25.3 实际问题与一元二次方程 题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 题型专练 【题型1】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】某服装店将进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8 700元，设定价为x元/件，则可列方程为(　　) A．300(x-30)=8 700 B．x(x-50)=8 700 C．(x-30)(300-x)=8 700 D．(x-30)[300-(x-50)]=8 700 【举一反三1】随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 __________． 【举一反三2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂以25元/件的价格购进某款冰墩墩钥匙扣，如果按照37元/件销售，平均每天可售4件.冬奥会临近结束时，网店打算把该款钥匙扣降价销售，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使该款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【举一反三3】冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． (1) 求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； (2) 经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【题型2】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【举一反三1】2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为元/个，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】某商店代销一批季节性服装，每套代销成本为40元，预计第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套.应市场变化调整第一个月的销售定价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套，销售定价每减少1元，销售量将增加10套.若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月的销售定价为每套__________元. 【举一反三3】山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为 __________ 元． 【举一反三4】某校八年级开展社会实践活动,下表是“遇数临风”小组的记录表,请根据相关信息解决表中的两个问题。 ××学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 ××××.×.×× 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情,帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠。 调研信息 青菜的进价为2元/千克。 青菜的售价为2.5元/千克时,每天可销售125千克。 每千克每涨价0.1元,每天少销售5千克。 解决问题 问题1 (1)某天超市正好销售105千克的青菜,则获利多少元? 问题2 (2)若超市想一天销售青菜获利100元,同时要为顾客谋实惠,则青菜的售价应为每千克多少元? 【举一反三5】某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： (1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【题型3】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（　　）人． A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三1】初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为__________． 【举一反三2】2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【题型4】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ） A．36 B．26 C．24 D．10 【举一反三3】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 __________． 【举一反三4】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了__________秒． 【举一反三5】随着科技进步，网上购物已成为中国人日常生活的一部分，根据中国国家邮政局2025年5月22日发布的《2024年邮政行业发展统计公报》，2024年中国日均快递量达到近4．8亿件．某快递公司为提高工作效率，拟购买A，两种型号智能机器人进行快递分拣．已知每台A型智能机器人单价为20万元，每天可分拣快递5万件；每台型智能机器人单价为15万元，每天可分拣快递4万件． (1)该快递公司拟用不超过180万元资金购买10台A，两种型号的智能机器人，其中A型智能机器人最多可以购买多少台？ (2)随着业务量的大幅增加，公司请厂家对A，两种型号的智能机器人进行了系统升级，升级后的每台A型智能机器人每天可以多分拣万件快递，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递，在（1）中购买A型智能机器人最多的条件下，公司又重新增购了台型智能机器人，这样该公司一天可以完成105万件的快递分拣量，求的值． 【题型5】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9 cm2时，则点P运动的时间是 A．3 s B．3 s或5 s C．4 s D．5 s 【举一反三1】如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（  ） A．40 B．48 C．52 D．56 【举一反三2】如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为__________cm. 【举一反三3】如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最大数为__________． 【举一反三4】某校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 【题型6】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三1】如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动.设动点运动时间为，当时，则的值为__________. 【举一反三2】如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是__________s． 【举一反三3】如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1) 经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2) 连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【题型7】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少（丈尺，尺寸）？若设门的宽为寸，则所列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？(备注：1丈＝10尺)．设芦苇长为x尺，水的深度为y尺，则可列方程为(  ) A．x2+102＝(x+1)2 B．(x﹣1)2+52＝x2 C．y2+52＝(y﹣1)2 D．y2+102＝(x+1)2 【举一反三2】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔步，根据题意可列方程为 __________ . 【举一反三3】《九章算术》中提出了如下问题:“今有户不知高、广,竿不知长、短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、邪各几何?”这段话的意思如下:现在有一扇门,不知道它的高和宽;有一根竹竿,不知道它的长短,将竹竿横着放,比门宽长出4尺;将竹竿竖着放,比门高长出2尺;将竹竿斜着放,与门对角线恰好长度相等。问这扇门的高、宽和对角线长各是多少?若设竿长为x尺,则x=__________。 【举一反三4】印度古算书中有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是，那么猴子总数是多少？ 【举一反三5】古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1) 若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2) 请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 人教版（2024）九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 题型专练（参考答案） 【题型1】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】某服装店将进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8 700元，设定价为x元/件，则可列方程为(　　) A．300(x-30)=8 700 B．x(x-50)=8 700 C．(x-30)(300-x)=8 700 D．(x-30)[300-(x-50)]=8 700 【答案】D 【解析】当定价为x元/件时，每件的销售利润为(x-30)元，月销售量为件， 根据题意得(x-30)[300-(x-50)]=8 700. 【举一反三1】随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 __________． 【答案】10%． 【解析】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x， 根据题意得：40（1+x）2＝48.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 【举一反三2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂以25元/件的价格购进某款冰墩墩钥匙扣，如果按照37元/件销售，平均每天可售4件.冬奥会临近结束时，网店打算把该款钥匙扣降价销售，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使该款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】解　设该款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a-25)元， 平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件， 依题意，得(a-25)(78-2a)=90，整理，得a2-64a+1 020=0， 解得a1=30，a2=34. 即将销售价定为每件30元或34元时，才能使该款钥匙扣平均每天销售利润为90元. 【举一反三3】冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． (1) 求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； (2) 经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】解： (1) 设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%． (2) 设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为 400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 【题型2】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【答案】A 【解析】设每件商品降价元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：A． 【举一反三1】2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为元/个，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：． 故选：B． 【举一反三2】某商店代销一批季节性服装，每套代销成本为40元，预计第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套.应市场变化调整第一个月的销售定价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套，销售定价每减少1元，销售量将增加10套.若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月的销售定价为每套__________元. 【答案】50或60 【解析】设第二个月的定价应减少元，则每件利润为元，销售量为件. 根据题意，得. 解方程，得. 当时，定价为(元)； 当时，定价为(元).均符合题意. 即每套定价应为50元或60元. 【举一反三3】山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为 __________ 元． 【答案】60或80 【解析】每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 【举一反三4】某校八年级开展社会实践活动,下表是“遇数临风”小组的记录表,请根据相关信息解决表中的两个问题。 ××学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 ××××.×.×× 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情,帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠。 调研信息 青菜的进价为2元/千克。 青菜的售价为2.5元/千克时,每天可销售125千克。 每千克每涨价0.1元,每天少销售5千克。 解决问题 问题1 (1)某天超市正好销售105千克的青菜,则获利多少元? 问题2 (2)若超市想一天销售青菜获利100元,同时要为顾客谋实惠,则青菜的售价应为每千克多少元? 【答案】解:(1)设售价为x元/千克,由题意,得 125-5×=105, 解得x=2.9, 则获利(2.9-2)×105=94.5(元)。 答:获利94.5元。 (2)设青菜的售价为y元/千克,由题意,得 (y-2)(125-5×)=100, (y-2)(250-50y)=100, y2-7y+12=0, (y-3)(y-4)=0, ∴y1=3,y2=4。 ∵要为顾客谋实惠, ∴y2=4舍去。 答:青菜的售价应为3元/千克。 【举一反三5】某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： (1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】解： (1) 设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； (2) 根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 【题型3】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（　　）人． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解：设该小组共有x人，则每人需写（x-1）份祝福语， 根据题意得x（x-1）=56， x1=-7（不符合题意），x2=8． 答：该小组共有8人． 故选：D． 【举一反三1】初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】x（x-1）=1892． 【解析】解：根据题意得， x（x-1）=1892， 故答案为：x（x-1）=1892． 【举一反三2】2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】解：设一共有x个球队参赛， 根据题意得：＝66， 整理得：x2-x-132=0， 解得：x1=12，x2=-11（不符合题意，舍去）， 答：一共有12个球队参赛． 【题型4】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【举一反三1】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设平均每月的增长率为.∵一月底价格为元/升，∴二月底价格为 元/升， ∴三月底价格为，又∵三月底价格为元/升，∴可得方程 【举一反三2】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【解析】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【举一反三3】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 __________． 【答案】 【解析】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【举一反三4】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了__________秒． 【答案】 【解析】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【举一反三5】随着科技进步，网上购物已成为中国人日常生活的一部分，根据中国国家邮政局2025年5月22日发布的《2024年邮政行业发展统计公报》，2024年中国日均快递量达到近4．8亿件．某快递公司为提高工作效率，拟购买A，两种型号智能机器人进行快递分拣．已知每台A型智能机器人单价为20万元，每天可分拣快递5万件；每台型智能机器人单价为15万元，每天可分拣快递4万件． (1)该快递公司拟用不超过180万元资金购买10台A，两种型号的智能机器人，其中A型智能机器人最多可以购买多少台？ (2)随着业务量的大幅增加，公司请厂家对A，两种型号的智能机器人进行了系统升级，升级后的每台A型智能机器人每天可以多分拣万件快递，升级后的每台型智能机器人每天可以多分拣万件快递，在（1）中购买A型智能机器人最多的条件下，公司又重新增购了台型智能机器人，这样该公司一天可以完成105万件的快递分拣量，求的值． 【解析】解 （1）设A型智能机器人购买x台，根据题意得 【题型5】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9 cm2时，则点P运动的时间是 A．3 s B．3 s或5 s C．4 s D．5 s 【答案】A 【举一反三1】如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（  ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【解析】设最小数为x，则另外三个数为x+1，x+7，x+8， 根据题意可列方程x(x+8)＝153， 解得x1＝9，x2＝﹣17（不符合题意，舍去）， 所以 x＝9，x+1＝10，x+7＝16，x+8＝17， 所以 四个数分别为9，10，16，17． 因为 9+10+16+17＝52， 所以 四个数的和为52． 故选：C． 【举一反三2】如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为__________cm. 【答案】2 【举一反三3】如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最大数为__________． 【答案】 【解析】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 故答案为： 【举一反三4】某校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 【答案】解：设道路的宽为xm，依题意有 （32﹣x）（20﹣x）＝540， 整理，得x2﹣52x+100＝0． ∴（x﹣50）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去） 答：小道的宽应是2m． 【题型6】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：由题意得：（16﹣2t）（12﹣2t）＝××16×12， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t＝2或t＝12， 当t＝2时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意； 当t＝12时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去； ∴t＝2， 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动.设动点运动时间为，当时，则的值为__________. 【答案】10 【解析】当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为. 故答案为：. 【举一反三2】如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是__________s． 【答案】 【解析】解：， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， 故答案为： 【举一反三3】如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1) 经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2) 连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； (2) 假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 【题型7】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少（丈尺，尺寸）？若设门的宽为寸，则所列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【举一反三1】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？(备注：1丈＝10尺)．设芦苇长为x尺，水的深度为y尺，则可列方程为(  ) A．x2+102＝(x+1)2 B．(x﹣1)2+52＝x2 C．y2+52＝(y﹣1)2 D．y2+102＝(x+1)2 【答案】B 【解析】∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，芦苇长x尺，水的深度为y尺，∴y＝x﹣1． 根据题意得y2+()2＝x2，即(x﹣1)2+52＝x2或y2+52＝(y+1)2． 故选：B. 【举一反三2】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔步，根据题意可列方程为 __________ . 【答案】 【解析】设矩形的阔为步， 则矩形的长为步， 由题意得，. 【举一反三3】《九章算术》中提出了如下问题:“今有户不知高、广,竿不知长、短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、邪各几何?”这段话的意思如下:现在有一扇门,不知道它的高和宽;有一根竹竿,不知道它的长短,将竹竿横着放,比门宽长出4尺;将竹竿竖着放,比门高长出2尺;将竹竿斜着放,与门对角线恰好长度相等。问这扇门的高、宽和对角线长各是多少?若设竿长为x尺,则x=__________。 【答案】10 【解析】由勾股定理得(x-2)2+(x-4)2=x2, ∴x2-12x+20=0,解得x1=2(舍去),x2=10。 【举一反三4】印度古算书中有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是，那么猴子总数是多少？ 【答案】解：设猴子总数为只， 根据题意得：， 解得：，， 答：猴子总数为只或只. 【举一反三5】古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1) 若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2) 请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】(1) 解：∵ ，， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； (2) 解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 不足之处：图解法不能表示方程的负根． 学科网（北京）股份有限公司 $