设剪掉的小正方形的边长为x cm， 根据题意，得2x2＋20x×2＝30×40－950，x2＋20x－125＝0， 解得x1＝5，x2＝－25(不合题意，应舍去)， 当x＝5时，长方体盒子的体积为 x(30－2x)(20－x)＝5×(30－2×5)×(20－5)＝1 500(cm3)， 答：此时长方体盒子的体积为1 500 cm3 $