重难点专题 求二次函数解析式（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以三种解析式形式为核心，构建“形式选择-条件转化-综合应用”的递进式方法体系，突出解题策略与知识逻辑的系统性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一般式|6题|三点坐标列三元方程组求a,b,c|从基本形式出发，建立“已知点→方程求解”的基础逻辑| |顶点式|5题|顶点(对称轴/最值)+一点求a|强化“特殊条件优先选择顶点式”的转化思维| |交点式|3题|x轴交点+一点求a，结果化一般式|形成“交点信息→解析式”的快捷路径| |条件隐藏型|5题|先求隐藏点坐标(对称/函数交点)再代入|培养间接条件转化能力，衔接基础与综合| |综合拓展|6题|图像信息提取/变换/实际应用建模|整合前四模块方法，提升复杂情境下的模型意识与推理能力|

重难点专题 求二次函数解析式 重难点一 一般式 （） 二次函数解析式的一般式为（），已知任意三个点坐标，列三元一次方程组求 a,b,c.当无顶点、对称轴、最大（小）值、与x轴交点时，优先选一般式求字母的值.特别注意：检验a≠0. 1.已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2.（2026四川成都中考）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 3.已知抛物线过，则抛物线的解析式为 ． 4.二次函数的图象经过 (-1,0)，(2,0)，且与 y 轴交点纵坐标为 -4，则该二次函数的解析式为________。 5.已知二次函数图象经过 (-2,5)，(1,-4)，(3,0)，求这个二次函数的一般式. 6.如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 重难点二 顶点式(a≠0) 已知顶点（或对称轴、最值），求解析式，常用顶点式(a≠0)求解.主要类型有：①已知顶点(h,k)＋图像上另外一个点；②已知对称轴x=h＋最值k＋一个点；③已知顶点坐标隐含条件（函数最大/最小值、图像最高最低点）等情形.当出现顶点、对称轴、最大（小）值时，优先选顶点式求字母的值. 1.抛物线的顶点为(2,-1)，且过点(0,3)，则该抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 2.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 3.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为 m． 4.已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标． 5.已知抛物线的顶点为，交轴于点、且过点．    (1)求抛物线的解析式： (2)直线交抛物线于、，求点的坐标； 重难点三 交点式（两根式）(a≠0) 已知抛物线与x轴两个交点坐标，求解析式，常用交点式（两根式）(a≠0)求解.主要有：①已知与x轴两个交点 (x_1,0),(x_2,0)，再加图像上任意一点；②一个交点+对称轴，间接求出另一个交点.当出现x轴交点时，优先选 交点式（两根式）求字母的值.求出解析式后，一般题目要求化为一般式. 1.已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，则关于x的一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，则该二次函数的表达式是 3.已知抛物线与轴相交于点的横坐标为5、-1，与直线相交与轴上同一点，求抛物线的解析式． 重难点四 条件隐藏型求解析式（间接给条件） 没有不直接给点，需要先求出点坐标，再求解析式.主要有：①已知抛物线经过某点，该点是一次函数与坐标轴交点，先求点坐标；②利用对称性求点：给一个点+对称轴，求对称点；③ 已知与y轴交点、平移后经过某点等隐藏条件.即条件不全，先求点坐标，再代入. 1.已知抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线经过点(1,0)，(0,1)，则抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 2.抛物线经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点，且过点（6，3），抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 3.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ． 4.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 5.已知抛物线经过点A(2,0)，并且经过直线y=2x-4与y轴的交点B，对称轴为直线x= -1，求抛物线解析式. 重难点五 综合拓展 主要有：①图像给出信息求解析式（读图，从图像读出顶点、交点、普通点）；②二次函数图像变换求解析式（平移、对称，先确定顶点变化，用顶点式）；③实际应用背景求解析式（实际问题，提取坐标，建立函数）；④多解、参数问题：部分条件不确定，求参数取值.特别注意：无特殊说明，结果化成一般式. 1.将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的，则每周获得的最大利润为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2.(2026年江西省中考)如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 3.已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是 . 4.已知抛物线经过点和点，则t的最小值是 . 5.平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）求抛物线的解析式； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，为何值时，的值最小． 6.(2026广西中考)综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 求二次函数解析式 重难点一 一般式 （） 二次函数解析式的一般式为（），已知任意三个点坐标，列三元一次方程组求 a,b,c.当无顶点、对称轴、最大（小）值、与x轴交点时，优先选一般式求字母的值.特别注意：检验a≠0. 1.已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 答案D． 2.（2026四川成都中考）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 答案C 3.已知抛物线过，则抛物线的解析式为 ． 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 4.二次函数的图象经过 (-1,0)，(2,0)，且与 y 轴交点纵坐标为 -4，则该二次函数的解析式为________。 【分析】设二次函数解析式为，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解:设二次函数解析式为,将 (-1,0)，(2,0) ，(0,4)代入,得 解得 所以函数解析式为. 5.已知二次函数图象经过 (-2,5)，(1,-4)，(3,0)，求这个二次函数的一般式. 【分析】设二次函数解析式为，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解:设二次函数解析式为,将 (-2,5)，(1,-4)，(3,0)，代入得 解得 所以函数解析式为. 6.如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 重难点二 顶点式(a≠0) 已知顶点（或对称轴、最值），求解析式，常用顶点式(a≠0)求解.主要类型有：①已知顶点(h,k)＋图像上另外一个点；②已知对称轴x=h＋最值k＋一个点；③已知顶点坐标隐含条件（函数最大/最小值、图像最高最低点）等情形.当出现顶点、对称轴、最大（小）值时，优先选顶点式求字母的值. 1.抛物线的顶点为(2,-1)，且过点(0,3)，则该抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【分析】已知顶点，设顶点式，代入(0,3)可求. 【详解】解：设顶点式，代入(0,3)，得， 解得，. 答案：A 2.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 3.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为 m． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案． 【详解】解：如图，    根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为； 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 令得：， 水管的高度应为． 故答案为：． 4.已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标． 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为，即可得到，令，求出y的值即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 5.已知抛物线的顶点为，交轴于点、且过点．    (1)求抛物线的解析式： (2)直线交抛物线于、，求点的坐标； 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用方程求交点坐标，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）运用待定系数法求二次函数解析式； （2）运用待定系数法求一次函数解析式，然后解方程求交点坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴； （2）解：令，则，解得：， ∴点的坐标为， 把代入得， 解得， ∴， 解方程组得或， ∴点的坐标为． 重难点三 交点式（两根式）(a≠0) 已知抛物线与x轴两个交点坐标，求解析式，常用交点式（两根式）(a≠0)求解.主要有：①已知与x轴两个交点 (x_1,0),(x_2,0)，再加图像上任意一点；②一个交点+对称轴，间接求出另一个交点.当出现x轴交点时，优先选 交点式（两根式）求字母的值.求出解析式后，一般题目要求化为一般式. 1.已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，则关于x的一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的平移，根据二次函数与一元二次方程的关系求出二次函数的图象与x轴的交点坐标，进而根据二次函数图象的平移特征，求出二次函数的图象与x轴的交点坐标，即可求出的解． 【详解】解： 关于x的一元二次方程的解是，， 二次函数的图象与x轴的交点坐标为，， 将二次函数的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：， 二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，即，， 关于x的一元二次方程的解为，， 即关于x的一元二次方程的解是，， 故选C． 2.已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，则该二次函数的表达式是 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据交点特征设出解析式为，再利用待定系数法求解． 【详解】解：∵函数图象经过，， ∴设表达式为， 将代入得：， 解得． 二次函数的解析式是， 故答案为：． 3.已知抛物线与轴相交于点的横坐标为5、-1，与直线相交与轴上同一点，求抛物线的解析式． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，准确计算．直接把点代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】解：抛物线与直线相交与轴上同一点，即过点（0，-5） 设函数解析式为：得： 解得：， ∴二次函数解析式为：． 重难点四 条件隐藏型求解析式（间接给条件） 没有不直接给点，需要先求出点坐标，再求解析式.主要有：①已知抛物线经过某点，该点是一次函数与坐标轴交点，先求点坐标；②利用对称性求点：给一个点+对称轴，求对称点；③ 已知与y轴交点、平移后经过某点等隐藏条件.即条件不全，先求点坐标，再代入. 1.已知抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线经过点(1,0)，(0,1)，则抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 【分析】隐藏条件是抛物线对称性，纵坐标相等两点关于对称轴对称. 【详解】解：对称轴x=2，点(1,0)到对称轴距离为1，对称点横坐标：2+(2-1)=3，所以过(3,0). 设函数解析式为，代入(0,1)，得 解析式为 故选：D． 2.抛物线经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点，且过点（6，3），抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 【分析】隐藏条件是一次函数与坐标轴交点，需要先求点坐标，再求抛物线. 【详解】解：当x=0时,y=3 ；当y=0时,x=3 ， 直线y=-x+3与坐标轴交点：(0,3)，(3,0)；又过点(6,3). 设函数解析式为：，得 解得. 故选：C ． 3.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定a的值即可，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解决此题的关键． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， ∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同， ∴， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 4.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的的解． 【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为， 则另一个交点坐标为 ∴一元二次方程的解是， 故答案为：，． 5.已知抛物线经过点A(2,0)，并且经过直线y=2x-4与y轴的交点B，对称轴为直线x= -1，求抛物线解析式. 【分析】隐藏条件：直线y=2x-4与y轴的交点B，对称轴为直线x=1，用顶点式求出抛物线解析式. 【详解】解：直线y=2x-4交y轴，x=0,y= - 4，所以B(0,-4)。 对称轴x=-1，过A(2,0)、B(0,-4). 设顶点式，将A(2,0)、B(0,-4)代入,得 解得 抛物线解析式为 重难点五 综合拓展 主要有：①图像给出信息求解析式（读图，从图像读出顶点、交点、普通点）；②二次函数图像变换求解析式（平移、对称，先确定顶点变化，用顶点式）；③实际应用背景求解析式（实际问题，提取坐标，建立函数）；④多解、参数问题：部分条件不确定，求参数取值.特别注意：无特殊说明，结果化成一般式. 1.将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的，则每周获得的最大利润为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．设降价x元，表示出利润y与x的函数关系式，再根据题意求出自变量x的取值范围即可求出最大利润． 【详解】解：设涨价x元，每周获利， ∵最高售价不能高于成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随x的增大而增大， 故当时，y的最大值为， 故应选：C 2.(2026年江西省中考)如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 3.已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是 . 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 4.已知抛物线经过点和点，则t的最小值是 . 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴时，t有最小值为：． 5.平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）求抛物线的解析式； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，为何值时，的值最小． 【分析】（1）由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式． （2）由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 【详解】解：（1）∵直线交轴于，交轴于， ∴令，得，令，得， 所以，， 抛物线过A、B： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵抛物线解析式为：， ∴抛物线对称轴：， ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴， 设在抛物线上，则 ， ∴ 代入： ， 令，则， ， ∴， 令，则， 将转化为关于u的二次函数， ∴， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ∴（舍去），， 此时 ， ∵， ∴当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 6.(2026广西中考)综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $