3.5 课时1 变化率问题与销售问题课件--2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖变化率与销售问题。通过秸秆利用率、药品降价等现实情境导入，从具体问题逐步抽象出公式，以问题链和表格分析为支架，衔接方程建模与实际应用。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，如秸秆利用率问题引导学生发现数量关系。通过问题推理和表格梳理发展数学思维，如冰箱销售中用表格明确利润与销售量关系。公式总结与流程图强化数学语言表达，帮助学生构建模型意识，提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

3.5 一元二次方程的应用 课时1 变化率问题与销售问题 探究1 列一元二次方程解决变化率问题 情境1：某省农作物秸秆资源巨大， 但合理利用量十分有限. 为推进资源节约集约利用， 该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理利用率. 若今年的利用率为 40%， 计划后年的利用率达到 90%（假定该省每年产生的秸秆总量不变），思考并回答下列问题. 问题1：设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，则明年和后年的秸秆利用率分别为多少？ 明年的秸秆利用率为40%(1+x)； 后年的秸秆利用率为40%(1+x)2. 问题2：找等量关系，列方程求这两年秸秆利用率的年平均增长率. 等量关系：今年的利用率×(1+年平均增长率)2=后年的利用率. 解：设这两年秸秆利用率的年平均增长率为x， 则根据等量关系，可列出方程：40%(1+x)2=90%. 整理，得 (1+x)2=2.25. 解得x=-2.5(舍去). 因此，这两年秸秆利用率的年平均增长率为 50%. 问题3：小组交流讨论，尝试归纳出变化率问题的计算公式. 增长率不可以为负数 设平均增长(下降)百分率为 x，增长(下降)前的量是 a，增长(下降) n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n＝b. (增长取＋，下降取－)． 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价， 每瓶零售价由100元降为81元. 求平均每次降价的百分率． 分析： 本问题中涉及的等量关系是： 原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价. 解：设平均每次降价的百分率为x， 则根据等量关系得100(1-x)2=81. 整理， 得(1-x)2=0.81. 解得 x=1.9(舍去). 答： 平均每次降价的百分率为 10%. 为什么舍去=1.9？ 探究2 列一元二次方程解决销售问题 情境2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元.调查发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 问题1：情境中有哪些数量关系？ 利润 = 售价 - 进价； 每天的总利润 = 每台利润×每天的总销售量. 进价 售价 销售量 每台利润 总利润 降价前 降价后 情境2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元.调查发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 问题2：设每台冰箱降价 x 元，根据情境中的内容填写表格. 2500 2900 8 400 400×8 2900-x 8+4× 400-x 2500 5000 问题3：根据题意列出方程并求解. 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 8+4× ( 2900–x–2500)( ) = 5000. 解得 x1 = x2 = 150. 2900–150 = 2750(元) 所以每台冰箱应定价为 2750 元. 销售利润问题: 利润=售价-进价; 利润率=×100%=×100%; 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件， 现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里 每周利润要达到8 450元.若设店主把该商品每件售价降低 x 元，则可列方程 为(　D　) A. (60－ x )(200＋8 x )＝8 450 B. (20－ x )(200＋ x )＝8 450 C. (20－ x )(200＋40 x )＝8 450 D. (20－ x )(200＋8 x )＝8 450 D 思考：如何运用流程图表示一元二次方程模型解决实际问题的步骤？小组交流讨论. 实际问题 建立一元二次方程模型 分析数量关系 设未知数 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 是否符合实际 一元二次方程的应用 变化率问题 销售问题 利润=售价-进价; 利润率=×100%=×100%; 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 设a为起始量,b为终止量,n为增长(降低)的次数，则平均增长率公式为a(1+x)n=b(x为平均增长率)，平均降低率公式为a(1-x)n=b(x为平均降低率). 1.某初三学生课后作业时长明显减少年上学期每天作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天作业时长为设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（　 　） A． B． C． D． B 随堂小练 2.某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为( ) A．56元 B．57元 C．59元 D．57元或59元 A 3.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是______元．（用含x的代数式表示） （2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？ （2）设每个定价增加x元．列出方程为（x+10）（400-10x）=6000 解得x1=10 ，x2=20. 要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个． x+10 解：（1）由题意得，50+x-40=x+10（元） 4.某商业街有店面房共100间，2024年平均每间店面房的年租金为1万元，由于物价上涨，到2026年平均每间店面房的年租金上涨到了1.21万元，据预测，当每间的年租金定为12100元时，可全部租出；若每间的年租金每增加0.1万元，就要少租出10间，该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用0.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.05万元. （1）求2024年至2026年平均每间店面房年租金的平均增长率； 解：（1）设2024年至2026年平均每间店面房年租金的平均增长率为x， 根据题意得1(1+x)2＝1.21，解得x1＝0.1＝10%，x2＝-2.1（舍去）. 答：2024年至2026年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%. （2）当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益＝租金-各种费用）为103.8万元？ （2）设每间店面房的年租金上涨y万元，则可租出(100-100y)间店面房， 根据题意得 (1.21+y)(100-100y)-0.1(100-100y)-0.05×100y＝103.8， 化简得 500y2+80y-36＝0， 解得 y1＝0.2，y2＝-0.36（舍去）. 答：当每间店面房的年租金上涨0.2万元时，该商业街的年收益为103.8万元 $