专题01 圆锥曲线中的离心率问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本专项聚焦圆锥曲线离心率问题，构建“方法-题型-变式”三维训练体系，提炼椭圆与双曲线各5种核心解法，通过12类载体题型实现逻辑推理与知识迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆方法|5种公式+证明|定义法、正弦定理等5法|从定义推导公式，建立焦点三角形模型| |双曲线方法|5种公式+证明|类比椭圆方法，突出定义差异|通过等比定理推导，强化与椭圆的联系| |12类题型|每题型1典例+3变式|针对三角形、四边形等载体的解题策略|题型与方法对应，实现原理到应用的迁移|

专题01 圆锥曲线中的离心率问题 （题型突破·举一反三） 题型一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 题型二、利用正弦定理求椭圆、双曲线离心率 题型三、利用焦半径公式求椭圆、双曲线离心率 题型四、斜率乘积求离心率 题型五、余弦定理求离心率 题型六、构造齐次方程求离心率 题型七、离心率的范围及最值问题 题型八、以特殊三角形为载体的离心率计算 题型九、以特殊四边形为载体的离心率计算 题型十、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 题型十一、以三角形四心为载体的离心率计算 题型十二、以立体几何的截面为载体的离心率计算 一、椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 二、双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 题型01 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 【典例1】（2026·高三·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 【变式1-1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 【变式1-2】（2026·高三·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 【变式1-3】（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 题型02 利用正弦定理求椭圆、双曲线离心率 【典例2】（2026·高二·宁夏吴忠·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点椭圆上的点，   ，且 在 中， 即 ，整理得： 即 故选：D 【变式2-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，， ，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把x=c带入得y=；∴|PF2|=； ∴在△PF1F2中，，∴， 解得：． 故选D． 【变式2-2】（2026·高三·河北石家庄·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为，则， 因为，所以，解得，即椭圆的离心率为． 故选：A. 【变式2-3】（2026·高二·重庆·阶段检测）椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 先过作x轴的垂线，垂足为， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为，所以， 所以，因为点P在椭圆上，所以， 所以，所以，化简得， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 题型03 利用焦半径公式求椭圆、双曲线离心率 【典例3】（2026·高三·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 【变式3-1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵， ∴， ∴ 故选：B 【变式3-2】（2026·高二·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【变式3-3】已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，根据双曲线定义 ，， 在△中，由余弦定理可得：． 在△中，由余弦定理可得：， ①②可得，解得． 故选：． 题型04 斜率乘积求离心率 【典例4】（2026·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率 故选：D 【变式4-1】已知、是双曲线上的两点，是线段的中点，且直线，的斜率分别是、，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．不确定 【答案】B 【解析】设点、的坐标分别是，，则点M的坐标是， 从而，， 由，得， 又，，所以，， 于是，又，得， 即，解得， 从而. 故选：. 【变式4-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】设，，，，根据的中点的坐标，利用点差法表示出斜率，从而得到关于、的关系式，再求离心率.斜率为2的直线与双曲线，相交于，两点， 设，，，， 则，①； ，②， ①②得， 则， 弦中点坐标为， ，， 直线的斜率为2， ， ， . 则. 故选：. 【变式4-3】（2026·全国·一模）已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 题型05 余弦定理求离心率 【典例5】（2026·高二·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. 【变式5-1】（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的定义可知，又，可得，. 已知椭圆的离心率为，故. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 则， 于是，解得， 故椭圆的长轴长为12. 【变式5-2】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数量积定义：， 在中， 根据双曲线的定义，故， 设双曲线的焦距为，焦点为和， 点在双曲线上，记，， 根据双曲线定义有，即， 由，得到， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 即，即，得到， 因此离心率为. 【变式5-3】（2026·福建·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，所以， 不妨设双曲线的一条渐近线为， 则到该直线的距离为， 因为，所以， 设双曲线的左焦点为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以双曲线的离心率为． 题型06 构造齐次方程求离心率 【典例6】（2026·高二·江西萍乡·期末）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 设为的中点，两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则， 即可得：， 解得： 所以，则， 平方后得， 即， 解得：或. 由条件， 因为，所以不合题意. 所以. 故选：D 【变式6-1】（2026·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则线段的中点为， 由三角形重心的性质知，即，解得： 即代入直线，得①. 又B为线段的中点，则， 又为椭圆上两点，， 以上两式相减得， 所以，化简得② 由①②及，解得：，即离心率. 故选：C. 【变式6-2】（2026·高二·浙江绍兴·期中）已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得垂直于轴，， 因为为的中点，则为的中点， 可得， 由可得， 即有， 在直角三角形中， 可得， 即有， 可得， 即， 由可得，， 解得舍去）， 故选：C. 【变式6-3】（2026·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得点在第一象限，，由双曲线的定义得， 所以， 因为，所以，连接，则， 所以，即， 所以为等边三角形，即， 在中（为坐标原点），， 所以的离心率. 故选：B. 题型07 离心率的范围及最值问题 【典例7】（2026·高二·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（）， 由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为， 对，半焦距，离心率，故； 对，半焦距，离心率，故； 则， 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此， 又，故， 即的最小值为2. 【变式7-1】（2026·高二·安徽蚌埠·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，， 所以. 在中，由余弦定理可得， 化简得，所以， 则，等号成立时， 则，则的最小值为. 故选：B 【变式7-2】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 【变式7-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 题型08 以特殊三角形为载体的离心率计算 【典例8】（2026·高二·山东日照·期末）已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ， 所以， ，由椭圆的定义知 ， 即，得 . 故选：B. 【变式8-1】（2026·高二·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为正三角形，，不妨设在第一象限，所以， 在椭圆上，则，，可得， 即得，所以， 因为，故解得． 故选：A． 【变式8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 【变式8-3】（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为. 故选：D 题型09 以特殊四边形为载体的离心率计算 【典例9】（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，, 由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即， 因为在椭圆上， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 【变式9-1】（2026·江苏·一模）已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为四边形为正方形，故， 故，而， 故，故，或， 因不重合且不共线，故或， 故关于轴对称或关于轴对称， 若关于轴对称，不妨设为上顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，而，故不成立，舍； 若关于轴对称，不妨设为右顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，故即， 故选：D. 【变式9-2】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，在第一象限， 由题知：，解得：， 由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称， 所以， 所以，解得. 又因为，所以，解得， 所以. 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C 【变式9-3】（2026·高二·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【解析】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 题型10 以内切圆外接圆为载体的离心率计算 【典例10】（2026·高二·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且的外接圆与内切圆半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理得，解得， ，， 由余弦定理得 ，解得， ， ， ， ，解得． 故选：C． 【变式10-1】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 因，，代入解得. 所以. 即，解得． 故选：A 【变式10-2】（2026·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则的面积为． 因为的内切圆半径为，又， 所以的面积可表示为， 所以，则． 又因为，所以． 两边平方得，而，所以， 整理得，两边同时除以，得， 解得，又，故，即椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A 【变式10-3】（2026·高三·广西来宾·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则，即，① 在中，， 由余弦定理可得：， 即，② ①②得：， 所以， 又， 又， 因为，则，即， 所以. 故选：B. 题型11 以三角形四心为载体的离心率计算 【典例11】（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知椭圆，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的右焦点，P，Q为椭圆上的点，为等边三角形，且F为的重心，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知椭圆C的焦点在x轴上，设，根据对称性可知，轴， 因为F为等边的重心，所以， 所以，则，即， 代入椭圆方程可得，则， 整理得，解得或， 因为，所以，则. 故选：B 【变式11-1】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】取的中点为，因为的重心为，且在中线上， 所以，由中点弦有， 所以，所以，又因为， 所以，所以， 又由，得的外心为为的中点， 所以由中点弦有,所以，即， 由有，所以， 所以， 故选：A. 【变式11-2】（2026·高二·广东佛山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是坐标原点，为的内心.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为上顶点为， 所以是等腰三角形，所以内心在纵轴上，如图所示： 因为是的内心， 所以设， 因为，所以， 所以在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以，或舍去， 所以 . 故选：C 【变式11-3】（2026·高二·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心(三条高线的交点)恰为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据抛物线和双曲线的对称性，可知两点关于轴对称. 可设，，（）. 因为为的垂心，所以. 又，, 由，结合，可得. 所以. 根据双曲线渐近线的方程可得：. 所以双曲线的离心率为：. 故选：C 题型12 以立体几何的截面为载体的离心率计算 【典例12】（2026·高一·北京·期中）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则下列说法错误的是（    ）    A．椭圆的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角为 D．椭圆的离心率为 【答案】C 【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 其中是直线与圆锥的交点， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又，则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确. 【变式12-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因此可得，所以； 又点为线段中点，所以， 由勾股定理可得， 由椭圆对称性可知，连接，延长交于点，如下图所示， 由于都是中点，所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 又在中，，可得； 因此可得， 设椭圆的短轴的两个端点为，连接并延长分别交圆锥底面于点， 易知，所以， 因为为圆锥母线，所以，因此， 在中，由勾股定理可知， 所以在椭圆中，， 因此可得， 可得椭圆离心率. 故选：B 【变式12-2】（2026·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 【变式12-3】（2026·高二·河南开封·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用矩形ABCD截某圆锥得到的椭圆E与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，故离心率为 故选：C 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆锥曲线中的离心率问题 （题型突破·举一反三） 题型一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 题型二、利用正弦定理求椭圆、双曲线离心率 题型三、利用焦半径公式求椭圆、双曲线离心率 题型四、斜率乘积求离心率 题型五、余弦定理求离心率 题型六、构造齐次方程求离心率 题型七、离心率的范围及最值问题 题型八、以特殊三角形为载体的离心率计算 题型九、以特殊四边形为载体的离心率计算 题型十、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 题型十一、以三角形四心为载体的离心率计算 题型十二、以立体几何的截面为载体的离心率计算 一、椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 二、双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 题型01 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 【典例1】（2026·高三·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型02 利用正弦定理求椭圆、双曲线离心率 【典例2】（2026·高二·宁夏吴忠·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，， ，则的离心率为 A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高三·河北石家庄·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·重庆·阶段检测）椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型03 利用焦半径公式求椭圆、双曲线离心率 【典例3】（2026·高三·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式3-3】已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 题型04 斜率乘积求离心率 【典例4】（2026·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-1】已知、是双曲线上的两点，是线段的中点，且直线，的斜率分别是、，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．不确定 【变式4-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式4-3】（2026·全国·一模）已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 题型05 余弦定理求离心率 【典例5】（2026·高二·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·福建·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 题型06 构造齐次方程求离心率 【典例6】（2026·高二·江西萍乡·期末）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高二·浙江绍兴·期中）已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型07 离心率的范围及最值问题 【典例7】（2026·高二·广西梧州·期末）若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高二·安徽蚌埠·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-2】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型08 以特殊三角形为载体的离心率计算 【典例8】（2026·高二·山东日照·期末）已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高二·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 题型09 以特殊四边形为载体的离心率计算 【典例9】（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·江苏·一模）已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·高二·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 题型10 以内切圆外接圆为载体的离心率计算 【典例10】（2026·高二·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且的外接圆与内切圆半径分别为，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·高三·广西来宾·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型11 以三角形四心为载体的离心率计算 【典例11】（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知椭圆，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的右焦点，P，Q为椭圆上的点，为等边三角形，且F为的重心，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式11-2】（2026·高二·广东佛山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是坐标原点，为的内心.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·高二·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心(三条高线的交点)恰为的焦点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型12 以立体几何的截面为载体的离心率计算 【典例12】（2026·高一·北京·期中）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则下列说法错误的是（    ）    A．椭圆的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角为 D．椭圆的离心率为 【变式12-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2026·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【变式12-3】（2026·高二·河南开封·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用矩形ABCD截某圆锥得到的椭圆E与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01圆锥曲线中的离心率问题 参考答案 题型01椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 E 典例精析 【典例1】【答案】A 【解析】双曲线C: 尔-1的两条渐近线方程为y=士2x x2 y2 a 圆x2+y2-2x-4y+1=0的圆心坐标为0,2)，半径r=2 由题意双曲线C的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切 西心坐标02他于第-家限，画与)合相之，与-合相切 bx1+a×2_b+24=2,整理得4ab=36 :圆心0,2)到渐近线x+w=0的距离等于半径，即++方 b>0,b=4 0, id--dth d+16a 9 25 a2 a 9 5 ∴.e= 上举一反三 【变式1-1】【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知BF-BF=2a,又因为BF:BF=3:5, 所以A=a,BF=3a,BF=5a,所以A=Al+2a=3a 在△BFE和△BAE中 CO32R-IBEF +BEP-I5EE_84+IBEP-A5P 2 BFBF 2 BA BF2 即3a+5@-2c_4aj+5aj2-3a 2.3a.5a 2.4a.5a c10_0 所以4c2=102所以eV后-V4=2 1/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【变式1-2】【答案】B 【解折】根据题意，义DOE为等题直角三角形，所以DFO,则。=C,即二aC 整理得2-c-d-0即e-e1=0→(e-- 解得e1+5或e-1上，5（合），所以e1+5 2 2 2 【变式1-3】【答案】B 【解析】如图，连接FE,由双曲线定义，DFHDF=2a, 因EEl=DF引，则DF-DF-DF-EF=|DE=2a, 由对称性可知，EFHEF HDF引，设EF=DE=x, 在等腰三角形DB5中，cas30-即x=23。 3a(* 在△DFE中，由余弦定理，4c2=(2a+x刈+x2-2x2a+x)cos30, 即(2-5)x2+2(2-V5)ar+4d2-c2)=0, 将中代入，可得42，a+430-g+4-c)=0, 3 3 整理得(2+5n=3c,则有e-2+5 31 2/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2+5 4+2V3√3+13√2+V6 故e= 3 6 6 6 E 题型02利用正弦定理求椭圆、双曲线离心率 E 典例精析 【典例2】【答案】D 【解析】P点椭圆C上的点， .PF +PF =2a F F2 PF⊥FE,且∠PFE=30° 在aPFE中，EE+PF=PF 即(2o+ar-(or,整理得：- 4 3 3 3,..es. 故选：D E 举一反三 【变式2-1】【答案】D a:2 【趣、把c带入2+行得大 a i 3/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b2 FG-c.1(@-25 ∴在△PF中，a=5acac c 2c 解得： =2-V3,或-2-5（舍）. a 故选D 【变式2-2】【答案】A A 【解析】 F F2 因为PF=3pgPF+PR=2a则PS=,PR= 因为所1F5所牙+e- 4,解得 a2,即椭圆。的离心率为学 故选：A 【变式2-3】【答案】D 【解析】 先过P作x轴的垂线，垂足为T, 因为∠FPR-2,所以PFP+Ps=|F52=4C, 又因为PE+|PE=2a,所以PE+PE=4a2, 所以2pFPs|=4d-4e=46,所以Sm%=号PrP听-x2cxPm=尔. 所P-兰又退为-号所-兰 4/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b2 因为点P在椭圆上，所以 a ac-b22 c2-b ac 化简得。2+2ac-2a2=0' -2±V4-4×(-2) 所以e+2e-2=0,所以e= =-1±3, 因为e∈(0，)，所以e=V3-1. 故选：D. 题型03利用焦半径公式求椭圆、双曲线离心率 典例精析 【典例3】【答案】D 【解析】因为A=2FB,所以设BF=m,则4=2m, 由椭圆的定义，得B=2a-m,4=2a-2m, 在RtAFAF中，AE+AE=EE, 因为EE=2W5,所以(2a-2m}+(2m)2=12.① 在Rt△FAB中，AE+AB=BF,即(2a-2m}+(3m)'=(2a-m)2.② 联立①@，解得m=5.35 5，as 5, 又因为 ,所以椭圆的离心客e=。=,5=3 c=V3 C 5 A 举一反目 【变式3-1】【答案】B 5/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2 y2 【解析】设双曲线C: 户=1的右准线为 过A、B分别作AM⊥I于M,BN⊥I于N,BD⊥AM于D, 如图所示： D M A B 因为直线AB的斜率为V3, 所以直线AB的倾斜角为60°， 六∠BAD=600,H 0=24, 由双曲线的第二定义得：MM-BN=4D=。A-F列）)A6i=)a+F@列 又·AF=4FB, 8网-F网， 6 e=3 故选：B 【变式3-2】【答案】D 【解析】设M(,),N(x,2),由M匠=3FN,得y=-3y, 1 设直线，的方程为x=2y-c, x y2 a2 b2 =1, 由 x'(年-P2-c+--0 1消去，得 x= 2y-6, cb2 b'c2-a'b2 由根与系数的关系，得片+片”以= 42 62 4a2, 6/29 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以2y cb2 b'c2-a'b2 -,-3y= 12 cb2 b'c2-ab2 所以-3× b2 ,化简得 a 32=1 2-a2 4 4 所以-3c2=c2-a2-4a2,得4c2=5a2, 所以e2=」 4,可得e= 2 故选：D 【变式3-3】【答案】D 【解析】设A上k,BS上7k,根据双曲线定义 I AF2 =k+2a,IBF2 |=7k+2a, 在△A5中，由余弦定理可得：+2a2=(2c2+2-22 ckcos60°. 在△BFE中，由余弦定理可得：(k+7a2=(7k)2+(2c2-22c7kcos120°， 0.②可得7-解得0=引 2 故选：D. 题型04斜率乘积求离心率 三典例精析 7/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例4】【答案】D 【解析】不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y=k(x-c,k≠0，令A(:,y),B(:,y) (x2 y2 由6尔=1 ，整理得 y=k(x-c) (b2-a2k2）x2+2a2kcx-(a2kc2+a2b2）=0 则x+x2= -尔，5=a2+a6 2akc ae8,D,6& a2k2-b2'a2k2-b2 kb'c b2 1 b2 1 则kon= R:由wkm=2可得2kk=2 则有。=2b2,即3如-2c2则双曲线c的离心率e=仁=6 a 2 故选：D 举一反三 【变式41】【答案】B +龙出+业 【解析】设点pQ的坐标分别是(x,y)(x2,y,)则点M的坐标是2,2 从丽会名，专十名 X2+x1 乃-火=2， 由k=2,得巧-子 号芳=1，手答-山，所以方-k-小.方-后-）， 干光时-尊装-2，g-2, -2.解e-3 从而e=v3 故选：B 【变式42】【答案】B 【解析】设A(:,),B(x2,y2),根据AB的中点P的坐标，利用点差法表示出斜率，从而得到关于a、 6的关系式，再求离心率斜率为2的直线与双曲线C:。之-方=(a>0,b>0,相交于，B两点 设A(x,),B(x,2), 8/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22 2分=1，②， ①_②得5-+).0-⅓01+) a 则k=当五=6出+5 x-x2 ay+y 弦AB中点坐标为(，) +x2=2,+2=2, ·直线的斜率为2， ∴.b2=2a2, c2=a2+b2=3a2, e2=3. 则e=3! 故选：B。 【变式43】【答案】B 【解析】由题意 设 kou =2=4' A(6,y),B(x,) 两式相减得 6+5s-+儿-》=0，而ka=-2 a 6 之会{ ，b2 所以行=8→e=+ =3 a 故选：B。 题型05余弦定理求离心率 三典例精析 【典例5】【答案】C 9129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PF PF 【解析】由正弦定理得：sin∠P5Fsin∠PF5,结合sin∠PF,=3sin∠PF5' 所以PF=3PF引， 又由PF-PF=2PF=2a,所以PF=a,PF=3a, 由余弦定理得：E=PE+PE-2 PFPFcos60°， 所以4c2=9a+d-2xax3ax)=7a,所以e2=S=7 2 a24 所以e= 2 E举一反 【变式5-1】【答案】D 【解折】由椭圆的定义可知1+61=2a,又M=24,可得4=9,4-9。 c-22 己知椭圆的离心率为。3， 故5l=2c=4v2a 3 在 中，由余弦定理可得cos∠R仍=A+A-F 24FAF △AEE 2x ax2a 33 因为∠EA5∈(0，x),所以sin∠RA5=V-cos2∠RA5=5 4 则5所号智智. 于是了-4，解得。=6 故椭圆E的长轴长为12. 【变式5-2】【答案】B 10/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解折1山数积定义：瓜所，-厅厅os音女. 2π 在AFP5中E=P+PF-2 PFcos号=PF+Ps+PRPE, 根据双曲线的定义，故P-PE=2a, 设双曲线的焦距为2c,焦点为F(-c,0)和E(c,0), 点P在双曲线上，记PF=m,PF=n, 根据双曲线定义有m-m=2a,即(m-n)2=4a2, 32mn=-402 由P诉·PE=mncos2=-1m 3a，得到mn= 所以m+r2=(0m-n}+2mm=4a2+a】 3 在APSR中，RP阳-经 由余弦定理得：E5=m2+n2-2mcos2 即4c2=m2+n2+mn,即c2=3a2,得到e=v3, 因此离心率为V3 【变式5-3】【答案】D 【解析】以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A,所以OA⊥AF, b 不妨设双曲线。的一条渐近线为y=。x, a b bc xc a a 则 到该直线的距离为4F= =b b c AF b F(c,0) +a cos∠PFF= OF c 因为=P所·所以PF- 设双简骏C的左焦点为5：则PA-9+2a, 11/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在aPFF中，由余弦定理得，PE=PF+EF-2xEF×PFxcos∠PFE +2-份+2-2x2c2解得 a=b 所以双线。的心幸为e=+- 题型06构造齐次方程求离心率 三典例精析 【典例6】【答案】D 【解析】如图： 设E为0的中点，M.N丙方业标为k,W小（任臣，生） 2 3 则 62 ,两式作差化简可得： (玉-：+_(4-+) 3 b2 b2_(y-)4+2） (x-x2)(x+x2) kw号府5w a,所以kas=-V22 2a,F(-e,0,40,-b) 由F恰好为△AMN的重心，则AF=2FE, 12/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即可得：（-c,b)=2(e+c,yE), 解得： 所以2.6 2a=30,则2d=32c' 平方后得2a=9bc2=9(a-c2)c2,9c-9ac2+2a=0, 即9e'-9e2+2=0→(3e2-03e2-2)=0, 解得：e=5 3 c2、1。 系件cbc>c>-22e0a23② 所以e5不合腿意 3 所以e= 6 3 故选：D 三举一反目 【变式6-1】【答案】C 【解析】由题设F(c,0),A(0,b),P(x,片)，Q(x,),则线段P的中点为B(x,%) 白三角形蛋心的生质如非-2丽即化，-=26-6%小解得：气=兰=台 3c 5引代入百我1：6r-5y-28=0:得c+空28-00 又B为线段P巴的中点，则+=3c,+=-b, 又P0为猫周上两点，等+答-停+答-1. 以上两式相减符任+儿-，+-为）-0. b2 所以k0=片-及=-+五-2x3c-6 (-5a+片a*方5，化简得20-56② 13/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a=25 由①②及 解得 b=4 即离心率。√5 a2=b2+c2 c=2 e= 故选：C 【变式6-2】【答案】C 【解析】由题意可得PE垂直于x轴，O0∥PF, 因为O为FF的中点，则为PF的中点， 可得|PE=21E,上2V2c, .b2 可得y=b a 即有PSK a 在直角三角形P中， 可得PFPAPEP+|FEP, 即有答轮， 可得b=4a2c2, 即b2=2ac=c2-a2, 由e=后可符，d-20-1-0 解得e=1+V20-V2舍去)， 故选：C 【变式6-3】【答案】B 【解析】由题意得点P在第一象限，F=2c,由双曲线的定义得P-PE=2a, 所以Pg+E-PF=2a 因为Q=PF引，所以Pg=2a,连接F,则QF=Fl, 14/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以2=PR,即∠PQS=∠QPR=2☑PFR-, 所以aPF2为等边三角形，即lQF引=|QF=2a, 在a0r0中（o为坐标原点)，c0s∠00=O5-°-5 OF,2a 2 所以c的离心率e=C=5 故选：B. 题型07离心率的范围及最值问题 三典例精析 【典例7】【答案】A x2 y2 【解析】设焦点在x轴上的双曲线C的标准方程为。一尔1(a>0,b>0), y2 x2 由关轭双曲线的定义，其共轭双曲线C,的标准方程为示。=1>0)。 对G半焦距6=厅+，窝心率9=三，故G-+ a a2 16 对C,半焦距c,=a?2+b22,离心率6=6，故e=Q+b2 C2 a2 -=1 b2 62: 则%s-++)2+号号。 a2 b2 由基本不等式， .a2b2 =2,当且仅当行-？即。-6时等号成立， 因此(%e2)≥2+2=4 又%>1,6>1，故%6≥2， 即的最小值为2. 15/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三举一反 【变式7-1】【答案】B 【解析】不妨设P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：PF+P=2a,P-PF=2a, 所以PF=a+a,PF=a-a. 在aPR5中，由余弦定理可得cos-a+a厂+(g-4}-4c2 4 2(a+a)(a-a) 化简得-)G+=c.所以2-，+店4 c2 c2 2-V22+2 则 =4≥2 2-2.2+2_22 e 号6，等号成立时 2-22+V2 则96≥2 空，则66的最小佰为号 故选：B 【变式7-2】【答案】A 41<1 【解析】设c的右焦点为F,因为点A(2,1)在C的内部，所以g十m 由椭圆的定义知PF+PF'1=2a=6,所以PF=6-PF1, 则PF+PA=6+|PA-PF\≤6+AF1, 则PF+PA的最大值为6+AF1,所以6+AF叫=6+V(N9-m-2)2+1>6+V2, 又0<m9所以<a9时n满起号1， 所以c的离心率e=g) 【变式7-3】【答案】A 【解析】椭圆C以A,B为焦点，即c=1,b2=a-1, 16/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2 y2 所以设椭圆方程。+。 ,=l(a>1), x2y2 -=1 联立方程a2a2-1 y=x+3 消去y得出(2a-1)x2+6a2x+10a2-a=0. 由题意可得△=36a-4(2a2-110a2-a)≥0， 即a4-6a2+5≥0，得出a225或ad≤1（舍去），解得a2V5, 所以e='s5 aa 5, 5 所以椭圆c的离心率的最大值为 题型08以特殊三角形为载体的离心率计算 三典例精析 【典例8】【答案】B 【解析】设椭圆的焦距为2c(c>0),右焦点为F,直线OQ交FP于点M, 连接PE,因为△PF2为正三角形，O0⊥FP, 所以M为FP的中点，所以OM IIFP, 故∠RPR=，易知∠RFP 6 所以PE=c,PF=√3c,由椭圆的定义知PF+PE=2a, 故选：B. 举一反扫 【变式8-1】【答案】A 17129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解析】因为人。4厅为正三角形，FC0:不窈设在第一象限，所以A(5,) 4在，则行+装-1+，。 c23c2 a2-c=4,可得e2+3e 1e2s4, 即得e-8e2+4=0,所以e2=4-2v3, 因为0<e<l,故解得e=3-1. 故选：A. 【变式8-2】【答案】D 【解析】由题意，△PF5为等腰三角形，∠PF,F=120°， 所以PF=|FE引=2c, 所以PF=|PE+FE-2 PFFcos120°=12c2,即lPF=2v3c, 所2a-P网Hw-25+小火，后ia， 3-1 即C的离心率为2 【变式8-3】【答案】D 【解析】已知椭圆C:士+ 云+左=1的左、右焦点为r(-c,0)F(c,0),左顶点A(-a,0) 因为△PFB为等腰三角形且∠FEP=60°，所以△PFE是等边三角形，边长为F引=2c,故PF=2C, P点坐标为0，±v3c】 又△PFA为等腰三角形，PF=2c,AEl=a-c,|PA=V0+m}+(±3c-0=V+3c 由等腰三角形性质， 若PFH,则2c=a-e,则a=c离心率e=名=￡- a 3c 3 若PF=PA,可得2c=Va2+3C2,即4c2=ad+3c2,则a2=c2,因为a>c>0,所以此情况不成立. 若A=PA,可得a-c=Va+3c2,则(a-c)2=a2+3c2, 化简得2ac=-2c2,因为c>0,所以a=-c,不满足a>c>0,此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为3 故选：D 18/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 题型09以特殊四边形为载体的离心率计算 E 典例精析 【典例9】【答案】D 【解析】由题意可得A(a,0),O(0,0), 由题意可知四边形0PM0是正方形，所以O1与r0垂直且平分，即？号)】 aa 因为P 22在椭圆E:×+ +6京=1a>b>0)上， a2 3 所以4+A=1,即公=1， a2 a23 6 所以椭圆的离心率为e=二= a 举一反三 【变式9-1】【答案】D 【解析】设A(,),C(:,),因为四边形0ABC为正方形，故OA=OC, 故5听=写+时原答-+紧1， a2 b2 改+学店6学放5政5=5 a 19129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=-x2x=x 因AC不重合且不共线，故以=为或以=为： 故A,C关于x轴对称或关于y轴对称， 若A,C关于y轴对称，不妨设B为上顶点，则B(O,b), b b 因为四边形O4BC为正方形，故y=y必多，则X或=七 2 b2b2 故4+46=1，故b2=3a,而a>b>0,故2=3a不成立，舍： 若A,C关于x轴对称，不妨设B为右顶点，则B(a,0), 因为四边形01BC为正方形，故，=戈-号，则儿=儿 2政%号 故行+物l,故。=6，故r=36-c)即g-6 a2 .g2 a 3 故选：D. 【变式9-2】【答案】C 【解析】设A(m,n),在第一象限， 石存=山，解得：心-仁m-尔 m2 n2 由题知： 由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称， 所以m=n, ㎡-，解得m=水 所以m2=62 b2-a2 a2b2 又因为㎡>d,所以。a>d,解得公-d>0, 所以c2-2a2>0→e2-2>0→e>2. 即双曲线离心率的取值范围是(V2,+∞)， 故选：C 【变式9-3】【答案】D 【解析】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以AN IIOF,MN=MF=ONW=OF, 记双曲线的焦距为2c,右焦点为F则F(-c,0),F'(c,0)且根据双曲线的对称性，点N的横坐标为2， 20129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以cos∠NOF=2=,所以sin∠NOP=5,所以点，的纵坐标为VBc 2 c23c2 所以点N 2’2 在双曲线上，代入双曲线方程，得4-4=1： a2-b2 整理得：（3a+b)e2=4a2b,联立c2=ad2+b2, 得：（-3a2+c2-a2)c2=4a(c2-a2),化简得：c-8ac2+4n=0 两边同除以a,得：e-8e2+4=0,解得：e2-4±23，e=V5±1. 因为双曲线的离心率大于1，所以e=V3+1。 M 方法二：如图，因为四边形OFN为菱形，所以MN IOF,MN=MF=ON=OF, C 记双曲线的焦距为2c:右焦点为F则F(-c,0),F'(c,0)根据双曲线的对称性，点N的横坐标为2， 所以cos∠NOF=2=),所以in∠NOF"=5,所以点、的纵坐标为V3c, N 2 3c 所以WF =3c,以NF'= 2 +2 =C c 2 由双曲线的定义，则N-NF1=2a所以5c-c=2a所以。万一5+1，双曲线C的离心率为 V5+1. 故选：D 题型10以内切圆外接圆为载体的离心率计算 典例精析 【典例10】【答案】C 21/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【程打】由上孩定理行m2。=2说，解得R-25。 FF43 C, 3 PF+PF =2a,C.PRE =2a+2c 由余弦定理得|PE+PF-2 PFPFCOS∠EPE-(PE+PE-3 PRIPE =4-3 PRileE=FEP=4e2,解得iPFlieE=4a,4c 3 Sms=2P5Pssm∠EPg= 5(a2-c2) 3 23(a2-c2） 2SP5= 3 r= C.PRF 2a+2c 3(a-c R=3r, 32c=v3(a-c,解得e=c= 2W3 -c3 a 5 故选：C 三举一反目 【变式10-1】【答案】A 【解析】因为椭圆的离心率为)，长轴长为4，所以2a=4,e=仁=) a2’∴a=2,c=1 在△PFE中，由余弦定理得FE=PE+PF-2 PFPF cos60° =(PR+PF)-3PFIIPF 因FF=2c=2,PF+PF=2a=4,代入解得PFPF=4. 所以Saw5=2 Psin60=2r(PEl+PF+FF). 即2×4× -r(4+2小新网号 3 故选：A 【变式102】【答案】A 【解折】设M(xww)w≠0)，则aMEE,的面积为2FE-wl. 2c 因为AMEE,的内切圆半径为3，又M+ME=2a, 22129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以aM5的面积可表示为a+2)公 3 所以写2c-a+2号则=209 3 2a+c≤b 又因为yw≤b,所以3 整理得13c2+8ac-5a2≤0，两边同时除以a2,得13e2+8e-5≤0， 3,又0<e<1故0<es 解得-1ses 57 即椭圆c的离心率的取值范围是0， 故选：A 【变式103】【答案】B 【解析】设P=4,P=h,则4+5=2a,即++242=4a2,① 在AK防中，FPR=. 由余弦定理可得：F5=PRf+PRf-2子， 即+6+4=4c2,② ①-②得：4=4(a-c2), 所以5s私sm行=5(a-c)。 1 3 又w%-u+2a9r23c.8a-. a+c 2c 又咖2五2R 3 R-2e 3 因图R则c=3(a-c,即a4 3 c3 所以e= a 4 故选：B 23129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型11以三角形四心为载体的离心率计算 三 典例精析 【典例11】【答案】B 【解析】由题意可知椭圆C的焦点在x轴上，设F(c,O),根据对称性可知，PO1x轴， 因为F为等边aPO0的重心，所以c=+。+0 3 所以xp=xg= ，则，=m30,=c,即 (3c c 2 2 2’2 9c2.3c2 9e2.3e2 代入椭圆方程可 4d+46l,则4+40-） -1=0. 9或e2-8+26 整理得e-16e+4=0解得心-8-27或 9 9,则e=v7-1 因为ee00所以e2=8-25, 3 故选：B E 举一反主 【变式11-1】【答案】A 【解析】取AC,BC的中点为M,N,因为△OAC的重心为P,且P在中线OM上， 62 所以k=kr=kow,店=k0=kow'由中点弦有kowkc=kowkc=a, 24129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 b2 所以kkc=kk乙之 所以kack.kwc a 又因为 AC⊥BC 所以kkc=- 所以k 又由AC⊥BC,得△ABC的外心为R为AB的中点， b2 所以由中点弦有ak如合k。=1,所以e合，即气答， 62)3 由kkk=-27有 =27,所以6 =3, b2 所以e=。1+ =2, 故选：A 【变式11-2】【答案】C 【解析】因为上顶点为A, 所以△A5是等腰三角形，所以内心I在纵轴上，如图所示： 因为I是△AFB的内心， 所以设∠41=0-o0o》 因为a=20,所以0-340-b, 所以在直角三角形450中，am20= AO_b OF c' b 在直角三角形，。中，tanO= 0_3 IEO 所以an20 =3→ 21am0xL-3→tan0= tan 1-tan20tan 3,或tam0=- 3舍去， 25129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x-b5-b→3c2=833c2=a-c2d=4e 所以=名→am2×)- →a=2c→e=2 故选：C 【变式11-3】【答案】c 【解析】根据抛物线和双曲线的对称性，可知A,B两点关于x轴对称 可设A(%),B(-,%),(x>0) 因为F0号)为OB的，所以FA10B 山.O0+号)=0，结合-2m5>0可%- 所以6=2pm=2px3p=5p→x=5p 根据双曲线渐近线的方程可得： b=h=5 ax2 所以线的离率为：合-小 b)2 故选：C 题型12以立体几何的截面为载体的离心率计算 三典例精析 【典例12】【答案】C 26129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球O,球O2的截面大圆，如图， 其中M,N是直线EF与圆锥的交点， 点A,B分别为圆O,O,与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段MN的中点）不在直线OO上，故A正确； 椭圆长轴长2a=MN=MF+FN=MF+ME=MB+MA=AB, 过O作OD⊥OA于D,连OB,显然四边形ABO,D为矩形， 又0，=l04=3,00=42,则2a=4=l0,D=V00,-0,D=42}-2=27, 过O2作O,C⊥O,E交OE延长线于C,显然四边形CEF0,为矩形， 椭圆焦距2c=EF=l0,C=V0,0,-Q,C=V(42-42=4,故B正确： 所以直线00，与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为si血∠C0,0= 0C_4-V2 0024V2-2, 故C错误： 2c_42V7 所以椭圆的离心率e= 2a2√77， 故D正确 举一反三 【变式12-1】【答案】B 【解析】设AB=2r,由于圆锥PO的轴截面APB是等腰直角三角形， 因此可得PA⊥PB,所以PB=V2,PO=r: 又点M为线段pB中点，所以PM=5, 由勾股定理可得AM=VP+PM-0, 27129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由椭圆对称性可知40=MO=0, 4I,连接P0,O0:延长p0交AB于点c,如下图所示， 2 由于0.Q都类中点所以在。y中，1o0-9u=,. 在aPaw巾，QP=aM=o, 4, 在 中，由余弦定理可得cos∠OPO=L lon tor-oop 88_310 2OP OP 2x10 10 △OP0 4 又在 tAOPC中，cos∠OPO OP r 310 PGPq=10,可得PC=io, 3 V10 OP 4 r 3 因此可得PC √10 4 3 设椭圆O的短轴的两个端点为D,E,连接PD,PE并延长分别交圆锥底面于点F,G, PDOP_3 易知 PDE-APFG'所以Pm-PC-4: 因为pF为圆维母线，所以PH=P=V2,因此PD=3 4 在RaP0,D中，由勾股定理可知QD=Po-O产=5，】 年圆中，a=M0=4,b-=2人 0 因此可得c=V-=2, 4 28129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 r 4 √5 可得椭圆离心率e= a 10 故选：B 【变式12-2】【答案】C 【解析】由题意的∠OSC=a,∠EOS=B, 则∠SC0=90°-u,∠E0C=90°-B, 所以e=cosE_sim∠Eoc cosa sin∠SCO' 在△S0C中，SE=2EC,S0=2W2,C0=1,且S0⊥OC, 则SC=VS02+0C2=3,EC=1, E-0+-+-08OC-0)-0c+0 ocasgococ. 所以0E=2 3, EC EO 由正弦定理得， sin∠EOC sin∠SCO' sin∠EOC_ECv3 sin∠SC0E02 故选：C. 【变式12-3】【答案】C 【】器子-行心率为小合- 故选：C 29129