第25章 一元二次方程（课堂小练）-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.下列方程中，属于一元二次方程的是 () A.2x+1=0 B.x2+2x-3=0 C.x2+y=1 D 2.一元二次方程x2一2x=0的二次项系数、一次项系数和常数项分 别是 () A.1,0,-2 B.1,-2,0 C.1,2,0 D.1,0,2 3.对于一元二次方程2x2一3x十1=0，下列说法错误的是() A.二次项是2x2 B.一次项系数是3 C.常数项是1 D.x=1是它的一个根 4.如图，从一个长10分米、宽8分米的长方形铁片 中间截去一个面积为60平方分米的小长方形， 使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度 为x分米，那么所列出的方程是 () A.(10-x)(8-x)=10×8-60 B.(10-x)(8-x)=60 C.(10-2x)(8-2x)=60 D.2(10-x)(8-x)=60 5.若n是方程x2一x一1=0的一个根，则代数式n2一n+3的值为 6.有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m,另一边剪短 2m,恰好变成一个正方形.设正方形的边长为xm,根据题意，可 列方程为 ,将其化为一般形式为 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 1.(沈阳月考)方程(x十2025)2=一1的根的情况是 () A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 2.如果x=3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一 个根是 () A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.x=-1 3.方程2(x一2)2=8的解是 4.若关于x的方程(m十1)xm+1一4=0是一元二次方程，则方程的 解为 5.解方程： (1)4x2-18=0; (2)(x+4)2-25=0. 6.已知关于x的方程(x一1)2=k2十2的一个根是x=3,求k的值 和方程的另一个根. 2 第2课时配方法 1.填空：(1)a2+8a+ =(a+4)2; (2)2-x+=(x- 2.(廊坊期中)如图是小冀用配方法解方程2x2一8x十6=0的过程 的一部分.①②分别代表的是 把常数项移到方程的右边，得2x2一8x=一6 ……… 第一步 二次项系数化为1，得x2-4x=① ……………………… 第二步 配方，得x2一4江十②=1…第三步 A.3,22 B.-3,42 C.-3,22 D.-3,-3 3.若方程x2一2x一4=0可配方成(x一m)2=n的形式，则() A.m=1,n=5 B.m=-1,n=5 C.m=2,n=5 D.m=-2,n=3 4.用配方法解下列方程： (1)x2-4x+2=0; (2)2x2-8x+1=0; (3)x2-6x+1=4x-8; 4)-7x2-3x=6 —3 25.2.2 公式法 1.关于x的一元二次方程2x2一3x一1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 2.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定α，b,c的值.对于 方程-4x2+3=5x,a,b,c的值分别是 () A.-4,5,3 B.-4,-5,3 C.4,5,3 D.4,-5,-3 3.(揭阳月考)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是() A.x2-8x+15=0 B.2x2+x-1=0 C.x2+2x=0 D.x2+4x+4=0 4.关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为 24,则m= 5.写出一个没有实数根的一元二次方程： 6.用公式法解下列方程： (1)2x2+2x=1; (2)(x-2)(x十4)=1. 25.2.3 因式分解法 1.方程x(x+1)=0的根是 () A.0 B.-1 C.0,-1 D.0,1 2.小聪在解方程x2=3x时，只得到一个根x=3,则被漏掉的一个 根是 () A.x=-3 B.x=0 C.x=1 D.x=2 3.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：①因式分解法；②直 接开平方法；③配方法；④公式法.请认真观察下列几个方程，选 择最为适当的方法（填序号）. (1)x2-3x+1=0,选择方法 最合适； (2)(x一1)2=3，选择方法 最合适； (3)x2-3x=0,选择方法 最合适； (4)x2一2x=4,选择方法 最合适 4.(潮州期中)若(x2+y2)2+2(x2+y2)=0,则x2十y2= 5.用因式分解法解下列方程： (1)x2+3.x-4=0; (2)(x-1)2=2x(x-1). 5— 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.（中考·湖北)一元二次方程x2一4x十3=0的两个实数根为x1, x2,下列结论正确的是 () A.x1十x2=-4 B.x1十x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 2.已知a,b是一元二次方程x2-4x一2=0的两个实数根，则a+b 十ab的值为 () A.6 B.4 C.2 D.-2 3.关于x的一元二次方程的两个根为x1=3,x2=一4，则这个一元 二次方程可以是 () A.x2+x-12=0 B.x2-x-12=0 C.x2-7x+12=0 D.x2+7x-12=0 4.已知关于x的一元二次方程x2一5x十a=0的一个根为5，则它 的另一个根x2以及实数a的值分别为 () A.x2=0,a=0 B.x2=0,a=15 C.x2=3,a=2 D.x2=0,a=1 5.已知x1,x2是方程2x2十2kx+k一1=0的两个根，且(x1十1)(x2 +1)=4. (1)k的值为 (2)求(x1一x2)2的值. -6 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.某学校在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为 800平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米， 根据题意，可列方程为 () A.10(x+10)=800 B.x(x+10)=800 C.x(x-10)=800 D.2x+(x+10)=800 2.(遵义期末)《九章算术》是我国古代最重要的数学 著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问 题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高 几何？”翻译成数学问题：如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AB+AC=10,BC=3.若设AC=x,则可列方程 () A.x2+(10-x)2=32 B.x2+32=(10+x)2 C.(10-x)2+32=x2 D.x2+32=(10-x)2 3.用一根长12cm的铁丝围成一个斜边长为5cm的直角三角形， 则这个直角三角形较短的直角边长为 cm. 4.为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地ABCD改造 成了一个便民停车场，其布局如图所示.已知AD=52米，AB= 32米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是 x米的道路.已知铺花砖的面积为800平方米，求道路的宽是多 少米。 x B 一7 第2课时传播问题和平均变化率问题 1.近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程 度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年 6月份售价为20万元，8月份售价为18万元.设该款汽车这两个 月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是 () A.18(1+x)2=20 B.20(1-x)2=18 C.20-20(1-x)2=18 D.20(1-2x)=18 2.某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学， 第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又 教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型.若设 1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是 () A.1轮后共有(x十1)名同学会做这个模型 B.第2轮又增加(x十1)·x名同学会做这个模型 C.依题意可得方程1十x十(x十+1)x=36 D.不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 3.公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的 销量.某头盔经销商5月至7月份统计，某品牌头盔5月份销售 2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月 增长率相同.求该品牌头盔销售量的月增长率. -8 第3课时循环问题和数字问题 1.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x,则可列方程为 () A.x(x+1)=120 B.x(x+2)=120 C.x(x-1)=120 D.x(x-2)=120 2.(晋中期末)临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九 年级(1)班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作 为纪念，全班学生共写了1560份留言.如果全班有x名同学，根 据题意，列出方程为 () A.x(x1)=1560 B.x(x+1D-1560 2 2 C.x(x-1)=1560 D.x(x+1)=1560 3.如果一个数的相反数等于这个数的平方，这个数是 4.为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动 会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之 间都比赛一场)，共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚 拔河”比赛？ 9参考答案 25.1 1.B2.B3.B4.C5.4 6.(x+5)(x+2)=54x2+7x-44=0 25.2.1第1课时 1.B2.B3.x1=4,x2=0 4.x1=√2，x2=一√2 ,2x--32 5.(1)=3y2 2 (2)x1=1,x2=-9. 6.k=士√2，方程的另一个根为x=一1. 25.2.1第2课时 1.(1)16(2)64÷2.C3.A 4.(1)x1=2+√2，x2=2-√2 2,2=2-14 (2)x=2+ 2 (3)x=9,x2=1.(4)原方程无解。 25.2.2 1.A2.B3.D4.-1 5.y+y十1=0（答案不唯一） 2,2=二1-3 6.(1)x=-1+3 2 (2)x1=-1+√10，x2=-1-√10. 25.2.3 1.C2.B 3.(1)④(2)②(3)①(4)③4.0 5.(1)x1=-4,x2=1.(2)x=1,x2=-1. 25.2.4 1.D2.C3.A4.A 5.(1)一7(2)(x1一x2)2的值为65. 25.3第1课时 1.B2.D3.3 4.由题意，得(52一2x)(32-2x)=800, 解得x1=6,x2=36(舍去). .道路的宽是6米. 25.3第2课时 1.B2.D 3.设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根 据题意，得2250×(1+x)2=3240, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%， 25.3第3课时 1.B2.C3.0或-1 4.设共有x个队参加“单脚拔河”比赛，由 题意，得2x(x-1)=15, 解得x1=6,x2=一5（不符合题，舍去）. 答：共有6个队参加“单脚拔河”比赛. 26.1 1.D2.B3.B4.m≠2 5.由题意，得y=(80一x)(60一x)=x2 140x+4800(0x<60). 26.2.1 1.y轴(0,0)减小2.②>③>① 3.(1)略 (2)点（一2，一4）不在这个函数图象上 (3)当y=4时，对应的函数图象上的点 的坐标为(2√2,4)和（一2√2,4）. 4.(1)把x=3,y=3代人y=ax2,得a= 专，所以y弓女 当x=-2时y=专×(-2)=号 (2)由(1)知，=3x,所以图象开口向 1 上，对称轴是y轴. (3)当x>0时，y随x的增大而增大. 26.2.2第1课时 1.A2.B3.A 4.y=5x2-25.a<-3 6.(1)A(-2,0),B(2,0),C(0,4), 5c=号X4X4=8. (2)点P的坐标为（√2,2），(-√2,2)， (W6,-2),(-√6，-2). 26.2.2第2课时 1.D2.C3.D4.3 5.(1)二次函数的解析式为y=-3(x一2)2. (2)当x<2时，y随x的增大而增大. (3)当x=0时，y=-3(x-2)2=-12, ∴.二次函数图象与y轴的交点坐标为 (0,-12). 26.2.2第3课时 1.C2.-413.(7,0)4.y1>y>y2 5.(1)-2-24 (2).二次函数y=一2(x+2)2+4, .该二次函数的图象开口向下，对称轴 为x=一2，顶点坐标为（一2,4）. 26.2.3 1.C2.D3.(2,-2) 2 4.05.%<1<为6.3 7.(1)把M(-2,3)代入y=-x2+mx+3,得 -4-2m十3=3，解得m=-2. ∴.y=-x2-2x十3=-(x十1)2十4， .抛物线的顶点坐标为（一1,4）. (2)y的取值范围是0≤y≤4. 26.3第1课时 1.B2.没有实数根3.3 26.3第2课时 1.3.1(答案不唯一) 2.(1)x1=1,x2=3(2)x<1或x>3 (3)k<2 26.4第1课时 1.2 2.C 4