第26章二次函数单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学第26章二次函数单元测试，覆盖定义、图像、性质及应用，通过羽毛球飞行、风筝销售等真实情境考查数学眼光与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/30|二次函数定义（1题）、图像性质（4题）、应用（11题）|结合图像辨析增减性（6题），体现几何直观| |填空题|4/8|图像变换（16题）、与x轴交点（17题）|通过平移规律（16题）考查空间观念| |解答题|8/62|解析式求解（20题）、利润最值（25题）、含参数综合（27题）|风筝销售问题（25题）培养应用意识，含参数讨论（27题）发展推理能力|

第26章 二次函数 单元测试 （全卷三个大题，共27小题，满分100分，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(本题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 8．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 9．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 11．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 12．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 13．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 15．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题(本题共4小题，每小题2分，共8分) 16．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 17．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 18．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 19．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______ ． 三、解答题(本题共8小题，共62分) 20．（6分）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 21．（6分）已知抛物线，填空并画图： (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标是_______； (2)选适当数据填入下表，并在图中直角坐标内描点画出该抛物线的图像； … … … … (3)当时，自变量的取值范围是_______． 22．（7分）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 23．（7分）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 24．（8分）如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（8分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 26．（8分）已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． (1)求该抛物线的解析式； (2)求代数式的值． 27．（12分）已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第26章 二次函数 单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C D A A A D C 题号 11 12 13 14 15 答案 A A D C D 1．A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 4．C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 6．A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 7．A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 9．D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 10．C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 11．A 【分析】求羽毛球最大高度即求二次函数的最大值，可化为顶点式求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为米． 12．A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 13．D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 14．C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 15．D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 16． 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 17．和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 18． 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 19． 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 20．抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 21．(1)直线； (2) 列表如下： … … … … 作图如下： (3) 【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式作答即可； （2）先列表，然后描点，最后用平滑的曲线连线，即可画出图像； （3）根据图像作答即可； 【详解】（1）解： ∴该抛物线的对称轴是直线；顶点坐标为 故答案为：直线， （2）略 （3）解：由图像可知：当时， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图像的画法以及性质；熟练掌握二次函数图像与表达式之间的关系是解题的关键． 22．(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 23．(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 24．(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 25．(1)) (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为元 (3)当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设燕子型风筝售价为元时，销售量为个，根据题意列出一次函数关系式； （2）设锁大爷获得的利润为元，根据题意写出函数关系式，令，解方程，即可求解． （3）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 26．(1) (2)30 【分析】（1）把点代入抛物线可求出c的值，根据增减性得到抛物线对称轴为直线，求出b的值，即可得到抛物线解析式； （2）根据m是抛物线与轴交点的横坐标，得到，变形为，进而得到，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，即， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 抛物线对称轴为直线， ∴， ， 该抛物线的解析式为； （2）解：是抛物线与轴一个交点的横坐标， ， ∴， ， 方程两边除以得，即， ， ， ． 27．(1) (2) (3) 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为，可得当，即时，，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $