椭圆方程及其性质题型分类训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆核心题型，以11类题型构建从定义到综合应用的完整训练体系，通过分层例题实现知识逻辑与解题方法的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与方程|3例（含高考真题）|多条件方程求解|定义→标准方程→参数关系| |焦点三角形|3例（含2023高考题）|周长与面积计算|椭圆定义→余弦定理→面积公式| |离心率|4例（含取值范围）|几何与代数法结合|a,b,c关系→离心率公式→不等式应用| |直线与椭圆|3例（含位置关系）|弦长与中点弦问题|联立方程→韦达定理→距离公式| |综合运用|2例（含定值证明）|多知识点交汇|方程思想→转化与化归→逻辑推理|

椭圆方程及其性质题型分类训练 题型分类 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型二：椭圆方程的充要条件 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积 题型四：椭圆上的最值问题 题型五：求解轨迹方程 题型六：椭圆的简单几何性质问题 题型七：求离心率的值及取值范围 题型八：直线与椭圆的位置关系 题型九：弦长与中点弦的问题 题型十：斜率之积问题 题型十一：直线与椭圆的综合运用 题型一：椭圆的定义与标准方程 例1.（1）（25-26高二上·福建莆田·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是4，且经过点； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过，两点 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为，所求椭圆过点， ，，，椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为.把，两点代入， 得：，解得，，椭圆方程为. （2）（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，焦距为，且经过点 （2）经过点两点． （3）过且与有相同的焦点； 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题可得，将代入方程中得，又，，故，所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即．则， 设所求椭圆方程，因为椭圆过点，代入方程得，解得（舍去），，故椭圆的标准方程为. 例2.（1）（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设半焦距为，则由题设有，故，故椭圆方程为：，又因为点在椭圆上，故，解得，则.所以椭圆标准方程为：.故选：B. （2）（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设所求椭圆方程为，将点代入，可得，解得（舍去），故所求椭圆的标准方程为．故选：D. （3）（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得，所以椭圆的方程是．故选：B （4）（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，所以，，设，则，可得，则，解得，所以椭圆C的方程， 故选：A. 例3.（1）（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为 所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B. （2）（全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． （3）（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的标准方程为______． 【详解】因椭圆为标准方程，其图像关于坐标轴对称，点与点关于轴对称，又恰有三点在椭圆上，可知两点必在椭圆上，若点也在椭圆上，设椭圆方程为， 则将坐标代入椭圆标准方程可得，此方程组无解，故点不在椭圆上， 因此，在椭圆上的三点为设椭圆方程为，将代入椭圆可得， ，解得，所以椭圆方程为.故答案为： （4）（2025·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为椭圆的离心率，可得，所以，即，可得， 则点，右焦点，所以， 由题意可得直线的斜率，所以，即，由题意设直线的方程为，直线的方程为，设直线与直线的交点为，联立，可得，，则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，即，，的周长为，可得，所以，，所以椭圆的方程为：.故选：C． （5）（25-26高二上·江西上饶·期末）已知由椭圆：与椭圆：的交点连线可构成矩形（点在轴下方），且，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴，椭圆的焦点在轴，画出两椭圆的图象，如图所示： 因为，所以点的纵坐标为横坐标的倍， 设，则，解得，所以的值为.故选：A. （6）（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【详解】设，则，。因为，所以。根据椭圆的定义可得，得​，因此，。 在中，；在​中，​，​，，由，得，对​用余弦定理： ，对​用余弦定理：，所以化简得：， 又椭圆中，所以，即。因此椭圆的方程为 题型二：椭圆方程的充要条件 例4.（1）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得且． （2）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，解得. （3）（25-26高二上·宁夏固原·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（        ）. A． B． C． D． 【详解】由椭圆方程为，可得上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得，故选：C （4）（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】若，，则，， ，；若，，则，， ，.由得或，故选：C. 例5.（1）（多选题）（2026·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ，则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确;对于B，若定点，满足，动点M满足 ，则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确;对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确;对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上.其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确.故选：BD. （2）（25-26高三下·山东·阶段检测）“”是“曲线为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若曲线为椭圆，则，解得或，由于或是的真子集，故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件. （3）（多选题）（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得，故BC符合题意． 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积 例6.（1）（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. （2）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得，因为，所以. （3）（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，，（为坐标原点），因为，则， 所以，，所以，所以，解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ，根据椭圆定义，得,，故所求的周长为. （4）（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，，在中，因为，所以，由同角三角函数关系式可得，由余弦定理，， 即，得.又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ，因此，，即. （5）（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（   B ） A． B． C． D． （6）（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（B    ） A．1 B．2 C．4 D．5 例7.（1）（2026·河北保定·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（    ） A． B．2 C． D． 【详解】如图 设，由得，则， 因，则，又因平分，则，即，故，因点P为C 上的点，则，即，联立解得， 因，则，设，由余弦定理，，解得，即. （2）（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形．由可得为线段的垂直平分线， 所以，，所以的周长为 ．故选：A （3）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（   ） A．12 B． C． D．6 【详解】，又，故， 则，故，即，且有， 故， 即，故的周长为. 故选：B. （4）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【详解】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错；对于B选项，由余弦定理可得 ，解得，B错；对于D选项，，D错；对于A选项，因为，解得，所以，解得，A对.故选：A. （5）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误；当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误；时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确；如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误.故选：C． （6）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【详解】由题知，，所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得.故选：B 例8.（1）（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c，由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是的中点，则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则，由为线段的中点，得，因此，解得，而，于是，所以的周长为.故选：D （2）（多选题）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确； 对B，的周长为，B正确； 对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误；对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则， ，则，则，在中，由余弦定理，得，解得，所以，D正确．故选：ABD． （3）（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【详解】由椭圆方程可知：，则. 对于A，的周长为，故A正确；对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大，则的面积最大值为，故B错误，对于C，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为16，故C正确；对于D，作出符合题意的图形， 若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点，故不存在点，使得，故D错误.故选：AC （4）（多选题）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 【详解】椭圆C：的长短半轴长分别为，半焦距，由点P是椭圆上的一个动点，得，对于A，的周长为，A错误； 对于B，在中，，由余弦定理得， ，则，，因此的面积为，B正确；对于C，当点位于椭圆的上下顶点时，最大，此时，即为等边三角形，的最大值为，因此椭圆C上不存在点，使得，C错误；对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD （5）（多选题）（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（    ） A．点坐标为 B．右焦点坐标为 C． D．椭圆的方程为 【详解】 对于A，，为中点，， ，，且符号相同，，解得：，，，又符号相同，或，A错误；对于B，，，则右焦点为，B正确；对于C，设，，，，由椭圆定义知：，又，，，，，即，解得：，，C错误；对于D，，，椭圆的方程为，D正确.故选：BD. （6）（多选题）（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（    ） A．椭圆的焦距为2 B．为定值 C．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D．直线和的斜率的乘积为 【详解】对于A，由，得到，可得椭圆C的焦距为2，故A正确； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，有，可得点的坐标为，代入椭圆中，得到，解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误；对于D，由，设点的坐标分别为，代入椭圆中有．又由， ，故D正确．故选：ABD． 例9.（1）（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为___________． 【详解】设则，由椭圆的定义可知，故，所以，因为轴，所以为直角三角形，由勾股定理得， 即，解得，， 所以的周长.故答案为：. （2）（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． 【详解】由椭圆，得，则，所以，过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线，所以，则的周长为 .故答案为：.    （3）（2022•新高考Ⅰ卷）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 13 ． （4）（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且，设的角平分线交轴于点，则，又，则得，故，则直线的斜率为，其方程为，即. （5）（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【详解】由题可得.对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确；对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确；对于C，设，因，则， 注意到，则，注意到，则，即最小值为1，故C错误；对于D，的面积，注意到，则，故D正确.故选：C （6）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（   ） A．12 B． C． D．6 【详解】，又，故，则，故，即，且有，故，即，故的周长为. 故选：B. 题型四：椭圆上的最值问题 例10.（1）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，，设，则，且，所以，函数为二次函数，开口向下，对称轴为，当或时，取得最小值，最小值为． （2）（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】设，则 ，所以时，． （3）（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得.因为满足： ，即，即所以两式相加得：，代入，可得，即不可能为16. （4）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得，所以 ，当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立，故的最小值为.故选：A. （5）（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，的周长为， 故，又因为，所以，则、， 如下图所示： 要使得取最小值，则与直线垂直，所以点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，且最小值为.故选：D. （6）（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【详解】，，，， 设右焦点为，左焦点，，，当点共线时取等号，，，，，的最大值为.故选：D. 例11.（1）（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】设， ，又因为，因为下顶点到上顶点的距离为，令，要存在点使得，则的最大值必须大于，由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于，其对称轴必须在的右侧，所以，解得，故选：A （2）（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】 设，，， 所以，由，且在椭圆上，而在以为圆心，半径为1的圆上，对于椭圆，，，设，则椭圆上点到直线：的距离，的振幅为，，，当时，取最大值，所以边界上的点到直线：的距离的最大值． （3）（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设半焦距为，因为，故.又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，.所以的方程为.   设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知，由于两点之间线段最短，所以.因此.当且仅当，，在一条直线上时，等号成立.故选： （4）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知为圆上动点，过作轴的垂线，垂足为，为线段的中点，设动点的轨迹为， 若为轨迹上的任意一点，且，， 则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【详解】设，，过作轴的垂线，垂足为，则，     因为为圆上动点，为线段的中点，所以，化简整理，可得动点的轨迹的方程为，即动点的轨迹为焦点在轴，长轴，短轴，焦距的椭圆，所以为椭圆的左焦点，点在椭圆内，如图所示，设椭圆的右焦点为，   则， 由三角不等式，可得，即三点共线时，即运动到位置时，取得最大值，为，   又，，所以，所以，即的最大值为.故选：C （5）（25-26高二上·江西·期中）动圆过点，且与圆内切，设P是动圆圆心的轨迹上一点，，则的最大值是（    ） A．5 B． C． D． 【详解】因为，所以点在圆内，又圆的半径为，圆心为，设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长半轴长为，半焦距为，所以短半轴长为，点轨迹方程为.又，所以点在椭圆内部，又，所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值是.故选：A （6）（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【详解】，，，选项A，，，点为椭圆上的点，， ，联立，解得，，故选项A正确； 选项B，当时，，点为短轴的两个端点，故这样的有2个；当，，点有两个，故这样的有2个；当，，点有两个，故这样的有2个；综上可知，使为直角三角形的点有6个，故选项B正确；选项C，，，， ，，，，，故选项C错误；选项D，，， ，，， 的最大值为，故选项D正确. 故选：C. 例12.（1）（多选题）（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图，由Q为圆M上的动点，得，即，则，即，故的最小值为7，最大值为9. （2）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【详解】由圆，可知圆心，半径，设椭圆的左焦点为，且，则. （3）（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 【详解】如图，由可得其半焦距为，即点为椭圆的上焦点，取下焦点为，因为，所以点在椭圆内，连接，则，则，由图知，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立，故，即的最大值为. 故答案为：. （4）（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______． 【详解】由椭圆，可得，则且，则椭圆的左、右焦点分别为，又由椭圆的定义，可得，所以， 所以，因为圆，可得圆心即点，半径为，又因为点是圆上的任意一点，所以，即，当且仅当三点共线，且在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为，所以，即的最大值为. （5）（25-26高二上·北京·期中）已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是______. 【详解】   由，可知，，，椭圆焦点，，化为，可知直线过点，由可知直线过点，由可知直线，设，由有：，，，所以，整理得：，所以在以为直径的圆上，当不与重合时，设，，，， 所以，，又因为，所以， 所以，又，当与或重合时，有， 综上所述，.故答案为： （6）（多选题）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过坐标原点O的直线与椭圆交于P、Q两点.则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距长为 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 【详解】对于A中，由椭圆：，可得，则，所以椭圆的焦距长为，所以A正确；对于B中，设，可得，其中，所以，所以最大面积为，所以B错误；对于C中，由，，且 ， 则，因为，可得，则，所以的取值范围为，所以C正确；对于D中，连接，取的中点，连接，且，以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为,由椭圆的定义得，所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确.故选：ACD. 题型五：求解轨迹方程 例13.（1）（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义.则，，又，所以，所以点的轨迹方程为.故选：B. （2）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【解析】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A （3）（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上，设其方程为，，则，将代入方程得，因为，所以，解得，故椭圆方程为.故选：A. （4）（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设动圆圆心为，半径为，圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径，而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切，得，整理得，因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，长半轴长，半焦距，短半轴长，所以所求轨迹方程为.故选：B （5）（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可得 延长交延长线于点，因是的外角平分线且，故为等腰三角形，即，为中点，由椭圆定义：， 则，在中，为中点，为中点，根据三角形中位线定理：，所以点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆，则轨迹长度（圆周长）：． （6）（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为，则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线，∴，又∵圆C的方程为，半径，∴，∴，即，∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设该椭圆的方程为，则，， ∴，，，∴动点P的轨迹方程为.故选：D 例14.（1）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为；圆，化为标准方程为，圆心，半径为；设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，因此，，由此可得；因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆；所以，椭圆的短半轴长，因此动圆圆心的轨迹方程为.故选：A. （2）（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题，设，因为，所以， 因为，，所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为.故选：D （3）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点，设，则，由中点坐标公式得，因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为.故选：D     （4）（25-26高二上·河北保定·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【详解】设，则，所以. 因为，所以代入，得，即，则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.故选：C. （5）（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【详解】由，，得.周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点.设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，，，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故.顶点的轨迹方程为. 题型六：椭圆的简单几何性质问题 例15.（1）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 【详解】椭圆的两个焦点分别为，，设为，设椭圆方程为， 在椭圆上，故，故，则该椭圆的上顶点为，即. （2）（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【详解】由题意知，，且， 则，由椭圆的定义可知，，则的周长为，因为，等号成立时三点共线，所以周长的最大值为，得，则，得，故C的焦距为. （3）（25-26高二下·河北邢台·开学考试）已知、分别为椭圆的左、右焦点，的焦距为，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则（   ） A． B． C． D． 【详解】易知点、、，所以，，所以，即为钝角，又因为为等腰三角形，所以，即，解得. （4）（25-26高三上·云南保山·期末）已知椭圆，焦点，若过的直线和圆：相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，设直线与圆的切点为，如图：， ，所以直线l的斜率，由，所以，，所以， 即，所以，故选：A. （5）（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点，因为是中点，是中点，所以是 的中位线，得： ， ， ，所以的周长为 由椭圆定义， ，故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. （6）（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，因此有，所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，因此该圆的方程为，即，又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上，所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆： 中，得化简可得： ，解得：，又，故. 例16.（1）（25-26高二上·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为， 则，又上顶点为P，且，，， 则解得，所以.故选：D. （2）．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，左顶点为，平行于的直线交椭圆于，两点，的中点为，且，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆的上顶点，左顶点为，，又，所以. 设，，由的中点为，得，， 又因为、在椭圆上，所以，，两式相减得， 又，，所以，解得，，所以直线方程为，即，与椭圆方程联立，整理得， ，.所以，，由得，，整理得，解得，所以，. 所以.故选：D． （3）（25-26高二上·山西长治·期末）椭圆与椭圆的关系为（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 【详解】由椭圆，可得，则，又由椭圆，可得，则， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，所以变化时，椭圆的离心率不一定相同，所以A不正确；对于B，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为， 所以无论怎样变化，椭圆的焦距相同，所以B正确；对于C，根据椭圆的性质，椭圆没有渐近线，所以C不正确；对于D，椭圆的顶点坐标为，椭圆的顶点坐标为，所以椭圆的顶点坐标不相同，所以D不正确.故选：B. （4）（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，令，得，故，令，得，故，又的中点坐标为，所以，解得，所以椭圆方程为，所以，则，所以椭圆的焦点坐标为.故选：B. （5）（25-26高二上·河北承德·期中）在椭圆：与椭圆：中，下列结论正确的是（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 椭圆：，，故， 椭圆：，，故，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，两个椭圆的焦距相等.故选：. （6）（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【详解】由为等边三角形，所以，根据对称性可知，，又，所以，所以，，所以.故答案为： 例17.（1）（多选题）（2026·海南儋州·二模）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 【详解】由题意可得，所以，所以，所以椭圆方程为， 由，可得，设，则有，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率，故A正确；因为，所以，所以椭圆的短轴长为，故B错误； 因为，所以直线与椭圆联立后所得方程为：， 解得，所以，即，所以，所以，故C正确；因为椭圆的两焦点分别为，又因为在直线上， 设关于直线的对称点为，则有，解得，所以， 所以,,当三点共线时，等号成立，又因为，即到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为，故D错误. （2）（多选题）（25-26高三上·广西桂林·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为､两点，直线与椭圆相交于､两点，则（    ） A．椭圆的焦距为4 B．为定值 C．直线和的斜率的乘积为 D．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【详解】由椭圆方程可知：，.对于选项A：椭圆的焦距为，故A正确；对于选项B：如图，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性有，故B正确；对于选项C：因为，设点的坐标分别为， 代入椭圆方程可得，即，所以，故C正确；对于选项D：由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，则，由关于轴对称可得点的坐标为，代入椭圆方程得到，解得，所以平行四边形的面积为，故D错误.故选：ABC. （3）（多选题）（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（   ） A．椭圆的焦距为1 B．为定值 C．直线和的斜率的乘积为 D．当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【详解】对于A，由，得到，可得椭圆C的焦距为2，故A错误； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于D，由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标，代入椭圆中，得到，解得，即的坐标为，则平行四边形的面积为，故D错误；对于C，由，设点的坐标分别为，代入椭圆中有．又由，，故C正确．故选：BC． （4）（多选题）（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（    ） A．点坐标为 B．右焦点坐标为 C． D．椭圆的方程为 【详解】 对于A，，为中点，， ，，且符号相同， ，解得：，，，又符号相同，或，A错误；对于B，，，则右焦点为，B正确；对于C，设，，，，由椭圆定义知：，又，，， ，，即，解得：，，C错误； 对于D，，，椭圆的方程为，D正确.故选：BD. （5）（2026·湖北武汉·三模）已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知， 该圆的圆心为原点，因此有，即，且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上，所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，由，得代入椭圆中，得，解得. （6）（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M是椭圆C上一点，直线与轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的焦距为______. 【详解】 不妨设M在第一象限，由，得. 在中，由得出是的中点， ∵，∴，所以，且是轴上的点，所以， ∴， 所以，由椭圆的定义可知：， 所以.故答案为：. （7）（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． 【详解】设椭圆的右焦点为，则四边形为平行四边形，即，又，则，则 ，当且仅当时取等号，又的最小值为，则，解得，则，即C的焦距为．故答案为：. （8）（2026·广东·模拟预测）已知椭圆的上，下顶点分别为，左焦点为，右顶点为.已知四边形有外接圆，则的焦距为__________；记该外接圆上有一点，则的取值范围是__________. 【详解】不妨记，由有外接圆知，      由对称性得，由勾股定理得， 即， 即，由得，故焦距为；显然在该外接圆内，易知外接圆的圆心，即，半径，于是，于是的取值范围是．故答案为：；． （9）（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______. 【详解】由题意知，，设，则，， 所以，整理得，对照椭圆方程可知，所以，故椭圆的焦距为.故答案为： 题型七：求离心率的值及取值范围 例18.（1）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 【详解】已知椭圆：（），且，则，化简得，即，使用求根公式，得，又因为，所以. （2）（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 【详解】由题意知：，则直线AB的方程为，所以原点到直线AB的距离为，又，则，即， 解得，则，所以. （3）（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以，即，解得，所以.代入椭圆方程得，即，所以，即.又，所以. （4）（2026·四川遂宁·二模）已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 【详解】∵ 椭圆方程为（），根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，都有. ∵ 点满足，且， ∴ ，即为等腰三角形，. ∵ 于，等腰三角形三线合一，∴ 为线段的中点. ∵ 是坐标原点，椭圆焦点关于原点对称，即是的中点，∴ 在中，是三角形中位线.∴ .∵ ，∴ .∴ ，得. ∴ . （5）（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【详解】 设，则，由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：，整理可得：，（舍）或， ，，，，，即，的离心率. （6）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与轴，轴分别交于点，与椭圆（，且是正整数）相切于点是的两个焦点，是坐标原点．若的面积与面积的比值为，则的离心率为___________． 【详解】的方程与方程联立，得，由与相切得，所以，此时点的纵坐标为，所以的面积为，是的半焦距，又的面积为的面积与面积的比值为，所以，又，所以，显然满足上式，上式化为，所以0，因为是正整数，所以只能取1，所以，所以椭圆的离心率． 例19.（1）（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，所以，又， 所以，代入条件得，设， 因为，所以， 即，又，所以且，所以． （2）（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ，， ，，，，故轴，是椭圆的通径，即，，，故，，解得，即，． （3）（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大，此时，又，所以最小时，最大，又P为椭圆E：（）上的动点，所以最小时，点为椭圆的短轴的端点，又因为的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，所以E的离心率为 （4）（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】设等边的边长为，可得的周长为，由椭圆的定义，可得，所以，解得，则， 在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以椭圆的离心率为. （5）（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图所示,把一个半径为6dm的圆形纸板斜放在地面上,测得圆形纸板所在平面与地面所成的角为,若用垂直于纸板的光束照射纸板,在地面上可形成椭圆形影子,则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，设为纸板平面相互垂直的两条直径，且A点为纸板平面最高点. 圆形纸板的半径，用垂直于纸板的光束照射时，圆上所有点到圆心的距离均为6.椭圆的短半轴：在地面上的投影长度不变，故.椭圆的长半轴：投影被拉长，因为纸板平面与地面夹角为，则投影长度为，故椭圆长半轴.则半焦距，离心率 （6）（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】设，则，由三角形的内角和为，所以，在中，由正弦定理可得：，由可得：，所以， 因为 ， 因为，因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以，因为在上单调递减，所以在上单调递减，所以 例20.（1）（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：，，则椭圆焦点在轴，， ． （2）（25-26高三下·安徽·期中）已知椭圆C：的右焦点为，过点的直线与直线垂直，且与椭圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，因为，所以， 直线与直线垂直，所以有，得，又因为直线过点，所以直线的方程为，则直线的方程与椭圆方程联立得，由于直线与椭圆相切，则， 由于，因此上式化简得，两边同时除以再展开化简得，解得或，由于椭圆的离心率满足，因此舍去，保留， 则，故C正确. （3）（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【详解】由题意可知：，则，，因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，，因为，则，解得，即，则，解得，即，则，则，即，所以椭圆C的离心率. （4）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，， 由直线的斜率为3，可知，所以，因为，所以，，因为，所以，即，所以，所以. （5）（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，圆是以为直径的圆，点是圆与椭圆在第二象限的交点，且，则，， 所以点，即. 将点的坐标代入椭圆的方程可得，即.在椭圆中有，将其代入上式，整理可得，等式的两边同时除以可得，即，即，解得或.因为椭圆的离心率，所以，故，解得.所以椭圆的离心率为. （6）（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以．由椭圆的定义知，所以，则，则的最大值为，所以，又，所以，此时满足，所以的离心率． 例21.（1）（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，,由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即，因为在椭圆上，所以，即， 所以椭圆的离心率为. （2）（2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，记的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是，则，，， 由，，两式相减可得，即，得.又，所以E为的中点，则，可得.又因为，即，所以，可得，即 解得离心率. （3）（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，，易知恒为锐角， 则得. （4）（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则，由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，所以的离心率. （5）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】记的焦距为，设，则，即，由，得，即，则，整理得，又，因此，解得，所以的离心率的取值范围是． （6）（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得，所以，结合A在第一象限，可知，所以，由椭圆的对称性可知，由可得，即，所以，整理得，所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 题型八：直线与椭圆的位置关系 例22.（1）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ A   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 （2）（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的两焦点为，，点满足，则直线与椭圆C的公共点个数为（ A   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的位置有关 （3）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【详解】设与l：平行的直线为：，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与可得，，由，可得，当时，直线：，此时两平行线距离为，当时，直线：，此时两平行线距离为，故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为.故选：A （4）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【详解】由直线，则可知其过定点，易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，则，解得且.故答案为：且. 例23.（1）已知椭圆：过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围． 【详解】（1）解：由椭圆过点，且离心率为，可得，解得，，，所以椭圆的标准方程为. （2）解：由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设的斜率为，则的斜率为，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，因为与圆相切于点，所以，化简得，由，整理得，所以，化简得，，由，可得，代入上式化简得，，解得，又因为，可得，得，所以的取值范围是． （2）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过和． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线经过且与椭圆相切，求直线的斜率． 【详解】（1）由题意设椭圆方程为，因为，在椭圆上，则，解得，所以椭圆的方程式为：，故椭圆的标准方程为. （2）由题意得直线的斜率存在且设为，则直线的方程为，与椭圆方程联立得，化简得：，因为直线与椭圆相切，所以，解得：,所以或.所以直线的斜率为或. 题型九：弦长与中点弦的问题 例24.（1）（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆：的右焦点，过且倾斜角为的直线的方程为，即，将代入，得到，即， 设，则，则，故选项B正确. （2）（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设，，则根据椭圆的定义可知，， 且，又，因为， 故由余弦定理有， 整理得①.又因为，故由勾股定理有， 整理得②，由①②解得，所以.故选：A （3）（2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【详解】联立，得 ，则，解得，且，所以，解得． （4）（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【详解】设，有，两式相减得，则，即，又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为，所以，则，即， 则，即，则，所以. 例25.（1）（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 故答案为：. （2）（多选题）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（　　） A． B． C． D． 【详解】如图所示，BCD三项的直线均和对称而椭圆关于原点对称，故弦长都相同 故选：BCD （3）已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ． 【解析】设，线段的中点为，由，两式相减可得，即，又由，则，设直线的方程为，可得，所以，所以，所以，解得，因为，所以，可得，解得，所以直线的方程为. （4）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点,当斜率不存在时，被椭圆截得的弦长为2；当斜率存在时，设方程为，直线与椭圆的交点为,与椭圆方程联立可得，则，； 令，则，且；，因为，所以，所以当时，即，取到最大值，最大值为.故选：C 题型十：斜率之积问题 例26.（1）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ D   ） A． B． C． D． （2）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（　C　） A． B． C． D． （3）已知椭圆C：的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线与椭圆C交于P，Q两点，记，分别为直线AP和直线BQ的斜率，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，不妨设，，不妨设，，则，所以则，，，故，同号，故，当且仅当时取等号，即的最小值为，故选：C    题型十一：直线与椭圆的综合运用 例27.（1）已知椭圆C：与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是． （1）求椭圆C的方程； （2）求点N到直线l：的最大距离． 【解析】（1）由题意，设，则，， 因为直线，的斜率之积是，所以．整理得椭圆方程为； （2）由（1）中结论可得，椭圆方程为， 设直线，则当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离， 设直线：，联立方程，得，则，解得或，因为要求点到直线l的最大距离，所以直线为，故最大距离为． （2）（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆C：过点和. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为，联立椭圆方程，得，，设，，所以，， 则，点到直线：的距离，故. （3）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. （1）椭圆的标准方程； （2）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 【详解】（1）由题可设椭圆的标准方程为. 由椭圆的定义知：，所以， 所以，.所以所以椭圆的标准方程为. （2）①设，则.因为点在椭圆上，所以，所以，即.所以线段的中点的轨迹方程为. ②设不过原点且斜率为2的直线的方程为，即.设. 由，得.由，得. .所以.点到直线的距离为，所以的面积为. 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以.即的面积最大值为.    （4）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 【详解】（1）解：因为点为椭圆的右焦点，所以，因为过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，，所以，将代入方程得，所以，即， 因为，所以，即，解得或（舍），所以，即曲线的方程为； （2）解：（i）设直线的方程为，，，联立，整理得，则，. 设直线与的斜率分别为，，则，，因为，所以直线与的倾斜角互补，即，则， 所以，代入韦达定理整理得，又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意.综上所述，. （ii）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以，因为， 所以，解得，所以因为，所以，即，解得， 不妨设，则，．所以的面积. （5）（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 【详解】（1）由题意可得，，所以.因为，所以， 所以的方程为. (2)证明：由（1）可知，，，则，则直线的方程为，令，得，同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以，因为，， 所以 所以，所以四边形的面积为定值. 例28.（1）（25-26高二上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【详解】（1）由题知，解得，，故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（），点，的坐标分别为，， 联立得，则，由，得．所以 ．原点到直线的距离为，所以的面积为，由，解得或， 故直线的方程为或或或． (3)由题意得，，若存在，则的横坐标不为2， 代入，得， 因为 ，因为，则， 则，所以，得证. （2）（2026·甘肃酒泉·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，由的周长为，得，所以.所以，所以椭圆的标准方程为. (2)证明：将代入，得，点在第一象限，所以.易知，直线与的倾斜角均不为，所以斜率均存在，不为零，且斜率互为相反数.设直线的方程为， 则直线的方程为.设，由，得， 则，所以，，同理，用代换，得，，所以直线的斜率为.所以直线的斜率为定值，该定值为. （3）（2026·河北张家口·二模）已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． （1）求的方程； （2）若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． 【详解】（1）由题易知， 联立得， ，令，因为，解得， 所以C的方程为． (2)证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，整理得，， 则，，所以． 因为以为直径的圆经过点，则，即， 即， 则，即或． 当时，， 直线的方程为，此时直线过定点，舍去；当时，， 直线的方程为，此时直线过定点． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，两点为，，以为直径的圆的方程为，点在该圆上． 综上所述，直线过定点． （4）（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． （1）求椭圆的方程； （2）求的值； （3）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【详解】（1）由题知，，则，，所以椭圆方程为． （2）①当过左焦点的直线斜率为时，设，，， 即，，故． ②当过左焦点的直线斜率不为时，设直线方程为：，联立，得，，，．由得，，即，同理， 即，综上所述，． (3)证明：设，，，，设直线：，联立，得，， ，即，同理，，． 设直线：，令 则 ．所以，直线的斜率为定值． （5）（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得，整理得，而，解得，，点，所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故，则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内，得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，，因此，令，， 而，令，则，函数在上单调递增，，因此，，则，所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆方程及其性质题型分类训练 题型分类 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型二：椭圆方程的充要条件 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积 题型四：椭圆上的最值问题 题型五：求解轨迹方程 题型六：椭圆的简单几何性质问题 题型七：求离心率的值及取值范围 题型八：直线与椭圆的位置关系 题型九：弦长与中点弦的问题 题型十：斜率之积问题 题型十一：直线与椭圆的综合运用 题型一：椭圆的定义与标准方程 例1.（1）（25-26高二上·福建莆田·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是4，且经过点； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过，两点 （2）（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，焦距为，且经过点 （2）经过点两点． （3）过且与有相同的焦点； 例2.（1）（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 例3.（1）（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． （2）（全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的标准方程为______． （4）（2025·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·江西上饶·期末）已知由椭圆：与椭圆：的交点连线可构成矩形（点在轴下方），且，则的值为（   ） A． B．4 C． D． （6）（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 题型二：椭圆方程的充要条件 例4.（1）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 （2）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·宁夏固原·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（        ）. A． B． C． D． （4）（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 例5.（1）（多选题）（2026·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 （2）（25-26高三下·山东·阶段检测）“”是“曲线为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）（多选题）（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积 例6.（1）（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 （2）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． （5）（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（   ） A． B． C． D． （6）（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 例7.（1）（2026·河北保定·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（    ） A． B．2 C． D． （2）（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（   ） A．12 B． C． D．6 （4）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 （5）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 （6）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 例8.（1）（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． （2）（多选题）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， （3）（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 （4）（多选题）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在两个点，使得 D．的最小值为1 （5）（多选题）（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（    ） A．点坐标为 B．右焦点坐标为 C． D．椭圆的方程为 （6）（多选题）（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（    ） A．椭圆的焦距为2 B．为定值 C．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D．直线和的斜率的乘积为 例9.（1）（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为___________． （2）（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____． （3）（2022•新高考Ⅰ卷）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ． （4）（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 （6）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（   ） A．12 B． C． D．6 题型四：椭圆上的最值问题 例10.（1）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． （2）（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 （4）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 例11.（1）（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． （3）（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知为圆上动点，过作轴的垂线，垂足为，为线段的中点，设动点的轨迹为， 若为轨迹上的任意一点，且，， 则的最大值是（     ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·江西·期中）动圆过点，且与圆内切，设P是动圆圆心的轨迹上一点，，则的最大值是（    ） A．5 B． C． D． （6）（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 例12.（1）（多选题）（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 （2）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. （3）（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． （4）（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______． （5）（25-26高二上·北京·期中）已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是______. （6）（多选题）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过坐标原点O的直线与椭圆交于P、Q两点.则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距长为 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 题型五：求解轨迹方程 例13.（1）（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． （2）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） （3）（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例14.（1）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·河北保定·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 （5）（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 题型六：椭圆的简单几何性质问题 例15.（1）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． （2）（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 （3）（25-26高二下·河北邢台·开学考试）已知、分别为椭圆的左、右焦点，的焦距为，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·云南保山·期末）已知椭圆，焦点，若过的直线和圆：相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则等于（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （6）（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 例16.（1）（25-26高二上·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． （2）．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，左顶点为，平行于的直线交椭圆于，两点，的中点为，且，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山西长治·期末）椭圆与椭圆的关系为（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 （4）（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·河北承德·期中）在椭圆：与椭圆：中，下列结论正确的是（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 （6）（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 例17.（1）（多选题）（2026·海南儋州·二模）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 （2）（多选题）（25-26高三上·广西桂林·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为､两点，直线与椭圆相交于､两点，则（    ） A．椭圆的焦距为4 B．为定值 C．直线和的斜率的乘积为 D．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 （3）（多选题）（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（   ） A．椭圆的焦距为1 B．为定值 C．直线和的斜率的乘积为 D．当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 （4）（多选题）（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（    ） A．点坐标为 B．右焦点坐标为 C． D．椭圆的方程为 （5）（2026·湖北武汉·三模）已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． （6）（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M是椭圆C上一点，直线与轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的焦距为______. （7）（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知椭圆的左焦点为F，过原点的直线与C交于M，N两点，若的最小值为，则C的焦距为______． （8）（2026·广东·模拟预测）已知椭圆的上，下顶点分别为，左焦点为，右顶点为.已知四边形有外接圆，则的焦距为__________；记该外接圆上有一点，则的取值范围是__________. （9）（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______. 题型七：求离心率的值及取值范围 例18.（1）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． （2）（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． （3）（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． （4）（2026·四川遂宁·二模）已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. （5）（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. （6）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线与轴，轴分别交于点，与椭圆（，且是正整数）相切于点是的两个焦点，是坐标原点．若的面积与面积的比值为，则的离心率为___________． 例19.（1）（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（ ） A． B． C． D． （2）（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图所示,把一个半径为6dm的圆形纸板斜放在地面上,测得圆形纸板所在平面与地面所成的角为,若用垂直于纸板的光束照射纸板,在地面上可形成椭圆形影子,则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例20.（1）（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高三下·安徽·期中）已知椭圆C：的右焦点为，过点的直线与直线垂直，且与椭圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 （4）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． （5）（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例21.（1）（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． （4）（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． （5）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． （6）（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：直线与椭圆的位置关系 例22.（1）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 （2）（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的两焦点为，，点满足，则直线与椭圆C的公共点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的位置有关 （3）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． （4）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 例23.（1）已知椭圆：过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围． （2）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过和． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线经过且与椭圆相切，求直线的斜率． 题型九：弦长与中点弦的问题 例24.（1）（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． （2）（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·山西晋城·三模）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． （4）（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 例25.（1）（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． （2）（多选题）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（　　） A． B． C． D． （3）已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ． （4）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型十：斜率之积问题 例26.（1）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（    ） A． B． C． D． （2）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（　　） A． B． C． D． （3）已知椭圆C：的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线与椭圆C交于P，Q两点，记，分别为直线AP和直线BQ的斜率，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十一：直线与椭圆的综合运用 例27.（1）已知椭圆C：与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是． （1）求椭圆C的方程； （2）求点N到直线l：的最大距离． （2）（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆C：过点和. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. （3）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. （1）椭圆的标准方程； （2）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. （4）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． （5）（26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 例28.（1）（25-26高二上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． （2）（2026·甘肃酒泉·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. （3）（2026·河北张家口·二模）已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点． （1）求的方程； （2）若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点． （4）（26-27高二上·浙江·开学考试）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． （1）求椭圆的方程； （2）求的值； （3）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． （5）（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $