专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

**基本信息** 北京多所重点中学期中试题汇编，聚焦指数函数与对数函数5大高频考点，涵盖基础运算、函数性质及实际应用，适配高一上学期期中复习，突出名校命题特色与梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|指数运算、对数性质、函数单调性|结合清华附中、北京四中真题，基础题占比60%| |解答题|约15题|零点判定、实际建模（如“冰丝带”污水处理、药熏消毒）|分层设计，含开放探究题（如“漂移点”概念辨析）|

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）根式化成分数指数幂为　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）计算　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）计算　　　　　　　　　　.（用数字作答） 5．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）求值：　　　　　　． 7．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）　　　　　. 8．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）求值：　　　　　　. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（       ） A. (－1，5) B. (－1，4) C. (0，4) D. (4，0) 3．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数（　　） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 4．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数 ，且在R上存在最值，则的取值范围是（　　） A.  B. 或 C. 或 D. 或 6．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知函数 则　　　　　　　　　；若，则实数的取值范围　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）设，则按从小到大的排序是　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数的图象过坐标原点. （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）直接写出的值域（不需要证明）. 9．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）已知函数 的图象过点，其中. （1）求及的值； （2）求证：，都有； （3）若函数在上存在最大值，直接写出的取值范围. 10．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是　　　　　. 11．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是　　　　　　　　. ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 的值等于(　　) A. 2 B.  C. 4 D.  3．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.  6．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）计算的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 25 7．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）化简下列代数式 （1） （2） （3） 8．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）　　　　　　． 10．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为　　　　　　　　　　　　　.（精确到0.01，） 11．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）化简下列各式，并求值． （1） （2） 12．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是　　　　　 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）已知，，，则（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数，若，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）设 则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）设，则的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用“>”号连接） 9．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的值域为　　　　　　　　　　　；不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）函数的零点可能位于区间 A. （3，4） B. （2，3） C. （1，2） D. （5，6） 2．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数．下列区间中包含零点的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）函数的一个零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）函数在下列区间一定有零点的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 8．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）点声源在空间中传播时，衰减量（单位：分贝）与传播距离（单位：米）的关系式为，取，则从6米变化到30米时，衰减量的增加值约为（　　） A. 21dB B. 20dB C. 18dB D. 14dB 11．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数的零点所在的区间为（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知函数下列区间中包含零点的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（       ） A. 51.2% B. 48.8% C. 52% D. 48% 14．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（       ） A.  B. 当时， C. 函数有且仅有一个零点 D. 函数可能无零点 15．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 17．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）函数的零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知，，若，或，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（       ） A.      B.      C.      D.      20．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图像中的（       ） A. ①④ B. ②③ C. ④① D. ③② 21．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设，函数 ，若恰有一个零点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数 ，若方程有三个不相等的实根，则下列选项错误的是（       ） A.  B.  C.  D. 方程有三个不相等的实数根 23．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 24．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知函数， ，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值不可能为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是 A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）函数的零点个数是　　　　　　　　 27．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为　　　　　　． 28．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数的取值范围为　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货多少包？并求出最大利润． 30．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为　　　　　　. 31．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数 （Ⅰ）若，则函数的零点是　　　　　　　　； （Ⅱ）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中，为函数的包容数是　　　　　　　　．（填出所有正确答案的序号） 32．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设函数 ，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是　　　　　　　　　． 34．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）某公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入两种产品中且均有投资，其中万元资金投入产品． （1）请把两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域： （2）在（1）的条件下，当取何值时公司可获得最大利润，此时最大利润是多少？ 35．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数且满足． （1）求的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 36．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：．服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式： ，现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和．（参考数据：） （1）求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值； （2）若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由． 37．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）某公司为宣传年会，拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，同时要求矩形的长宽比不小于2，即.设直角梯形的高为，矩形的面积为.    （1）求的解析式； （2）求的最小值. 38．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题. （1）求从药物释放开始，与的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由. 39．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知的图象经过点，则　　　　　；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为　　　　　． 40．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是　　　　　；不等式的解集为　　　　　. 41．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数，其中． （1）对于任意，都有，求t的值； （2）若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： （3）若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 42．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为 ，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和 （1）写出的解析式； （2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 43．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数 ，当时，的值域为　　　　　　　　　　；若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 44．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）求关于的不等式的解集； （3）方程在内有且仅有一个实根，求实数的取值范围. 45．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为-4. （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 46．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. （1）求的值； （2）试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 47．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数 ，则方程的解集是　　　　　　　　； 若，则的零点个数为　　　　　　　　． 48．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）若在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”． （1）请判断函数是否有漂移点？并说明理由； （2）求证：函数在上存在漂移点； （3）若函数在上有漂移点，求实数的取值范围． 49．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数 ，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　． ①函数的图象恒过定点； ②若函数在上单调，则； ③若方程可能有5个实数根，则的取值范围是； ④当时，必存在点在函数的图象上． 50．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）　　　　　　； （2）若直线与函数的图像恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为　　　　　　. 51．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）设函数 （且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有两个解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④不存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 52．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知函数 （1）若，求的值； （2）若，用函数单调性定义证明在上单调递减； （3）设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 53．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设 ，若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围　　　　　　. 54．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知函数，则 ①函数没有零点； ②函数有最小值； ③对于任意，且，恒成立； ④对于任意，存在，对于任意，有． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知，函数 ． （1）当时，不等式的解集是　　　　　　 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是　　　　　　 56．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数 ，给出下列四个结论： ①若函数在区间上的值域为，则； ②对，，当时，都有； ③当时，函数在区间上单调递减； ④若函数在定义域内恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指、对、幂的运算逐项判断即可． 【详解】 ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 2．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）根式化成分数指数幂为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数幂的定义进行解答即可. 【详解】 . 故答案为：. 3．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）计算　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据有理数指数幂的运算性质，求出结果. 【详解】 由题意得， 故答案为：. 4．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）计算　　　　　　　　　　.（用数字作答） 【答案】3 【分析】 根据分数指数幂与根式的转化求解即可. 【详解】 . 故答案为：3. 5．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 因为. 故答案为：3 6．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）求值：　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用指数幕的运算性质直接求即可． 【详解】 故答案为： 7．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】 因为，， ，， 所以原式 . 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）求值：　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数的运算即可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据常见函数的单调性依次判断即可. 【详解】 根据指数函数的性质，易知函数在定义域内单调递减，A正确； 因为的定义域为，且在区间，内分别单调递减， 但时，，当时，，所以该函数在定义域上不是单调递减的函数，故B错误； 根据指数函数的性质，易知在定义域内单调递增，C错误； 根据一元二次函数的性质，易知在定义域内先增后减，D错误. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（       ） A. (－1，5) B. (－1，4) C. (0，4) D. (4，0) 【答案】A 【分析】 令，即可求出定点坐标； 【详解】 当，即时，，为常数， 此时，即点P的坐标为(－1，5). 故选：A. 【点睛】 本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题. 3．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数（　　） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 【答案】D 【分析】 令，利用换元法将所求变为，根据二次函数的性质，分析即可得答案. 【详解】 由题意， 令，因为，所以， 则所求变为，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以，即的值域为， 所以没有最大值，也没有最小值. 故选：D 4．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】 因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数 ，且在R上存在最值，则的取值范围是（　　） A.  B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据分段函数解析式，应用分类讨论，结合一次函数、指数函数的单调性研究的区间值域，进而判断其是否存在最值，即可得. 【详解】 当且， ，在上单调递增，则， 若时，在上单调递减，则，此时，存在最大值； 若时，在上单调递增，则，此时没有最值； 当时， ，此时，存在最小值； 当， ，在上单调递减，则， 在上单调递增，则，此时，存在最小值； 综上，或. 故选：C 6．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知函数 则　　　　　　　　　；若，则实数的取值范围　　　　　　　　　. 【答案】① .25    ② 【分析】 利用分段函数定义求，带入运算即可得结果；分类讨论的范围解不等式，求得合题意的的范围. 【详解】 解：由题知当时，，则； 因为，则当时，，解得， 当时，，解得， 综上实数的范围为. 故答案为：； 7．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）设，则按从小到大的排序是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 应用指数函数的单调性得出大小关系求解. 【详解】 因为单调递减，所以， 因为单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数的图象过坐标原点. （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）直接写出的值域（不需要证明）. 【答案】（1）2     （2） 由（1）知，，定义域为， 而， 所以函数为奇函数.     （3）      【分析】 （1）将点代入解析式即可求解； （2）根据函数的奇偶性的定义求证即可； （3）根据指数函数的性质及不等式的基本性质求解即可. (1) 小问详解： 由题意，，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由， 因为，则，即， 所以，则， 所以函数的值域为. 9．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）已知函数 的图象过点，其中. （1）求及的值； （2）求证：，都有； （3）若函数在上存在最大值，直接写出的取值范围. 【答案】（1），     （2）证明：由（1）知 ， 当时，， ； 当时，， ，. 综上，，都有.     （3）      【分析】 （1）函数的图象过点，可求得；再将带入分段函数对应解析式即可求解； （2）根据不等式的性质，结合的取值范围即可证明； （3）由题知 ，对的取值范围进行分类讨论，去绝对值后研究分段函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： ∵函数 的图象过点，，解得. . 故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知 . 当时，，； 当时，，. 当时， ， 由于函数在上单调递减，函数在上单调递增， 故函数 在上无最大值； 当时， ， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故当时，函数 取得最大值，最大值为； 当时，不妨设方程的两根分别为和， 易知函数在和上单调递减，在和上单调递增， 要使函数在上存在最大值，需使 ，即 ，解得. 综上，若函数在上存在最大值，的取值范围为. 10．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 利用性质可判断① ；利用基本不等式结合性质可判断② ；根据函数的值域可判断③ ；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④ . 【详解】 对于① ，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，① 对； 对于② ，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质； 对于③ ，因为， 且函数的值域为，所以，不存在实数，使得，③ 错； 对于④ ，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，④ 对. 故答案为：① ② ④ . 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 11．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是　　　　　　　　. ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 【答案】① ③ 【分析】 根据函数有意义求解判断① ；根据复合函数的单调性判断② ；由，可得，，，进而得到，结合指数函数的值域及不等式的性质可判断③ ；取，可得，即可判断④ . 【详解】 由，得，则，故① 正确； 由， 因为函数在和上为增函数， 且在和上为减函数， 则函数在和上为减函数，故② 错误； 对于③ ，由，则，，， 则 ， 由，则且，所以且， 则或，即或， 所以，故③ 正确； 对于④ ，当时，， 对任意的，， 则，故④ 错误. 故答案为：① ③ . 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由可得，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 因为，，由，可得， 所以，“”“”；但“”“”. 所以，已知，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 的值等于(　　) A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】A 【详解】lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 ＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2. 故选A 点睛：本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练应用是关键. 3．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据条件有，利用对数的运算性质得到，即可求解. 【详解】 由题知，则， 又，所以，所以， 故选：D. 4．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对数运算性质，求出结果即可. 【详解】 由题意可知，化简得，解得. 故选：C. 5．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.  【答案】A 【详解】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 6．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）计算的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 25 【答案】A 【分析】 根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故选：A 7．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）化简下列代数式 （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      (1) 小问详解： 原式 . (2) 小问详解： . (3) 小问详解： . 8．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得. 【详解】 ， . 故答案为：5；3. 9．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据对数的运算法则化简即可. 【详解】 . 故答案为： 10．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为　　　　　　　　　　　　　.（精确到0.01，） 【答案】 【分析】 将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得. 【详解】 由题知，当时，， 代入得，即， 所以，即. 故答案为： 11．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）化简下列各式，并求值． （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数和对数的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算即可得到答案. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 12．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是　　　　　 【答案】，（答案不唯一） 【分析】 要说明命题“若，则”为假命题，等价于找到一组正实数，满足且. 【详解】 假设命题“若，则”为假命题，只需要找到一组正实数，满足且. 根据对数的加法公式可知：. 若，则 假设，，则 所以存在正实数：，使得“若，则”成立， 即“若，则”是假命题. 故答案为：，（答案不唯一）. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系. 【详解】 解：由题意， ， 在中，函数单调递增，且， ∴， 在中，函数单调递增，且当时，， ∴， ∴， 故选：A. 2．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）已知，，，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用对数运算计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案. 【详解】 因为，，， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数，若，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由于，所以将转化为，再利用在上单调递增可求出的取值范围 【详解】 解：因为， 所以可化为， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，得， 所以的取值范围是， 故选：A 4．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析：利用对数函数的单调性与定义域，结合充分条件与必要条件的定义求解即可. 详解：充分性：在为增函数， 若，则有，所以充分性成立. 必要性：若，取， 则都没有意义，所以必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A. 点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 5．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案. 【详解】 的定义域是，AB选项错误. ① ， 由 解得 或 ， 画出的图象如下图所示， 由图可知，不等式① 的解集为. 故选：D 6．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）设 则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】 因为 所以， 故选：A 7．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，将代入，再由进行计算即可. 【详解】 由题可得，且， 则，故C正确. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）设，则的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用“>”号连接） 【答案】 【分析】 根据指对数的性质判断各参数的大小即可. 【详解】 由，即. 故答案为： 9．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据根号下大于等于0和对数真数大于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】 由题意得 ，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 10．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数定义域的求法，求得函数的定义域． 【详解】 由题可知 ，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 11．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的值域为　　　　　　　　　　　；不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据指数函数的单调性，结合，可得的值域，根据为奇函数，结合对称性，分析可得答案；根据的单调性及的单调性，结合处的函数值，分析即可得答案. 【详解】 因为单调递减，所以当时，的值域为， 所以，且单调递减， 因为函数是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称， 所以当时，单调递减，且此时， 又， 综上，的值域为； 令，解得， 所以在上单调递增，且当时，， 又在R上单调递减，且， 所以当时，， 综上，的解集为. 故答案为：， 12．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案. 【详解】 函数需满足 ， 解得 且 ， 故函数的定义域为， 故答案为： 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）函数的零点可能位于区间 A. （3，4） B. （2，3） C. （1，2） D. （5，6） 【答案】B 【详解】试题分析：∵函数，∴f（2）=＜0，f（3）=＞0， ∴f（2）f（3）＜0，故函数的零点一定位于区间（2，3）上， 故选B． 考点：函数的零点． 2．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案. 【详解】 定义域为，在定义域上连续且单调递增， 其中，，， ，， 由零点存在性定理可得：包含零点的区间为. 故选：D 3．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数．下列区间中包含零点的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】 函数， 当时，，则，， ，因此在区间内有函数的零点， 当时，，， 当时，，， 所以数的零点在区间内. 故选：B 4．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）函数的一个零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先判断在上的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，，所以，所以在上存在一个零点. 故选：B 5．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）函数在下列区间一定有零点的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用零点存在性定理判断作答. 【详解】 函数， 则， 于是， 由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点. 故选：D 6．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数零点存在性定理判断即可 【详解】 ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 故选：C 7．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】C 【分析】 分析可知在定义域内单调递增，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】 因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 又因为，，， 所以， 所以方程的根所在区间为. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据零点存在性定理判断各选项即可． 【详解】 因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间，，上均有零点． 而，所以函数在区间上不一定有零点． 故选：A． 9．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 对于① ：根据奇函数定义分析判断即可；对于② ：根据中心对称的定义分析判断；对于③ ：整理可得，构建，结合函数图像分析判断；对于④ ：取，代入解方程即可得零点个数. 【详解】 由题意可知：的定义域为， 对于① ：当时，， 则，所以为奇函数，故① 正确； 对于② ：因为， 所以函数的图像关于点对称，故② 正确； 对于③ ：若，令，可得， 构建 ，可得其图像如图所示， 可知在上单调递增，且的值域为， 则与恒有一个交点，即有且仅有1个零点，故③ 错误； 对于④ ：例如，则， 令，解得或， 所以存在，使得函数有三个不同的零点，故④ 正确； 综上所述：真命题的个数为3. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）点声源在空间中传播时，衰减量（单位：分贝）与传播距离（单位：米）的关系式为，取，则从6米变化到30米时，衰减量的增加值约为（　　） A. 21dB B. 20dB C. 18dB D. 14dB 【答案】A 【分析】 根据给定的关系式，应用对数的运算性质求衰减量的增加值. 【详解】 当时，当时， 所以. 故选：A 11．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数的零点所在的区间为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数、反比例函数的性质及解析式判断函数的区间单调性，再由零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】 由在上单调递增，则在上单调递增， 由，，故函数零点所在区间为. 故选：C 12．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知函数下列区间中包含零点的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 对于A：根据零点存在性定理分析判断；对于BCD：根据函数值的符号分析判断. 【详解】 函数， 对于选项A：因为，， 所以在内存在零点，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故B错误； 对于选项C：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故C错误； 对于选项D：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故D错误； 故选：A. 13．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（       ） A. 51.2% B. 48.8% C. 52% D. 48% 【答案】B 【分析】 先通过“前2小时消除了20%的污染物”求出 ，再令可求出，进而得到答案. 【详解】 依题意有， 可得， 当时， 因此，前6个小时消除了污染物的48.8%. 故选∶B． 14．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误的是（       ） A.  B. 当时， C. 函数有且仅有一个零点 D. 函数可能无零点 【答案】D 【分析】 根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD. 【详解】 对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确； 对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确； 对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确； 对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误， 故选：D. 15．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得关于的方程有解，然后对分类讨论去掉绝对值，得到的关系，即可得到的范围. 【详解】 由题意可知关于的方程有解， 当时，，即， 当时，，， 当时，，即， ∴， 故选：C. 16．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】B 【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B. 考点：平均变化率. 17．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）函数的零点所在区间为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】 函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知，，若，或，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由得，将问题转化为，恒成立求解，再按分类探讨即可得解. 【详解】 函数，当时，，满足或； 而当时，，由，或，得，恒成立， 由，即 或 ，解得或， 当时，恒成立，由二次函数性质知函数的图象开口向下，则， 而的2个根为，有 ，解得，则， 所以的取值范围是 . 故选：A 19．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】 由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图像中的（       ） A. ①④ B. ②③ C. ④① D. ③② 【答案】A 【分析】 设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，进而判断函数图像． 【详解】 设行进的速度为，行走的路程为，则 ， ． 根据速度函数及路程函数的解析式，其示意图像分别为① 和④ ． 故选：A． 21．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设，函数 ，若恰有一个零点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意利用函数与方程的思想，可将 图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】 画出函数 的图象如下图所示：    函数 可由 分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 22．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数 ，若方程有三个不相等的实根，则下列选项错误的是（       ） A.  B.  C.  D. 方程有三个不相等的实数根 【答案】B 【分析】 根据方程有三个不相等的实根计算判断各个选项即可. 【详解】 由函数 ，作出图象：   若方程有三个不相等的实根，，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以当时方程有一个实根，则， 又因为关于对称， 所以，且， 则， 因为时，，因此可以取到1，所以B错误； 则，所以C正确； 又因为，所以， 所以，，知，所以A正确； 当方程有三个不相等的实根时，， 则，所以D正确. 故选：B. 23．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）定义域为的函数满足，，，且函数满足对任意，都有，则方程解的个数为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 由，通过代入特殊值求出，，得到解析式，通过画函数图像判断解的个数. 【详解】 中取，，得，即， 取，，得，即，所以， 得， 是周期为2的周期函数，，作出函数的图象及直线， 可得两图象有7个交点， 故选：B. 24．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知函数， ，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值不可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，确定整数解的值，可得出关于实数的不等式组，可求得的取值范围即可. 【详解】 设不等式在时的解集为，在时的解集为， 当时，由可得， 当时，由可得， 即. 作出函数的图象如下图所示： （i）当时，由可得，该不等式无解； （ii）当时，且当时，，此时，则， 当时，由可得， 由题意可知，所以 ，即 ，解得； （iii）当时，若，由可得， 若，由可得， ① 若为负整数，则，此时 ，即 ，解得； ② 若为正整数，则，所以，此时， 所以，则，即，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 25．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组 ，解得：，问题得解． 【详解】当时，可化为： 整理得： 当时，可化为： 整理得：，此方程必有一正、一负根. 要使得方程在上有两个不等实根， 则在内有实数解，且方程的正根落在内. 记， 则 ，即： ，解得：. 故选C 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题． 26．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）函数的零点个数是　　　　　　　　 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域为，将原问题转化为，解方程，即可得出的零点个数． 【详解】由题意可知的定义域为，令， 可得， 解得（舍去）或， ； 所以函数的零点个数为个． 故答案为：1． 【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点． 27．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为　　　　　　． 【答案】18 【分析】 根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果. 【详解】 因为函数的两个零点分别为和， 所以和是的两个实根， 所以，， 所以. 故答案为：18. 28．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意结合二次函数的性质可知，代入运算即可. 【详解】 因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数的两个零点一个小于3，另一个大于3， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 29．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货多少包？并求出最大利润． 【答案】每次应进货500包，最大利润为元. 【分析】 根据给定信息，将全年利润表示为的函数，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】 依题意，全年共进货次，全年销售利润元， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以为了使利润最大化，每次应进货500包，最大利润为元. 30．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为　　　　　　. 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】 根据条件，得到 ，解得，即可求解. 【详解】 因为的一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以 ，解得，所以满足条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 31．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数 （Ⅰ）若，则函数的零点是　　　　　　　　； （Ⅱ）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中，为函数的包容数是　　　　　　　　．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①     ② ② ③ 【详解】（Ⅰ）根据函数解析式，令，再分类讨论，分别计算可得； （Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断． 【详解】 解：（Ⅰ）当， ，令，即 或 解得，故函数的零点为 （Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集， 当时，由时，； 由时，， ，不满足题意； 当时，由时，； 由时，，，，，满足题意； 当时，由时，，； 由时，， ，满足题意． 综上可得函数的包容数是② ③ ． 故答案为：；② ③ 【点睛】 本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力． 32．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设函数 ，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】画出图形，根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】 解：作出函数图像如下 互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为 故答案为： 【点睛】 根据函数零点或根或相交的情况求参数有三种常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 33．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可. 【详解】 考查函数，绘制函数图像如图所示， 该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题. 【点睛】 本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误. 34．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）某公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入两种产品中且均有投资，其中万元资金投入产品． （1）请把两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域： （2）在（1）的条件下，当取何值时公司可获得最大利润，此时最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元.      【分析】 （1）根据万元投入产品，那么投入产品万元，结合的解析式求出总利润的函数解析式以及定义域即可. （2）根据基本不等式的性质求解即可. (1) 小问详解： 万元投入产品，那么投入产品万元， 那么总利润为. 因为，所以，所以定义域为. (2) 小问详解： ， 根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时，即时等号成立，此时取最小值为12， 那么取最大值为28万元. 所以当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元. 35．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数且满足． （1）求的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 【答案】（1），     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出； （2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值. (1) 小问详解： 函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为， 又函数满足，则，解得， 又，所以，. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以. （i）因为函数有两个不同的正数零点， 所以 ，解得， 所以的取值范围为. （ii）因为， 所以，又，所以. 36．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：．服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式： ，现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和．（参考数据：） （1）求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值； （2）若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 当时，令，则，解得； 当时，令，则，解得； 故血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长为小时，需要调整治疗方案.      【分析】 （1）根据已知条件，求得关于的函数关系，求该函数的最大值即可； （2）根据（1）中所求，令，求得累计时长，即可判断. (1) 小问详解： 根据题意 ， 当时，，其最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，其最大值为； 又，故当时，的最大值为， 即4小时内血液中微量元素总浓度的最高值为； (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）某公司为宣传年会，拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，同时要求矩形的长宽比不小于2，即.设直角梯形的高为，矩形的面积为.    （1）求的解析式； （2）求的最小值. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）首先表示出、，即可表示出，再由求出的范围； （2）利用基本不等式计算可得. (1) 小问详解： 因为直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 所以海报宽，海报长， 所以， 又，即，显然，则，即， 即 ，解得， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 38．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题. （1）求从药物释放开始，与的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由. 【答案】（1） ；     （2）可以，理由如下： 由(1)知，因药物释放完毕后有，， 则当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下，有，解得：， 因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟， 所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.      【分析】 (1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答. (2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答. (1) 小问详解： 依题意，当时，设， 因函数的图象经过点A，即，解得， 又当时，，解得， 而图象过点，则， 因此， 所以与的函数关系式是 . (2) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有 关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答. 39．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知的图象经过点，则　　　　　；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为　　　　　． 【答案】① 1    ② 【分析】 第一空，代入点的坐标即可求得；第二空，根据方程根满足条件列不等式组，即可解得结果. 【详解】 由题知，当时，，解得， 所以，又方程有两个不等实数根， 则 ，又因为，所以，得到， 由，得到或，所以． 故答案为：1；． 40．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是　　　　　；不等式的解集为　　　　　. 【答案】① 3    ② 【分析】 根据函数图象结合奇函数的对称性分析的符号性，进而可得函数零点，注意；由不等式可知与同号，进而可得解集. 【详解】 由图象可知：当时，；；当时，； 因为是定义在上的奇函数，则， 且当时，；；当时，； 综上所述：的零点为，0，1，共3个； 对于不等式，可知与同号， 可得或，所以不等式的解集为. 故答案为：3；. 41．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数，其中． （1）对于任意，都有，求t的值； （2）若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： （3）若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数的性质即可求解； （2）根据图象变换结合题意可得，解不等式即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则任意，都有，等价于，根据二次函数的性质，分，，和来讨论即可求解. (1) 小问详解： 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以. (2) 小问详解： 由题意得， 即，解得或， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则任意，都有，等价于， ① 当时，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以； ② 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 所以， ③ 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以， ④ 当时，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以； 综上：的取值范围是. 42．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为 ，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和 （1）写出的解析式； （2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1） ；     （2）40平方米，最小值40万元.      【分析】 （1）根据给定的条件，求出m值及的解析式，进而求出的解析式作答. （2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答. (1) 小问详解： 依题意，当时，，即有，解得，则 ， 于是得 ， 所以的解析式是 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，在上递减，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 显然，所以当x为40平方米时，取得最小值40万元. 【点睛】 方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 43．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数 ，当时，的值域为　　　　　　　　　　；若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 空一：根据一次函数和二次函数的性质求解即可； 空二：分，两种情况结合函数的单调性讨论求解即可. 【详解】 当时， ， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 当时， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 要使关于的方程有三个不同的根， 即函数与有三个交点， 则 ，解得； 当时， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数与有最多有两个交点， 此时关于的方程最多有两个不同的根，不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 44．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）求关于的不等式的解集； （3）方程在内有且仅有一个实根，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.     （3）      【分析】 （1）令，解方程即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法分、、三种情况讨论求解即可； （3）转化问题为函数在上与轴有且仅有一个交点，进而分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 令，即，解得或， 所以函数的零点为，. (2) 小问详解： 由，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，即时，不等式解得； 若，即时，不等式为，无解； 若，即时，不等式解得； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. (3) 小问详解： 由题意，方程在内有且仅有一个实根， 则函数在上与轴有且仅有一个交点， 当时，，与轴有且仅有一个交点，满足题意； 当时，函数，恒过定点，，则， 结合二次函数的图象及零点存在性定理，可知函数在上与轴有且仅有一个交点， 则函数在上与轴无交点， 所以，解得，即且. 综上所述，实数的取值范围为. 45．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为-4. （1）求的解析式； （2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由二次函数对称轴、最值已知，则可设顶点式，代入点求解即可； （2）在恒成立转化为，由二次函数性质求出，解不等式即可； （3）由二次函数性质，分与讨论，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，设， 则，， 则. (2) 小问详解： 令在恒成立即， 当时，，即. (3) 小问详解： 在上只有一个零点， 当时，即，解得或 当时，不满足题意，舍去， 当时，满足题意， 当时，当，解得，此时在上只有一个零点， 由于，当时，此时，此时， 解得或（舍去），满足条件，因此， 综上：的取值范围是. 46．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. （1）求的值； （2）试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 【答案】（1）     （2）     （3）万元      【分析】 （1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. (1) 小问详解： 由题意，当时，，解得. (2) 小问详解： 由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； (3) 小问详解： 设年利润为万元， 则， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 47．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数 ，则方程的解集是　　　　　　　　； 若，则的零点个数为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 3 【分析】 根据分段函数令解方程得解集即可；确定分段函数的解析式，结合函数单调性与零点存在定理判断函数在，，时的零点个数即可得结论. 【详解】 ①当时，令，解得， 当时，令，解得， 综上，方程的解集是 ； ②当时，， 当时，， 当时，， 综上得： ， 所以 ， 由于当时，为增函数，且， 故存在唯一的使得； 当时，为减函数，且， 故存在唯一的使得； 又， 综上，的零点个数为3. 故答案为：. 48．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）若在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”． （1）请判断函数是否有漂移点？并说明理由； （2）求证：函数在上存在漂移点； （3）若函数在上有漂移点，求实数的取值范围． 【答案】（1） 假设函数有漂移点，则， 即，由于，所以此方程无实数根，与假设矛盾，所以函数没有漂移点.     （2） 令， 因为，，根据零点存在性定理得，函数在至少有一个零点， 即，即，所以函数在上存在漂移点.     （3）      【分析】 （1）假设有漂移点，按照漂移点的概念得到方程，判断方程是否有实数解即可； （2）令，利用零点存在性定理判断在上有零点即可判断在上存在漂移点； （3）假设有漂移点，按照漂移点的概念得到有实数根，通过求的范围从而得到的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由对数函数的定义域得， 若函数在上有漂移点， 则， 即，整理得, 因为，所以，即, 所以实数的取值范围. 49．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数 ，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　． ①函数的图象恒过定点； ②若函数在上单调，则； ③若方程可能有5个实数根，则的取值范围是； ④当时，必存在点在函数的图象上． 【答案】① ③ ④ 【分析】 将代入解析式判断① ，分类讨论参数，结合一次函数、二次函数的性质研究的区间单调性和值域，进而确定的区间单调性判断② ③ ，利用在上与的图象是否有交点判断④. 【详解】 由解析式知，即函数图象恒过定点，① 对， 的开口向上，且对称轴为， 当时在上单调递减，值域为， 在上单调递增，值域为， 显然在上不单调，且最多有2个根， 当时，在上，显然在上不单调， 在上单调递增，值域为，则有0个、1个或无数个根， 当时在上单调递增，值域为，则值域为， 在上单调递减，在上单调递增，值域为 显然在上不单调，且在，即时最多有3个根， 若，即时，在上有2个零点，记为，且， 在上单调递减，在上单调递增， 此时可能存在5个根，其中大致图象如下， 综上，函数在上不单调，② 错，方程可能有5个实数根，则，③ 对， 当时，在上与有交点，即， 当时，在上 ，则， 显然，且 ，即上述方程在上有根， 所以存在点在函数的图象上，④ 对. 故答案为：① ③ ④ 50．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）　　　　　　； （2）若直线与函数的图像恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 （1）由得到求解； （2）由，分段讨论得到在各段的值域，结合图象得的取值范围. 【详解】 因定义在区间上的函数满足，且当时，， 则； 当时，在单调递减，在单调递增， 又，所以此时的值域为； 当时，，所以， 此时在单调递减，在单调递增， 又，所以此时的值域为； 当，，所以， 此时在单调递减，在单调递增， 又，所以在值域为； 当时，， 所以， 此时在单调递减，在单调递增， 又，所以此时的值域为， 如图，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点，则， 即此时实数的取值范围为. 51．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）设函数 （且）.给出下列四个结论： ①当时，方程有两个解； ②当时，方程有三个解； ③对任意实数a（且），的值域为； ④不存在实数a，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】②④ 【分析】 直接解方程可判定① ，分类讨论解方程可判定② ，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③ ，利用单调性可判定④ 【详解】 当时， ，则方程为， 若，所以，则， 若，所以，则与矛盾，舍去， 所以当时，方程有唯一解，故① 不正确； 当时，若，所以，则， 若，所以，易知在上单调递减， 则当时，且在上单调递减， 当时，，则， 此时则， 作出函数与的草图如下， 当时，方程有三个解，故② 正确； 因为且，可知恒成立， 若，且在上单调递减， 且时，此时； 若，且在单调递增，即， （i）当时，则， （ii）当时，在时，，此时； 当时，取不到最小值，故③ 错误； 当时，若在单调递增， 易知在单调递增，在上单调递增， 故,即,解得或，故此时不存在， 当,则在单调递减，在上单调递增，不符合题意. 因此不存在实数a，使得在区间上单调递增，故④ 正确． 故答案为：②④. 52．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知函数 （1）若，求的值； （2）若，用函数单调性定义证明在上单调递减； （3）设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 当时，，设，且， 则， ，且， ，， ， 在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由已知，建立关于的方程，解出即可； （2）将代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可； （3）问题转化为在上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决． (1) 小问详解： 由得，，解得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点）， 且二次函数的对称轴为， 若函数在上有唯一零点，依题意， ① 当时，，解得； ② 当时，，解得，则方程的根为，符合题意； ③ 当时，解得，则此时的两个零点为， 符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 53．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设 ，若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围　　　　　　. 【答案】 【分析】 由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围 【详解】 令，可得， 因为有两个零点，可知与的图象有两个交点， 由可得，或， 当时，；当或时，； ①当时，函数的图象如图所示， 此时存在，满足题意，故满足题意； ②当时，可知函数在定义域内单调递增，不符合题意； ③当时，函数的图象如图所示， 此时存在使得，与有两个交点； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 54．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知函数，则 ①函数没有零点； ②函数有最小值； ③对于任意，且，恒成立； ④对于任意，存在，对于任意，有． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】② ④ 【分析】 对于① ，令，求解即可；对于② ，画出的图象即可； 对于③ ，将，代入，求解即可；对于④ ，根据当，增长远快于，进行判断即可. 【详解】 对于① ，令，即，解得，所以，函数有零点，故① 错误； 对于② ，，求导得到，令，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在处取得最小值，故② 正确；； 对于③ ，取，，，计算得，，此时，则，故③ 错误； 对于④ ，当，增长远快于，故，所以对任意，存在，对于任意，有，故④ 正确. 故答案为：② ④. 55．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知，函数 ． （1）当时，不等式的解集是　　　　　　 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 （1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】 （1）当时， ， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ① 当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ② 当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 【点睛】 思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题. 一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象即可求得参数范围. 56．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数 ，给出下列四个结论： ①若函数在区间上的值域为，则； ②对，，当时，都有； ③当时，函数在区间上单调递减； ④若函数在定义域内恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 【答案】① ③ ④ 【分析】 ① 根据函数的解析式可知在区间上的单调性，即可求解；② 利用时的解析式求函数值即可判断；③ 分别判断函数在区间和上的单调性即可得出结论；④ 先求出的可能零点，再对零点所在的区间进行分情况讨论即可得解. 【详解】 ①，， 在上单调递减， ，解得.故① 正确； ② 当时，， 则，，当时， ，故② 错误； ③ 当时，分两段： 当时，，则在上单调递减； 当时，，设，则 ， ，，，又， ，即，在上单调递减， 又在处，左极限为，右极限为， ，，虽不连续，但两段均递减， 函数在区间上单调递减，故③ 正确； ④ 函数的零点分两段讨论： 当时，，，要求，； 当时，， 两边乘得，，解得或， ，是函数的零点，恒成立； 又是零点，要求； 当时，在有个零点，有个零点，共个零点； 当时，在有个零点，有个零点，共个零点； 当时，在没有零点，有个零点，共个零点； 当时，在没有零点，有个零点，共个零点； 当时，在没有零点，有个零点，共个零点； 综上，恰有两个零点的的取值范围为，故④ 正确. 故答案为：① ③ ④ . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．B 2．【答案】 【分析】 根据指数幂的定义进行解答即可. 【详解】 . 故答案为：. 3．【答案】 【分析】 根据有理数指数幂的运算性质，求出结果. 【详解】 由题意得， 故答案为：. 4．【答案】3 【分析】 根据分数指数幂与根式的转化求解即可. 【详解】 . 故答案为：3. 5．【答案】3 【分析】 根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 因为. 故答案为：3 6．【答案】 【分析】 利用指数幕的运算性质直接求即可． 【详解】 故答案为： 7．【答案】 【分析】 根据指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】 因为，， ，， 所以原式 . 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 利用指数的运算即可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 考点02 指数函数 1．A 2．A 3．D 4．D 5．C 6．【答案】① .25    ② 【分析】 利用分段函数定义求，带入运算即可得结果；分类讨论的范围解不等式，求得合题意的的范围. 【详解】 解：由题知当时，，则； 因为，则当时，，解得， 当时，，解得， 综上实数的范围为. 故答案为：； 7．【答案】 【分析】 应用指数函数的单调性得出大小关系求解. 【详解】 因为单调递减，所以， 因为单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 8．【答案】（1）2     （2） 由（1）知，，定义域为， 而， 所以函数为奇函数.     （3）      【分析】 （1）将点代入解析式即可求解； （2）根据函数的奇偶性的定义求证即可； （3）根据指数函数的性质及不等式的基本性质求解即可. (1) 小问详解： 由题意，，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由， 因为，则，即， 所以，则， 所以函数的值域为. 9．【答案】（1），     （2）证明：由（1）知 ， 当时，， ； 当时，， ，. 综上，，都有.     （3）      【分析】 （1）函数的图象过点，可求得；再将带入分段函数对应解析式即可求解； （2）根据不等式的性质，结合的取值范围即可证明； （3）由题知 ，对的取值范围进行分类讨论，去绝对值后研究分段函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： ∵函数 的图象过点，，解得. . 故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知 . 当时，，； 当时，，. 当时， ， 由于函数在上单调递减，函数在上单调递增， 故函数 在上无最大值； 当时， ， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故当时，函数 取得最大值，最大值为； 当时，不妨设方程的两根分别为和， 易知函数在和上单调递减，在和上单调递增， 要使函数在上存在最大值，需使 ，即 ，解得. 综上，若函数在上存在最大值，的取值范围为. 10．【答案】① ② ④ 【分析】 利用性质可判断① ；利用基本不等式结合性质可判断② ；根据函数的值域可判断③ ；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④ . 【详解】 对于① ，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，① 对； 对于② ，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质； 对于③ ，因为， 且函数的值域为，所以，不存在实数，使得，③ 错； 对于④ ，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，④ 对. 故答案为：① ② ④ . 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 11．【答案】① ③ 【分析】 根据函数有意义求解判断① ；根据复合函数的单调性判断② ；由，可得，，，进而得到，结合指数函数的值域及不等式的性质可判断③ ；取，可得，即可判断④ . 【详解】 由，得，则，故① 正确； 由， 因为函数在和上为增函数， 且在和上为减函数， 则函数在和上为减函数，故② 错误； 对于③ ，由，则，，， 则 ， 由，则且，所以且， 则或，即或， 所以，故③ 正确； 对于④ ，当时，， 对任意的，， 则，故④ 错误. 故答案为：① ③ . 考点03 对数 1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．【答案】（1）     （2）     （3）      (1) 小问详解： 原式 . (2) 小问详解： . (3) 小问详解： . 8．【答案】①     ② 【分析】 根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得. 【详解】 ， . 故答案为：5；3. 9．【答案】 【分析】 根据对数的运算法则化简即可. 【详解】 . 故答案为： 10．【答案】 【分析】 将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得. 【详解】 由题知，当时，， 代入得，即， 所以，即. 故答案为： 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用指数和对数的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算即可得到答案. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 12．【答案】，（答案不唯一） 【分析】 要说明命题“若，则”为假命题，等价于找到一组正实数，满足且. 【详解】 假设命题“若，则”为假命题，只需要找到一组正实数，满足且. 根据对数的加法公式可知：. 若，则 假设，，则 所以存在正实数：，使得“若，则”成立， 即“若，则”是假命题. 故答案为：，（答案不唯一）. 考点04 对数函数 1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．A 7．C 8．【答案】 【分析】 根据指对数的性质判断各参数的大小即可. 【详解】 由，即. 故答案为： 9．【答案】 【分析】 根据根号下大于等于0和对数真数大于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】 由题意得 ，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 10．【答案】 【分析】 根据函数定义域的求法，求得函数的定义域． 【详解】 由题可知 ，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 11．【答案】①     ② 【分析】 根据指数函数的单调性，结合，可得的值域，根据为奇函数，结合对称性，分析可得答案；根据的单调性及的单调性，结合处的函数值，分析即可得答案. 【详解】 因为单调递减，所以当时，的值域为， 所以，且单调递减， 因为函数是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称， 所以当时，单调递减，且此时， 又， 综上，的值域为； 令，解得， 所以在上单调递增，且当时，， 又在R上单调递减，且， 所以当时，， 综上，的解集为. 故答案为：， 12．【答案】 【分析】 根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案. 【详解】 函数需满足 ， 解得 且 ， 故函数的定义域为， 故答案为： 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 14．D 15．C 16．B 17．B 18．A 19．D 20．A 21．D 22．B 23．B 24．B 25．C 26．【答案】 【分析】首先求出函数的定义域为，将原问题转化为，解方程，即可得出的零点个数． 【详解】由题意可知的定义域为，令， 可得， 解得（舍去）或， ； 所以函数的零点个数为个． 故答案为：1． 【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点． 27．【答案】18 【分析】 根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果. 【详解】 因为函数的两个零点分别为和， 所以和是的两个实根， 所以，， 所以. 故答案为：18. 28．【答案】 【分析】 根据题意结合二次函数的性质可知，代入运算即可. 【详解】 因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数的两个零点一个小于3，另一个大于3， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 29．【答案】每次应进货500包，最大利润为元. 【分析】 根据给定信息，将全年利润表示为的函数，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】 依题意，全年共进货次，全年销售利润元， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以为了使利润最大化，每次应进货500包，最大利润为元. 30．【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】 根据条件，得到 ，解得，即可求解. 【详解】 因为的一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以 ，解得，所以满足条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 31．【答案】①     ② ② ③ 【详解】（Ⅰ）根据函数解析式，令，再分类讨论，分别计算可得； （Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断． 【详解】 解：（Ⅰ）当， ，令，即 或 解得，故函数的零点为 （Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集， 当时，由时，； 由时，， ，不满足题意； 当时，由时，； 由时，，，，，满足题意； 当时，由时，，； 由时，， ，满足题意． 综上可得函数的包容数是② ③ ． 故答案为：；② ③ 【点睛】 本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力． 32．【答案】 【详解】画出图形，根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】 解：作出函数图像如下 互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为 故答案为： 【点睛】 根据函数零点或根或相交的情况求参数有三种常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 33．【答案】 【分析】 由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可. 【详解】 考查函数，绘制函数图像如图所示， 该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题. 【点睛】 本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误. 34．【答案】（1）     （2）当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元.      【分析】 （1）根据万元投入产品，那么投入产品万元，结合的解析式求出总利润的函数解析式以及定义域即可. （2）根据基本不等式的性质求解即可. (1) 小问详解： 万元投入产品，那么投入产品万元， 那么总利润为. 因为，所以，所以定义域为. (2) 小问详解： ， 根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时，即时等号成立，此时取最小值为12， 那么取最大值为28万元. 所以当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元. 35．【答案】（1），     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出； （2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值. (1) 小问详解： 函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为， 又函数满足，则，解得， 又，所以，. (2) 小问详解： 由（1）知， 所以. （i）因为函数有两个不同的正数零点， 所以 ，解得， 所以的取值范围为. （ii）因为， 所以，又，所以. 36．【答案】（1）；     （2） 当时，令，则，解得； 当时，令，则，解得； 故血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长为小时，需要调整治疗方案.      【分析】 （1）根据已知条件，求得关于的函数关系，求该函数的最大值即可； （2）根据（1）中所求，令，求得累计时长，即可判断. (1) 小问详解： 根据题意 ， 当时，，其最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，其最大值为； 又，故当时，的最大值为， 即4小时内血液中微量元素总浓度的最高值为； (2) 小问详解： 略 37．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）首先表示出、，即可表示出，再由求出的范围； （2）利用基本不等式计算可得. (1) 小问详解： 因为直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 所以海报宽，海报长， 所以， 又，即，显然，则，即， 即 ，解得， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 38．【答案】（1） ；     （2）可以，理由如下： 由(1)知，因药物释放完毕后有，， 则当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下，有，解得：， 因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟， 所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.      【分析】 (1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答. (2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答. (1) 小问详解： 依题意，当时，设， 因函数的图象经过点A，即，解得， 又当时，，解得， 而图象过点，则， 因此， 所以与的函数关系式是 . (2) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有 关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答. 39．【答案】① 1    ② 【分析】 第一空，代入点的坐标即可求得；第二空，根据方程根满足条件列不等式组，即可解得结果. 【详解】 由题知，当时，，解得， 所以，又方程有两个不等实数根， 则 ，又因为，所以，得到， 由，得到或，所以． 故答案为：1；． 40．【答案】① 3    ② 【分析】 根据函数图象结合奇函数的对称性分析的符号性，进而可得函数零点，注意；由不等式可知与同号，进而可得解集. 【详解】 由图象可知：当时，；；当时，； 因为是定义在上的奇函数，则， 且当时，；；当时，； 综上所述：的零点为，0，1，共3个； 对于不等式，可知与同号， 可得或，所以不等式的解集为. 故答案为：3；. 41．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数的性质即可求解； （2）根据图象变换结合题意可得，解不等式即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则任意，都有，等价于，根据二次函数的性质，分，，和来讨论即可求解. (1) 小问详解： 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以. (2) 小问详解： 由题意得， 即，解得或， 所以的取值范围是. (3) 小问详解： 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则任意，都有，等价于， ① 当时，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以； ② 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 所以， ③ 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以， ④ 当时，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以； 综上：的取值范围是. 42．【答案】（1） ；     （2）40平方米，最小值40万元.      【分析】 （1）根据给定的条件，求出m值及的解析式，进而求出的解析式作答. （2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答. (1) 小问详解： 依题意，当时，，即有，解得，则 ， 于是得 ， 所以的解析式是 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，在上递减，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 显然，所以当x为40平方米时，取得最小值40万元. 【点睛】 方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 43．【答案】①     ② 【分析】 空一：根据一次函数和二次函数的性质求解即可； 空二：分，两种情况结合函数的单调性讨论求解即可. 【详解】 当时， ， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 当时， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 要使关于的方程有三个不同的根， 即函数与有三个交点， 则 ，解得； 当时， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数与有最多有两个交点， 此时关于的方程最多有两个不同的根，不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 44．【答案】（1），     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.     （3）      【分析】 （1）令，解方程即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法分、、三种情况讨论求解即可； （3）转化问题为函数在上与轴有且仅有一个交点，进而分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 令，即，解得或， 所以函数的零点为，. (2) 小问详解： 由，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，即时，不等式解得； 若，即时，不等式为，无解； 若，即时，不等式解得； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. (3) 小问详解： 由题意，方程在内有且仅有一个实根， 则函数在上与轴有且仅有一个交点， 当时，，与轴有且仅有一个交点，满足题意； 当时，函数，恒过定点，，则， 结合二次函数的图象及零点存在性定理，可知函数在上与轴有且仅有一个交点， 则函数在上与轴无交点， 所以，解得，即且. 综上所述，实数的取值范围为. 45．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由二次函数对称轴、最值已知，则可设顶点式，代入点求解即可； （2）在恒成立转化为，由二次函数性质求出，解不等式即可； （3）由二次函数性质，分与讨论，列不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，设， 则，， 则. (2) 小问详解： 令在恒成立即， 当时，，即. (3) 小问详解： 在上只有一个零点， 当时，即，解得或 当时，不满足题意，舍去， 当时，满足题意， 当时，当，解得，此时在上只有一个零点， 由于，当时，此时，此时， 解得或（舍去），满足条件，因此， 综上：的取值范围是. 46．【答案】（1）     （2）     （3）万元      【分析】 （1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. (1) 小问详解： 由题意，当时，，解得. (2) 小问详解： 由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； (3) 小问详解： 设年利润为万元， 则， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 47．【答案】①     ② 3 【分析】 根据分段函数令解方程得解集即可；确定分段函数的解析式，结合函数单调性与零点存在定理判断函数在，，时的零点个数即可得结论. 【详解】 ①当时，令，解得， 当时，令，解得， 综上，方程的解集是 ； ②当时，， 当时，， 当时，， 综上得： ， 所以 ， 由于当时，为增函数，且， 故存在唯一的使得； 当时，为减函数，且， 故存在唯一的使得； 又， 综上，的零点个数为3. 故答案为：. 48．【答案】（1） 假设函数有漂移点，则， 即，由于，所以此方程无实数根，与假设矛盾，所以函数没有漂移点.     （2） 令， 因为，，根据零点存在性定理得，函数在至少有一个零点， 即，即，所以函数在上存在漂移点.     （3）      【分析】 （1）假设有漂移点，按照漂移点的概念得到方程，判断方程是否有实数解即可； （2）令，利用零点存在性定理判断在上有零点即可判断在上存在漂移点； （3）假设有漂移点，按照漂移点的概念得到有实数根，通过求的范围从而得到的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由对数函数的定义域得， 若函数在上有漂移点， 则， 即，整理得, 因为，所以，即, 所以实数的取值范围. 49．【答案】① ③ ④ 【分析】 将代入解析式判断① ，分类讨论参数，结合一次函数、二次函数的性质研究的区间单调性和值域，进而确定的区间单调性判断② ③ ，利用在上与的图象是否有交点判断④. 【详解】 由解析式知，即函数图象恒过定点，① 对， 的开口向上，且对称轴为， 当时在上单调递减，值域为， 在上单调递增，值域为， 显然在上不单调，且最多有2个根， 当时，在上，显然在上不单调， 在上单调递增，值域为，则有0个、1个或无数个根， 当时在上单调递增，值域为，则值域为， 在上单调递减，在上单调递增，值域为 显然在上不单调，且在，即时最多有3个根， 若，即时，在上有2个零点，记为，且， 在上单调递减，在上单调递增， 此时可能存在5个根，其中大致图象如下， 综上，函数在上不单调，② 错，方程可能有5个实数根，则，③ 对， 当时，在上与有交点，即， 当时，在上 ，则， 显然，且 ，即上述方程在上有根， 所以存在点在函数的图象上，④ 对. 故答案为：① ③ ④ 50．【答案】①     ② 【分析】 （1）由得到求解； （2）由，分段讨论得到在各段的值域，结合图象得的取值范围. 【详解】 因定义在区间上的函数满足，且当时，， 则； 当时，在单调递减，在单调递增， 又，所以此时的值域为； 当时，，所以， 此时在单调递减，在单调递增， 又，所以此时的值域为； 当，，所以， 此时在单调递减，在单调递增， 又，所以在值域为； 当时，， 所以， 此时在单调递减，在单调递增， 又，所以此时的值域为， 如图，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点，则， 即此时实数的取值范围为. 51．【答案】②④ 【分析】 直接解方程可判定① ，分类讨论解方程可判定② ，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③ ，利用单调性可判定④ 【详解】 当时， ，则方程为， 若，所以，则， 若，所以，则与矛盾，舍去， 所以当时，方程有唯一解，故① 不正确； 当时，若，所以，则， 若，所以，易知在上单调递减， 则当时，且在上单调递减， 当时，，则， 此时则， 作出函数与的草图如下， 当时，方程有三个解，故② 正确； 因为且，可知恒成立， 若，且在上单调递减， 且时，此时； 若，且在单调递增，即， （i）当时，则， （ii）当时，在时，，此时； 当时，取不到最小值，故③ 错误； 当时，若在单调递增， 易知在单调递增，在上单调递增， 故,即,解得或，故此时不存在， 当,则在单调递减，在上单调递增，不符合题意. 因此不存在实数a，使得在区间上单调递增，故④ 正确． 故答案为：②④. 52．【答案】（1）     （2） 当时，，设，且， 则， ，且， ，， ， 在上单调递减；     （3）      【分析】 （1）由已知，建立关于的方程，解出即可； （2）将代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可； （3）问题转化为在上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决． (1) 小问详解： 由得，，解得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点）， 且二次函数的对称轴为， 若函数在上有唯一零点，依题意， ① 当时，，解得； ② 当时，，解得，则方程的根为，符合题意； ③ 当时，解得，则此时的两个零点为， 符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 53．【答案】 【分析】 由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围 【详解】 令，可得， 因为有两个零点，可知与的图象有两个交点， 由可得，或， 当时，；当或时，； ①当时，函数的图象如图所示， 此时存在，满足题意，故满足题意； ②当时，可知函数在定义域内单调递增，不符合题意； ③当时，函数的图象如图所示， 此时存在使得，与有两个交点； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 54．【答案】② ④ 【分析】 对于① ，令，求解即可；对于② ，画出的图象即可； 对于③ ，将，代入，求解即可；对于④ ，根据当，增长远快于，进行判断即可. 【详解】 对于① ，令，即，解得，所以，函数有零点，故① 错误； 对于② ，，求导得到，令，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在处取得最小值，故② 正确；； 对于③ ，取，，，计算得，，此时，则，故③ 错误； 对于④ ，当，增长远快于，故，所以对任意，存在，对于任意，有，故④ 正确. 故答案为：② ④. 55．【答案】①     ② 【分析】 （1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】 （1）当时， ， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ① 当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ② 当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 【点睛】 思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题. 一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象即可求得参数范围. 56．【答案】① ③ ④ 【分析】 ① 根据函数的解析式可知在区间上的单调性，即可求解；② 利用时的解析式求函数值即可判断；③ 分别判断函数在区间和上的单调性即可得出结论；④ 先求出的可能零点，再对零点所在的区间进行分情况讨论即可得解. 【详解】 ①，， 在上单调递减， ，解得.故① 正确； ② 当时，， 则，，当时， ，故② 错误； ③ 当时，分两段： 当时，，则在上单调递减； 当时，，设，则 ， ，，，又， ，即，在上单调递减， 又在处，左极限为，右极限为， ，，虽不连续，但两段均递减， 函数在区间上单调递减，故③ 正确； ④ 函数的零点分两段讨论： 当时，，，要求，； 当时，， 两边乘得，，解得或， ，是函数的零点，恒成立； 又是零点，要求； 当时，在有个零点，有个零点，共个零点； 当时，在有个零点，有个零点，共个零点； 当时，在没有零点，有个零点，共个零点； 当时，在没有零点，有个零点，共个零点； 当时，在没有零点，有个零点，共个零点； 综上，恰有两个零点的的取值范围为，故④ 正确. 故答案为：① ③ ④ . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $