26.2 二次函数的图象和性质 题型专练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以"概念-性质-应用"为主线，通过13类题型系统构建二次函数图象与性质的解题方法体系，强化数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础图象性质|4题型/4典例|图象特征分析、参数影响规律|从y=ax²到平移变换，构建性质认知框架| |解析式确定|3题型/3典例|待定系数法（一般式/顶点式/交点式）|三式互化，强化条件转化能力| |综合应用|6题型/6典例|对称性质应用、动态几何建模|从静态计算到动态探究，培养空间观念与推理意识|

人教版（2024）九年级上册 26.2 二次函数的图象和性质 题型专练 【题型1】二次函数\(y=ax^{2}\)的图象和性质 【典例】如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【举一反三1】已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】抛物线有最  __________ 点（填“高”或“低”）． 【举一反三3】请在同一坐标系中画出二次函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.然后回答下列问题： （1）这三个图象有什么共同点和不同点？ （2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 【举一反三4】（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； 从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【题型2】二次函数\(y=ax^{2}\)的关系式及应用 【典例】已知抛物线，过原点的直线与抛物线的另一个交点分别为，如果，则的值为（  ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【举一反三1】如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式  __________ ． 【举一反三3】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为__________． 【举一反三4】已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）． (1) 求二次函数的关系式； (2) 判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上． 【题型3】二次函数图象的对称性 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ） A．4 B． C． D．5 【举一反三1】在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的 的值不可能为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为__________个． 【举一反三4】如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）． (1) 求m的值及抛物线的顶点坐标； (2) 点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【举一反三5】已知二次函数 （且为常数）． (1) 当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若点，在该抛物线上，且，求的取值范围； (2) 当时，始终成立，求的取值范围． 【题型4】二次函数与新定义和规律探究综合 【典例】如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【举一反三2】在平面直角坐标系中，若某函数图象上存在两点关于原点对称，则把该函数叫做“函数”，这一对对称点叫做该函数的“点”．下列结论： ①若一次函数是“函数”，则其图象经过第二、四象限； ②函数一定是“函数”；  ③若二次函数是“函数”，则其图象上只存在一对“点”； ④若关于 的二次函数是“函数”，点，两点为该函数“点”，则．其中，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【举一反三3】函数y=ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y=x2+3x-2的“特征数”是[1，3，-2]，函数y=-x+4的“特征数”是[0，-1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是__________． 【举一反三4】我们定义一种新函数形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组通过探究“鹊桥”函数（m为常数且）的图象，有下列结论：①该函数图象与y轴交于点；②若，当时，y随x的增大而增大；③若在函数图象上，则也在函数图象上；④若方程有三个实数根，则；⑤若，直线与该函数图象有4个交点时，则n的取值范围是．其中正确的结论是 __________ （填写序号）． 【举一反三5】定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1) 求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2) ① 在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ② 将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上_______________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③ 将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【题型5】二次函数的平移、旋转与翻折 【典例】要使抛物线y=3x2-6x+1平移后经过点（1，4），则可以将此抛物线（　　） A．向下平移2个单位 B．向上平移6个单位 C．向右平移1个单位 D．向左平移2个单位 【举一反三1】将二次函数y＝1＋(x＋3)2的图象沿x轴对折后得到的图象表达式为__________ . 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是 __________ ． 【举一反三3】已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，0）、B（0，6）． (1) 求抛物线的表达式； (2) 抛物线向下平移几个单位后经过点（4，0）？请通过计算说明． 【题型6】由抛物线上的对称点求对称轴 【典例】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【举一反三1】已知抛物线经过和两点，则b的值为（  ） A． B． C．2 D．4 【举一反三2】已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（　　） A．只能是x=-1 B．可能是y轴 C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D．可能在y轴左侧且在直线x=-2的右侧 【举一反三3】如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， (1) 若，则抛物线的对称轴是直线 __________ ； (2) 若，且是线段的中点，则的值为 __________ ． 【举一反三4】二次函数的自变量与函数值的对应值如下表， … 0 1 … … 3 3 … (1) 抛物线的对称轴是_______________； (2) 则时，的取值范围是_______________． 【题型7】二次函数的综合运用-线段周长问题 【典例】如图，抛物线的对称轴为直线，点和在该抛物线上，点是对称轴上的任意一点，连接和.当的值最小时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为__________． 【举一反三2】如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 __________ ． 【举一反三3】如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点. (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值. 【举一反三4】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3) 连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【题型8】二次函数的综合运用-图形面积问题 【典例】某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论： ①b＞0；②a-b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=-1，则b2=4a． 正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是__________． 【举一反三3】如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为  __________ ． 【举一反三4】把一根长80cm的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形． (1) 能否使所围的两个正方形的面积和为250 cm2，并说明理由； (2) 能否使所围的两个正方形的面积和为180 cm2，并说明理由； (3) 怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？ 【题型9】二次函数的综合运用-特殊三角形判定问题 【典例】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，则下列结论正确的是（　　） A．2a-b=0 B．a+b+c＞0 C．3a-c=0 D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形 【举一反三1】如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为__________． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为 __________ ． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交与点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； (3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由. 【题型10】二次函数的综合运用-特殊四边形判定问题 【典例】如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　） A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形 【举一反三1】如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形 C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形 D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=-x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为__________． 【举一反三3】如图，在△ABC中，F是BC的中点，E是线段AB的延长线上一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接BD，CE. (1)求证：四边形BDCE是平行四边形； (2)若∠ABC＝120°，BC＝4，则在点E的运动过程中， ①当BE＝　　　　时，四边形BDCE是矩形； ②当BE＝　　　　时，四边形BDCE是菱形. 【举一反三4】如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3) 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型11】由一般式确定二次函数的解析式 【典例】二次函数图象如图所示，则其解析式是（　　） A．y=-x2+2x+4 B．y=x2+2x+4 C．y=-x2-2x+4 D．y=-x2+2x+3 【举一反三1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(1，-1)，(2，-4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线 （      ） A．x=-3 B．x=-1 C．x=1 D．x=3 【举一反三2】若抛物线过点，则a的值是(    ) A．4 B．-4 C．2 D．-2 【举一反三3】如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________． 【举一反三4】如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为 __________ ． 【举一反三5】已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象经过点（﹣1，﹣4）、（1，6），求这个二次函数的表达式． 【举一反三6】设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： （1）求二次函数的表达式． （2）二次函数的对称轴及最值. 【题型12】由顶点式确定二次函数的解析式 【典例】已知抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为(-1，2 025)，则该抛物线对应的函数表达式为 A．y=-2(x-1)2+2 025 B．y=2(x-1)2+2 025 C．y=2(x+1)2+2 025 D．y=-2(x+1)2+2 025 【举一反三1】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，则下列选项正确的是 （      ） A．若h＝4，则a<0 B．若h＝5，则a>0 C．若h＝6，则a<0 D．若h＝7，则a>0 【举一反三2】已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是__________ .（只需写一个） 【举一反三3】（2015淄博）对于两个二次函数，，满足．当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式__________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 【举一反三4】抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点． (1) 写出点A，B的坐标； (2) 求出抛物线的解析式． 【举一反三5】如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米．求该抛物线的解析式． 【题型13】由交点式确定二次函数的解析式 【典例】若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（　　） A．y=x2+1 B．y=x2-1 C．y=-x2+1 D．y=-x2-1 【举一反三1】已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（　　） A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-3 【举一反三2】如图，已知四个点A(0，1)，B(2，1)，C(4，1)，D(3，0)，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图像，并得到对应的函数表达式y=ax2+bx+c(a≠0). (1)对应的函数表达式有__________ 个； (2)所有函数表达式中a+b+c的最大值是__________ . 【举一反三3】已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是 __________ ．（写出一个即可） 【举一反三4】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． (1) 求二次函数的解析式； (2) 如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； (3) 在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【举一反三5】用待定系数求满足下列条件的二次函数表达式． （1）图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且经过点C（1，4）． （2）图象经过点A（1，1），B（-1，4），C（3，0）； （3）当x=1时，有最大值-6，且图象经过点（2，-8）； 人教版（2024）九年级上册 26.2 二次函数的图象和性质 题型专练（参考答案） 【题型1】二次函数\(y=ax^{2}\)的图象和性质 【典例】如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【举一反三1】已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：二次函数中二次项系数， 函数的图象开口向下， 函数的图象对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 又点，，都在函数的图象上， ． 故选：C． 【举一反三2】抛物线有最  __________ 点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【解析】解：由抛物线可知开口向下，所以该抛物线有最高点； 故答案为：高． 【举一反三3】请在同一坐标系中画出二次函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.然后回答下列问题： （1）这三个图象有什么共同点和不同点？ （2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 【答案】解：列表： 描点、连线画出函数的图象如图： （1）二次函数y=x2，y=-2x2和y=-x2图象的形状是抛物线．开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．当x=0时，y有最大值为0． （2）由图象可知，如果a＜0，a越小，抛物线y=ax2的开口越小． 故答案为：小． 【举一反三4】（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； 从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 【题型2】二次函数\(y=ax^{2}\)的关系式及应用 【典例】已知抛物线，过原点的直线与抛物线的另一个交点分别为，如果，则的值为（  ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【解析】设过原点的直线的解析式为）． 联立，得， 解得（原点），， ． 同理，联立直线，得． 由两点间距离公式，得，． ， ， ． ， ， 等式两边约去公因式，得， 两边开平方，得． 当时，解得； 当时，解得． 经检验，均为方程的解，且符合题意． 【举一反三1】如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 【举一反三2】请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式  __________ ． 【答案】 【解析】解：∵当时，随的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三3】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为__________． 【答案】y=x2 【解析】∵正方形的边长为2，∴对角线AC=2，∴C点坐标为（，）， 设此抛物线的解析式为y=ax2，则=2a，a=，抛物线的解析式为y=x2． 【举一反三4】已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）． (1) 求二次函数的关系式； (2) 判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上． 【答案】解： (1) 把（-2，-8）代入二次函数解析式得-8=4a，即a=-2， 则二次函数解析式为y=-2x2． (2) 不在， 理由为：把x=-1代入解析式得y=-2，-2≠-4，则点（-1，-4）不在此抛物线上． 【题型3】二次函数图象的对称性 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【解析】连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是故选：B． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的 的值不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 【举一反三2】抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在二次函数中，令，得， 二次函数与轴交于， 该抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ，，． 该抛物线经过点和． 不妨设该抛物线的函数表达式为． 代入，得， 解得， 当时， 故选：C． 【举一反三3】如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为__________个． 【答案】 【解析】∵抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，，故结论③④正确， ∴，即，，故结论②正确， ∴，故结论①正确， 综上，说法正确的个数为． 【举一反三4】如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）． (1) 求m的值及抛物线的顶点坐标； (2) 点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】解： (1) 把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=-x2+mx+3得0=-32+3m+3， 解得m=2， ∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）． (2) 连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴，解得， ∴直线BC的解析式为：y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）． 【举一反三5】已知二次函数 （且为常数）． (1) 当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若点，在该抛物线上，且，求的取值范围； (2) 当时，始终成立，求的取值范围． 【答案】解：(1) 当时，，∴顶点坐标为； 由知，抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上且， ∴点离对称轴更远， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或 ， ∴的取值范围为或 ； (2) ∵， ∴ ， 令 ， ∴ ∴其对称轴为， 当时，时，随的增大而增大， ∵在对称轴右侧， ∴时， ，解得， ∴当时，始终成立， 当时，时，随的增大而减小， ∵在对称轴右侧， ∴， 解得：， ∴当时，始终成立， ∴综上可得：的取值范围为且． 【题型4】二次函数与新定义和规律探究综合 【典例】如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵点是正方形边的中点， ∴，， 同理，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 ∴正方形的边长为， 同理，是等腰直角三角形， ∴，则， ∴正方形的边长为， ， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故选：B . 【举一反三1】规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【解析】对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，若某函数图象上存在两点关于原点对称，则把该函数叫做“函数”，这一对对称点叫做该函数的“点”．下列结论： ①若一次函数是“函数”，则其图象经过第二、四象限； ②函数一定是“函数”；  ③若二次函数是“函数”，则其图象上只存在一对“点”； ④若关于 的二次函数是“函数”，点，两点为该函数“点”，则．其中，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】①对于一次函数， 设其图象上存在关于原点对称的点与， ∵两点均在函数图象上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子，消去 得：， 解得，即， 又∵一次函数一次项系数不能为0，即， ∴， 此时函数解析式为，其图象经过第二、四象限，故①正确． ②对于函数，假设存在关于原点对称的点与在其图象上， ∵两点均在函数图象上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子得：，化简得，矛盾， ∴不存在这样的点，该函数不是“函数”，故②错误． ③对于二次函数，设其图象上存在关于原点对称的点与， ∵两点均在函数图象上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子得：， 化简得，即， 解得或，对应点为与，仅一对“点”，故③正确． ④∵与是“点”， ∴， ∵两点均在二次函数图象上， ∴， 两式相减得：，解得， 将代入，得，化简得，故④正确． 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 【举一反三3】函数y=ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y=x2+3x-2的“特征数”是[1，3，-2]，函数y=-x+4的“特征数”是[0，-1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是__________． 【答案】y=2（x+3）2+4 【解析】解：∵“特征数”是[2，0，4]， ∴函数解析式为y=2x2+4， ∴函数的顶点坐标为（0，4）， ∵函数图象向左平移3个单位， ∴得到的新的函数图象的顶点坐标为（-3，4）， ∴函数表达式为y=2（x+3）2+4． 【举一反三4】我们定义一种新函数形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组通过探究“鹊桥”函数（m为常数且）的图象，有下列结论：①该函数图象与y轴交于点；②若，当时，y随x的增大而增大；③若在函数图象上，则也在函数图象上；④若方程有三个实数根，则；⑤若，直线与该函数图象有4个交点时，则n的取值范围是．其中正确的结论是 __________ （填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】①当时，， ∵， ∴， ∴该函数图象与y轴交于点，故①正确； ②当时，原函数为， 令，解得或， 当时，， 因此，该二次函数开口向下，对称轴为 ， ∴ 时，随的增大而减小， ∴时，不是一直随增大而增大，故②错误； ③把代入函数解析式，得：，因此也在函数图象上，故③正确； ④方程等价于或， 二次函数的顶点为，由得， 要使原方程有三个实数根，则经过“鹊桥”函数的顶点， 即顶点纵坐标满足， 解得， 此时整理为，有一个实数根，即为的判别式，有两个不相等的实数根，共三个实数根，故 ，故④正确； ⑤当时，， 联立直线， 当时，，整理可得， 当直线与中间段抛物线相切时，判别式， 解得， 此时共有3个交点；当直线经过点时，代入得， 解得，此时也共有3个交点， 因此直线与该函数图象有4个交点时，，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 【举一反三5】定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1) 求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2) ① 在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ② 将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上_______________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③ 将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) 解：由题意，可知点，点，且点 均在抛物线上．把代入 ，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∴抛物线的顶点坐标是． (2) ① 如图 ② 设直线 的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线 的解析式为， 将直线向下平移3个单位长度得到直线 ， 假设存在两点关于原点对称， 把点的横坐标代入 得： 故不存在两点互为“抛物中心对称点”； ③ 由题意，得平移后的抛物线的表达式为 ． 设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为， ∴ ． ∴ ． 整理，得 ． ∴ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【题型5】二次函数的平移、旋转与翻折 【典例】要使抛物线y=3x2-6x+1平移后经过点（1，4），则可以将此抛物线（　　） A．向下平移2个单位 B．向上平移6个单位 C．向右平移1个单位 D．向左平移2个单位 【答案】B 【解析】解：直接把x=1代入解析式，求得图象一定经过点（1，-2），对比（1，4），得图象需向上平移6个单位，才会过点（1，4）． 把y=4代入y=3x2-6x+1，求得x1=1+，x2=1-， 即原抛物线经过点（1+，4）与（1-，4）， 所以得出只要将原抛物线向左平移个单位或向右平移个单位都能经过点（1，4）． 【举一反三1】将二次函数y＝1＋(x＋3)2的图象沿x轴对折后得到的图象表达式为__________ . 【答案】y＝－(x＋3)2－1 【解析】∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴将二次函数y＝1＋(x＋3)2的图象沿x轴对折后得到的图象表达式为－y＝1＋(x＋3)2，即y＝－(x＋3)2－1. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是 __________ ． 【答案】3或4或5 【解析】抛物线解析式为， ∴令， 即， 解得，， ∴由题意可得，， ∵图像依次向右平移个单位， ∴点的坐标也依次向右平移个单位， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点， ∴， 即， 解得， ∵为整数， ∴或或． 【举一反三3】已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，0）、B（0，6）． (1) 求抛物线的表达式； (2) 抛物线向下平移几个单位后经过点（4，0）？请通过计算说明． 【答案】解： (1) 把A（2，0），B（0，6）代入y=x2+bx+c得， 解得b=-5，c=6， ∴抛物线的表达式为y=x2-5x+6； (2) 把x=4代入y=x2-5x+6得y=16-20+6=2， ∴2-0=2． 故抛物线向下平移2个单位后经过点（4，0）． 【题型6】由抛物线上的对称点求对称轴 【典例】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【答案】D 【解析】选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 【举一反三1】已知抛物线经过和两点，则b的值为（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】∵抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵对称轴为， ∴， 解得， 故选B． 【举一反三2】已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（　　） A．只能是x=-1 B．可能是y轴 C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D．可能在y轴左侧且在直线x=-2的右侧 【答案】D 【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，3）两点， ∴点（-2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：-2＜x2＜2， ∴-2＜＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=-2的右侧． 【举一反三3】如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， (1) 若，则抛物线的对称轴是直线 __________ ； (2) 若，且是线段的中点，则的值为 __________ ． 【答案】6 ； 3 【解析】(1) 当时，抛物线的表达式 它的对称轴是直线． 故答案为：6 (2) 当时，抛物线的表达式， 它的对称轴是直线， 是的中点， 点的坐标为， 把它代入，得：， 解得． 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是和1，与图象不符，应舍去； 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是1和5，符合题意， 的值为3． 故答案为：3． 【举一反三4】二次函数的自变量与函数值的对应值如下表， … 0 1 … … 3 3 … (1) 抛物线的对称轴是_______________； (2) 则时，的取值范围是_______________． 【答案】(1) (2) 【解析】(1) ∵当时，；当时，， 二次函数的对称轴是直线． 故答案为：直线； (2) ∵时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，． 故答案为：． 【题型7】二次函数的综合运用-线段周长问题 【典例】如图，抛物线的对称轴为直线，点和在该抛物线上，点是对称轴上的任意一点，连接和.当的值最小时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：作点B关于对称轴的对称点，连接交y轴于点，则， ∵， ∴是的值最小，点的坐标为此时点P的坐标， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，则，即P点的坐标为. 故选B. 【举一反三1】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【举一反三2】如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 __________ ． 【答案】或 【解析】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 【举一反三3】如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点. (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值. 【答案】解　(1)∵直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴A(-4，0)，B(0，3)， ∵抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点， ∴ ∴ ∴y=-x2-x+3. (2)设D， ∵DC平行于x轴，与直线AB交于点C， ∴令x+3=-m2-m+3， ∴x=-m2-3m， ∴C， ∴DC=-m2-3m-m=-m2-4m=-(m+2)2+4， ∴当m=-2时，DC的长取最大值，最大值为4. 【举一反三4】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3) 连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) 解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． (2) 解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． (3) 解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． 【题型8】二次函数的综合运用-图形面积问题 【典例】某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：S△AEF=AE×AF=x2，S△DEG=DG×DE=×1×（3-x）=， S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S△AEF-S△DEG=9-x2-=-x2+x+， 则y=4×（-x2+x+）=-2x2+2x+30， ∵AE＜AD，∴x＜3， 综上可得y=-2x2+2x+30（0＜x＜3）． 【举一反三1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论： ①b＞0；②a-b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=-1，则b2=4a． 正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0， 又∵对称轴为x=-＞0，∴b＜0， ∴结论①不正确；∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0，∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是2×2=4， ∴结论③正确； ∵=-2，c=-1，∴b2=4a， ∴结论④正确．综上，结论正确的是③④． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是__________． 【答案】2 【解析】解：令x=0，则y=x2-2x-1=-1，∴A（0，-1）， 把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，解得x1=0，x2=2， ∴B（2，-1），∴AB=2， ∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上， ∴△PAB边AB上的高为2，∴S=×2×2=2． 【举一反三3】如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为  __________ ． 【答案】12 【解析】解：如图：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 则，， 所以车棚的面积 ， 所以，当，即，时，车棚的面积最大． 故答案为：12． 【举一反三4】把一根长80cm的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形． (1) 能否使所围的两个正方形的面积和为250 cm2，并说明理由； (2) 能否使所围的两个正方形的面积和为180 cm2，并说明理由； (3) 怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？ 【答案】解： (1) 设其中一个正方形的边长为x cm， 则另一个正方形的边长为（20-x）cm， 由题意得x2+（20-x）2=250，解得x1=5，x2=15， 当x=5时，4x=20，4（20-x）=60， 当x=15时，4x=60，4（20-x）=20， 答：能，长度分别为20 cm与60 cm； (2) x2+（20-x）2=180，整理：x2-20x+110=0， ∵b2-4ac=400-440=-40＜0， ∴此方程无解，即不能围成两个正方形的面积和为180 cm2； (3) 设所围面积和为y cm2， y=x2+（20-x）2=2x2-40x+400 =2（x-10）2+200， 当x=10时，y最小为200.4x=40，4（20-x）=40， 答：分成40 cm与40 cm，使围成两个正方形的面积和最小为200cm． 【题型9】二次函数的综合运用-特殊三角形判定问题 【典例】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，则下列结论正确的是（　　） A．2a-b=0 B．a+b+c＞0 C．3a-c=0 D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形 【答案】D 【解析】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，则-=1， ∴2a+b=0，∴选项A错误； ∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方， ∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0， ∴选项B错误； ∵A点坐标为（-1，0）， ∴a-b+c=0，而b=-2a，∴a+2a+c=0， ∴3a+c=0，∴选项C错误； 当a=，则b=-1，c=-，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图， ∴抛物线的解析式为y=x2-x-，把x=1代入得y=-1-=-2， ∴D点坐标为（1，-2），∴AE=2，BE=2，DE=2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形， ∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确． 【举一反三1】如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为__________． 【答案】（1+，2）或（1-，2） 【解析】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形， ∴点P在线段CD的垂直平分线上， 如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点， ∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C， ∴C（0，3），且D（0，1）， ∴E点坐标为（0，2）， ∴P点纵坐标为2， 在y=-x2+2x+3中，令y=2，可得-x2+2x+3=2，解得x=1±， ∴P点坐标为（1+，2）或（1-，2）. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为 __________ ． 【答案】 【解析】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交与点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； (3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由. 【答案】解　(1)∵点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴A(－2，0). 把点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得 　 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3. (2)设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t， ∴MB＝6－3t. 由题意得，点C的坐标为(0，3). 在Rt△BOC中，BC＝＝5. 如图1，过点N作NH⊥AB于点H， ∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC， ∴即∴HN＝t. ∴S△MBN＝MB·HN＝(6－3t)·t＝－(t－1)2＋. 当△MBN存在时，0<t<2. ∴当t＝1时，S△MBN最大＝. 故运动1秒时△MBN的面积最大，最大面积是. (3)如图2. 在Rt△OBC中， cos∠B＝. 设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t. 当∠MNB＝90°时，cos∠B＝即解得t＝； 当∠BM'N'＝90°时，cos∠B＝解得t＝. 综上，当t＝或t＝时，△MBN为直角三角形. 【题型10】二次函数的综合运用-特殊四边形判定问题 【典例】如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　） A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形 【答案】B 【解析】∵∠ACB=∠EFD=30°， ∴AC∥DF， ∵AC=DF， ∴四边形AFDC是平行四边形， 选项A正确； 当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°， 选项B错误； B、E重合时，易证FA=FD， ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴四边形AFDC是菱形， 选项C正确； 当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°， ∴四边形AFDC不可能是正方形， 选项D正确. 故选：B. 【举一反三1】如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形 C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形 D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形 【答案】D 【解析】连接交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合）， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； 当四边形是菱形时， ， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故不符合题意； 当四边形是正方形时， ， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故不符合题意； 当四边形是矩形时， ， ∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合）， ∴， ∴四边形不是矩形， 故符合题意， 故选：. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=-x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为__________． 【答案】8 【解析】解：抛物线y=-x2+3bx+2b+的对称轴直线x=，则OA=3b， 当x=0时，y=2b+，则OC=2b+，则3b=2b+，解得b=， ∴OA=3b=2，∴2×4=8． 故正方形OABCD的周长为8． 【举一反三3】如图，在△ABC中，F是BC的中点，E是线段AB的延长线上一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接BD，CE. (1)求证：四边形BDCE是平行四边形； (2)若∠ABC＝120°，BC＝4，则在点E的运动过程中， ①当BE＝　　　　时，四边形BDCE是矩形； ②当BE＝　　　　时，四边形BDCE是菱形. 【答案】(1)证明　∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠BEF，∠DCF＝∠EBF. ∵F是BC的中点， ∴CF＝BF. 在△DCF和△EBF中， ∴△DCF△EBF(AAS). ∴CD＝BE. 又CD∥AB，即CD∥BE， ∴四边形BDCE是平行四边形. (2)解　①当四边形BDCE是矩形时，∠CEB＝90°. ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°. ∴∠BCE＝90°－∠CBE＝30°. ∴BE＝BC＝2. ②当四边形BDCE是菱形时，BE＝CE. ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝60°. ∴△CBE是等边三角形. ∴BE＝BC＝4. 【举一反三4】如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3) 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 解：∵抛物线经过坐标轴上三点，∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. (2) 解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． (3) 解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 【题型11】由一般式确定二次函数的解析式 【典例】二次函数图象如图所示，则其解析式是（　　） A．y=-x2+2x+4 B．y=x2+2x+4 C．y=-x2-2x+4 D．y=-x2+2x+3 【答案】A 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，所以B选项错误； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x=-＞0， ∴b＞0，所以C选项错误； ∵抛物线与y轴的交点为（0，4）， ∴c=4，所以D选项错误． 【举一反三1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(1，-1)，(2，-4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线 （      ） A．x=-3 B．x=-1 C．x=1 D．x=3 【答案】D 【解析】二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 把(1，-1)，(2，-4)，(0，4)分别代入表达式，得 a·12+b+c=-1，① a·2×2+2b+c=-4，② c=4，③ 解由①②③组成的方程组，得a=1，b=-6，c=4， 则二次函数的表达式为y=x2-6x+4， 所以它的对称轴是直线x=-=-=3. 【举一反三2】若抛物线过点，则a的值是(    ) A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】A 【举一反三3】如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为__________． 【答案】l=-2m2+8m+12 【解析】把x=m代入抛物线y=-x2+6x中，得AD=-m2+6m把y=-m2+6m代入抛物线y=-x2+6x中，得-m2+6m=-x2+6x，解得x1=m，x2=6-m，∴C的横坐标是6-m，故AB=6-m-m=6-2m，∴矩形的周长是l=2（-m2+6m）+2（6-2m），即l=-2m2+8m+12． 【举一反三4】如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为 __________ ． 【答案】 【解析】解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 【举一反三5】已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象经过点（﹣1，﹣4）、（1，6），求这个二次函数的表达式． 【答案】解：把（﹣1，﹣4）、（1，6）分别代入数y＝ax2+bx﹣2得， 解得， 所以这个二次函数解析式为y＝3x2+5x﹣2． 【举一反三6】设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： （1）求二次函数的表达式． （2）二次函数的对称轴及最值. 【答案】解：（1）把x＝0，y＝﹣3；x＝1，y＝0；x＝2，y＝1代入二次函数y＝ax2+bx+c得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3； （2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y有最大值1， 【题型12】由顶点式确定二次函数的解析式 【典例】已知抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为(-1，2 025)，则该抛物线对应的函数表达式为 A．y=-2(x-1)2+2 025 B．y=2(x-1)2+2 025 C．y=2(x+1)2+2 025 D．y=-2(x+1)2+2 025 【答案】D 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(-1，2 025)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2 025， ∵抛物线y=a(x+1)2+2 025与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a=-2， ∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2+2 025. 【举一反三1】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，则下列选项正确的是 （      ） A．若h＝4，则a<0 B．若h＝5，则a>0 C．若h＝6，则a<0 D．若h＝7，则a>0 【答案】C 【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，代入y＝a(x－h)2＋k，得 ∴a(8－h)2－a(1－h)2＝7， 整理得a(9－2h)＝1， 若h＝4，则a＝1，故A错误； 若h＝5，则a＝－1，故B错误； 若h＝6，则a＝－故C正确； 若h＝7，则a＝－故D错误. 【举一反三2】已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是__________ .（只需写一个） 【答案】y=2x2-1（答案不唯一） 【解析】∵抛物线的顶点坐标为(0，-1)， ∴该抛物线的解析式为y=ax2-1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a>0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1. 【举一反三3】（2015淄博）对于两个二次函数，，满足．当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式__________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 【答案】或（答案不唯一）． 【解析】设，， 由题意得， 解得， ，或，， 当时， ，， 当时， ，， 故答案为：或（答案不唯一）． 【举一反三4】抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点． (1) 写出点A，B的坐标； (2) 求出抛物线的解析式． 【答案】解：(1) 观察图象可知，A（2，﹣4），B（0，4）； (2) ∵A为顶点，A（2，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4， 把B（0，4）代入得，4a﹣4＝4， 解得a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣4． 【举一反三5】如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米．求该抛物线的解析式． 【答案】解：∵AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米． ∴点B的坐标为（6，0）， 根据抛物线的对称性可知：顶点C的坐标为（3，6）， 设这个抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+6， 将点（6，0）代入y＝a（x﹣3）2+6，得：0＝a（6﹣3）2+6，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 【题型13】由交点式确定二次函数的解析式 【典例】若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（　　） A．y=x2+1 B．y=x2-1 C．y=-x2+1 D．y=-x2-1 【答案】C 【解析】设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1）， 把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，解得a=-1， 所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-1），即y=-x2+1． 【举一反三1】已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（　　） A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-3 【答案】A 【解析】解：由图知：抛物线经过点（-1，0），（3，0），（0，3）； 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则有 a（0+1）（0-3）=3，a=-1； 即y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3． 【举一反三2】如图，已知四个点A(0，1)，B(2，1)，C(4，1)，D(3，0)，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图像，并得到对应的函数表达式y=ax2+bx+c(a≠0). (1)对应的函数表达式有__________ 个； (2)所有函数表达式中a+b+c的最大值是__________ . 【答案】3　； 4 【解析】(1)①A(0，1)，B(2，1)，D(3，0)， 设y=ax(x-2)+1， 将D(3，0)代入，得0=3a+1， ∴a=-， ∴y=-x(x-2)+1=-x2+x+1； ②A(0，1)，C(4，1)，D(3，0)， 设y=ax(x-4)+1， 将D(3，0)代入，得0=3a(-1)+1， ∴a=， ∴y=x(x-4)+1=x2-x+1； ③B(2，1)，C(4，1)，D(3，0)， 设y=a(x-2)(x-4)+1， 将D(3，0)代入，得0=-a+1， ∴a=1， ∴y=(x-2)(x-4)+1=x2-6x+9， 综上所述，对应的函数表达式有3个. (2)①y=-x2+x+1， ∴a+b+c=； ②y=x2-x+1， ∴a+b+c=0； ③y=x2-6x+9， ∴a+b+c=4， 综上所述，a+b+c的最大值为4. 【举一反三3】已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是 __________ ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 【举一反三4】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． (1) 求二次函数的解析式； (2) 如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； (3) 在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) 把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； (2) 连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小． 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y=-x+3， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴是直线x=1． 当x=1时，y=-1+3=2， ∴P（1，2）； (3) 设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB =×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3 =-m2+m =-（m-）2+， ∴当m═时，S最大，此时Q（，）． 【举一反三5】用待定系数求满足下列条件的二次函数表达式． （1）图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且经过点C（1，4）． （2）图象经过点A（1，1），B（-1，4），C（3，0）； （3）当x=1时，有最大值-6，且图象经过点（2，-8）； 【答案】解： （1）∵图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0） ∴设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 将点（1，4）代入得4=a（1+1）（1-3）， 解得a=-1， ∴二次函数的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3． （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, ∵图象经过点A（1，1），B（-1，4），C（3，0）； ∴， 解得． ∴二次函数表达式为y=x2-x+； （3）∵当x=1时，有最大值-6， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-6）， ∴设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-6， 把点（2，-8）代入代入得，-8=a（2-1）2-6， 解得a=-2， ∴二次函数的解析式为y=-2（x-1）2-6； 学科网（北京）股份有限公司 $