重难点专训01 平面向量系数和（等和线）问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以等和线原理为核心，构建"概念-通法-变式-分层"四维训练体系，系统突破平面向量系数和问题，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|5条性质|等和线定义及k值与位置关系|从基底向量分解到等和线概念生成| |题型1|2典例+1变式|基底分解求系数再运算|向量线性表示→系数确定→代数运算| |题型2|2典例+1变式|坐标法/参数法转化求范围|几何问题→代数化→函数/不等式求最值| |题型3|2典例+1变式|定值条件下基本不等式应用|系数关系转化→基本不等式模型构建| |题型4|2典例+2变式|动点区域临界值分析|图形运动→等和线平移→范围确定|

重难点专训01 平面向量系数和（等和线）问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 先求系数,再求系数的和差积商 1 题型2 求系数之和的最值与取值范围 3 题型3 由系数之和或积为定值,求另一系数表达式的最值与取值范围 4 题型4 与动点在某一区域变动有关的系数之和的最值与取值范围 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 11 解题方法及技巧提炼 平面内一组基底及任一向量满足：,若点在直线上或在平行于的直线上,则（定值）,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. (1) 当时,即,所以等和线为过点的直线； (2) 当时,,即,即,所以等和线恰为直线； (3) 当时,等和线在点与直线之间； (4) 当时,直线在点与等和线之间; (5) 若两等和线关于点对称,则定值互为相反数. 题型通法及变式提升 题型1 先确定系数,再求系数的和差积商 【典例1-1】（2026·北京顺义区·高三统一测试）在中,,若,则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由,得,整理为,即,,即. 【典例1-2】（2026·北京市朝阳区.二模）如图,在中,点为线段的中点,,,则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】∵ 为中点,∴ .又, ∴ .可得,,∴ 求解此类问题通常是利用下面两个结论求出向量中的系数,再求系数的和差积商： 1、若不共线,且,则； 2、若不共线,且,则,且. 【变式1-1】如图,在直角梯形中,,,,E为的中点,若,则（   ） A．65 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】方法一（坐标法）：建立如图所示的平面直角坐标系, 则．不妨设,则,所以,,,, 所以,,,因为,所以, 所以,解得,故． 方法二（基底法）：令,,取为一个基底, 由题意得,． 由于,所以,解得,所以． 题型2 求系数之和的最值与取值范围 【典例2-1】（2026·北京市通州区·高三上摸底考试）已知点为所在平面内一点,,,若,则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,所以点为的外心,又因为,所以. 设,再以点为原点,分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图： 则,所以, 又因为,所以,即. 又因为,所以点A在优弧上,所以落在角的终边上, 由三角函数的定义有,即, 所以,又因为,所以, ,,所以.故选C 【典例2-2】（2026·北京市第一零九中学·高三下开学考）已知,,,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有, 即,令,则,所以, 化简整理得：,即关于的一元二次方程有解, 所以,即, 所以.故选A. 求解此类问题的方法： 1.建立坐标系,把系数和转化为代数问题,利用函数或不等式知识求最值或范围； 2.引入角作为参数,把系数和转化为三角函数,利用弦函数的有界性求最值或范围. 【变式2-1】在中,,,,为内一点（含边界）,且．若,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,以A为坐标原点,方向为轴建立平面直角坐标系,则,设,过点作轴的垂线,垂足为,则,, ,,即, 则,其中,当时,有最大值为. 题型3 由系数之和或积为定值,求另一系数表达式的最值与取值范围 【典例3-1】（2026·北京市日坛中学·高三下2月调研）如图,设,线段与交于点,且,则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解析】,又,故, 所以,因为,所以, 因为三点共线,所以,故. 所以, 当且仅当,即时取等号.故最小值为,故选D. 【典例3-2】（2026·北京市人大附中·高三下统练）已知向量不共线,,其中,若三点共线,则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线,所以存在实数k,使,即, 又向量不共线,所以,由,所以, 当且仅当时,取等号,即的最小值为4.故选B. 此类问题的两种常见的类型及解法： 1.先由已知条件得出,求的最值,求解思路是根据,展开后利用基本不等式求最值； 2.先由已知条件得出为定值,求最值,求解思路是利用基本不等式：. 【变式3-1】已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点）,E是AC边中点,若,则__________.,的最小值为__________. 【答案】 2； 4 【解析】由题可得, 因为共线,所以, 所以,当且仅当即时等号成立. 题型4 与动点在某一区域变动有关的系数之和的最值与取值范围 【典例4-1】已知在中,点P满足,动点M在的三边及内部运动,设,则的取值范围为___________.（用区间表示） 【答案】 【解析】因为,所以,整理得, 所以P为的重心,取AC的中点D,则. 因为,所以, 所以当点M在线段BP上时,取得最小值1, 当点M与C重合时,取得最大值2, 所以的取值范围为,的取值范围为. 【典例4-2】设长方形ABCD的边长分别是AD＝1,AB＝2,点P是(含边界)的动点,设,则x＋2y的取值范围为（    ） A．[1,2] B．[1,3] C．[2,3] D．[0,2] 【答案】B 【解析】  取中点E,如图,连接BE, 当点P位于B点时,三点B、E、P共线,且,即,当点P位于C点时,,即,x＋2y的取值范围为[1,3],故选B. 求解此类问题的关键是借助直线的平移与旋转,求出系数之和的临界值. 【变式4-1】如图,在平行四边形中,为的中点,点在四边形内部（包含边界）,若,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点为,则.当点P为线段DF与线段BE的交点时,,当点在四边形的点处时,有；当点在四边形的点处时,有. 当点在四边形的点处时,有, 对应,可知,此时有,故AC错误； 当点在四边形的点处时,有, 对应,可知,此时有,故D错误；故选B. 【变式4-2】如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD＝2,点P是△BCD内任意一点（含边界）,设＝λ＋μ,则λ＋μ的取值范围为______. 【答案】[1,] 【解析】如图,（λ＋μ）min＝1,（λ＋μ）max＝. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.（2026. 北京市顺义区.高三上10月月考）在中,点满足,,若,则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,得,由,得是边中点,, 因此,又,且不共线, 所以.故选A. 2.（2026. 北京市大兴区. 高考适应性测试）在中,,,点满足,且,则（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为,,, 所以,即, 因为,,代入化简： ,因为, 所以, 因为,所以. 3.（2025·北京对外经贸大学附中·高三上12月月考）已知,,,．若,则的最大值为______． 【答案】3 【解析】因为,所以以为原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 因为,所以,则, 因为,所以,又,即, 所以,因为,即, 平方化简为,设,则, 所以的最大值为. 4.在中,,,若动点满足,则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由,可得 , 于是,当且仅当时等号成立,所以的最小值为. 5．在平行四边形中,是边上的点,,是线段的中点,若,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是线段DE的中点,所以, 又,所以, 所以． 6.在中,边上的中线为的中点为,过点的一条直线与分别交于点．若,则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得．因为是的中点,所以． 因为三点共线,所以．又因为,所以,所以,消去,可得． 7．在中,点是的中点,过点的直线分别交射线,于不同的两点,．设,（,）,则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【解析】由于是的中点,故. 而点在直线上,故, 从而, 当且仅当等号成立. 8.已知为所在平面内一点,并且满足,过的直线与,边分别交于,点,若,,则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】如图,连接并延长交于点,由可知,点是的重心,则点是的中点,, 因为点三点共线,所以,即, 则, 当时,即时,等号成立,所以的最小值为. 9．（2026·北京市育才学校·高三下高考仿真测试）已知矩形中,,．若点为中点,则____；若点满足（）,则的取值范围是____． 【答案】 2 【详解】以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则,,则, 可得：； 因为,则,, ,所以的取值范围是 10.若是内部或边上的一个动点,且,则的最大值是 _______ 【答案】 【解析】因为是内部或边上的动点,且, 根据平面向量基本定理可得,,（当P在边上时,）, 由基本不等式得,当且仅当时,即P是的中点时等号成立. 11．如图,在中,已知,是线段与的交点,若,则的值为__________. 【答案】 【解析】设, , 故, 又,故,由于三点共线,故,则, 又,故,所以. 创新提升 1.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +,则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如图 , 由平面向量基底等和线定理可知,当等和线与圆相切时, 最大,此时 故选 . 2.如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆,为圆上任一点,若,则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F, 设,则,∵BC//EF,∴设,则 ∴, ∴∴,故选A. 3.在中,,点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动,若,记的最大值与最小值分别为,则__________. 【答案】 【解析】设为的中点,连接,设为的中点,即点为以为直径的半圆的圆心, 则,当点在上时,由三点共线可得,此时点与点重合, 最小,即,做直线与平行,且与半圆相切,连接点与切点,此时最大, 即由三点共线知点在直线上时, 最大,设直线与的延长线相交于点, 连接,则,延长与相交于点, 因为,所以为半圆的一条切线,所以, 由得, 可得为等边三角形,,所以, 由得,又,所以四边形为平行四边形, 所以,,设,则, 由得,, 可得,, 所以, 因为三点共线,所以,可得, 所以的最大值为,则. 4．已知中,,,点I是的内心.若有,则_________． 【答案】 【解析】因为,则, 整理可得,又因为点I是的内心,即点I在内, 由奔驰定理得． 5．已知点分别在的边所在直线上,,为线段的中点,为与的交点,若,则的最小值为_____. 【答案】 【解析】因为是中点,所以,由, 代入得：, 又,,因此,, 代入得：, 因为在上,由三点共线的向量性质可得：, 令,则 ,即求的最小值,令, 将代入得： 这是开口向上的二次函数,对称轴为,代入得最小值： , 故的最小值为. 6．如图在直角梯形中,已知,,,．以为圆心,为半径作圆弧,点在图中扇形区域内（包含边界）运动．若,其中,,则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】如图2易得, 其中为的靠近的四等分点,． 作直线,过点作的平行线,交直线于点, 因为,又,故,,三点共线, 则, 显然,当点位于点时,为最小值, 当点位于点（圆弧与平行于的切线的切点）时,为最大值． 7.如图,四边形是边长为1的正方形,点D在的延长线上,且,点P是(含边界)的动点,设,则的最大值为 ． 【答案】 【解析】当点P位于B点时,过点B作,交的延长线于G,H, 则,且, ,, 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 平面向量系数和（等和线）问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 先求系数,再求系数的和差积商 1 题型2 求系数之和的最值与取值范围 2 题型3 由系数之和或积为定值,求另一系数表达式的最值与取值范围 4 题型4 与动点在某一区域变动有关的系数之和的最值与取值范围 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 7 解题方法及技巧提炼 平面内一组基底及任一向量满足：,若点在直线上或在平行于的直线上,则（定值）,反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线. (1) 当时,即,所以等和线为过点的直线； (2) 当时,,即,即,所以等和线恰为直线； (3) 当时,等和线在点与直线之间； (4) 当时,直线在点与等和线之间; (5) 若两等和线关于点对称,则定值互为相反数. 题型通法及变式提升 题型1 先确定系数,再求系数的和差积商 【典例1-1】（2026·北京顺义区·高三统一测试）在中,,若,则（   ） A． B． C．1 D． 【典例1-2】（2026·北京市朝阳区.二模）如图,在中,点为线段的中点,,,则（   ） A． B． C． D．2 求解此类问题通常是利用下面两个结论求出向量中的系数,再求系数的和差积商： 1、若不共线,且,则； 2、若不共线,且,则,且. 【变式1-1】如图,在直角梯形中,,,,E为的中点,若,则（   ） A．65 B． C．2 D． 题型2 求系数之和的最值与取值范围 【典例2-1】（2026·北京市通州区·高三上摸底考试）已知点为所在平面内一点,,,若,则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·北京市第一零九中学·高三下开学考）已知,,,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有, 即,令,则,所以, 化简整理得：,即关于的一元二次方程有解, 所以,即, 所以.故选A. 求解此类问题的方法： 1.建立坐标系,把系数和转化为代数问题,利用函数或不等式知识求最值或范围； 2.引入角作为参数,把系数和转化为三角函数,利用弦函数的有界性求最值或范围. 【变式2-1】在中,,,,为内一点（含边界）,且．若,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型3 由系数之和或积为定值,求另一系数表达式的最值与取值范围 【典例3-1】（2026·北京市日坛中学·高三下2月调研）如图,设,线段与交于点,且,则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【典例3-2】（2026·北京市人大附中·高三下统练）已知向量不共线,,其中,若三点共线,则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线,所以存在实数k,使,即, 又向量不共线,所以,由,所以, 当且仅当时,取等号,即的最小值为4.故选B. 此类问题的两种常见的类型及解法： 1.先由已知条件得出,求的最值,求解思路是根据,展开后利用基本不等式求最值； 2.先由已知条件得出为定值,求最值,求解思路是利用基本不等式：. 【变式3-1】已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点）,E是AC边中点,若,则__________.,的最小值为__________. 题型4 与动点在某一区域变动有关的系数之和的最值与取值范围 【典例4-1】已知在中,点P满足,动点M在的三边及内部运动,设,则的取值范围为___________.（用区间表示） 【典例4-2】设长方形ABCD的边长分别是AD＝1,AB＝2,点P是(含边界)的动点,设,则x＋2y的取值范围为（    ） A．[1,2] B．[1,3] C．[2,3] D．[0,2] 求解此类问题的关键是借助直线的平移与旋转,求出系数之和的临界值. 【变式4-1】如图,在平行四边形中,为的中点,点在四边形内部（包含边界）,若,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD＝2,点P是△BCD内任意一点（含边界）,设＝λ＋μ,则λ＋μ的取值范围为______. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.（2026. 北京市顺义区.高三上10月月考）在中,点满足,,若,则分别为（    ） A． B． C． D． 2.（2026. 北京市大兴区. 高考适应性测试）在中,,,点满足,且,则（     ） A． B． C． D．1 3.（2025·北京对外经贸大学附中·高三上12月月考）已知,,,．若,则的最大值为______． 4.在中,,,若动点满足,则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．在平行四边形中,是边上的点,,是线段的中点,若,则的值为（    ） A． B． C． D． 6.在中,边上的中线为的中点为,过点的一条直线与分别交于点．若,则（     ） A． B． C． D． 7．在中,点是的中点,过点的直线分别交射线,于不同的两点,．设,（,）,则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 8.已知为所在平面内一点,并且满足,过的直线与,边分别交于,点,若,,则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 9．（2026·北京市育才学校·高三下高考仿真测试）已知矩形中,,．若点为中点,则____；若点满足（）,则的取值范围是____． 10.若是内部或边上的一个动点,且,则的最大值是 _______ 11．如图,在中,已知,是线段与的交点,若,则的值为__________. 创新提升 1.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +,则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 2.如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆,为圆上任一点,若,则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 3.在中,,点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动,若,记的最大值与最小值分别为,则__________. 4．已知中,,,点I是的内心.若有,则_________． 5．已知点分别在的边所在直线上,,为线段的中点,为与的交点,若,则的最小值为_____. 6．如图在直角梯形中,已知,,,．以为圆心,为半径作圆弧,点在图中扇形区域内（包含边界）运动．若,其中,,则的取值范围是_________． 7.如图,四边形是边长为1的正方形,点D在的延长线上,且,点P是(含边界)的动点,设,则的最大值为 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $