第25章一元二次方程练习卷2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础-中档-拔高三级分层设计，覆盖一元二次方程的概念理解、运算技能到综合应用，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念与基本运算|如选择1-5直接考查定义、一般形式，解答17-18训练因式分解法等基础解法，强化抽象能力与运算能力| |中档|方法应用与简单建模|如解答21结合增长率问题，填空16融入《九章算术》古算题，培养模型意识与应用意识| |拔高|综合探究与跨情境迁移|如25题综合根的性质与分类讨论，24题结合直角三角形边长，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级数学练习卷 （人教版九年级上册　第二十一章　一元二次方程） 满分：150 分　　考试时间：120 分钟 班级：______________　姓名：______________　座号：__________　成绩：__________ 注意事项： 1．本卷共 25 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，请将班级、姓名、座号填写清楚。 3．请将解答过程写在题目下方的空白处，保持卷面整洁。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. 3x - 5 = 0　B. x² + 2y = 3　C. 2x² - 5x = 0　D. + x = 1 2．把方程 3x(x - 2) = 5 化为一般形式，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，-6，-5　B. 3，-6，5　C. 3，6，-5　D. 3，2，-5 3．方程 (2x - 1)² = 16 的解是（　　） A. x₁ = ，x₂ = 　B. x₁ = ，x₂ = -　C. x = 　D. x = - 4．关于 x 的一元二次方程 x² - 6x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（　　） A. 0　B. 3　C. -9　D. 9 5．若 x = -2 是关于 x 的一元二次方程 x² + ax - 6 = 0 的一个根，则 a 的值是（　　） A. -1　B. 1　C. 5　D. -5 6．用配方法解方程 x² - 6x + 1 = 0，配方后所得的方程是（　　） A. (x - 3)² = 10　B. (x + 3)² = 8　C. (x - 3)² = 8　D. (x - 6)² = 35 7．某校开展劳动教育实践活动，计划用一段长 20 m 的护栏靠着一面足够长的围墙，围出一块面积为 48 m² 的矩形菜地。设垂直于围墙的一边长为 x m，根据题意可列方程为（　　） A. x(20 - x) = 48　B. x(20 - 2x) = 48　C. x(20 + 2x) = 48　D. 2x(20 - 2x) = 48 8．已知关于 x 的方程 x² - 5x + c = 0 的一个根是 2，则它的另一个根是（　　） A. -3　B. 7　C. 　D. 3 9．若 (a² + b²)(a² + b² - 1) = 6，则 a² + b² 的值是（　　） A. 3　B. -2　C. 3 或 -2　D. 2 10．若 α、β 是方程 x² + 3x - 5 = 0 的两个实数根，则 α² + 4α + β 的值是（　　） A. -3　B. 2　C. 8　D. -8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．方程 2x² = 7x - 3 的一般形式是 ______________________。 12．若关于 x 的方程 (m - 1)x² + 2x - 3 = 0 是一元二次方程，则 m 满足的条件是 ____________。 13．设 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x - 3 = 0 的两个根，则 x₁ + x₂ = ________，x₁x₂ = ________。 14．已知 a 是方程 x² - 4x - 3 = 0 的一个根，则 2a² - 8a + 2026 的值是 ________。 15．某校运动会开幕式上，九年级学生排成一个矩形方阵。若每行的人数比行数多 5 人，且方阵共有 300 人，则这个方阵共有 ________ 行。 16．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。”大意是：矩形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门框对角线的长为 1 丈（1 丈 = 10 尺 = 100 寸）。则这扇门的高是 ________ 尺。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（本题满分 8 分） 解下列方程： （1）x² - 5x + 6 = 0； （2）2x² - 4x - 1 = 0。 18．（本题满分 8 分） 解下列方程： （1）3x(x - 2) = 4(x - 2)； （2）(x - 3)² = (2x + 1)²。 19．（本题满分 8 分） 阅读材料： 有些方程可以通过“换元”把复杂的问题转化为简单的问题。例如，解方程 (x² + x)² - 4(x² + x) - 12 = 0 时，可以设 y = x² + x，原方程化为 y² - 4y - 12 = 0，解得 y₁ = 6，y₂ = -2。 当 y = 6 时，x² + x = 6，解得 x₁ = 2，x₂ = -3； 当 y = -2 时，x² + x = -2，即 x² + x + 2 = 0。因为 Δ = 1 - 8 = -7 < 0，所以此方程没有实数根。 所以原方程的解为 x₁ = 2，x₂ = -3。 请你用类似的方法解方程：(x² - 2x)² - 3(x² - 2x) - 10 = 0。 20．（本题满分 8 分） 已知关于 x 的方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 12。 （1）求 m 的值； （2）求 (x₁ - x₂)² 的值。 21．（本题满分 8 分） 为倡导绿色出行，某市 2024 年底共享单车的投放量为 8 万辆，2026 年底达到 11.52 万辆。假设这两年该市共享单车投放量的年平均增长率相同。 （1）求这个年平均增长率； （2）按此增长率，预计 2027 年底该市共享单车的投放量将达到多少万辆？ 22．（本题满分 10 分） 某文创店销售一款“非遗”主题书签，每件进价为 20 元。经市场调查发现：当售价为每件 40 元时，每天可售出 50 件；售价每降低 1 元，每天可多售出 5 件。 （1）若售价定为每件 38 元，求每天销售该款书签的利润； （2）为了让顾客获得更多实惠，同时使每天销售该款书签的利润达到 1120 元，售价应定为每件多少元？ 23．（本题满分 10 分） 某社区在推进老旧小区改造时，计划在一块长 40 m、宽 25 m 的矩形空地上修建一个健身广场。广场中间铺设两条互相垂直且宽度相同的小路（一条与长边平行，一条与宽边平行），其余部分铺草坪。若草坪的总面积为 814 m²，求小路的宽度。 24．（本题满分 12 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x² - (2m + 3)x + m² + 3m = 0（m 为常数）。 （1）求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为 15，求 m 的值。 25．（本题满分 14 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x² - 2(k + 2)x + k² + 4k + 3 = 0（k 为实数）。 （1）若该方程有一个根为 0，求 k 的值； （2）若该方程的两个根都是正整数，且两根之积为 8，求 k 的值及方程的根； （3）是否存在实数 k，使方程的两个根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1—10：C　A　B　D　A　C　B　D　A　B 1．答案 C。一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数；是整式方程；未知数的最高次数是 2。A 是一元一次方程；B 含两个未知数；D 中的 不是整式。只有 C 符合，故选 C。 2．答案 A。把 3x(x - 2) = 5 去括号、移项，得 3x² - 6x - 5 = 0，所以二次项系数为 3、一次项系数为 -6、常数项为 -5，故选 A。 3．答案 B。由 (2x - 1)² = 16 得 2x - 1 = ±4。当 2x - 1 = 4 时，x = ；当 2x - 1 = -4 时，x = -。故选 B。 4．答案 D。方程有两个相等的实数根，则 Δ = (-6)² - 4×1×m = 36 - 4m = 0，解得 m = 9，故选 D。 5．答案 A。把 x = -2 代入方程，得 4 - 2a - 6 = 0，解得 a = -1，故选 A。 6．答案 C。由 x² - 6x + 1 = 0 得 x² - 6x = -1，两边同时加上 9，得 x² - 6x + 9 = 8，即 (x - 3)² = 8，故选 C。 7．答案 B。护栏靠着一面足够长的围墙，说明护栏围的是矩形的三条边。设垂直于围墙的一边长为 x m，则平行于围墙的一边长为 (20 - 2x) m，由矩形面积公式得 x(20 - 2x) = 48，故选 B。 8．答案 D。设另一个根为 x₂。由根与系数的关系得 x₁ + x₂ = 5，所以 x₂ = 5 - 2 = 3，故选 D。 9．答案 A。设 t = a² + b²，原式化为 t(t - 1) = 6，即 t² - t - 6 = 0，因式分解得 (t - 3)(t + 2) = 0，解得 t = 3 或 t = -2。因为 a² + b² ≥ 0，所以 t = -2 舍去，故 a² + b² = 3，选 A。 10．答案 B。因为 α 是方程 x² + 3x - 5 = 0 的根，把 x = α 代入得 α² + 3α - 5 = 0，即 α² + 3α = 5。由根与系数的关系得 α + β = -3。所以 α² + 4α + β = (α² + 3α) + (α + β) = 5 + (-3) = 2。故选 B。 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．答案 2x² - 7x + 3 = 0。移项，得 2x² - 7x + 3 = 0。 12．答案 m ≠ 1。一元二次方程的二次项系数不能为 0，即 m - 1 ≠ 0，所以 m ≠ 1。 13．答案 5；-3。由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = -3。 14．答案 2032。因为 a 是方程 x² - 4x - 3 = 0 的根，所以 a² - 4a - 3 = 0，即 a² - 4a = 3。故 2a² - 8a + 2026 = 2(a² - 4a) + 2026 = 2×3 + 2026 = 2032。 15．答案 15。设方阵共有 x 行，则每行有 (x + 5) 人。由题意得 x(x + 5) = 300，整理得 x² + 5x - 300 = 0，因式分解得 (x + 20)(x - 15) = 0，解得 x = 15 或 x = -20。行数不能为负数，所以 x = 15，即方阵共有 15 行。此时每行 20 人，15×20 = 300，符合题意。 16．答案 9.6。设门的宽为 x 尺，则高为 (x + 6.8) 尺。由勾股定理得 x² + (x + 6.8)² = 10²，整理得 2x² + 13.6x - 53.76 = 0，即 x² + 6.8x - 26.88 = 0。Δ = 6.8² - 4×1×(-26.88) = 46.24 + 107.52 = 153.76，而 12.4² = 153.76，所以 x = = 2.8（负值舍去）。门的高为 2.8 + 6.8 = 9.6（尺）。 三、解答题（共 86 分） 17．（本题满分 8 分） （1）因式分解，得 (x - 2)(x - 3) = 0，所以 x₁ = 2，x₂ = 3。 （2）a = 2，b = -4，c = -1，Δ = (-4)² - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 > 0。由求根公式得 x = = ，即 x₁ = ，x₂ = 。 18．（本题满分 8 分） （1）移项得 3x(x - 2) - 4(x - 2) = 0，提取公因式得 (x - 2)(3x - 4) = 0，所以 x₁ = 2，x₂ = 。（注意：方程两边不能同时除以 (x - 2)） （2）由 (x - 3)² = (2x + 1)² 得 x - 3 = ±(2x + 1)。当 x - 3 = 2x + 1 时，x = -4；当 x - 3 = -(2x + 1) 时，3x = 2，x = 。所以 x₁ = -4，x₂ = 。 19．（本题满分 8 分） 设 y = x² - 2x，则原方程化为 y² - 3y - 10 = 0，因式分解得 (y - 5)(y + 2) = 0，解得 y₁ = 5，y₂ = -2。 当 y = 5 时，x² - 2x = 5，即 x² - 2x - 5 = 0，解得 x = = 1 ± √6； 当 y = -2 时，x² - 2x = -2，即 x² - 2x + 2 = 0。因为 Δ = (-2)² - 4×1×2 = -4 < 0，所以此方程没有实数根。 所以原方程的解为 x₁ = 1 + √6，x₂ = 1 - √6。 20．（本题满分 8 分） （1）由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = m。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 16 - 2m = 12，解得 m = 2。此时 Δ = 16 - 8 = 8 > 0，方程有两个不相等的实数根，符合题意，故 m = 2。 （2）(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 16 - 4×2 = 8。 21．（本题满分 8 分） （1）设年平均增长率为 x，由题意得 8(1 + x)² = 11.52。 (1 + x)² = 1.44，1 + x = ±1.2，解得 x = 0.2 或 x = -2.2。因为增长率不能为负数，所以 x = -2.2 舍去，故年平均增长率为 20%。 （2）11.52 × (1 + 20%) = 11.52 × 1.2 = 13.824（万辆）。答：年平均增长率为 20%；预计 2027 年底该市共享单车的投放量将达到 13.824 万辆。 22．（本题满分 10 分） （1）当售价为每件 38 元时，每件降价 2 元，每件利润为 38 - 20 = 18（元），每天销售量为 50 + 5×2 = 60（件），所以每天的利润为 18 × 60 = 1080（元）。 （2）设每件降价 x 元，则每件利润为 (20 - x) 元，每天销售量为 (50 + 5x) 件。 由题意得 (20 - x)(50 + 5x) = 1120，整理得 1000 + 100x - 50x - 5x² = 1120，即 x² - 10x + 24 = 0，因式分解得 (x - 4)(x - 6) = 0，解得 x = 4 或 x = 6。 当 x = 4 时，售价为 36 元；当 x = 6 时，售价为 34 元。两种情况下每天销售该款书签的利润均为 1120 元。因为要让顾客获得更多实惠，所以取降价更多的 x = 6，此时售价为每件 34 元。答：售价应定为每件 34 元。 23．（本题满分 10 分） 设小路的宽度为 x m。把两条小路分别平移到矩形空地的边缘，草坪可拼成一个长为 (40 - x) m、宽为 (25 - x) m 的矩形。 由题意得 (40 - x)(25 - x) = 814，整理得 1000 - 65x + x² = 814，即 x² - 65x + 186 = 0。 Δ = (-65)² - 4×1×186 = 4225 - 744 = 3481 = 59²，所以 x = ，解得 x = 62 或 x = 3。 因为小路的宽度应小于空地的宽 25 m，所以 x = 62 不合题意，舍去。答：小路的宽度为 3 m。 24．（本题满分 12 分） （1）Δ = [-(2m + 3)]² - 4×1×(m² + 3m) = 4m² + 12m + 9 - 4m² - 12m = 9 > 0，所以无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根。 （2）原方程可因式分解为 (x - m)(x - m - 3) = 0，两根为 x₁ = m，x₂ = m + 3。 由题意，m 与 m + 3 是一个直角三角形的两条直角边的长，且斜边长为 15。因为边长均为正数，所以 m > 0，由勾股定理得 m² + (m + 3)² = 15²。 整理得 2m² + 6m + 9 = 225，即 m² + 3m - 108 = 0，因式分解得 (m + 12)(m - 9) = 0，解得 m = 9 或 m = -12。因为边长均为正数，所以 m = -12 舍去，故 m = 9。（检验：当 m = 9 时，两根为 9 和 12，9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²，符合题意。） 25．（本题满分 14 分） （1）因为 0 是该方程的一个根，把 x = 0 代入，得 k² + 4k + 3 = 0，因式分解得 (k + 1)(k + 3) = 0，解得 k = -1 或 k = -3。 （2）原方程可因式分解为 (x - k - 1)(x - k - 3) = 0，两根为 x₁ = k + 1，x₂ = k + 3。 由两根之积为 8，得 (k + 1)(k + 3) = 8，整理得 k² + 4k - 5 = 0，因式分解得 (k + 5)(k - 1) = 0，解得 k = 1 或 k = -5。 当 k = 1 时，两根为 2 和 4，都是正整数，符合题意；当 k = -5 时，两根为 -4 和 -2，不是正整数，舍去。所以 k = 1，此时方程的根为 2 和 4。 （3）存在。若方程的两个根互为相反数，则两根之和为 0，即 x₁ + x₂ = 2(k + 2) = 0，解得 k = -2。当 k = -2 时，方程为 x² - 1 = 0，两根为 1 和 -1，互为相反数，符合题意。所以存在实数 k = -2。 九年级数学练习卷（一元二次方程）　·　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $