第04讲 认识有理数：相反数、绝对值（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数核心内容，系统梳理相反数与倒数的定义及性质，绝对值的几何意义与运算规则，有理数大小比较的法则与方法，形成从概念理解到性质应用再到实际比较的递进式学习支架。 资料亮点在于题型与知识点深度融合，9类题型覆盖定义辨析、符号化简等场景，探究式学习通过数轴直观解析绝对值意义培养几何直观，课后检测与复盘笔记助力巩固运算能力，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的意识。

简一数理 初中专题讲义 第04讲 认识有理数：相反数、绝对值、有理数大小比较 （新教材北师大版） 知识点一：相反数&倒数 2 知识点二：绝对值 2 知识点三：有理数的大小比较 3 【题型1 相反数的定义】 3 【题型2 化简多重符号】 6 【题型3 相反数的应用】 7 【题型4 绝对值的几何意义】 9 【题型5 求一个数的绝对值】 10 【题型6 绝对值非负性】 11 【题型7 绝对值的其他应用】 13 【题型8 有理数的大小比较】 15 【题型9 有理数大小比较的实际应用】 17 【探究式学习】 19 【课后检测】 25 【复盘笔记】 33 知识点一：相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 知识点二：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 知识点三：有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 【题型1 相反数的定义】 【例1】下面的图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，相对两个面上所标注的数互为相反数，则的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体表面展开图的特征，相反数的定义，求代数式的值，由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可得：与是对面，与是对面，结合相反数的定义求出，，代入所求式子计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可得：与是对面，与是对面， ∵相对两个面上所标注的数互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D． 【变式1-1】如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点即相反数的定义求出，，，进而代入计算即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面a的相对面是，b的相对面是0，c的相对面是4， ∵相对面的两个数都互为相反数， ∴，，， ∴． 故选：D． 【变式1-2】有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、相反数、有理数的基本概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据定义逐一判断各结论的正误，即可解答． 【详解】解：绝对值等于它本身的有理数是非负数（包括正数和0）， 结论①错误， 相反数等于它本身的有理数只有0， 结论②正确， 当时，是正数， 结论③错误， 有理数包括整数和分数，故一个有理数不是整数就是分数， 结论④正确， 综上所述，错误的结论有①和③，共2个． 故选：B． 【变式1-3】下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③正整数、负整数统称为整数；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤总是大于0，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、整数、相反数的定义．根据整数、相反数、绝对值的定义，也可通过举反例逐个判断得结论． 【详解】解：与的符号相反，但它们不是相反数，故①说法不正确； 当a是正数时是负数，当a是0或负数时，不是负数，故②说法不正确； 正整数、0、负整数统称为整数，故③说法不正确； 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故④说法正确； 当时，总是大于0，当时，，故⑤说法不正确． 综上，只有④正确， 故选：D． 【题型2 化简多重符号】 【例2】下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 【变式2-1】下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．025 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较、相反数等知识点，掌握负数的绝对值越大、本身越小是解题的关键． 先运用相反数化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 最小的数是：． 故选：B． 【变式2-2】比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小一一比较即可． 【详解】解：．，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，则，原比较正确，故该选项符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 【详解】解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 【题型3 相反数的应用】 【例3】、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 【变式3-1】有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 【变式3-2】有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可知，且，然后逐项分析即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，结论A正确，符合题意； ，故结论B错误，不符合题意； ，故结论C错误，不符合题意； ，故结论D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴、相反数、绝对值、利用数轴比较有理数大小等知识，解题的关键是理解数轴上左边的数小于右边的数以及绝对值的几何意义． 【变式3-3】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 【题型4 绝对值的几何意义】 【例4】已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 【变式4-1】若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． 【变式4-2】数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，根据题意把，，表示在数轴上，进而根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：如图所示，把，，表示在数轴上， ∴ 故选：B． 【变式4-3】已知有理数，，的位置如图，则下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值是解决本题的关键． 根据数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值解决此题． 【详解】解：根据数轴可得，， ， A、，错误，故不符合题意； B、，错误，故不符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、正确，故符合题意， 故选：D． 【题型5 求一个数的绝对值】 【例5】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 【变式5-1】下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】只需计算出各选项中数的绝对值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是． 【变式5-2】检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 【变式5-3】下列四个数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可； 【详解】解：，， 且，故最小； 【题型6 绝对值非负性】 【例6】若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 【变式6-1】式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意， 故选：D． 【变式6-2】如果a，b是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，掌握非负数的最小值为0是解题的关键. 要找到表达式 的最小值，需分别分析平方项和绝对值项的最小值。 【详解】∵平方项和绝对值项具有非负性，即他们的最小值都是0 ∴的最小值是 故选：B. 【变式6-3】式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 【题型7 绝对值的其他应用】 【例7】在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：，，，， ，则最接近标准的是． 故选：D． 【变式7-1】如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意数轴上的点A、B所表示数的绝对值相等可找到数轴的原点，从而解得的长度即可判断点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B所表示的数的绝对值相等， 可以确定原点O的位置，如图，    ∴C点表示的数是5， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴；熟练掌握数轴上点的特点，能够确定原点的位置是解题的关键． 【变式7-2】已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……，以此类推，则的值为（    ） A． B．1011 C． D． 【答案】A 【分析】分别求出的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值． 【详解】解：根据题意可得， ⋯． 观察其规律可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 【变式7-3】符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】当，；当时，，按此分类讨论即可． 【详解】解：当，；当时，，按此分类讨论， 当、、、、均为正数时，， 当、、、、有八个为正数，一个为负数时，， 当、、、、有七个为正数，两个为负数时，， 当、、、、有六个为正数，三个为负数时，， 当、、、、有五个为正数，四个为负数时，， 当、、、、有四个为正数，五个为负数时，， 当、、、、有三个为正数，六个为负数时，， 当、、、、有两个为正数，七个为负数时，， 当、、、、有一个为正数，八个为负数时，， 当、、、、均为负数时，， 所以共有10个值． 故选A． 【点睛】此题主要考查分类讨论能力，解题的关键是充分利用好这一结论，注意分类的准确． 【题型8 有理数的大小比较】 【例8】已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断出和的范围，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【变式8-1】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 【变式8-2】若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质与比大小，掌握好等式的两条性质是解题关键． 利用等式的性质，将已知等式转化为用a表示b和c，然后比较大小． 【详解】解：根据等式的性质，等价于， ∴， 等价于， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式8-3】是一个小于的整数，与，比较，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较．由于 是小于 的整数，故 为负整数， 为正数， 为负分数且绝对值小于 1．比较三者大小，可得 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 为负数，， 又 ∵ ， ∴ ，故，且， ∴ 为介于和之间的负数， ∵ ，， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ，且， ∴ ． 故选：C． 【题型9 有理数大小比较的实际应用】 【例9】下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，通过比较四个地区海拔数值的大小，找出最小值，即可确定海拔最低的地区，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 海拔最低的地区是死海， 故选：A． 【变式9-1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【答案】D 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握比较有理数大小原则“正数大于零，零大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小”是解题的关键． 把四种液体的凝固温度进行比较，即可解答． 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴， ∴凝固温度最低的是乙醚， 故选：D． 【变式9-2】某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握“正数大于、大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小”成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法比较出四个城市温度数值的大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， 日均最低温度最低的城市丙市． 故选：C． 【变式9-3】根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 【答案】A 【详解】解：小杰的速度：＝3.4米/秒， 小丽的速度：＝米/秒， 小磊的速度：＜3米/秒， 小明的速度：＝3.2米/秒， ∵3.4是最大的数， ∴步行速度最快的是小杰； 故选：A． 【点睛】本题考查了行程问题中的速度的计算和有理数大小比较，熟练掌握路程÷时间＝速度是关键． 【探究式学习】 1．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的几何意义． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为1，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为1的点即可． 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 2．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)在探究的大小关系的过程中，我们根据，的符号和绝对值的大小进行分类归纳．下列，的取值中：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，；⑦，；⑧，；⑨，．可以代表大小关系不同种类的取值组合是 _________ ． A．①②③④⑦⑧⑨        B．①②③④⑤⑥⑦         C．②③④⑤⑥⑦⑨        D．①②③④⑥⑦⑧ (2)通过以上比较，请你归纳出当，为有理数时，与的大小关系． (3)根据（2）中得出的结论，当时，的取值范围是 _________ ；整数，，，满足，，则  _________ ． 【答案】(1)D (2)当，同号或至少有一个为时，；当，异号时， ． (3)    或 【分析】（1）不同种类包括：两个数均为正数；两个数均为负数；一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值小于负数的绝对值；两个数互为相反数；一个数为正数一个数为；一个数为负数一个数为．据此可求得答案． （2）观察分析（1）中的数据，结合绝对值的意义即可求得答案． （3）将变形为，根据（2）中的结论即可求得答案；设，，可知和异号，分类讨论即可求得答案． 【详解】（1）根据题意，不同种类包括：两个数均为正数；两个数均为负数；一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值小于负数的绝对值；两个数互为相反数；一个数为正数一个数为；一个数为负数一个数为． 观察分析可知，⑤和⑥为同类，均为一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值小于负数的绝对值；①和⑨为同类，一个数为正数一个数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值． 故选：D． （2）观察分析可知，当，同号或至少有一个为时，；当，异号时， ． （3）将变形，得 ． 所以 ． 设，， 根据题意，得 ，． 所以和异号． ①若，且，则 得 ②若，且，则 得 ③若，且，则 得 ④若，且，则 得 综上所述，或，即或． 故答案为：    或 【点睛】本题主要考查绝对值的定义，牢记绝对值的定义并采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 3．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【答案】(1)小，大 (2)的最小值为，的最大值为 (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行判断即可； （2）选择几组特殊实例，讨论后，得到一般规律即可； （3）根据（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即：的最小值为：；的最大值为； 故答案为：小，大； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 故答案为：的最小值为，的最大值为； （3）由（2）可知：有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握是解题的关键． 4．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【课后检测】 1．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，可知的相反数是. 【详解】解：的相反数是. 3．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 4．下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解． 【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0， A、，，3与互为相反数，符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，不是相反数，不符合题意； D、，，不是相反数，不符合题意； 故选：A． 5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 6．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 7．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 8．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 9．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，数轴，相反数和绝对值的概念，根据概念逐项判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、有理数包括正有理数、负有理数和零，故原选项错误，不符合题意； 、任何有理数都可以用数轴上的点表示，是有理数，能用数轴上的点来表示，故原选项错误，不符合题意； 、相反数是指数值相等但符号相反的数，而表示相反意义的量不一定数值相等，故原选项错误，不符合题意； 、负数的绝对值是它的相反数，故原选项正确，符合题意； 故选：． 10．成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 11．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 12．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 13．若是实数，则的最小值为___． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 14．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 15．字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可； （2）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合正数大于负数可得答案； （4）讨论的取值范围，进而确定的取值范围，结合正数大于负数可得答案． 【详解】（1）解： ∵ 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0， ∴ 当时，成立； （2）解：∵ 当时，，不满足， 当时，，满足条件， ∴ 当时，成立； （3）解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数为0， ∴ 当时，成立； （4）解：当时，， ∵正数大于负数， ∴此时满足； 当时，， ∴此时不满足； 当时，， ∴此时不满足； 综上所述，当时，． 16．（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 17．已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，|c﹣5|＝0，求a，b，c的值各是多少？ 【答案】 【分析】根据题意可得|a﹣2|+|b﹣3|＝0，再根据非负数的性质可求得a、b以及绝对值的意义可求得c． 【详解】解：∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数， ∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3， ∵|c﹣5|＝0， ∴c﹣5＝0，解得c＝5． 【点睛】本题考查了非负数的性质、互为相反数以及绝对值的意义，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答本题的关键． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第04讲 认识有理数：相反数、绝对值、有理数大小比较 （新教材北师大版） 知识点一：相反数&倒数 2 知识点二：绝对值 2 知识点三：有理数的大小比较 3 【题型1 相反数的定义】 3 【题型2 化简多重符号】 4 【题型3 相反数的应用】 4 【题型4 绝对值的几何意义】 5 【题型5 求一个数的绝对值】 5 【题型6 绝对值非负性】 6 【题型7 绝对值的其他应用】 6 【题型8 有理数的大小比较】 7 【题型9 有理数大小比较的实际应用】 7 【探究式学习】 9 【课后检测】 12 【复盘笔记】 15 知识点一：相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 知识点二：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 知识点三：有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 【题型1 相反数的定义】 【例1】下面的图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，相对两个面上所标注的数互为相反数，则的值为（   ） A．8 B． C． D． 【变式1-1】如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 【变式1-2】有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③正整数、负整数统称为整数；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤总是大于0，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 化简多重符号】 【例2】下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．025 C． D． 【变式2-2】比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 相反数的应用】 【例3】、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 绝对值的几何意义】 【例4】已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【变式4-2】数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知有理数，，的位置如图，则下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求一个数的绝对值】 【例5】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【变式5-1】下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【变式5-2】检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列四个数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【题型6 绝对值非负性】 【例6】若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【变式6-1】式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如果a，b是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【变式6-3】式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【题型7 绝对值的其他应用】 【例7】在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【变式7-1】如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-2】已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……，以此类推，则的值为（    ） A． B．1011 C． D． 【变式7-3】符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【题型8 有理数的大小比较】 【例8】已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-3】是一个小于的整数，与，比较，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 有理数大小比较的实际应用】 【例9】下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 【变式9-1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【变式9-2】某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 【变式9-3】根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 【探究式学习】 1．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 2．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)在探究的大小关系的过程中，我们根据，的符号和绝对值的大小进行分类归纳．下列，的取值中：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，；⑦，；⑧，；⑨，．可以代表大小关系不同种类的取值组合是 _________ ． A．①②③④⑦⑧⑨        B．①②③④⑤⑥⑦         C．②③④⑤⑥⑦⑨        D．①②③④⑥⑦⑧ (2)通过以上比较，请你归纳出当，为有理数时，与的大小关系． (3)根据（2）中得出的结论，当时，的取值范围是 _________ ；整数，，，满足，，则  _________ ． 3．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 4．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【课后检测】 1．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 4．下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 8．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 9．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 10．成立时，______． 11．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 12．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 13．若是实数，则的最小值为___． 14．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 15．字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 17．已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，|c﹣5|＝0，求a，b，c的值各是多少？ 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $