第06讲 有理数的乘除运算（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负及绝对值相乘）、运算律（交换律、结合律、分配律）和除法法则（除以非零数等于乘其倒数），通过13个递进题型（从基础运算到实际应用、数轴结合）搭建学习支架。 资料亮点在于探究式学习（如规律观察、新定义运算）培养抽象能力与创新意识，实际应用题型（如低碳生活统计、漏水问题）提升运算能力与推理意识，课中辅助分层教学，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 第06讲 有理数的乘除运算 （新教材北师大版） 知识点一：有理数的乘法运算 2 知识点二：有理数的除法运算 2 【题型1 两个有理数的乘法运算】 3 【题型2 多个有理数的乘法运算】 3 【题型3 有理数乘法的实际应用】 4 【题型4 倒数】 5 【题型5 有理数乘法运算律】 5 【题型6 有理数的除法运算】 5 【题型7 有理数除法的应用】 6 【题型8 有理数乘除混合运算】 7 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 7 【题型10 有理数四则混合运算】 9 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 9 【题型12 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 10 【题型13 数轴上的翻折】 10 【探究式学习】 12 【课后检测】 15 【复盘笔记】 19 知识点一：有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 【例】 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 【例】 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【例】的结果为负数 的结果为0 知识点二：有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【例】 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【变式1-3】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】秒是多长时间？（   ） A．30天 B．40天 C．4周 D．5周 E．6周 【变式2-1】在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-3】如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【题型3 有理数乘法的实际应用】 【例3】已知1滴水约0.05毫升，一个水龙头1小时漏水72000滴，约水．照这样估一估，一个水龙头滴水1年浪费水接近（     ） A．3600千克 B．31吨 C．13140千克 D．3.1吨 【变式3-1】每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 【变式3-2】某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 【变式3-3】“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，假定两者步长相等，据此回答以下问题：“今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？以下答案中，正确的是（   ） A．走路快的人在前面，两人相隔400步 B．走路慢的人在前面，两人相隔300步 C．走路快的人在前面，两人相隔300步 D．走路慢的人在前面，两人相隔400步 【题型4 倒数】 【例4】（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数；（4）没有绝对值是的数，其中正确的是（     ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（4） 【变式4-1】如图，数轴上表示3的倒数的点在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式4-2】的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型5 有理数乘法运算律】 【例5】如果，，那么A和B的关系是（     ）． A． B． C． D．不能确定 【变式5-1】若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，，且，则的值等于（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．或 【题型6 有理数的除法运算】 【例6】【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 【变式6-1】已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【变式6-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【变式6-3】点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【题型7 有理数除法的应用】 【例7】小明家的客厅长6米，宽4.8米．计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满．方砖的边长可能是（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．100厘米 【变式7-1】小亮看了一本书的 ，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 D．238 【变式7-2】如题图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和．若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为（    ）． A．13 B．14 C．15 D．16 【变式7-3】已知，为有理数，则下列说法正确的个数为（   ） 若，，则，； 若，，则，且或，且； 若，，则，； 若，，则，且或，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 有理数乘除混合运算】 【例8】下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列算式中，（1），（2），（3），（4），（5），正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 【例9】的值为________． 【变式9-1】用简便方法计算： (1) (2) 【变式9-2】用适当方法计算 (1) (2) 【变式9-3】怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【题型10 有理数四则混合运算】 【例10】今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【变式10-1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】计算：． 【变式10-3】规定新运算“”：，求： (1)的值； (2)的值． 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 【例11】《黑神话：悟空》的角色属性面板中，“披挂”等级每提升1级，防御力增加8点．若角色初始防御力为点（中毒状态下的减益值），等级提升5级后的防御力为（     ） A．点 B．16点 C．点 D．64点 【变式11-1】某停车场对小型车的收费标准如下表所示．一辆小型车支付了14元停车费，那么这辆车的停车时长可能是（     ） 收费项目 车型 时段 收费标准 小型车 首小时及以内 5元 首小时后（不足1小时按1小时计算） 3元/时 A． B． C． D． 【变式11-2】随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 【变式11-3】如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（     ）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 【题型12 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 【例12】已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型13 数轴上的翻折】 【例13】数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式13-1】小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【变式13-2】点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式13-3】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【探究式学习】 1．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 2．研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 3．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【课后检测】 1．计算：（ ） A．2 B． C．1 D．4 2．2026的倒数是（     ） A． B．2026 C． D． 3．新定义一种记号“完美提取”：对任意非零有理数a，先把a的符号记为s（a为正数时，a为负数时），再取s的相反数，最后用a的绝对值除以，所得的数叫做a的“完美提取数”，记作，即．例如时，；时，．若，则的值是（     ） A． B．12 C． D．144 4．南通博物苑是中国最早的博物馆，馆内某展厅的门票实行两类定价：全价票每张元，学生票每张比全价票便宜元．某日该展厅共售出全价票张、学生票张，则当日门票收入为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 8．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 10．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 11．计算：_____． 12．已知和互为倒数，，那么____________ 13．定义的运算为，则________． 14．现在有三个仓库、，，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨） 1 2 6 0 4 2 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）若从运10吨到、运1吨到，从运7吨到，则从需要运________吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为________元． 15．计算： (1)； (2)． 16．一个底面长和宽都是的长方体容器里装了一些深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为，这个铁块的刚好露出水面．这个圆柱体铁块的体积是多少？ 17．南通某文创商店在中秋假期销售A、B两款盲盒，A款每个售价30元，B款每个售价20元．商店用正数和负数记录三天的库存变化：标“”表示当天售出、其数值计入销售个数，标“”表示当天进货补货、不计入销售个数．三天记录如下： 周一：A款，B款； 周二：A款，B款； 周三：A款，B款． 已知每款盲盒的进价均为售价的一半，请按款式分别算出这三天A、B两款盲盒销售所获得的利润总额（利润总额销售额销售成本），并说明两款合计是盈利还是亏损． 18．综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第06讲 有理数的乘除运算 （新教材北师大版） 知识点一：有理数的乘法运算 2 知识点二：有理数的除法运算 2 【题型1 两个有理数的乘法运算】 2 【题型2 多个有理数的乘法运算】 4 【题型3 有理数乘法的实际应用】 6 【题型4 倒数】 8 【题型5 有理数乘法运算律】 9 【题型6 有理数的除法运算】 11 【题型7 有理数除法的应用】 13 【题型8 有理数乘除混合运算】 14 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 16 【题型10 有理数四则混合运算】 21 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 22 【题型12 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 24 【题型13 数轴上的翻折】 25 【探究式学习】 27 【课后检测】 32 【复盘笔记】 40 知识点一：有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 【例】 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 【例】 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【例】的结果为负数 的结果为0 知识点二：有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【例】 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定、的取值范围及正负性，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，，且， ，故A错误； ，故B错误； ， ，故C正确； ，故D错误． 【变式1-1】已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定的符号及绝对值大小关系，结合有理数运算法则判断； 【详解】解：由数轴可知， ， ，，，， 故选项A、B、C正确，D选项错误，该选项符合题意． 【变式1-2】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． 【变式1-3】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：，然后根据绝对值的性质和有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】秒是多长时间？（   ） A．30天 B．40天 C．4周 D．5周 E．6周 【答案】E 【分析】先计算乘积得到总秒数，再根据时间单位换算关系，将秒逐步换算为周，对比选项得到结果． 【详解】∵秒， 又∵1天小时，1小时分，1分秒， ∴1天的总秒数为 秒， ∴总天数为 天， ∵ 1周天， ∴总周数为 周． 【变式2-1】在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的意义，结合乘法，有理数的加法，绝对值等求解即可． 【详解】解：，， 异号，且， ∵a在b的左侧， ∴， ，，． 【变式2-2】下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 【变式2-3】如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 【题型3 有理数乘法的实际应用】 【例3】已知1滴水约0.05毫升，一个水龙头1小时漏水72000滴，约水．照这样估一估，一个水龙头滴水1年浪费水接近（     ） A．3600千克 B．31吨 C．13140千克 D．3.1吨 【答案】B 【详解】解：年按天计算，（千克）， 千克吨，与吨最接近． 【变式3-1】每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 【答案】D 【分析】根据题目给出的公式`耗碳量=消耗量×碳排放系数`，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A．由表格可知水的耗碳量为，原结论不正确，故此选项不符合题意； B．∵其余耗碳量总和为， 又∵， ∴牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和少，则原结论不正确，故此选项不符合题意； C．天然气的碳排放系数为，则原结论不正确，故此选项不符合题意； D．∵家庭用电的碳排放系数为， ∴减少的耗碳量为，则原结论正确，故此选项符合题意． 【变式3-2】某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，解题的关键是根据气温差计算出海拔差，再结合已知海拔求出目标海拔． 先计算甲乙两地的气温差；再根据海拔每增加100米气温下降的规律，计算出两地的海拔差；最后用甲地海拔减去海拔差得到乙地海拔． 【详解】解：， ， ， ． 所以乙所在地的海拔为1300米． 故选：B． 【变式3-3】“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，假定两者步长相等，据此回答以下问题：“今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？以下答案中，正确的是（   ） A．走路快的人在前面，两人相隔400步 B．走路慢的人在前面，两人相隔300步 C．走路快的人在前面，两人相隔300步 D．走路慢的人在前面，两人相隔400步 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是正确理解题意． 根据同样时间段内走路快者与慢者的步数比，计算慢者再走600步所需时间，进而求快者在此时间内的步数，比较两者总步数差． 【详解】解：∵走路慢者速度为60步/单位时间， ∴再走600步所需时间单位时间. 在此时间内，走路快者走步， 走路慢者先走100步，再走600步，共700步， ∴，快者在前面，相隔步， 故选：C． 【题型4 倒数】 【例4】（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数；（4）没有绝对值是的数，其中正确的是（     ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（4） 【答案】D 【详解】根据相反数、倒数、负数和绝对值的概念逐一进行判断． 【解答】解：（1）相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数还是， 任何有理数都有相反数， 故（1）正确； （2）倒数的定义为：乘积等于的两个数互为倒数，而乘以任何一个数积为， 没有倒数， 应为除以外，任何有理数都有倒数， 故（2）错误； （3）在一个数的前面添加负号表示求这个数的相反数， 在一个负数的前面添加负号得到一个正数， 应为在任何一个正数前面添上负号，就表示一个负数， 故（3）错误； （4）绝对值的定义为：数轴上表示一个数的点与原点之间的距离就是这个数的绝对值， 任何一个数的绝对值都不是负数， 没有绝对值是的数， 故（4）正确． 综上所述，正确的是（1）（4）两个． 【变式4-1】如图，数轴上表示3的倒数的点在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【详解】解：∵3的倒数为，且， ∴数轴上表示3的倒数的点在线段上． 【变式4-2】的倒数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将这个数化简，再求倒数即可． 【详解】解：，而的倒数是． 【变式4-3】已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 【题型5 有理数乘法运算律】 【例5】如果，，那么A和B的关系是（     ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】将A、B拆为含相同乘积项的形式，比较剩余部分的大小． 【详解】解：，， ∵ 两式相同部分为，且， ∴ ． 【变式5-1】若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律的基本应用，利用乘法分配律，将转化为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式5-2】张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法运算律（结合律、分配律）的灵活应用，熟练掌握运算律对算式进行等价变形是解题的关键． 将原式通过运算律（乘法结合律、分配律）变形，避开数字“9”，逐一验证选项是否与原式等价． 【详解】解：原式：， 选项A：， ； 选项B：， ； 选项C：， ； 选项D：，， ； 故选：B． 【变式5-3】已知，，且，则的值等于（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．或 【答案】B 【分析】由，可得；结合，可知与异号，分两种情况计算即可； 本题主要考查了绝对值的性质、有理数的乘法运算、代数式求值等知识，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或 ； ∵， ∴或 ； 又∵， ∴与异号， 当时，， ； 当时，， ∴的值为 1 或 ． 故选：B． 【题型6 有理数的除法运算】 【例6】【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 【答案】A 【分析】分别找出每个选项四位数的最大数字、最小数字，求二者之差，检验差能否被3整除，满足条件即为完美提取数． 【详解】解：A、4213，最大数字，最小数字，，是的倍数，此选项符合题意； B、5125，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； C、2369，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； D、8347，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意． 【变式6-1】已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质逐一判断各选项正误． 【详解】解：若，则或，例如，时，但，故A错误； ，当异号或至少有一个为零，即时，结论正确；又a、b均为非零有理数，因此，故B正确； 由，根据绝对值的性质可得，即，故C正确； 由a、b在原点两侧可得a、b异号且均不为0，故当时，此时，从而，和为0；当时，此时，从而，和为0，故D正确． 【变式6-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【答案】B 【分析】观察数轴得：，可得，再根据有理数的除法法则解答即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴，即的值是正数． 【变式6-3】点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，，计算判断即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴；，， 故，， 由是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小， 得； 【题型7 有理数除法的应用】 【例7】小明家的客厅长6米，宽4.8米．计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满．方砖的边长可能是（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．100厘米 【答案】C 【详解】解：∵，，要求用整块的方砖恰好铺满， ∴ 方砖的边长需是600和480的公因数，即600和480都能被方砖的边长整除． 对选项逐一判断： A选项，50厘米，，不是整数，不符合要求． B选项，80厘米，，不是整数，不符合要求． C选项，60厘米，，，均为整数，符合要求． D选项，100厘米，，不是整数，不符合要求． ∴ 选C． 【变式7-1】小亮看了一本书的 ，正好看了35页，这本书有（　　）页． A．63 B．175 C．315 D．238 【答案】A 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已知单位“1”的几分之几对应的具体数量，求单位“1”用除法计算． 【详解】解：∵ 这本书总页数的对应数量是35页， ∴ 总页数为 （页）． 因此这本书总页数为63页． 【变式7-2】如题图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和．若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为（    ）． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：多一个杯子增加的高度为， ∴（个）， （个）， 故选：A． 【变式7-3】已知，为有理数，则下列说法正确的个数为（   ） 若，，则，； 若，，则，且或，且； 若，，则，； 若，，则，且或，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键．根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可． 【详解】解：①若，，则，，故①结论正确； ②若，，则，且或，且，故②结论正确； ③若，，则，，故③结论正确； ④若，，则，且或，且，故结论正确． 故正确的有4个． 故选：D． 【题型8 有理数乘除混合运算】 【例8】下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 【变式8-1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 【变式8-2】计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键； 根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：C 【变式8-3】下列算式中，（1），（2），（3），（4），（5），正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，利用有理数的减法运算法则进行计算可判断（1）（2），利用有理数的乘除运算法则进行计算可判断（3）（4）（5）．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1），不符合题意； （2），不符合题意； （3），符合题意； （4），不符合题意； （5），不符合题意， ∴正确的个数是个． 故选：A． 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 【例9】的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 【变式9-1】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)54 (2) 【分析】（1）先化简符号，将小数化为分数，再分组结合同分母分数相加； （2）先把带分数拆成整百数减一个分数，除法转化为乘法，用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-2】用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 【变式9-3】怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4)，3 (5)1 (6) (7)1 (8)2 【分析】本题考查的是简便运算，按照分配律，结合律，交换律的规则以及运算顺序和规则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：      ； （4）解：      ； （5）解： ； （6）解：      ； （7）解：      ； （8）解： ． 【题型10 有理数四则混合运算】 【例10】今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】先计算所有两两组合的总数，再去掉重复计算的部分即可得到结果． 【详解】解：∵每个项目都可以和其余个项目组合，直接计算会把每组组合重复计算2次， ∴总的不同选择数为， 因此共有15种不同的选择． 【变式10-1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 【变式10-2】计算：． 【答案】20 【详解】解： ． 【变式10-3】规定新运算“”：，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 【例11】《黑神话：悟空》的角色属性面板中，“披挂”等级每提升1级，防御力增加8点．若角色初始防御力为点（中毒状态下的减益值），等级提升5级后的防御力为（     ） A．点 B．16点 C．点 D．64点 【答案】B 【分析】用角色初始防御力加上等级提升增加的防御力即可得到答案． 【详解】解：（点）， ∴等级提升5级后的防御力为16点． 【变式11-1】某停车场对小型车的收费标准如下表所示．一辆小型车支付了14元停车费，那么这辆车的停车时长可能是（     ） 收费项目 车型 时段 收费标准 小型车 首小时及以内 5元 首小时后（不足1小时按1小时计算） 3元/时 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段收费规则，由总停车费推导停车时长的取值范围，再对比各选项的停车时长判断． 【详解】解：∵ 停车费元>元， ∴ 停车时长超过小时， 首小时后费用为元， 对应计费时长为小时， ∵ 首小时后不足小时按小时计算， ∴ 实际总停车时长满足小时， 计算各选项停车时长： A. 时分时分小时分，符合要求； B. 时分时分小时分，小于小时，不符合要求； C. 时分时分小时分，大于小时，不符合要求； D. 时时小时，小于小时，不符合要求． 【变式11-2】随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 【答案】A 【详解】解：滴滴打车总费用为（元）， 曹操出行总费用为（元）， ∵， ∴滴滴软件更划算． 【变式11-3】如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（     ）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 【答案】B 【分析】由图可知，张叔叔从A地出发去C地，再由C地返回总路程相等，根据已知返回时的速度和返回时间8分钟，即可由路程公式求得去时或返回时的单边路程；由于去时在B地加油用时1分钟，所以从A地出发去C地共用时9分钟，再利用公式即可求解． 【详解】解：∵张叔叔返回时的速度是90千米/时，返回时间为（分）， ∴返回的路程为：（千米）， ∵去时的时间为：（分）， ∴去时的速度为：（千米/时）． 【题型12 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 【例12】已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴上左边数字小于右边的数字，原点左侧为负、右侧为正，离原点越远绝对值越大． 【详解】解：由数轴可知：，，且． A.：在原点左边，是负数，错误； B.：是负数，，则，错误； C.：是正数，且到原点距离小于b，故 ，正确； D.：离原点更近，绝对值更小，错误． 【变式12-1】如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置判断，的符号及绝对值大小关系，然后根据有理数的运算法则判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，，故A，B，C正确． ∵，， ∴，故D错误． 【变式12-2】如图，在数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在数轴原点左侧的数为负数，在数轴原点右侧的数为正数；数轴上的点到原点的距离表示该数的绝对值；A选项用有理数加法法则判断，B选项用有理数减法法则判断，C选项用有理数乘法法则判断． 【详解】解：由图可知：，，，故选项D符合题意； ，异号相加，取绝对值大的符号，即，故选项A不符合题意； ，减去一个数等于加上这个数的相反数，即，，负数加负数等于负数，，故选项B不符合题意； ，负数乘正数等于负数，，故选项C不符合题意． 【变式12-3】如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出之间的关系． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，． 【题型13 数轴上的翻折】 【例13】数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 【变式13-1】小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 【变式13-2】点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 【变式13-3】数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出点表示的数，再据此求出点C表示的数即可． 【详解】已知点表示数，点表示数2，以为折点将数轴向右对折，点的对应点为， 则点是与的中点． 因为与之间的距离是2， 所以分两种情况讨论： 此时表示的数为． 设点表示的数为，根据中点坐标公式可得，解得． 当在的右侧时： 此时表示的数为． 同样设点表示的数为，由中点坐标公式可得解得． 综上，点表示的数是或． 故选：D． 【探究式学习】 1．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，可得第④个等式； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）把每一项提公因数，就变成第二问的规律，利用第二问的规律可求出本题的答案． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知： 第④个等式为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 2．研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 【答案】(1)两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数； (2)； (3)B 【分析】（1）根据所给算式总结即可； （2）根据（1）中的运算法则计算即可； （3）可通过举反例来判断； 本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：②观察归纳得异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； ③0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果仍为这个数． 故答案为：两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数． （2） ． （3）假设 则 ， ， 此时，则结合律不成立； 故选：B． 3．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【课后检测】 1．计算：（ ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】掌握运算法则正确计算即可． 【详解】解： ， 故D选项符合题意． 2．2026的倒数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数为． 3．新定义一种记号“完美提取”：对任意非零有理数a，先把a的符号记为s（a为正数时，a为负数时），再取s的相反数，最后用a的绝对值除以，所得的数叫做a的“完美提取数”，记作，即．例如时，；时，．若，则的值是（     ） A． B．12 C． D．144 【答案】B 【详解】解：按定义，先写出的符号数，再取s的相反数， 最后用a的绝对值除以，． 4．南通博物苑是中国最早的博物馆，馆内某展厅的门票实行两类定价：全价票每张元，学生票每张比全价票便宜元．某日该展厅共售出全价票张、学生票张，则当日门票收入为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】门票收入全价票单价全价票张数学生票单价学生票张数． 【详解】解：学生票每张（元）， 全价票收入为（元），学生票收入为（元）， 当日门票收入合计（元）． 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数轴的特征，正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，，， A.∵，故选项正确，不符合题意； B.∵， ∴，故选项正确，不符合题意； C.∵，∴，故选项错误，符合题意； D.∵，，，∴，，则，故选项正确，不符合题意． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定a、b的取值范围，结合绝对值、相反数及有理数运算法则进行判断． 【详解】由数轴可知：，， ∴，，即，A错误； ∵，， ∴，B错误； ∵ ，不等式两边同乘得， ∴，C正确； ∵ ，且， ∴，D错误． 7．斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 【答案】B 【分析】此题考查用图象表示变量之间的关系，首先根据速度路程时间，分别求出斑马和长颈鹿的奔跑的速度，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得：斑马的速度为：（千米/分），长颈鹿的速度为（千米/分）， 故15分钟时斑马和长颈鹿相距：（千米）． 8．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 9．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 【答案】C 【分析】根据题意，改变一个数的符号会使总和增加该数的2倍，结合正确与错误结果的差值即可求解． 【详解】解： ， 错误结果与正确结果的差值为， ∵写错一个符号后结果增大， ∴是将某偶数前的负号改为正号，且总和增加该偶数的2倍， ∴该偶数是． 10．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 11．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解：． 12．已知和互为倒数，，那么____________ 【答案】/0.25 【分析】根据倒数定义得到，将除法转化为乘法化简后代入计算即可． 【详解】解：∵和互为倒数，， ∴． ∴． 13．定义的运算为，则________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【详解】解：∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∴ 原式. 14．现在有三个仓库、，，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨） 1 2 6 0 4 2 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）若从运10吨到、运1吨到，从运7吨到，则从需要运________吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为________元． 【答案】 【分析】第一问根据的总需求量，减去已运输的量即可得到结果；第二问优先安排单位运价更低的运输，计算总运费得到最小值． 【详解】解：（1）∵总共需要吨原材料，已经从运入吨，从运入吨， ∴需要运往的量为吨； （2）要得到最低运费，优先安排单位运价更低的运输， ∴方案一：的吨全部运往；运吨到，运吨到；运吨到，运吨到； ∴总运费为元， 方案二：运10吨到，运2吨到；运吨到，运吨到；的吨全部运往； ∴总运费为元， 方案三：运10吨到，运2吨到；运3吨到，运8吨到；的吨全部运往； ∴总运费为元， ∵， ∴最低运费为元． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．一个底面长和宽都是的长方体容器里装了一些深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为，这个铁块的刚好露出水面．这个圆柱体铁块的体积是多少？ 【答案】 【分析】理解题意以及结合图中数据，先求出圆柱体铁块淹在水中部分的体积，再根据这个铁块的刚好露出水面，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：圆柱体铁块淹在水中部分的体积为： ， ∵这个铁块的刚好露出水面， ∴这个圆柱体铁块的体积为： ． 17．南通某文创商店在中秋假期销售A、B两款盲盒，A款每个售价30元，B款每个售价20元．商店用正数和负数记录三天的库存变化：标“”表示当天售出、其数值计入销售个数，标“”表示当天进货补货、不计入销售个数．三天记录如下： 周一：A款，B款； 周二：A款，B款； 周三：A款，B款． 已知每款盲盒的进价均为售价的一半，请按款式分别算出这三天A、B两款盲盒销售所获得的利润总额（利润总额销售额销售成本），并说明两款合计是盈利还是亏损． 【答案】A款盈利315元，B款盈利220元，三天合计盈利535元 【分析】正确统计A款三天售出21个，算出A款利润315元，B款三天售出22个，算出B款利润220元，然后相加即可． 【详解】解：A款三天售出（个），进价为（元）， ∴利润为（元）； B款三天售出（个），进价为（元）， ∴利润为（元）． ∴两款合计（元），结果为正数，说明这三天合计盈利． 18．综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】(1)2或8 (2)12；18 (3)如图， 小明与表姐的年龄差为： （岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为16岁，小明的年龄为12岁． 【分析】（1）分点M向右或向左移动两种情况讨论； （2）根据题意点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等，即可求得答案； （3）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄． 【详解】（1）解：当点M向右移动时，； 当点M向左移动时，， 综上，a的值为：2或8； （2）解：由题意可知：点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $