第十九章 二次函数和反比例函数全章高频重点题型突破（二十三大高频+十大重难题型，专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数，以“基础-核心”分层架构系统归纳23类高频基础题型与10类重难综合题型，通过题型化训练培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|23题型|定义辨析、图像判断、待定系数法、对称性应用等|从概念（定义）到性质（图像、增减性），再到简单应用（解析式、平移、交点问题），形成完整认知链条| |核心提升|10题型|性质综合、最值探究、几何存在性问题、k值几何意义等|整合函数与几何（角度、面积、相似），强化模型意识，实现从单一知识到综合应用的能力跃迁|

第十九章 二次函数和反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的定义及其求参 题型2 二次函数的图象判断 题型3 画二次函数的图象 题型4 二次函数的顶点式 题型5 二次函数的图象与性质 题型6 二次函数图象与各项系数符号关系 题型7 根据二次函数图象判断式子符号 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型10 待定系数法求二次函数解析式 题型11 二次函数的图象平移问题 题型12 二次函数与坐标轴的交点问题 题型13 二次函数与方程的关系 题型14 二次函数与不等式的关系 题型15 二次函数的实际应用 题型16 根据反比例函数的定义求参数 题型17 反比例函数的图象 题型18 反比例函数的增减性求参数 题型19 比较反比例函数值的大小 题型20 反比例函数的k值意义 题型21 求反比例函数解析式 题型22 一次函数与反比例函数关系 题型23 反比例函数的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数的图象与性质综合 题型2 二次函数的平移问题 题型3 二次函数的最值 题型4 二次函数的实际应用综合 题型5 二次函数中的角度问题 题型6 二次函数中的面积问题 题型7 二次函数与相似综合 题型8 二次函数的存在性问题 题型9 反比例函数的图象与性质综合 题型10 反比例函数的几何应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的定义及其求参 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 3．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． ◆题型2 二次函数的图象判断 4．已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 5．已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 6．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． ◆题型3 画二次函数的图象 7．已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【答案】(1) (2)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标， 如图所示： 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，画二次函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据要求，把一般式化为顶点式，即可作答． （2）根据，得开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标，再描点，连线，得出的图象，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）得， ∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标， 令，则， 令，则， 函数的图象． 8．已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： (2) 如图所示： 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：令，则， 令，则， 解得，， 所以，过，，三点画出函数图象 9．先用描点法画出抛物线函数图象，并回答以下问题 (1)列表． (2)顶点坐标是_______，对称轴是______，当______时，随的增大而减小； 【答案】(1) 解：由题意，列表如下： x 0 1 y 0 3 4 3 0 作图如下： (2)，直线， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质以及顶点式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线为，给定x的值，求出相应y的值，进而列表作图可以得解； （2）依据题意，由抛物线的顶点式的特点，结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线为， ∴顶点坐标是，对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：；直线；． ◆题型4 二次函数的顶点式 10．将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 11．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：将抛物线解析式配方得 ， 二次项系数， 抛物线开口向上， 故A选项错误； 由顶点式可知，抛物线顶点坐标为， 故B选项正确； 由抛物线的解析式可知，对称轴为直线， 故C选项错误； 根据二次函数性质，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而而减小， 故D选项错误. 12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (4)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； (5)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (6)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】利用配方法将一般形式的二次函数化为顶点式，再根据的符号判断开口方向，开口向上，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得到结果． 【详解】（1）解：对配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：对配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：对配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：对配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （5）解：对配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （6）解：对配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． ◆题型5 二次函数的图象与性质 13．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为，可得当，即时，，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 14．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 15．如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． ◆题型6 二次函数图象与各项系数符号关系 16．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 17．已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 18．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． ◆题型7 根据二次函数图象判断式子符号 19．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【答案】C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 20．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 21．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． ◆题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 22．已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据二次函数上两点纵坐标相等的性质，得到和的关系式，排除点重合的情况后，将用，表示，代入即可求值． 【详解】解：∵抛物线上，点和满足， 若，则横坐标相同，为同一个点，不符合四个不同点的条件，舍去； 若，抛物线的对称轴为 ∴ ∴ ∵，在抛物线上 ∴， ∴ 将代入得． 23．已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）先根据抛物线的一般式求出对称轴的表达式，再利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质，得出对称轴为两点横坐标的平均数，建立关于的方程，解方程求出的值； （3）先由、两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性求出对称轴，进而得到与的关系式，再确定抛物线与轴的交点坐标及其关于对称轴的对称点坐标，结合抛物线开口向上的增减性，分情况讨论点、的位置，排除无解的情况，根据的条件列出不等式，求解得到的取值范围，最后代入与的关系式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入解析式，得 ， 解得； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵抛物线经过点，，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵点， 都在抛物线上，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴， ∴抛物线与轴交点为，且关于对称轴对称的点为， 分两种情况讨论： ①若点，都在对称轴右侧的抛物线上， ∵， ∴随增大而增大， ∵， ∴，不等式组无解； ②若点，都在对称轴左侧的抛物线上， 随增大而减小 ∵， ∴ 解得， ∴． 综上，． 24．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线对称轴的两种计算方法列式子求出的值，进而根据抛物线图象的性质分析的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取最大值，， 当时，取最小值，， ． ◆题型9 根据二次函数的对称性求函数值 25．已知二次函数的函数图像经过，两点，则的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性得到抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，根据完全平方公式判断出，则，求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵二次函数的函数图像经过，两点， ∴， 解得：或． 只有2在范围内， 即的值可能是2． 26．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点的坐标．（用含的式子表示） (2)若点均在抛物线上，求线段的长． (3)若该抛物线经过点，且，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标是 (2) (3) 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）点和点的纵坐标相等，点与关于对称轴对称，根据点到对称轴的距离是，即可得到答案； （3）根据题意抛物线开口向下，抛物线的对称轴是直线，点关于对称轴的对称点的横坐标是，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标是； （2）解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称． 抛物线的对称轴为直线, 点到对称轴的距离是， 点到对称轴的距离也是1， ； （3）解：， 抛物线开口向下， 点的坐标为， 点关于对称轴的对称点的横坐标是， ， ，解得， 的取值范围为． 27．小聪在探究二次函数的图象与性质时，首先得到了与的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 ．．． 请根据上述列表解答下列问题： (1)m＝_____； (2)求此二次函数的解析式； 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法． （1）根据二次函数的对称性进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得， 当时，；当时，； 根据二次函数的对称性可得，当和时，值相等，值为0； ∴， 故答案为：0； （2）解：由列表可知，该二次函数的图象的顶点是，可将其解析式表示为： ， 再代入点得，，解得， 故解析式为：． ◆题型10 待定系数法求二次函数解析式 28．一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 29．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 30．在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②图象如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． ◆题型11 二次函数的图象平移问题 31．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）略 32．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得或， ， ， 将代入平移后的解析式，得， 整理得， 配方得， 平移后抛物线顶点的纵坐标为． 33．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当时， （i）将点向右平移个单位长度得到点，将点向左平移个单位长度得到点，若点，恰好都落在该抛物线上，求的值． （ii）若点在该抛物线上，且点到轴的距离小于等于3，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)（i）4；（ii） 【分析】（1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）①根据点的平移得到，，代入计算即可求解；②根据点到轴的距离小于等于3，得到，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线为， （i）将点向右平移个单位得到点，将点向左平移个单位得到点， ，， 点，恰好都落在该抛物线上， 点，关于抛物线对称轴对称， ， ， ， 代入，得． （ii）点在该抛物线上， ， ， 当时，有最小值， 点到轴的距离小于等于3， ，即， ， 当时，有最大值， 时，， 的取值范围是． ◆题型12 二次函数与坐标轴的交点问题 34．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 35．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 36．已知抛物线经过点与． (1)求该抛物线的函数关系式． (2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标以及函数平移规律，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法，将点与点代入中，建立关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值，从而得到该抛物线的函数关系式； （2）先求出原抛物线的顶点坐标为，根据点坐标平移规律，求得平移后的顶点坐标为，由顶点落在直线上，求得m的值，从而求出平移后抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解：将点与点代入中，得 ， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴顶点坐标为， ∵此抛物线向下平移m个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∵平移后的顶点落在直线上， ∴将，代入中， 得：， 解得：， ∴此抛物线向下平移个单位， ∵原抛物线， ∴令，， 可得原抛物线与y轴交点为， 又∵此抛物线向下平移个单位， ∴点向下平移后，得， 即平移后抛物线与y轴的交点坐标为． ◆题型13 二次函数与方程的关系 37．已知二次函数． (1)画出这个函数的图象． (2)观察图象，直接写出图象与x轴的交点坐标． (3)当x取何值时，？这里x的取值与方程有什么关系？ 【答案】(1)解：如图， (2)解：图象与x轴的交点坐标为， (3)解：当或时，，这里x的取值是方程的根． 【分析】（1）利用列表，描点，连线的步骤画图即可； （2）利用图象求解即可； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 画函数图象略； （2）略 （3）略 38．如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，结合图象可得答案； （2）根据二次函数的图象得出当时，的值，再检验即可； （3）根据二次函数的图象经过点，结合对称性可得答案； （4）根据二次函数的图象与直线没有交点可得答案. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴方程的解是. （2）解：由图象可得：当时，， 则的解是. 检验：二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 当时， 解得：. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴方程的解是. （4）解：∵二次函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有实数根. 39．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． ◆题型14 二次函数与不等式的关系 40．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 41．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 42．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． ◆题型15 二次函数的实际应用 43．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)当t为何值时，？ (3)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 【答案】(1)，当时，的值最大，最大值为 (2) (3)解：能相似，理由如下： 由题意可知， 矩形中，，， ①若， 则， 解得，（舍去） 故， ， ②若， 则， ， 解得，（舍去） 故， ， 综上可知与能相似，P点位置为或． 【分析】（1）分别用t表示，，再利用三角形面积公式即可求出函数关系式，把关系式变形为顶点式，即可解答； （2）由，根据平行线分线段成比例列式计算； （3）由题意可知，分和两种情况进行讨论，利用相似比列式计算即可，注意，根据t的值确定点P的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ，． 是直角三角形， ， ， 当时，的值最大，此时， 故的面积与时间之间的函数关系式为， 当时，的值最大，最大值为． （2）解：连接， ， ， ， 解得， 故当时，． （3）略． 44．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有两种型号的客车可供租用，其中型客车每辆载客量为60人，型客车每辆载客量为45人． 材料二 型客车租车费用为3200元/辆；型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用，两种型号客车共10辆． 问：本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】本次研学活动学校的最少租车费用是元 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据载客量要求列出不等式确定的取值范围，再根据租车费用公式计算总费用，最后比较取不同整数值时的值，得到最小费用． 【详解】型客车每辆载客人，型客车每辆载客人，总师生人，租用、型客车共辆， 载客量满足：， 化简得：， ， ， 又为整数，且租车公司最多提供辆型客车， 的取值范围为，即，，； 租车费用由型客车和型客车费用组成： 型客车每辆费用为元，型客车每辆费用为元， ， 计算，，时的值： 当时，； 当时，； 当时，； 比较得的最小值为元． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是元． 45．综合与实践：如图①，是一座抛物线型拱桥，小马学习二次函数后，受到该图的启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． (1)请在图②建立合适的平面直角坐标系，并帮小马求出该抛物线的表达式； (2)为更加稳固，小马想在上找一点P，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小马找到点P的位置，并求出点P坐标和它们的长度和的最小值． 【答案】(1) 如图②， (2) 如图， 点P的坐标为，它们长度和的最小值是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值等知识，解题的关键是： （1）如图建立坐标系，设抛物线的解析式为，将代入即可求解； （2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，则，此时拉杆长度之和最短，最小值为的长度，然后求得，再求出直线与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点O，所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意，， ， 将代入，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点B到对称轴的距离是1， ∴当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接， 则，， ，此时拉杆长度之和最短，最小值为的长度， 则点P位置如图所示，且； 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ◆题型16 根据反比例函数的定义求参数 46．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 47．若函数y=-(m+2)x是反比例函数，则m的值为(  ) A．土2 B．-2 C．2 D．-1 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义知m2-5=-1，且m+2≠0，据此可以求得m的值． 【详解】解：∵y=-(m+2)x是反比例函数， ∴m2-5=-1，且m+2≠0， ∴（m+2）（m-2）=0，且m+2≠0， ∴m-2=0，即m=2， 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y= （k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 48．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． ◆题型17 反比例函数的图象 49．反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，故可得答案． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 故选：B． 50．已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 51．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. ◆题型18 反比例函数的增减性求参数 52．已知反比例函数，当时，函数的最大值与最小值之差为3，则__________． 【答案】 【分析】根据推出在第四象限内，随的增大而增大，进而表示出当时，函数的最大值与最小值，结合函数的最大值与最小值之差为3，建立方程求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握反比例函数性质． 【详解】解：， 在第四象限，随的增大而增大， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值与最小值之差为3， ， 解得． 53．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知，反比例函数图象在第二、四象限，系数小于0，即可得解． 【详解】解：在反比例函数中，当时，， ∴， ∴ ． 54．已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． ◆题型19 比较反比例函数值的大小 55．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数 对任意实数，， ， 可得 反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，可得 ， 点，都在第四象限，可得， 又在第四象限内随的增大而增大，且， 综上可得． 56．若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 57．点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为_________． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小． 判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． ◆题型20 反比例函数的k值意义 58．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 59．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．过点作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出，得出点是的中点，从而得出，根据反比例函数的几何意义即可得答案． 【详解】解：过点作轴于，则， ∵反比例函数与交于点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵函数与交于点，轴， ∴， 解得：， ∵图象在第一象限， ∴． 故选：B． 60．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． ◆题型21 求反比例函数解析式 61．已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与成反比例设出函数形式，再代入已知条件求出得到函数关系式； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例， ∴设， 将，代入得， 解得， ∴和之间的函数关系式为； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 解得． 62．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是1． (1)求反比例函数的表达式． (2)两函数图象是否有其他交点？如果有，求出它的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)有其他交点，坐标为 【分析】（1）先根据交点横坐标代入一次函数求出交点纵坐标，再代入反比例函数求出参数，得到反比例函数表达式； （2）联立两个函数的解析式，解方程组得到所有交点，除去已知交点即可得到另一交点． 【详解】（1）解：把代入 得， 因此交点坐标为 ， 把代入 得， 解得 ， 所以反比例函数的表达式为； （2）解：联立两个函数的解析式，得 ， 将代入，得 ， 整理得， 解得， ， 把代入，得， 已知一个交点为， 所以两函数有另一个交点，坐标为． 63．在平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的交点是． (1)求和的值； (2)当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数、反比例函数和不等式的关系，熟知一次函数与反比例函数的图象与性质是解答此题的关键． （1）将点的坐标代入求出的值，再将所得点的坐标代入，即可求出的值． （2）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， ， 点的坐标为． 将点代入得：， ； （2）解：函数，当时，， 过点， 把代入得，， 把代入，得，解得， 当时，直线与直线平行， 当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值， 的取值范围是． ◆题型22 一次函数与反比例函数关系 64．在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】设点坐标为，将点分别代入直线和双曲线的解析式，求出的值，再根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求解点的坐标． 【详解】解：设， ∵点是直线与双曲线的交点， ∴，， ∴， 解得， ∴直线解析式为，双曲线解析式为， 根据反比例函数图象的中心对称性质，直线过原点，交点和关于原点中心对称，点横坐标为， 因此点的横坐标为， 将代入，得， 因此点的坐标为． 65．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ； （3）解：观察图象得：不等式的解集为或． 66．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最后求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． ◆题型23 反比例函数的实际应用 67．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 68．【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 【答案】(1)高 (2)； (3)这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的，理由如下： 根据题意，得当时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的． 【分析】（1）根据表中的函数值变化情况解答即可； （2）利用画图象的基本步骤，待定系数法求解即可． （3）当时，，对照表解答即可； 【详解】（1）解：通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； （2）解：设，当时，， 故， 解得， 故； 图象略 （3）略 69．某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)14 (2)① ②；③ 【分析】（1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系，设，代入一组数据求出k即可； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象； ②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为6.5mm的水龙头放出7L水所用的时间； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【详解】（1）解：∵同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系， ∴设， 当时，， 将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； （2）①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③当时，将其代入中，可得．在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． ◆题型1 二次函数的图象与性质综合 70．在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线与抛物线交于点M，与直线交于点N（特殊地，当点M，N重合时，线段的长为0）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数m（），对于每一个确定的m的值，记时线段长度的最大值为t：点，，若存在，使得当时，都有成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出时点M和点N的坐标，再计算纵坐标差的绝对值即可得到线段的长度； （2）先写出长度关于p的表达式，分情况讨论的最大值变化规律，再根据t随m增大而增大的条件，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：当时，点， 将代入抛物线，得，即点， 将代入直线，得，即点， ∴线段的长为； （2）解：设，， 则，， ∴，其中， 令，得抛物线与直线交点的横坐标为和. 当时，，如图， ∴， 可表示为关于p的抛物线，图象开口向下，且对称轴， 即当时，线段有最大值，最大值为4； 当时，，如图， ∴，对称轴， ∴时，的长度随p的增大而增大， 令，解得或（舍）， ∴可知当时，的最大值为，随m的增大而增大， ∴满足条件的的最小值为． 71．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示． (2)直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】（1）将点和点代入二次函数即可作答； （2）①根据（1）的结果，联立一次函数、二次函数即可作答；②将一次函数、二次函数相减，结果的绝对值即为的长度，将其配方，再分类讨论：当时，即、同在y轴的左侧，即确定取最大值时x的值，再确定此种情况下点的位置，数形结合即可求解；当时，再确定取最大值时x的值，数形结合即可列出关于a的不等式组，问题随之得解． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数关系式有：，， 即：； （2）解：∵，， ∴二次函数为， ①联立：，解得：，或， 即点B的坐标为：， ∵、不重合， ∴，即， 则点B的横坐标为； ②根据题意可知的长度为：， 当时，即、同在y轴的左侧， ∵， ∴，， ∴当时，的最大值为：， ∵直线与抛物线交于点和点（、不重合），点B的横坐标为：， 若点在y轴的右侧，结合、同在y轴的左侧， 如图， 即在范围内，的函数值大于的函数值， ∴此时的的值将随着x的变大逐渐变大，此时与题意不符， ∴点在y轴的左侧， 如图， ∵当时，的最大值为：， 又∵点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 当时，即、同在y轴的右侧， ∵，， ∴，， ∴当时，的最大值为：， 如图， 要满足：点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 综上：的取值范围或． 72．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． (1)求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，A点的横坐标为 (2)①；②且或 【分析】（1）根据二次函数图象过得到c的值，根据二次函数对称轴直线的计算得到A的横坐标； （2）①把，代入，得到点，的纵坐标，由此即可求解； ②用含，的式子表示出的值，结合二次函数图象的性质判定即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，A两点， ∴，抛物线的对称轴直线为， ∴， 解得， ， ∴A点的横坐标为； （2）解：①当，时，二次函数解析式为，直线的解析式为， ∴当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为 ， ∴； ②∵， ∴抛物线 的图象开口向上，对称轴直线为，， 直线的图象经过第一、三象限， 当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 当 时， ， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴，且， ∴； 当时， ， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴； ∵点与点不重合， ∴， ∴ 综上所示，且或． ◆题型2 二次函数的平移问题 73．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 【答案】(1)①；② (2)的值为或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质以及平移，熟记二次函数的增减性是解本题的关键； （1）①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得顶点坐标即可； ②根据二次函数的增减性得出 ，结合，求出m的取值范围解题即可； （2）求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意分情况得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ， ， ∴顶点坐标为：； ②∵二次函数的对称轴为直线， ∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ． （2）解：， ∴抛物线的顶点为 ， ①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ， ∴对称轴为直线，而， ∴当时，此时， ∵， ∴当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，此时， 此时当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ②若 ， ∵对称轴为直线，而，， ∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 74．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式：， 此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定， 则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值， 将代入得： ， 解得：，（舍去）， 则的最小值是， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得： ， 解得：，（舍去） ∴， 故选：B． 75．已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出的坐标，根据轴，得到点的纵坐标为，进而推出点的纵坐标为：，根据点在轴的正半轴上，求出的值，得到抛物线向下平移了3个单位，设抛物线向右平移了个单位，得到，根据平移后的抛物线仍过点，求出的值，进而求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴点沿着轴向上平移了个单位， ∴点也沿着轴向上平移了个单位，即：点的纵坐标为：， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点沿着轴向下平移了3个单位，即抛物线向下平移了3个单位， ∵点在轴的正半轴上， ∴设抛物线向右平移了个单位，则：新的抛物线的解析式为：， ∵平移后的抛物线仍然过点， ∴，解得：或（舍去）， ∴抛物线向右平移了个单位， ∴点平移后的坐标为：，即：， ∴； 故选D． ◆题型3 二次函数的最值 76．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 77．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）把点，点，代入抛物线，即可 （2）①根据题意，得到；，，把代入，求出点、、、的坐标，即可；②，；，，得到，，求出的取值；分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）解：①∵过点作轴的垂线，交轴于点， ∴； ∵该直线交于点，交抛物线于点， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， 当， ∴点，，，， ∴，． ②由①可得，；，， ∴，， ∵恒成立， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； ∴，不符合题意； 当时， ， 解得：， ∴； ∴， ∴， 当时，， 解得：或， ∴或； ∴或，不符合题意，舍去； 综上，或． 78．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，的最大值为12； ①请求出的值； ②若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）化成顶点式进行求顶点坐标； （2）①根据二次函数的图象和性质进行求解； ②根据二次函数的图象和性质，分四种情况进行讨论，然后求不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：①若，当时，的最大值为顶点纵坐标，不符合题意； 若，此时抛物线开口向上，且距离对称轴越远的点的纵坐标越大，对称轴为直线， ∵，，且， ∴当时，， 即， 解得； ②由①可得抛物线解析式为， 顶点坐标为， ∴，， 当图象不包含顶点，时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当图象不包含顶点，时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当图象包含顶点，，，时，， ∴， ∴， ∴或（舍去），即， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当图象包含顶点，，，时，， ∴， ∴（舍去）或， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 综上，． 【点睛】重点掌握二次函数的图象和性质． ◆题型4 二次函数的实际应用综合 79．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【答案】 【分析】（1）设安排加工A零件的工人人数为名，根据题意知加工C零件的工人人数为名，进而根据工人总人数为60名列方程求解即可； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名，根据题意列不等式得到，且x为正整数；分别求得生产A、B、C三种零件的总利润，则可得总利润且化简为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 80．小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）    小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    (1)点M的坐标是 ； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 【答案】(1) (2)隧道顶的抛物线表达式为 (3)卡车载物后的限高约为米 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，求函数值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据建立的坐标系以及线段的长度求出点的坐标即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用自变量的值求出函数值即可． 【详解】（1）解：根据所建坐标系， ∵，， ∴点M的坐标是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设抛物线的表达式为． ∵它经过点， ∴． ∴． ∴隧道顶的抛物线表达式为； （3）解：当时，， ∴． 根据实际情况，当大于时，点E到隧道顶面对应的点D的距离小于， ∴精确到，取值为， ∴卡车载物后的限高约为米． 81．某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： （元/件） （件） 10000 9500 9000 (1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元 (3)3，4，5 【分析】（1）用待定系数法即可求解即可； （2）由，根据函数的性质即可求解； （3）根据题意得，，则对称轴为直线，进而求解． 【详解】（1）解：设和的函数表达式为， 则， 解得， 故和的函数表达式为； （2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元， 由题意得 ， 解得， 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵，x为正整数， ∴当时，有最大值， 最大值为， 答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元； （3）根据题意得，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 对称轴，大于等于，则对称轴大于等于，由于取整数， 实际上是二次函数的离散整数点，取，，时利润一直增大， 只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于就可以了， 故， 解得， ∵， ∴， 整数的值为3，4，5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式等知识，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组． ◆题型5 二次函数中的角度问题 82．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 83．已知抛物线，（）． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）； (2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得出结果； （2）根据题意得到抛物线的解析式，先求出点C的坐标，设设，再求出直线的解析式，过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，求出点Q的坐标，即可求出的值，金额得到点P的坐标； （3）根据题意得到抛物线的解析式，求出平移后的解析式，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，即当时，方程有两个不相等的实数根，利用判别式即不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 则该二次函数的顶点坐标为； （2）解：存在点坐标为或时，为，理由如下： 由题意得：抛物线解析式为：， 则抛物线图象的对称轴为， 根据题意，设，直线的解析式为， 将代入，则， ∴， 当时，解得 ∴， 将代入， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 当点在x轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 当点在x轴下方时，如图， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 综上，当点坐标为或时，为； （3）解：由题意得：抛物线解析式为：， 则二次函数的图象往上平移个单位长度后，抛物线解析式为：， 当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍， 则当时，方程有两个不相等的实数根， 即当时，方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； 解方程的 解得：或， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线的对称轴和顶点坐标，角度与特殊三角形问题，二次函数与一元二次方程问，熟练掌握配方法或公式法求顶点坐标，数形结合的思想是解题的关键． 84．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用抛物线经过的点以及对称轴的信息，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点P的坐标，进而表示出与的长度，得到关于点P横坐标的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （3）分点Q在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时． （3）解：①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得， ∵， ∴ ∵， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则点E与点Q重合， ∴， 综上所述：或． ◆题型6 二次函数中的面积问题 85．如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据题意，求出点的坐标，根据邻边相等的矩形为正方形求出的值，连接，求出的面积，判断②，连接，根据对称性，判断③. 【详解】解：由题意，， ∵轴， ∴关于轴对称， ∴， ∴， 当时，即时，矩形为正方形， 解得（舍去）或；故①正确； 连接，则， 观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部， 故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确； 连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，， ∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和， ∴． 86．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）把，代入，解方程组求出a，c的值 即得答案； （2）①由直线经过点，得，当时，， 可得点M、N的纵坐标，即可得的长；②由，得，求出，得，得四边形的面积为，得当时，四边形的面积随m的增大而减小，结合，得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 87．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），连接，．已知的面积随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)①5；②或 【分析】（1）将点、代入抛物线求解即可； （2）①将直线与抛物线解析式联立，求解的值，根据点是右侧交点，进行解答即可； ②设点，点，分情况讨论，当时，令过点作轴的垂线交于点，则点，根据两点间的距离公式可得的长，根据得到，当时得到，令，则其函数对称轴为，得到随的增大而增大时，的变化情况，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点， 则令得， 将点代入抛物线得 ， 解得； （2）①解：根据题意得，直线与抛物线交于两点， 则， 解得或， 由于点是右侧交点， 则点的横坐标为5； ②解：设点，点， 若时，如图； 令过点作轴的垂线交于点，则点， ， 则 即， 若时，如图： 设直线的解析式为， 将点，点代入得： ， 解得， 则直线与轴的交点坐标为， ， 因此，三角形的面积为：， 令，则对称轴为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 因此，的面积随的增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． ◆题型7 二次函数与相似综合 88．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． （2）解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 89．已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可即可解答； （2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可； （3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入可得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ， 为等腰直角三角形， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故要使的周长最大，即最大， 设，则， ，其中， 故当时，最大，即的周长最大， 此时； （3）解：设新抛物线的解析式为：，则， 抛物线的对称轴为直线， ， 如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第一象限， 点必定在第三象限， ， 代入抛物线可得， 解得， 如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第四象限， 点必定在第四象限， ， 代入抛物线可得， 解得， ， 综上，点的坐标为或． 90．如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标； (3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点和的坐标，然后代入解析式计算解题即可； （2）求出点和的坐标，即可求出和长，，然后分为或两种情况求出长，即可解题； （3）设直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P和Q的坐标，过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，得到，即可得到，然后求出直线的解析式，即可得到点M的坐标解题即可． 【详解】（1）解：当时，，令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴，即， ∴， 当时，，即， 解得：， 过点F作轴于点G，则， ∴， ∴点F的坐标为； 当时，，即， 解得：，不符合题意舍去； 综上，点F的坐标为； （3）解：∵点C的坐标为， 设直线的解析式为， 联立解得： 或， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为， 同理可得点Q的坐标为， 再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 把点P和Q的坐标代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点M是定点，为． ◆题型8 二次函数的存在性问题 91．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 92．在平面直角坐标系中，抛物线过点，，抛物线交轴于点，是轴上的动点． (1)求该抛物线解析式和直线的解析式； (2)点从点以每秒一个单位长度的速度出发，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点，经过秒后，，，，组成平行四边形，求的所有取值及相应的点的运动方向． 【答案】(1)抛物线解析式为 ，直线的解析式为 (2)时，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴负方向运动 【分析】本题考查二次函数的性质与应用，一次函数的性质与应用以及平行四边形的性质，利用平行四边形对角线互相平分来构造方程组是解题关键． （1）将点坐标代入求出抛物线解析，然后求出点坐标，再使用待定系数法求出直线解析式； （2）先表示出点P和点Q的坐标，再分类讨论四个点的顺序，结合平行四边形对角线互相平分来构造方程组，求出答案． 【详解】（1）解：将，；，，代入抛物线解析式得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为 ， 令，则， ∴点坐标为， 设直线的解析式为 ， 将，；，，代入直线解析式得， ， 解得，， ∴直线解析式为； （2）∵点P、Q都在过点T的x轴的垂线上， ∴， ∵点P在直线上，点Q在抛物线上， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ①当为平行四边形对角线时， 由平行四边形的性质可知，对角线与互相平分，即中点重合， 由中点公式可得，，此方程组无解，故舍去； ②当为平行四边形对角线时，同理可得， ， 解得，， ∴，运动方向为x轴正方向； ③当为平行四边形对角线时，同理可得， ， 解得，，， 当时，，运动方向为x轴正方向； 当时，，运动方向为x轴负方向； 综上所述，时，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴正方向运动；，点沿x轴负方向运动． 93．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 的值为定值10 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论； （3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：的值为定值10，理由如下， 如图，过点作轴于点,则, ∴, 即 假设点坐标为，则点坐标为， ∴，，,，， ∴， 整理得， ∴的值为定值10； （3）解：平移后抛物线的表达式为， 整理得， 联立， 解得， ∴点坐标为， ∴根据勾股定理得， 抛物线的对称轴为直线， ①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为； ②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示， 假设交点坐标为， ∴ 解得或， 即， 假设， ∵, ∴，；，； 解得；； 所以此时； ③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示， 假设， ∴ 即 解得 ∴ 假设，根据得， ， 解得， 所以此时 综上可得点坐标为或． ◆题型9 反比例函数的图象与性质综合 94．在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入可求得m的值，将点代入可求n的值；利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此直线必过，以及反比例函数为过，再利用数形结合思想即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ； ∵反比例函数的图像经过点 ∴，即； （2）解：当时， ， 即 必过 由（1）可知：，即反比例函数为：， 当时，， 即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴，即． 当，函数与函数在上，有交点，不符合题意， ∴． 95．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由的图象向上平移2个单位长度得到，反比例函数（）的图象过点 (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点作平行于x轴的直线，与反比例函数的图象交于点M，且与一次函数的图象相交于点N． ①当时，______（填“<”“=”或“>”） ②当时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②的取值范围是或 【分析】（1）根据一次函数图象的平移规律可得出平移后的一次函数解析式；把代入中，可求出的值； （2）①分别求出和，计算的值，即可比较； ②设，，则有：，，计算，根据得，再分或两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知一次函数由向上平移2个单位得到，根据“上加下减”的平移规律，可得：， 所以一次函数表达式为； ∵反比例函数过点， 将，代入得， 所以； （2）解：①过点作平行于x轴的直线，则该直线为， 当时，直线为， 反比例函数中，令，则， 解得：， ∴； 在一次函数中，令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，，则有：，， ∴，， ∵, ∴，, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴当时，， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） 当时，， 整理得， 解得：； 综上，的取值范围是或． 96．如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】通过设点坐标，利用反比例函数性质、相似三角形判定与性质，结合矩形判定及性质，分别对各结论进行推导验证。先根据反比例函数的几何意义判断四边形；再通过相似三角形得出线段比例关系和角的关系，判断；接着确定直线解析式，联立方程求出点坐标，结合矩形性质判断；最后利用相似三角形和线段关系验证 。 【详解】解：点，点在反比例函数的图象上， ， ；故③正确； 如图，过点作于，延长交轴于， ∵ ， ， ， ， 同理可证：， ， 又， ，，故④错误， ，故①正确； 设点坐标为（因为在上），直线的解析式为（）， 把代入，可得，即， ∴直线解析式为． 联立， ∴，即， ∵在第一象限， ∴，，即． 在上（轴，横坐标为，所以横坐标为）， 把代入，得， ∴． 由，设直线解析式为，把代入得，即， ∴直线解析式为． 是与的交点，联立， ∴，即， ∵在第一象限， ∴，则，即． ∴轴， ∵轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴，故②正确， 设点，则点，点， ，， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质、矩形的判定及性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用参数表示线段长，结合反比例函数与相似三角形知识推导结论是解题的关键。 ◆题型10 反比例函数的几何应用 97．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】连接，利用角平分线及斜边中线的性质即可判断①；若四边形是平行四边形，则可推出四边形是平行四边形，进而得出，再结合函数的图象可判断②；由可知，确定 的最大值即可判断③． 利用面积关系及三角函数求最值判断. 【详解】解：①如图1，连接， 直线与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称，即． ， 在中，， ， 平分， ， ， ， 故①符合题意； ② 如图2，连接. 若四边形是平行四边形，则，． 由①已知, 四边形是平行四边形， ， 由①已知， . 动点在轴的正半轴上，且是线段与反比例函数图象的交点， 点在点的右侧，且由图象可知随着动点向右运动，的长度是由0开始逐渐增大的， 对任意，一定存在唯一的动点，满足，也就是满足四边形是平行四边形，故②符合题意； ③如图3，过点E作,垂足为. 当时，把与联立，得 解得或， 两点的坐标分别为、． . ， . 在中，． 当时， 取得最大值，最大值为． 故③不符合题意. 综上所述，符合题意的结论是①②. 98．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【答案】B 【分析】首先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，进而求出点 B 坐标和直线 解析式； 对于①，考虑直线 与双曲线相切或垂直于 x 轴的特殊情况； 对于②，计算 的面积，设点 C 坐标表示 的面积，列方程求解； 对于③，分为直角三种情况讨论，结合等腰三角形性质验证点 C 是否在 x 轴正半轴； 对于④，假设，利用中点公式求出点 D 和 C 的坐标，再验证 是否等于 ． 【详解】解： ∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上， ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 99．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2． (1)求k和b的值； (2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标； (3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)点C的坐标为或 (3)点C的坐标为或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论； （2）由（1）得，求得直线的函数表达式为，设．①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论； （3）设点C的坐标为，①当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，②当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得， ∴点B的坐标为， 将点A，B的坐标分别代入，得， 解得， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴直线的函数表达式为， ∵直线与直线交于点M， ∴点M在直线上， 设， ①如图1，当点M在线段上时， ∵， ∴， 由相似比及线段长度与坐标的关系，得， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， 此时直线的函数表达式为x， 由得（负值舍去）， ∴点C的坐标为； ②如图2，当点M在线段的延长线上时， ∵， ∴同①，得， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为，由得（负值舍去）， ∴点C的坐标为； ③由，知，则点M不在线段的延长线上， 综上所述，点C的坐标为 或； （3）设点C的坐标为，且， ①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线， 分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N， 则， ∴， 即， 化简，得， 解得，（（与点B重合，舍去）， ∴点C ； ②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q， 则， ∴， ∴， 化简，得， 解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）； ∴点C的坐标为 ， 综上所述，点C的坐标为 或 ． 1．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 2．（2025·山东菏泽·模拟预测）关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 4．（25-26八年级下·北京·期末）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，，．那么二次函数的图象中，当图象位于轴下方（不包含轴）时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据二次函数的图象经过点，，得对称轴，根据对称轴推出对称点是，再根据是向上平移个单位，得出过和；最后结合抛物线开口向上，得到时的取值范围为． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴与点关于二次函数的图象的对称轴对称点是， ∵二次函数的图象是由二次函数的图象向上平移个单位长度得到的 ， ∴二次函数的图象经过点和， 由图象可知，， ∴二次函数的图象位于轴下方(不包含轴)时，自变量的取值范围是． 故选：C． 二、填空题 6．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 【详解】解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得 ， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 9．（25-26九年级下·山东德州·开学考试）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有不正确结论的序号是_________． 【答案】④ 【分析】根据特征数定义得到二次函数解析式，结合二次函数的图像与性质，对四个结论逐一判断，即可找出不正确的结论． 【详解】解：由特征数定义可得，特征数为的二次函数解析式为： ①当时，代入得，，，函数解析式为，对称轴为，即对称轴是轴，故①正确； ②当时，代入得，，，函数解析式为，当时，，故函数图象过原点，②正确； ③当时，二次项系数，二次函数开口向上，因此函数有最小值，故③正确； ④当时，二次项系数，二次函数开口向下，对称轴为， 因为，所以，可得， 因此当时，先随的增大而增大，到达对称轴后随的增大而减小，不是始终随的增大而减小，故④错误； 综上，不正确结论的序号是④． 10．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下： ①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有三个．其中正确的结论有___________． 【答案】②③④ 【分析】根据函数图象可判断①②，根据平移前函数图象与x轴的交点坐标，以及平移方式可求出平移后的函数图象与x轴的交点坐标，据此可判断③；求出点P在直线的图象上，根据函数图象可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，该函数的图象在x轴上方， ∴当时，或，故①错误； 由函数图象可知，当时，有最小值，故②正确； ∵该函数的图象与x轴交于点， ∴将该函数图象向右平移1个单位长度后得到的函数图象与x轴交于点， 将该函数图象向右平移3个单位长度后得到的函数图象与x轴交于点， ∴将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点，故③正确； 令，， ∴， ∴点在直线的图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④正确； ∴正确的有②③④． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 三、解答题 12．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知二次函数． (1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)二次函数的图象如图所示： (2) 【分析】（1）利用描点法画出图象即可； （2）先求出该二次函数的顶点坐标，再根据图象求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下， 描点、画图如下：略 （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴由图象可知，当时，的取值范围为． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知二次函数几组与的对应值如下表： … 1 3 4 … … 12 5 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围 (3)将此二次函数图象位于轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象其余部分不变，得到的新的图象记作．过点作垂直于轴的直线，若直线与图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用表格中二次函数与轴的两个交点，设交点式代入已知点求解解析式． （2）结合二次函数开口方向和与轴的交点，直接写出的解集． （3）先确定翻折后图象的组成与各部分的取值范围，再分类讨论直线与的交点个数，得到的取值范围． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为，由表格可知，二次函数图象过点，， ∴， 解得， 二次函数的表达式为． （2）解：二次函数的图象开口向上，且与轴交于点，， 当时，的取值范围是或． （3）解：如图所示， 原二次函数可化为，顶点坐标为， ①当时，直线与图象没有交点，不符合题意； ②当时，直线与图象交于点和，共个公共点，符合题意； ③当时，直线与图象共4个公共点，不符合题意； ④当时，直线与图象共3个公共点，不符合题意； ⑤当时，直线与图象共个公共点，符合题意； 综上所述，或． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 15．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 16．（2025·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 17．（25-26八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）逐一判断每个多边形的每一条边所在线段与直线是否有公共点，可通过将线段端点代入直线方程两侧或联立求交点坐标来判定，排除那些存在某条边与直线无交点的多边形，最终只需找出三条边均与直线有公共点的那个多边形即可； （2）①平移后的抛物线要与三角形每一边都有两个交点，关键在于确定临界状态，即抛物线与某条边恰好相切（一个交点）时的值，通过联立方程并令判别式为零求出临界，再结合图形位置确定满足“两个交点”的取值范围； ②若存在实数使得抛物线与三角形三边均有两个交点，可先确定临界情形，即抛物线过顶点且与对边相切，将的坐标代入抛物线可得的关系式，由的坐标得出边所在直线解析式之后结合抛物线与相切的临界状态得出的另一个关系式，两式联立即可解出,结合双重交错的定义以及函数图象，即可确定满足条件的的取值范围． 【详解】（1）如图，在同一坐标系中画出，以及，，，四边形， 与中， 边与无交点，四边形ABCD中， ，边与无交点，均不符合题意， 三边均与相交，因此图象和是交错的. （2）①，， 二次函数解析式为， 如图1，平移之前函数与每边均有两个交点， 将M向右平移个单位长度得到图象， 所以平移后的二次函数解析式为， 若图象和是双重交错的， 二次函数与线段均有两个交点， 如图2 ，为临界状态，此时图象和边相切， 设线段所在直线解析式为， 代入，解得， 所以线段所在直线解析式为 联立二次函数与线段所在直线解析式 得， 整理得， 所以， 解得， 所以要使图象和是双重交错的，则d的取值范围是． ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的， 如图3，临界状态为抛物线过点且与线段相切，则 设线段所在直线解析式为， 将，代入解得， 所以线段所在直线解析式为， 当抛物线过点时，代入得， 解得：①， 当抛物线与线段相切时， 联立抛物线与解析式消去得， 整理得， 当时， 解得②， 由①②得：， 整理得，解得， ∴ 因为与线段必须有两个交点， 所以抛物线的对称轴须在之间， 即， ∴， 综上所述，若存在实数c使得图象M和是双重交错的，则． 【点睛】本题以“双重交错”这一新定义为载体，核心考查一次函数与二次函数的图象性质（平移、对称轴、开口方向），以及直线与抛物线交点个数的代数判定方法（联立方程、判别式 ），解题的关键在熟悉一次函数与二次函数的图像以及性质，特别是通过数形结合找到临界状态——当图象与某条边相切或经过顶点时，交点个数发生会发生变化，通过联立方程并令可求出参数的临界值，但必须进一步验证切点或交点是否在线段上，且需结合对称轴位置（如第（2）②问中需满足 ）确保抛物线与三条线段同时满足双交点条件，而非仅与所在直线相交，整个过程体现了数形结合、分类讨论以及临界分析的核心思想． 18．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． (1)求点A、B的坐标，并用含a的式子表示抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，取．将该二次函数在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的图象与原抛物线在x轴上方的部分共同组成图形G．若点（其中）和点都在图形G上，且存在点M、N使得，求m的取值范围； (3)过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点M，交直线于点N．若在点P从点O运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)，，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）将抛物线一般式化为交点式，令得出x的值，从而求得点A和点B的坐标，进而得出抛物线的对称轴，将代入抛物线解析式即可求得顶点坐标； （2）将代入抛物线解析式求出顶点坐标，再根据题意求出该二次函数翻折后的解析式，此时对分情况讨论，结合图象并根据题意求出不同情况下m的取值范围，并最终结合所有情况得出m的取值范围； （3）根据题意求出点M和点N的坐标表达式，从而得出的长度表达式，令，求出t的值，由，得到，即点P在y轴右侧，当时，可有，其图象开口向下，对称轴为， 若的长随着的长增大而增大，即的长随t的增大而增大，则，最终可求得a的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，，解得，， ∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入，得， ∴顶点为． （2）解：当时，，此时顶点为， 令，， 解得：，， ∴与x轴的交点为，， 将该二次函数在x轴下方的部分沿x轴翻折后，新抛物线的顶点为， 设新抛物线解析式为， 将代入得，， 解得：， ∴新抛物线解析式为， ∴图形G的解析式为：当时，；当或时，， 如图， ∵，点在图形G上， ∴， 此时对分情况讨论： ①当，即时， ， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴； ②当，即时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 综上所述，m的取值范围是． （3）解：当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得， 即， 将代入，可得， 即， ∴， 令，即，解得：或， ∵， ∴，即点P在y轴右侧，如图， 当时，可有，其图象开口向下，对称轴为， 若的长随着的长增大而增大，即的长随t的增大而增大， 则， 解得， 综上所述，a的取值范围是． 19．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）过点C作轴交于点Q，设，根据，可求得，根据相似三角形的判定与性质，求得，则，再求出直线的解析式，并将代入，求得，即可求得答案； （3）设，，分别求出直线、直线的解析式，可得点G，F，T坐标，根据，可得，根据可得，进而求出n值，将代入，求出m值，即可得解． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点C作轴交于点Q， 对于，令，则， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 将代入， 得， ， 解得或， 点D在第一象限， ， 将代入，可得， ； （3）解：过点M作轴于点H， 设，，直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，可得， ， 令，则 解得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 整理得， 设直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，则 解得， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 化简得， 解得， 将代入，得， 解得（舍去）或， 将，，代入， 可得直线的解析式为． 20．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． (1)用含的式子表示： (2)将抛物线向左平移个单位，得到抛物线，过抛物线上一点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点． 若，求的面积； 当时，至少存在三个不同位置的点使得的面积相等，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的面积为；的取值范围是且． 【分析】（）根据二次函数的性质即可求解； （）由题意得出抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，当，时，代入得，，从而求出，，，然后通过面积公式即可求解； 设，则，，则，所以的面积，然后根据题意画出图形即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线可得对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， 解得； （2）解：由（）得， ∴抛物线的解析式为， ∵将向左平移个单位， ∴根据左加右减的平移规律，得抛物线的解析式为， 当，时，，， 由题意得的横坐标为，代入得点纵坐标为，即； 代入得点纵坐标为，即， ∴， ∴的面积为； 设，则，， ∴， ∴的面积， ∵至少存在三个不同位置的点使得的面积相等， ∴如图， ∴， 解得：； 如图， ∴， 解得：； 综上可得：至少存在三个不同位置的点使得的面积相等，的取值范围是且． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次函数和反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的定义及其求参 题型2 二次函数的图象判断 题型3 画二次函数的图象 题型4 二次函数的顶点式 题型5 二次函数的图象与性质 题型6 二次函数图象与各项系数符号关系 题型7 根据二次函数图象判断式子符号 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型10 待定系数法求二次函数解析式 题型11 二次函数的图象平移问题 题型12 二次函数与坐标轴的交点问题 题型13 二次函数与方程的关系 题型14 二次函数与不等式的关系 题型15 二次函数的实际应用 题型16 根据反比例函数的定义求参数 题型17 反比例函数的图象 题型18 反比例函数的增减性求参数 题型19 比较反比例函数值的大小 题型20 反比例函数的k值意义 题型21 求反比例函数解析式 题型22 一次函数与反比例函数关系 题型23 反比例函数的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数的图象与性质综合 题型2 二次函数的平移问题 题型3 二次函数的最值 题型4 二次函数的实际应用综合 题型5 二次函数中的角度问题 题型6 二次函数中的面积问题 题型7 二次函数与相似综合 题型8 二次函数的存在性问题 题型9 反比例函数的图象与性质综合 题型10 反比例函数的几何应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的定义及其求参 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 3．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． ◆题型2 二次函数的图象判断 4．已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 6．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． ◆题型3 画二次函数的图象 7．已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 8．已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 9．先用描点法画出抛物线函数图象，并回答以下问题 (1)列表． (2)顶点坐标是_______，对称轴是______，当______时，随的增大而减小； ◆题型4 二次函数的顶点式 10．将二次函数化为的形式，结果为_____． 11．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ◆题型5 二次函数的图象与性质 13．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 14．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 15．如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． ◆题型6 二次函数图象与各项系数符号关系 16．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 17．已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 18．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 ◆题型7 根据二次函数图象判断式子符号 19．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 20．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 21．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ ◆题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 22．已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 23．已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 24．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 ◆题型9 根据二次函数的对称性求函数值 25．已知二次函数的函数图像经过，两点，则的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 26．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点的坐标．（用含的式子表示） (2)若点均在抛物线上，求线段的长． (3)若该抛物线经过点，且，求的取值范围． 27．小聪在探究二次函数的图象与性质时，首先得到了与的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 ．．． 请根据上述列表解答下列问题： (1)m＝_____； (2)求此二次函数的解析式； ◆题型10 待定系数法求二次函数解析式 28．一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 29．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 30．在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． ◆题型11 二次函数的图象平移问题 31．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 32．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 33．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当时， （i）将点向右平移个单位长度得到点，将点向左平移个单位长度得到点，若点，恰好都落在该抛物线上，求的值． （ii）若点在该抛物线上，且点到轴的距离小于等于3，求的取值范围． ◆题型12 二次函数与坐标轴的交点问题 34．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 35．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 36．已知抛物线经过点与． (1)求该抛物线的函数关系式． (2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标． ◆题型13 二次函数与方程的关系 37．已知二次函数． (1)画出这个函数的图象． (2)观察图象，直接写出图象与x轴的交点坐标． (3)当x取何值时，？这里x的取值与方程有什么关系？ 38．如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 39．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． ◆题型14 二次函数与不等式的关系 40．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 41．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 42．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． ◆题型15 二次函数的实际应用 43．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)当t为何值时，？ (3)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 44．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有两种型号的客车可供租用，其中型客车每辆载客量为60人，型客车每辆载客量为45人． 材料二 型客车租车费用为3200元/辆；型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用，两种型号客车共10辆． 问：本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 45．综合与实践：如图①，是一座抛物线型拱桥，小马学习二次函数后，受到该图的启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． (1)请在图②建立合适的平面直角坐标系，并帮小马求出该抛物线的表达式； (2)为更加稳固，小马想在上找一点P，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小马找到点P的位置，并求出点P坐标和它们的长度和的最小值． ◆题型16 根据反比例函数的定义求参数 46．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 47．若函数y=-(m+2)x是反比例函数，则m的值为(  ) A．土2 B．-2 C．2 D．-1 48．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． ◆题型17 反比例函数的图象 49．反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 50．已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 51．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： ◆题型18 反比例函数的增减性求参数 52．已知反比例函数，当时，函数的最大值与最小值之差为3，则__________． 53．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 54．已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． ◆题型19 比较反比例函数值的大小 55．已知点，，在反比例函数（为任意实数）的图象上，且，则，，的大小关系为________． 56．若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 57．点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为_________． ◆题型20 反比例函数的k值意义 58．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 59．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 60．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． ◆题型21 求反比例函数解析式 61．已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 62．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是1． (1)求反比例函数的表达式． (2)两函数图象是否有其他交点？如果有，求出它的坐标． 63．在平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的交点是． (1)求和的值； (2)当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值，直接写出的取值范围． ◆题型22 一次函数与反比例函数关系 64．在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 65．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 66．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． ◆题型23 反比例函数的实际应用 67．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 68．【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 69．某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． ◆题型1 二次函数的图象与性质综合 70．在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线与抛物线交于点M，与直线交于点N（特殊地，当点M，N重合时，线段的长为0）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数m（），对于每一个确定的m的值，记时线段长度的最大值为t：点，，若存在，使得当时，都有成立，求的最小值． 71．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示． (2)直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 72．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． (1)求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． ◆题型2 二次函数的平移问题 73．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 74．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 75．已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（    ） A．8 B． C． D． ◆题型3 二次函数的最值 76．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 77．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 78．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，的最大值为12； ①请求出的值； ②若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出的取值范围． ◆题型4 二次函数的实际应用综合 79．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 80．小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）    小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    (1)点M的坐标是 ； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 81．某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： （元/件） （件） 10000 9500 9000 (1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值． ◆题型5 二次函数中的角度问题 82．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 83．已知抛物线，（）． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）； (2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围． 84．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型6 二次函数中的面积问题 85．如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 86．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 87．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），连接，．已知的面积随的增大而增大，求的取值范围． ◆题型7 二次函数与相似综合 88．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 89．已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 90．如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标； (3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由． ◆题型8 二次函数的存在性问题 91．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 92．在平面直角坐标系中，抛物线过点，，抛物线交轴于点，是轴上的动点． (1)求该抛物线解析式和直线的解析式； (2)点从点以每秒一个单位长度的速度出发，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点，经过秒后，，，，组成平行四边形，求的所有取值及相应的点的运动方向． 93．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． ◆题型9 反比例函数的图象与性质综合 94．在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 95．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由的图象向上平移2个单位长度得到，反比例函数（）的图象过点 (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点作平行于x轴的直线，与反比例函数的图象交于点M，且与一次函数的图象相交于点N． ①当时，______（填“<”“=”或“>”） ②当时，直接写出n的取值范围． 96．如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是_____．（填序号） ◆题型10 反比例函数的几何应用 97．如图，已知，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，动点在轴的正半轴上，线段交反比例函数图象于、两点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，给出下面三个结论： ①； ②对任意，存在唯一的动点，使四边形是平行四边形； ③当时，的面积有最大值2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 98．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 99．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2． (1)求k和b的值； (2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标； (3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标． 1．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·模拟预测）关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 4．（25-26八年级下·北京·期末）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，，．那么二次函数的图象中，当图象位于轴下方（不包含轴）时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 9．（25-26九年级下·山东德州·开学考试）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有不正确结论的序号是_________． 10．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下： ①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有三个．其中正确的结论有___________． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 三、解答题 12．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知二次函数． (1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)直接写出当时，的取值范围． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）已知二次函数几组与的对应值如下表： … 1 3 4 … … 12 5 0 0 5 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围 (3)将此二次函数图象位于轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象其余部分不变，得到的新的图象记作．过点作垂直于轴的直线，若直线与图象有两个公共点，则的取值范围是 ． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 15．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 16．（2025·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 17．（25-26八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 18．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． (1)求点A、B的坐标，并用含a的式子表示抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，取．将该二次函数在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的图象与原抛物线在x轴上方的部分共同组成图形G．若点（其中）和点都在图形G上，且存在点M、N使得，求m的取值范围； (3)过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点M，交直线于点N．若在点P从点O运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求a的取值范围． 19．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 20．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． (1)用含的式子表示： (2)将抛物线向左平移个单位，得到抛物线，过抛物线上一点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点． 若，求的面积； 当时，至少存在三个不同位置的点使得的面积相等，求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $