第26章 二次函数 单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦人教版九上二次函数单元，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，覆盖顶点坐标、图像变换、最值问题等核心知识点，适配单元复习，培养数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|顶点象限（1题）、对称轴（2题）|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|8/32|函数值比较（11题）、新定义（15题）|结合表格数据（12题），发展数据意识| |解答题|9/94|利润模型（20题）、动态几何（25题）|20题以手工艺品销售为情境构建模型，24题引入“相关函数”新定义，体现创新应用与数学思维|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—二次函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024九年级数学上册第26章—二次函数 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）二次函数的图象的顶点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（本题3分）二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（本题3分）将抛物线向下平移个单位，得到的新抛物线的表达式是（    ）． A． B． C． D． 4．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 6．（本题3分）二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．（本题3分）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（本题3分）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点为；⑤若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 10．（本题4分）如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 11．（本题4分）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 12．（本题4分）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 13．（本题4分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 14．（本题4分）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 15．（本题4分）定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 16．（本题4分）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则当时，x的取值范围是________． 三、解答题（共94分） 17．（本题8分）抛物线， (1)求顶点坐标； (2)若，则的取值范围是___________． 18．（本题8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 19．（本题10分）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 20．（本题10分）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 22．（本题10分）二次函数的图象与直线交于点. (1)求、的值； (2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出二次函数中，当时，的取值范围. 23．（本题12分）已知二次函数（m为常数） (1)当时，求二次函数图象与坐标轴的交点坐标； (2)当时，y的最大值是5，求m的值； (3)当时，如果点，点，点都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 24．（本题12分）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 25．（本题14分）已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)若M为的中点，求的面积； (3)若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—二次函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024九年级数学上册第26章—二次函数 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）二次函数的图象的顶点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】的顶点坐标为，求出顶点坐标后，根据象限内点的坐标特征即可判断． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，该点在第四象限． 2．（本题3分）二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 3．（本题3分）将抛物线向下平移个单位，得到的新抛物线的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟知“左加右减，上加下减”的平移法则是解题关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线向下平移个单位， ∴新抛物线． 故选：B． 4．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 5．（本题3分）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 6．（本题3分）二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，以及抛物线与轴交点个数和判别式的关系，根据条件列出关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵题目给出的是二次函数，且图象与轴有两个交点， ∴需要同时满足两个条件：二次项系数不为，根的判别式， 由判别式公式得 因此可得不等式组， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 7．（本题3分）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 8．（本题3分）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点为；⑤若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质． 根据图象可判断的符号，可判断结论①，由图象经过点可判断②，由对称轴及时的函数值即可判断③，由对称轴可判断④，由抛物线经过点和对称轴即可判断⑤． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， ∴①正确， ∵图象经过点， ∴， ∴②正确， 由图象可知，当时，， ∴， ∴③正确， ∵图象经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴④正确， 由题意可知是的一个根， ∵对称轴是， ∴另一个根为， ∴⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤共5个． 故选：D． 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 10．（本题4分）如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据函数图象的交点坐标确定不等式的解集． 根据函数图象的交点坐标可得关于的不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线的交点为， ∴关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 11．（本题4分）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，通过抛物线的顶点式确定对称轴和开口方向，比较两点到对称轴的距离，从而判断函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，且系数 ，故开口向上． 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． 由于开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，因此 ． 故答案为． 12．（本题4分）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（本题4分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 14．（本题4分）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 15．（本题4分）定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离，可证明的最小值在两点横坐标相等时取得，取得最小值1，求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对于抛物线上任意一点，其到直线的曼哈顿距离在坐标相等的点处取得最小值， 因为的绝对值小于,因此，问题转化为求的最小值， 则． 当时，． 令， 该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 此时， 故的最小值为， 即或， 解得或． 由于抛物线与直线没有交点，方程无实数根， 即的判别式， ， 解得． 因此不满足条件，满足条件． 故答案为：． 16．（本题4分）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则当时，x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，根据题意得出是解题关键． 根据题意得出顶点坐标为，代入一次函数确定，再由题意建立不等式得出，根据题意得出不等式求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将代入得：，即， ∴， ∵当时，， ∴， 整理得：， 当时，， ∴， 当时，即， ∴， 整理得：， 解得： 故答案为： ． 三、解答题（共94分） 17．（本题8分）抛物线， (1)求顶点坐标； (2)若，则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数配成顶点式，然后问题可求解； （2）根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：该二次函数的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：该二次函数的对称轴为直线，，即开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，则有，当时，则有； ∴当时，的取值范围是； 故答案为． 18．（本题8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 19．（本题10分）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：令，则， 令，则， 解得，， 所以，过，，的函数图象如图所示： 20．（本题10分）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价元时，利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出当时的值即可得到答案； （2）先求出对称轴和顶点坐标，最大值，再求出或时二次函数的值即可得解； （3）分情况列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时， 由题意得，该不等式组无解； 综上所述，． 22．（本题10分）二次函数的图象与直线交于点. (1)求、的值； (2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出二次函数中，当时，的取值范围. 【答案】(1)， (2)顶点坐标，对称轴为直线 (3)或 【分析】本题考查了求一次函数，求二次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出的值，再把代入求出，即可作答． （2）理解，则顶点坐标，对称轴为直线； （3）由（2）得，令，则，解得，根据的开口方向向上，得出当时，的取值范围为或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入，得， 则， 把代入， 得 解得； （2）解：由（1）得，则， ∴顶点坐标，对称轴为直线； （3）解：由（2）得， 其开口方向向上， 令，则， ∴， 解得， ∵的开口方向向上， ∴当时，的取值范围为或． 23．（本题12分）已知二次函数（m为常数） (1)当时，求二次函数图象与坐标轴的交点坐标； (2)当时，y的最大值是5，求m的值； (3)当时，如果点，点，点都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1)与y轴交点，与x轴交点和 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将代入，然后求交点坐标即可； （2）求出二次函数的对称轴，再分三种情况讨论即可； （3）根据题意得出点和点在函数上，得出对称轴为，确定，然后将点B代入得出，然后求解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴与y轴交点， 当时，， 解得：， ∴与x轴交点和； （2）解：， ∴对称轴为，最大值为， ∵当时，最大值5， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，最大值在处取得， ， 解得：，符合题意； 当时，最大值在处取得， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，或； （3）∵点和点在函数上， ∴对称轴为， ∴， ∵点在函数上， ∴， ∵， ∴， 解得：． 24．（本题12分）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)或或；或 【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解； （2）根据题意先求出图象的函数解析式，再分类讨论：当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时；当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时；当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时；结合图象即可求解； 根据题意先求出解析式，根据点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 25．（本题14分）已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)若M为的中点，求的面积； (3)若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点B的坐标，从而得到点C的坐标，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）点，求出直线的解析式为，再由，可设直线的解析式为， 把点代入，可求出直线的解析式为，然后联立，可求出点F的横坐标为，从而得到点M的横坐标为，即可求解； （3）连接，设点，由（2）得：点，求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，可求出点P的坐标为，再根据，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即点， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：， ∴点F的横坐标为， ∵M为的中点， ∴点M的横坐标为， ∴的面积为； （3）解：如图，连接， 设点， 由（2）得：点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用数形结合思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $