周周练07 26.2.3y=ax²+bx+c的图象和性质（数学新教材人教版九年级上册）

**基本信息** 聚焦二次函数图象性质，基础巩固与综合应用梯度清晰，融入生活情境与动态探究，适配周测精准巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|开口方向、对称轴、交点坐标|第7题以墙绘抛物线图案为情境，考查对称轴应用，体现几何直观| |填空题|6/18|解析式确定、函数值范围|第16题结合直线与抛物线顶点，培养模型意识| |解答题|8/62|配方、平移、动态几何|第24题动点对称问题，综合考查推理能力与运算能力，贴合中考命题趋势|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 26.2.3y=ax²+bx+c的图象和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 2．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．其图象的对称轴为过且平行于轴的直线. B．其最小值为1. C．其图象与轴没有交点. D．当时，随的增大而增大. 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0） 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．关于x的二次函数的图像过原点，则a的值为_____． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 13．已知点和是抛物线上的两个不同点，则_______． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 18．已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： … 0 1 2 3 … … ______ 2 ______ 2 －1 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． ③当______时，有最大值为______． 交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 26.2.3y=ax²+bx+c的图象和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 2．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．其图象的对称轴为过且平行于轴的直线. B．其最小值为1. C．其图象与轴没有交点. D．当时，随的增大而增大. 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0） 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．关于x的二次函数的图像过原点，则a的值为_____． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 13．已知点和是抛物线上的两个不同点，则_______． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 18．已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： … 0 1 2 3 … … ______ 2 ______ 2 －1 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． ③当______时，有最大值为______． 19．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 20．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 21．已知二次函数的图像与x轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)若，求的值． (2)点，，是二次函数图像上三个不同的点． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 23．已知二次函数． (1)如果直线经过二次函数图象的顶点，求此时的值； (2)随着的变化，该二次函数图象的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)将该二次函数以为对称轴翻折后的图象过点（a未知，b为常数），求原函数与轴的交点纵坐标． 24．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上不与点，，重合的一个动点，过点作轴，垂足为，连接． ①如图，若点在第一象限，且，求点的坐标； ②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 26.2.3y=ax²+bx+c的图象和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 2．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．其图象的对称轴为过且平行于轴的直线. B．其最小值为1. C．其图象与轴没有交点. D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C项，进而可得答案. 【详解】解：，所以抛物线的对称轴是直线：x=3，顶点坐标是（3，1）； A、其图象的对称轴为过且平行于轴的直线，说法正确，本选项不符合题意； B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意； C、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意； D、当时，随的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象知抛物线的对称轴为直线，设抛物线解析式为，将、代入，得，解得，则抛物线解析式为． 4．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0） 【答案】B 【分析】由抛物线的对称性求解即可． 【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），对称轴是直线， ∴，解得x=,6， ∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 8．二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键； 根据抛物线的开口方向可知，由对称轴可得，，由抛物线交轴负半轴可知，其次又有时、时、时，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ；所以①正确； ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ， ； ∵抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以②正确； 时，， ，所以③正确； ， ，所以④错误； 时，， ， 把代入得， ，所以⑤错误， 综上所处正确结论的个数是3个； 故答案为：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线对称轴为直线，易得，则，进而求出，用待定系数法求出直线的表达式为， 则，把代入，即可求出a的值． 【详解】解：∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点A和点M关于直线对称， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入的：， ∴， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．关于x的二次函数的图像过原点，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的定义，掌握二次函数图像上的点满足函数关系式是解题关键． 根据二次函数图像过原点，即当时，，代入函数解析式求解a的值，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）进行验证． 【详解】解：∵二次函数的图像过原点， ∴当时，，即， 解得或， 又∵函数为二次函数，∴，即， ∴． 故答案为：1． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 13．已知点和是抛物线上的两个不同点，则_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，由点P和点Q的纵坐标相同，且均在抛物线上，则横坐标a和b是关于对称轴对称，然后根据对称轴求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为∶， ∵由点P和点Q的纵坐标相同，且均在抛物线上， ∴点P和点Q关于对称轴， ∴，解得：． 故答案为4． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】求出直线l的解析式，得到，设抛物线解析式为，把代入得，，，当时，，矛盾；当时，，根据抛物线开口向上，得，得，得，故m的取值范围是且． 【详解】解：∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵以为顶点的抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， 把代入。得， ∴， 当时，， 矛盾； 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故m的取值范围是且． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据配方法即可得解； （2）根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的解析式为。 【点睛】本题主要考查二次函数的平移与二次函数顶点式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．熟知二次函数图象平移时，上加下减，左加右减．即上下平移时，纵坐标加减，左右平移时，横坐标加减． 18．已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： … 0 1 2 3 … … ______ 2 ______ 2 －1 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． ③当______时，有最大值为______． 【答案】(1)，3 (2) 画出二次函数的图象如下： (3)①减小②③1，3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，正确画出函数图象是解题的关键． （1）分别求出当，时对应的值，即可补全表格； （2）描点，连线画出二次函数图象即可； （3）①观察二次函数的图象，当时，随的增大而减小；②观察二次函数的图象，找到范围内的函数最大值和最小值即可；③找到二次函数图象的顶点坐标即可． 【详解】（1）解：分别求出当，，时对应的值可得： 当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． 故答案为：，3； （2）略 （3）解：①观察图象可知，当时，随的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； ③观察图象可知，当时，取最大值3． 故答案为：1，3． 19．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 20．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 21．已知二次函数的图像与x轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)若，求的值． (2)点，，是二次函数图像上三个不同的点． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①．② 【分析】（1）令，求出，两点的坐标，根据，再求出点的坐标代入函数解析式，即可求出的值； （2）①根据题意先求出抛物线的对称轴，点，关于直线对称，即可求出的值；②先求出的对称点，结合图像得出点在对称轴右侧，根据增减性得出，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：令，解得，， 又点在点的左边， 点，点， ，且， 点的坐标为， 当时，，解得． （2）①由题意，可知抛物线的对称轴为直线， ， 点，关于直线对称， ，解得， ②点关于对称轴直线对称的点为， 结合函数图像， ， ， ，且， 点在对称轴右侧， 又，且在对称轴右侧，随的增大而增大， ，即， 综上所述，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，与坐标轴的交点，对称性及增减性，求出对称轴，灵活利用二次函数图像的对称性求解是解答本题的关键． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 23．已知二次函数． (1)如果直线经过二次函数图象的顶点，求此时的值； (2)随着的变化，该二次函数图象的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)将该二次函数以为对称轴翻折后的图象过点（a未知，b为常数），求原函数与轴的交点纵坐标． 【答案】(1)或2； (2)顶点是在抛物线的图象上 (3)原函数与轴的交点纵坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把一般式化为顶点式，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把化为，则．再把代入，进行计算即可作答； （2）根据顶点的坐标为，可设，故，得出，据此即可作答； （3）先根据原抛物线以为对称轴翻折后的图象过点，可得点关于的对称点在原抛物线上，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：， 点． 又点在直线的图象上， ， 解得或2； （2）解：顶点是在抛物线的图象上．理由如下： 顶点的坐标为， 可设， 故， ， 二次函数图象的顶点是在抛物线的图象上； （3）解：∵原抛物线以为对称轴翻折后的图象过点， ∴点关于的对称点在原抛物线上， ∴把代入得， ， 整理得， 解得， ∴原函数与轴的交点纵坐标为． 24．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上不与点，，重合的一个动点，过点作轴，垂足为，连接． ①如图，若点在第一象限，且，求点的坐标； ②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①过点作轴交于点，由题意可得，从而得到方程，求出即可求点，； ②设，，求出直线的解析式可知，然后可求出点，然后可分类求解即可 【详解】（1）解：将点和点代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①当时，， ∴ 设， ∵点在第一象限， ∴， 过点作轴交于点， ∵， ∴， ∴ 解得（舍）或， ∴； ②设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当在轴正半轴上时，， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点为在直线上， ∴， 解得， ∴ ∴ 当在轴负半轴上时，， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点为在直线上， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴综上所述：的长为或    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测07 26.2.3y=ax²+bx+c的图象和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 2．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．其图象的对称轴为过且平行于轴的直线. B．其最小值为1. C．其图象与轴没有交点. D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C项，进而可得答案. 【详解】解：，所以抛物线的对称轴是直线：x=3，顶点坐标是（3，1）； A、其图象的对称轴为过且平行于轴的直线，说法正确，本选项不符合题意； B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意； C、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意； D、当时，随的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象知抛物线的对称轴为直线，设抛物线解析式为，将、代入，得，解得，则抛物线解析式为． 4．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0） 【答案】B 【分析】由抛物线的对称性求解即可． 【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），对称轴是直线， ∴，解得x=,6， ∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 7．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 8．二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键； 根据抛物线的开口方向可知，由对称轴可得，，由抛物线交轴负半轴可知，其次又有时、时、时，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ；所以①正确； ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ， ； ∵抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以②正确； 时，， ，所以③正确； ， ，所以④错误； 时，， ， 把代入得， ，所以⑤错误， 综上所处正确结论的个数是3个； 故答案为：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线．交直线于点，且为线段的中点，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线对称轴为直线，易得，则，进而求出，用待定系数法求出直线的表达式为， 则，把代入，即可求出a的值． 【详解】解：∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点A和点M关于直线对称， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入的：， ∴， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．关于x的二次函数的图像过原点，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的定义，掌握二次函数图像上的点满足函数关系式是解题关键． 根据二次函数图像过原点，即当时，，代入函数解析式求解a的值，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）进行验证． 【详解】解：∵二次函数的图像过原点， ∴当时，，即， 解得或， 又∵函数为二次函数，∴，即， ∴． 故答案为：1． 12．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 13．已知点和是抛物线上的两个不同点，则_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，由点P和点Q的纵坐标相同，且均在抛物线上，则横坐标a和b是关于对称轴对称，然后根据对称轴求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为∶， ∵由点P和点Q的纵坐标相同，且均在抛物线上， ∴点P和点Q关于对称轴， ∴，解得：． 故答案为4． 14．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 15．若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 16．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】求出直线l的解析式，得到，设抛物线解析式为，把代入得，，，当时，，矛盾；当时，，根据抛物线开口向上，得，得，得，故m的取值范围是且． 【详解】解：∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵以为顶点的抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， 把代入。得， ∴， 当时，， 矛盾； 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故m的取值范围是且． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据配方法即可得解； （2）根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后所得抛物线的解析式为。 【点睛】本题主要考查二次函数的平移与二次函数顶点式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．熟知二次函数图象平移时，上加下减，左加右减．即上下平移时，纵坐标加减，左右平移时，横坐标加减． 18．已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： … 0 1 2 3 … … ______ 2 ______ 2 －1 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． ③当______时，有最大值为______． 【答案】(1)，3 (2) 画出二次函数的图象如下： (3)①减小②③1，3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，正确画出函数图象是解题的关键． （1）分别求出当，时对应的值，即可补全表格； （2）描点，连线画出二次函数图象即可； （3）①观察二次函数的图象，当时，随的增大而减小；②观察二次函数的图象，找到范围内的函数最大值和最小值即可；③找到二次函数图象的顶点坐标即可． 【详解】（1）解：分别求出当，，时对应的值可得： 当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． 故答案为：，3； （2）略 （3）解：①观察图象可知，当时，随的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； ③观察图象可知，当时，取最大值3． 故答案为：1，3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $