第三章 圆锥曲线的方程（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线方程单元，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配高二单元复习，助力数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|椭圆焦点、双曲线定义、抛物线应用|结合卫星接收天线（题4）考查抛物线实际应用，体现数学眼光| |多选|3/18|曲线类型判断、椭圆性质|题11结合探照灯光学性质，融合几何直观与逻辑推理| |填空|3/15|抛物线标准方程、双曲线离心率|题13综合双曲线与圆的几何关系，考查空间观念| |解答|5/77|方程求解、直线与圆锥曲线位置关系|题18证明直线过定点（数学语言表达），题19探究斜率定值（创新意识）|

第三章 圆锥曲线的方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·天津西青·期末）椭圆的焦点为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（5分）（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 3．（5分）（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 5．（5分）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆，直线恒过定点，且与交于，两点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 B．当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C．若曲线表示椭圆，且焦距为，则或 D．若曲线表示双曲线，则它的渐近线方程为 10．（6分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D．的面积的最大值为 11．（6分）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 ，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为， ，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为__________． 13．（5分）（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线离心率的值为__________. 14．（5分）（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程； （2）已知双曲线的实轴长为，且经过点，求的标准方程和焦点坐标. 16．（15分）（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 17．（15分）（25-26高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 18．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 19．（17分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·天津西青·期末）椭圆的焦点为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解题思路】根据方程分析可知焦点在x轴上，设焦距为，则，由此可得焦点坐标. 【解答过程】因为，所以椭圆的焦点在x轴上. 设椭圆的焦距为，则，所以. 所以焦点为. 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】写出双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断. 【解答过程】由题设知，且双曲线的焦点坐标为， 对于A：由，得为双曲线，则不符合要求； 对于B：由得，，由，得为双曲线，则不符合要求； 对于C：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，符合要求； 对于D：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，不符合要求； 故选：C. 4．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【解答过程】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A. 5．（5分）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【解答过程】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【解答过程】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D. 7．（5分）（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆，直线恒过定点，且与交于，两点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，求出其范围，再利用对勾函数性质即可求得结果. 【解答过程】定点为，联立， 得， 解得，， 且，则， 则 ， 设，则， 所以， 当且仅当时，取等号，此时取最大值， 当或者时，取最小值2（取不到）， 令，则，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在单调递增， 当时，或（舍去），当时，， 故． 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直线方程与曲线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程，将代入， 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得. 则. 将代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得. 当时，；当时， 所以. . 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 B．当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C．若曲线表示椭圆，且焦距为，则或 D．若曲线表示双曲线，则它的渐近线方程为 【答案】BCD 【解题思路】根据椭圆与双曲线的标准方程及性质，对各选项逐一进行分析. 【解答过程】对于A，当时，曲线方程为，此时曲线是焦点在轴上的双曲线，故A错误， 对于B，当时，曲线符合焦点在轴上的椭圆的标准方程，故B正确， 对于C，若曲线表示椭圆，则且， 当焦点在轴上时，，则，又焦距为， ，，即， 当焦点在轴上时，，则，又焦距为， ，，即， 综上，或，故C正确， 对于D，若曲线表示双曲线，则，此时曲线方程为， 它的渐近线方程为，故D正确. 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设求得的斜率，利用点在椭圆上得到，代入化简即得；D选项，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【解答过程】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A正确，B错误； C选项，∵ A,B 为的左、右顶点，∴, 设由题意得，则， 的斜率为 则，故C正确；    D选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得，， 由，解得， 设，则， 则， ， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 ，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为， ，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 【答案】ABD 【解题思路】根据点在抛物线上计算得出判断A，应用焦半径公式计算判断B，联立方程组得出韦达定理计算面积判断C，两点间距离公式结合焦半径公式计算应用基本不等式计算判断D. 【解答过程】对于A，因为，所在直线的方程为，所以，， 所以，所以，解得或， 因为，所以，即抛物线的方程为，故A正确. 对于B，抛物线的焦点坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 设直线与抛物线的交点为，， 联立直线与抛物线的方程，消去并整理，得，解得，， ，，，所以的值为3，故B正确. 对于C，由题意不妨设，，如图所示， ，所以，. 设直线的方程为， 由消去得. 所以，所以，，所以，故C错误. 对于D，由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由为抛物线上一点，可得， 因为，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为__________． 【答案】或 【解题思路】先求抛物线的焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标求解其标准方程. 【解答过程】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 13．（5分）（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线离心率的值为__________. 【答案】 【解题思路】利用中位线性质以及圆上点到定点距离最值问题，结合双曲线定义可得，即可求得离心率. 【解答过程】设双曲线的左、右焦点分别为的中点为，连接，如下图所示： 由的最小值为可得，因此， 因为分别为的中点，所以，因此， 即，得， 所以离心率. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为__________． 【答案】2 【解题思路】设，联立方程组求出面积为，令，结合基本不等式求最值即可. 【解答过程】由题意可知，直线的斜率不为0，， 故设，， 联立得，， 则， 则， 故的面积， 令，则，等号成立时，， 故的面积的最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程； （2）已知双曲线的实轴长为，且经过点，求的标准方程和焦点坐标. 【答案】（1）标准方程，准线方程； （2）若焦点在轴上，标准方程，焦点坐标； 若焦点在轴上，标准方程，焦点坐标. 【解题思路】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，代值求解即可； （2）根据双曲线焦点位置进行讨论，代值求解即可， 【解答过程】（1）由抛物线焦点坐标可得， 设抛物线的标准方程为，代入，得，准线方程为， 故抛物线的标准方程为，准线方程为.      （2）由题可知，即. 若焦点在轴上，设， 将和代入方程中，得，解得， ，， 所以双曲线标准方程为，焦点坐标为； 若焦点在轴上，设， 将和代入方程中，得， 解得，此时，， 所以双曲线标准方程为，焦点坐标为. 故焦点在轴上，双曲线标准方程为，焦点坐标为； 焦点在轴上，双曲线标准方程为，焦点坐标为. 16．（15分）（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 【答案】(1)短轴长为，离心率为， (2)， 【解题思路】（1）写出椭圆标准方程，即可求得椭圆的短轴长和离心率； （2）设，由椭圆方程及中点坐标，利用点差法即可求得直线方程，联立直线方程及椭圆方程，由韦达定理及交点弦长公式求得弦的长. 【解答过程】（1）椭圆，即， ∴ ∴椭圆的短轴长， ∵，∴， ∴椭圆的离心率. （2）设， 则，即，∴， ∵点为弦的中点，则，即， ∴，即， ∵直线，即， ∴， 联立方程组，整理得， 则， ∴. 17．（15分）（25-26高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【解答过程】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 18．（17分）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii） 【解题思路】（1）根据焦点坐标，结合代入法、，，三者之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （ii）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】（1）因为椭圆右焦点坐标为，所以，因为椭圆过点，所以，因为， 所以解得，，所以椭圆方程为. （2）（i）证明：设直线与直线交于点，所以，所以，所以， 显然，直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为，，，且，， 由可得，所以，， 所以，整理可得，， 所以，解得，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii）由（i）可得，由， 解得，且，，所以， 代入可得，令，所以， 所以当，即，所以的最大值为. 19．（17分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)是， (3) 【解题思路】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得 ，即可求出的范围，从而得解. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $