25.3实际问题与一元二次方程--五种高频题型 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用的五种常考题型，通过“要点总结+分层习题”构建从模型抽象到实际应用的完整方法体系，培养数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平均变化率问题|4题|增长率a(1+x)ⁿ=b、下降率a(1-x)ⁿ=b|从实际增长/下降情境抽象出指数模型，明确前期值、变化率、次数关系| |循环问题|4题|双循环x(x-1)=m、单循环x(x-1)/2=m|区分单双循环情境，建立人数与总次数的数量关系| |传播问题|4题|含首轮传播1+x+x(1+x)=m、不含首轮1+x+x²=m|根据传播过程判断是否包含初始传播者，构建累计传播模型| |销售利润问题|5题|总利润=(售价-进价)×销售量，结合舍根条件|梳理售价、销量、利润的关系，强化实际意义下的方程解取舍| |几何图形问题|7题|面积公式、动点坐标关系，综合几何性质|从图形变换（剪拼、动点）中提取等量关系，建立方程解决面积与距离问题|

25.3实际问题与一元二次方程常考五种题型 题型一：平均变化率问题 【要点总结】 利用一元二次方程解决平均变化率问题，需要梳理前期数值，现期数值，增长率或下降率，增长次数或者下降次数，列一元二次方程时常见为增长或下降两次。 （1）增长率问题：a（1+x）n=b，a为前期数值，b为增长后的现期数值，x为增长率，n为增长次数； （2）下降率问题：a（1－x）n=b，a为前期数值，b为下降后的现期数值，x为下降率，n为下降次数； 【习题解析】 1-1、某市从2024年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2024年旅游收入约为2亿元．预计2026年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　） A．2（1+x）2＝2.88 B．2x2＝2.88 C．2（1+x%）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88 1-2、某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同． （1）第一季度平均每月的增长率； （2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？ 1-3、某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产． （1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？ （2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值． 1-4、某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？ 题型二：循环问题（握手问题） 【要点总结】 循环问题主要分为单循环问题和双循环问题，握手问题为单循环问题。 （1）双循环问题：x（x-1）=m，x为人数或比赛球队数，m为握手总次数或比赛总场次； （2）单循环问题：x（x-1）=m，x为人数或比赛球队数，m为握手总次数或比赛总场次； 【习题解析】 2-1、2025-2026赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 . 2-2、在展销活动现场，主持人邀请了几位顾客参与活动，参与活动的顾客每两人之间都握手一次，共握手15次，求邀请参与活动的顾客人数. 2-3、小川家春节期间团员相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，如他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？ 2-4、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 题型三：传播问题 【要点总结】 一元二次方程解决传播问题，需要判断第一个人有没有在第二轮中传播。 （1）在第二轮中传播：1+x+x（1+x）=m，x为在每一轮中传播的人数或次数，m为总人数或次数； （2）不在第二轮中传播：1+x+x·x=m，x为在每一轮中传播的人数或次数，m为总人数或次数； 【习题解析】 3-1、“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染， （1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？ 3-2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 3-3、有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，行将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人同样参与了活动并按规定“@”其他人，切从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动，设参与活动后规定“@”x人，则可以列出方程为： . 3-4、超市为了加快此商品活动的传播速度，制定了一个方案：让2-2题中参与活动的顾客，每人将活动信息转发给n个微博好友，可以免费获得商品一件；收到微博的人再转发给n个微博好友同样可以免费获得一件此商品，依此类推. （1）超市计划经过2轮微博转发后的传播范围超过1200人，求n的最小值； （2）在（1）的条件下，经过3轮微博转发后，共有多少人通过微博转发知晓了此商品活动？（不包括现场参与活动的顾客） 题型四：销售利润问题 【要点总结】 一元二次方程解决销售利润问题的易错点：①如何利用未知数表示销售量，②解方程后通过未知数的取值范围舍根，③利用题目中的限定条件（如“让消费者获得最大利益”“最大限度减少库存”等）舍根。此外，还需要熟练掌握相关数量关系： 1.单位利润=单位售价－单位进价（或单位成本）； 2.总利润=总售价－总进价；（总售价=单位售价×销售量，总进价=单位进价×销售量） =单位利润×销售量； =（单位售价-单位进价）×销售量； 【习题解析】 4-1、某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 4-2、商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　 　件，每件商品，盈利　 　元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 4-3、为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准： （1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元； （2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？ 4-4、某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个． （1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？ （2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？ （3）在的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由． 4-5、某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 题型五：几何图形问题 【要点总结】 几何图形问题主要包括几何图形面积问题和动点问题，此种题型需要结合结合图形相关知识点，综合性较强。 【习题解析】 5-1、一张长为30 cm，宽20 cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 5-2、2025年12月，西部某城市高铁站即将开通运营．建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分）． （1）若他们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？ （2）为使修建两块相同的矩形绿地更美一点，设计部门打算修建的两块相同的矩形绿地与原矩形空地相似，两块绿地之间及周边仍然留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度应改为多少米？ 5-3、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm． 5-4、某大型工程需要绿化的面积为52000米2，施工队在绿化了28000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？ （2）该项绿化工程中，如图有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米2，求此时花圃的长和宽． 5-5、如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 5-6、某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 5-7、如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程常考五种题型（答案解析） 题型一：平均变化率问题 1-1、解：设该市旅游收入的年平均增长率为x， 根据题意得：2（1+x）2＝2.88． 故选：A． 1-2、解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x， 根据题意得：500（1+x）2＝720， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：第一季度平均每月的增长率为20%． （2）720×（1+20%）2＝1036.8（t）， ∵1036.8＞1000， ∴该厂今年5月份总产量能突破1000t． 1-3、解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克．根据题意，得 400－x≤7x. 解得x≥50. 答：该果农今年收获樱桃至少50千克． (2)由题意，得100(1－m%)×30＋200(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20. 令m%＝y，原方程可化为3 000(1－y)＋4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000. 整理，得8y2－y＝0. 解得y1＝0，y2＝0.125. ∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5. 答：m的值为12.5. 1-4、解：（1）设每次下降的百分率为x， 依题意，得：2500（1﹣x）2＝1600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为20%． （2）1600×（1﹣20%）＝1280（元）． 答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元． 题型二：循环问题 2-1、解：设参赛队伍有x支，则 x（x﹣1）＝380． 故答案为：x（x﹣1）＝380． 2-2、解：设邀请参与活动的人数为x，由题意得： x（x-1）=15，解得x1=-5（舍去），x2=6，所以x=6， 答：邀请参与活动的人数为6人. 2-3、解：设小川及兄弟姐妹一共x人，由题意得 x（x-1）=90，解得x1=﹣9（舍去），x2=10，所以x=10， 答：小川及兄弟姐妹一共10人。 2-4、解：设这家航空公司共有x个飞机场，由题意得 x（x-1）=10，解得：x1=5，x2=-4（舍去），所以x=5， 答：这家航空公司共有5个飞机场。 题型三：传播问题 3-1、解： （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： （x+1）2=121 解得：x1=10，x2=﹣12（不合题意，应舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人． （2）当x=10时，（x+1）3=（10+1）3=1331． 答：经过三轮后将有1331人受到感染． 3-2、解：设每个支干长出x个小分支，则x2+x+1=91,解得x1=9, x2=-10（舍）. 答：每个支干长出9个小分支. 3-3、解：由题意可得1+x+x2=91，故答案为：1+x+x2=91. 3-4、（1）根据题意得6+6n+6n2=1200， 解得n1=，n2=（舍去） 因为n为正整数且1314，所以n=14 （2）由题意可知，经过3轮微博转发后，共有6=17724人通过微博知晓了此商品活动. 题型四：销售利润问题 4-1、解：（1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：（x﹣4）（x﹣36）＝0， 解得：x＝4或x＝36， 则应降价4元或36元． 4-2、解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元． （2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；（50﹣x）． （3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 4-3、解：∵100×30＝3000＜3150， ∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]＝3150， 解得x1＝35，x2＝45， 当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意； 当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去． 答：共有35名同学参加了研学游活动． 4-4、解：（1）由题意得：元， 则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元； （2）设每个学习机应降价x元， 由题意得：， 解得：或， 由题意尽可能让利于顾客，舍去，即， 则每个学习机应降价60元； （3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元， 根据题意得：， 方程整理得：， 解得：， 则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元． 4-5、解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b. 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得 ，∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）. （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得 (x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150. 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． （3）由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200. ∵售价不低于20元且不高于28元， 当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 题型五：几何图形问题 5-1、解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm.由题意，得 (30－2x)(20－2x)＝264. 整理，得x2－25x＋84＝0. 解得x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去)． 答：剪掉的正方形的边长为4 cm. 5-2、解：（1）设人行道的宽度为a米，根据题意得， （20﹣3a）（8﹣2a）＝56， 解得：a＝2或a（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米； （2）设人行通道的宽度应改为x米， 根据题意得，， 解得：x， 答：人行通道的宽度应改为米． 5-3、解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm， 根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33， 解之得x=5， （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm， 作QE⊥AB，垂足为E， 则QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t， ∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|， 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102， 解得t1=4.8，t2=1.6． 答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm． 5-4、解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2， 根据题意得：4， 解得：x＝2000， 经检验，x＝2000是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设花圃的宽度为x米，则BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x， 根据题意，得（24﹣3x）x＝45， 解得：x1＝3，x2＝5． ∵当x＝3时，24﹣3x＝15＞14， ∴不符合题意，舍去． ∴宽为5米，长为9米． 答：花圃的长为9米，宽为5米． 5-5、解：六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570， 故选A. 5-6、解：（1）∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x， ∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2m； ； （2）设矩形养殖场的总面积为S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， ∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜， ∵-3<0， ∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x=时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2． 5-7、解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是2cm/s， 当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm， ∴AP＝4cm，AQ＝4cm， ∴S△APQ4×4＝8． （2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 根据题意得：S△ABC12×8＝24cm2， 当0＜t＜6 时如图1： S△APQ（12﹣2t）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14x+24＝0， 解得t＝12（舍去）或t＝2． 当6＜t＜8 时如图2： S△APQ（2t﹣12）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14x+72＝0， △＜0，无解． 当t＞8时如图3： S△APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12或t＝2（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 1 学科网（北京）股份有限公司 $