第25章 一元二次方程单元复习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦一元二次方程单元复习，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到创新应用的知识进阶，适配日常教学与阶段测评需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程定义、基本解法、根的判别式|以单选题（如方程定义判断）、填空题（如直接解方程）为主，强化抽象能力与运算能力| |中档|根与系数关系、实际应用、解法辨析|通过解答题（如增长率问题）、辨析题（如错解分析），培养推理意识与模型观念| |提升|新定义问题（差根方程）、转化思想、跨知识综合|结合阅读材料题（如转化思想应用）、探究题（如直角三角形与方程结合），发展创新意识与应用意识|

第25章 一元二次方程单元复习2026-2027学年人教版九年级数学 （2026新教材） 注意：本资料由工作室精选优质，典型题目，帮助学生短时间提高分数，请精炼 一、单选题 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 6．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 7．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，是方程的两个根，则___________． 10．一元二次方程的根是__________________． 11．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 12．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 13．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 14．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 15．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 16．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 19．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 20．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 22．在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 23．转化思想 阅读材料： 各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似地，解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． (1)问题：方程的解是，______，______； (2)拓展：解方程组． 24．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第25章 一元二次方程单元复习2026-2027学年人教版数学 （2026新教材） 答案精讲 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A C A A B 1．A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 3．D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 4．A 【分析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 5．C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 6．A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 7．A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 8．B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 9． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可． 【详解】解：对于方程，二次项系数为，常数项为， ∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得． 10． 【分析】方程为两个一次因式乘积等于的形式，利用因式分解法可直接求解． 【详解】解：∵， ∴或， 分别求解得，． 11． 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 12．3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 13． 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 14． 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 15．或0/0或 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 16．2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以，     正确解答： ， ， 或 解得，． 19． 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 20．(1) 证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 21．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 22．(1)5，3 (2) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 23．(1)；1 (2)， 【分析】（1）根据题意得到和，解方程即可； （2）把方程组变形为，解得，求出，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为， 解方程和，其中， 可得方程的解为，，． （2）解： 由②得，③， 把③代入①得，， 整理得，， 解得， 把分别代入得到，， ∴， 24．(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 答案第10页（共10页） 答案第9页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $