4.4 二次函数与一元二次方程的关系 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过投篮轨迹等现实问题导入，连接二次函数图像性质，以实例探究（如画函数图像找交点）为支架，引导学生发现图像与x轴交点横坐标和方程根的联系。 其亮点在于用现实情境培养数学眼光，通过实例探究与表格抽象概括发展数学思维，以铅球轨迹等例题强化数学语言表达。如例2用函数解决铅球高度与水平距离问题，分层作业满足不同需求，帮助学生建立数形结合思想，教师可高效实施教学。

第4章 二次函数 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 如何快速画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象吗？ 二次函数的图象有什么特点，具有哪些性质？ 投篮时篮球的运动轨迹是抛物线，想知道篮球能否落入篮筐，就是求抛物线与特定直线的交点.如何求？ 导入新课 2 任务一：实例探究，初步感知 问题1：画出二次函数y＝x2－2x－3的图象，能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ 二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0有怎样的关系？ 图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为(－1，0)，(3，0). 当图象与 x 轴相交时，交点的纵坐标 y 等于多少？ 此时函数表达式会变成什么形式？ y＝0，表达式变为x2－2x－3＝0. 高效课堂 3 解一元二次方程x2－2x－3＝0，对比方程的解和刚才求出的交点横坐标，说一说有什么发现？ 方程的解是x1＝－1，x2＝3，恰好是函数图象与 x 轴交点的横坐标. 高效课堂 4 如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与 x 轴的交点坐标分别是(－1，0)，(3，0).由交点坐标可知，当x＝－1时，y＝0，即x2－2x－3＝0，也就是说，x＝－1是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根. 同理，当x＝3时，y＝0，即x2－2x－3＝0，也就是说，x＝3是也一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根. 高效课堂 5 强调：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与 x 轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x＝x1，x＝x2. 高效课堂 6 问题2：观察二次函数y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋2的图象(如图所示)，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋2＝0的根的情况. 高效课堂 7 二次函数y＝x2－6x＋9的图象与 x 轴有一个交点，其坐标是(3，0).而一元二次方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝3. 二次函数y＝x2－2x＋2的图象与 x 轴没有交点，而一元二次方程 x2－2x＋2＝0没有实数根. 高效课堂 8 任务二：抽象概括，形成结论 根据以上探究，说说二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎样的关系. 由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与 x 轴的交点情况可以判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置情况.具体如下表所示. 高效课堂 9 高效课堂 10 任务三：典型例题，新知运用 问题：从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切，那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？ 求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c在y＝0时自变量 x 的值，也就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因而可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察容易产生误差，因而利用图象求得的根，一般是近似的. 高效课堂 11 例1 求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值(精确到0.1). 分析：一元二次方程x2－2x－1＝0的根就是抛物线y＝x2－2x－1与 x 轴的交点的横坐标. 因此，可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与 x 轴的交点的横坐标. 这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 高效课堂 12 解 设二次函数y＝x2－2x－1. 画出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示. 可以发现，抛物线与x 轴的一个交点在－1和0之间，另一个交点在2和3之间. 通过观察或测量，可得抛物线与x 轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程x2－2x－1＝0的实数根为x1≈－0.4，x2≈2.4. 高效课堂 13 还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.将二次函数y＝ x2－2x－1在－1至0范围内的部分 x 值所对应的 y 值列表如下： 可以发现：当x＝－0.5时，y＝0.25＞0；而当x＝－0.4时，y＝－0.04＜0.结合图象可以看出：使y＝0的一个 x 的值在－0.5与－0.4之间，即－0.5＜x＜－0.4. 高效课堂 14 题目只要求精确到0.1，这时取x＝－0.4或x＝－0.5作为所求的根均满足要求. 但当x＝－0.4时，y＝－0.04； 当x＝－0.5时，y＝0.25. 前者的函数值y 更接近于0，因此选x＝－0.4. 同样，可以确定一元二次方程的另一个实数根为x＝2.4. 高效课堂 15 根据例1的解决，说一说如何利用二次函数的图象求相应的一元二次方程的实数根. ①根据一元二次方程设对应的二次函数； ②画出这个二次函数的图象； ③找出二次函数的图象与 x 轴的交点； ④通过观察或度量，估计交点的横坐标的数值，得出一元二次方程的根的近似值. 高效课堂 16 例2 如图，小李扔铅球时，若将铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数 y＝－ ＋ x＋ 的图象来刻画，其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的高度. 高效课堂 17 (1)当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m？ 若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离. (3)铅球离地面的高度能否达到3 m？ 为什么？ 高效课堂 18 为什么在水平距离不同的情况下，铅球的高度均为2.1 m？ 因为铅球的飞行轨迹是抛物线，根据二次函数的对称性，当高度y＝2.1时，对应的水平距离 x 会有两个不同的值.所以在不同的水平距离下，铅球的高度均为2.1 m. 强调：从例2可以看出，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝M，求自变量的对应值时，需要解一元二次方程ax2＋bx＋c＝M.这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了. 高效课堂 19 通过本节课的学习，你学会了哪些内容？ 在学习的过程中，你都用到了哪些数学思想方法？ 课堂总结 20 基础性作业：教材练习第1~3题. 提高性作业：教材习题4.4第4~6题. 拓展性作业：查阅资料，了解函数与方程的思想在初高中数学学习中的意义，并与同学分享. 作业设计 21 $