北京市第五十中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心知识，通过函数性质分析、实际问题建模（如禽舍设计）及创新定义（如集合幅值），考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|集合运算、不等式性质、函数单调性|结合奇偶性与零点考查数学眼光| |填空题|5/25|定义域、零点个数、创新函数性质|以反例构造题（第13题）培养批判性思维| |解答题|6/85|二次函数、命题逻辑、实际应用|第17题通过禽舍设计考查数学建模，第21题以“幅值”定义渗透创新意识|

答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于，当，时，，A错误； 对于，当，时，，B错误； 对于，，C正确； 对于，当时，，D错误； 故选：． 根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 本题考查不等式的性质，可以用特殊值分析，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：因为全集，，或， 所以，所以集合． 故选：． 由集合的运算计算即可求得． 本题考查集合的运算，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：由命题否定的定义可知，命题“：，”的否定为“，” 故选：． 存在性命题的否定应为全称命题，同时结论也要否定 本题主要考查命题否定的定义，是基础题． 4.【答案】  【解析】【分析】利用基本不等式直接求解即可． 【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即、时等号成立，所以的最大值是． 故选：． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属基础题． 5.【答案】  【解析】解：根据题意，在上为减函数，且， 当时，；当时，； 又由函数为奇函数，则在上为减函数，且， 则当时，；当时，； 对于不等式，则或，可得或， 即该不等式的解集为． 故选：． 根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可． 本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：函数的定义域为， 取，，此时，但， 函数在定义域内不单调递增； 函数的定义域为， 取，，此时，但， 故函数在定义域内不单调递增； 由幂函数性质可知在其定义域上单调递增，故C正确； 函数在其定义域内不是单调函数，故D错误． 故选：． 举反例说明选项A、在定义域内不是单调递增函数，根据幂函数性质判断． 本题考查函数单调性的判定，是基础题． 7.【答案】  【解析】【分析】 首先判断函数单调性，再结合函数零点定理，逐一判断即可． 本题考查函数零点定理，属于中档题． 【解答】 解：定义域为，在定义域上连续且单调递增， ，，，，， 故根据函数零点定理可知，包含零点的区间是， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数， 则，解得或，故必要性不成立． 故选：． 利用二次函数的性质、偶函数定义及充分不必要条件的定义即可判断． 本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：当时，设，将，代入得： ，解得，，所以， 由，解得或； 当时，，由解得负根舍去； 而、都是奇函数，图象关于原点对称， 由此画出和的图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集是，，． 故选：． 画出和的图象，由此求得不等式的解集． 本题主要考查奇函数的性质，考查计算能力，属于中档题． 10.【答案】  【解析】解：由题意可知：的定义域为， 对于，当时，， 则 ， 所以为奇函数，故正确； 对于，因为 ， 所以函数的图像关于点对称，故正确； 对于，若，令，可得， 构建，可得其图像如图所示， 则问题转化为直线与函数的交点个数， 可知在上单调递增，且的值域为， 则与直线恒有一个交点， 即有且仅有个零点，故错误； 对于，例如，，则， 令，解得或， 所以存在，，使得函数有三个不同的零点，故正确； 综上所述：真命题的个数为． 故选：． 对于：根据奇函数定义分析判断即可； 对于：根据中心对称的定义分析判断； 对于：整理可得，构建，结合函数图像分析判断； 对于：取，，代入解方程即可得零点个数． 本题考查判断函数奇偶性、对称性，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：要使函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 由分母不为，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域． 本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与轴的交点的横坐标． 令，解方程，根据方程的根的个数，即可得出的零点个数． 【解答】 解：由题意可知时，，可得， 解得舍去或， ； 函数的零点个数是． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：“若，则在内无零点”为假命题， 即“若，则在有零点”为真命题， 取函数，可得：，， 故答案为： 取函数，可得：，，满足“若，则在有零点”为真命题，即”若，则在内无零点”为假命题，得解 本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理，属中档题． 14.【答案】  【解析】【分析】 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题． 先作出函数的图象，如图，不妨设，则，关于直线对称，得到，且，最后结合求得的取值范围即可． 【解答】 解：函数， 函数的图象如下图所示： 不妨设，则，关于直线对称，故， 当时，，当时，， 则满足； 则的取值范围是：； 即 故答案为： 15.【答案】  【解析】【分析】根据“性质”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案． 【详解】，函数的定义域为， 对，，要使，，且， 只需，由于，所以具有性质，正确． ，对于函数，由于时，，所以不存在， 使，所以函数不具有性质，正确． ，对于函数，时，，而， 所以不存在，使，所以函数不具有性质，错误． ，若函数，具有性质， 则对于，，使， 即，，所以，则，所以正确． 综上所述，正确的结论为． 故答案为： 16.【答案】化简见解析，；   或；   ．  【解析】由，解得或，可得或， 所以； 若，则，由，或，所以或； 由题意可知：， 且或，， 可得，所以实数的取值范围为． 根据一元二次不等式求集合，进而可得其补集； 可得，进而可得交集； 分析可知，结合交集运算求解． 本题主要考查解一元二次不等式和集合的运算，属于基础题． 17.【答案】每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为；   每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为  【解析】解：如图，动物园要围成间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成， 现有可围长的钢筋网的材料， 设每间长方形禽舍宽为，长为， 则，，， 设每间禽舍面积为，则， 根据基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为； 若使每间禽舍面积为， 则，，， 设钢筋网总长为，则， 根据基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽，长时， 可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为． 设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时，的值； 先由题意得，，，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时，的值． 本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． 18.【答案】解：根据题意二次函数  满足  ，得函数  的对称轴为  ， 又函数  的最小值为  ，可设  ， 又因为  ，可得  ，解得  ， 所以函数  的解析式为  ． 由函数  ，其对称轴为  ， 要使得函数  在区间  上不单调， 则满足  ，解得  ， 故实数  的取值范围为  ． 由函数  ， 若在  上，  恒成立， 则  在  上恒成立， 即  在  上恒成立， 设  ，则  开口向上，对称轴为  ， 又  在  上恒成立，即  ， 当  ，即  时，  在  上单调递增， 则  ，解得  ，则  ； 当  ，即  时，  ，解得  ，则  ； 当  ，即  时，  在  上单调递减，  ，解得  舍去； 综上，实数  的取值范围为  ．   【解析】本题考查二次函数的解析式、最值，利用函数的单调性求参，不等式恒成立问题，属于综合题根据题意设出二次函数的顶点式，再由  得  ，从而得解； 由题意得  ，解之即可得解； 将问题转化为  在区间  上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解． 19.【答案】解：若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可． 由于，，则． 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可． 由于，，，解得 、有且只有一个是真命题，则或 解得．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】解：， 令，则， 证明：由，可得， 则， 设，由， 因时，有， 依题意，，即， 所以函数在为增函数； 因，， 又由， 则， 由可得， 即，即， 因函数在为增函数， 所以，解得， 不等式的解集为  【解析】本题考查抽象函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 根据赋值法，即可求解 将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明 先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得． 21.【答案】解：由集合知，，，所以． 因为，，， ，由此可知集合，，中各有个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需，，中元素不同且，，分布在个集合中，，，，分布在个集合中，，，分布在个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为 ， 所以有一组，，满足题意， 要的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从开始，接下来为，，， 因为，，，，是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如， 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或舍去， 所以的最大值为．  【解析】本题考查集合的新定义问题，属于综合题． 根据新定义即可求出 由，，且要使得 取到最大，则只需，，中元素不同且，，分布在个集合中，，，， 分布在个集合中，，，分布在个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值． 要的值最大，则集合的幅值最小，且，，，，是集合的两两元素个数均 不相同的非空真子集，故对集合，，，，中元素分析列出方程解出即可． 第3页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一年级数学学科期中考试试卷 考生须知 1.本试卷分为试题、答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.认真填写所在班级、姓名、教育ID。准确粘贴条形码。 3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1.已知、、，且，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.已知全集，，或，则集合(    ) A. B. C. 或 D. 3.已知命题：，，则是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知正实数满足，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 5.设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 6.下列函数中，在定义域内单调递增的是(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，则“”是“是偶函数”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是(    ) A. , B. C. D. 10.设函数，给出下列四个命题： 当时，为奇函数； 函数的图像关于点对称； 当时，存在，使得有两个不同的零点； 存在，，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.函数的定义域是______． 12.函数的零点个数是          ． 13.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，若，则在内无零点”为假命题的一个函数是______． 14.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是          ． 15.设函数的定义域为，若对，，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论： 函数具有性质； 函数不具有性质； 函数具有性质； 若函数，具有性质，则． 其中，所有正确结论的序号是          ． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知全集，集合，，其中． 化简集合，并求集合； 若，求集合； 若，都有或，求实数的取值范围． 17.本小题分 如图，动物园要围成间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成接头处不计 现有可围长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ 若使每间禽舍面积为，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成间禽舍的钢筋网总长最小？ 18.本小题分 已知二次函数的最小值为，且． 求的解析式； 若在区间上不单调，求实数的取值范围； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． 若为真命题，求实数的取值范围； 若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 20.本小题分 已知函数的定义域为，且当时，． 求； 证明：函数在为增函数； 如果，解不等式． 21.本小题分 对于非空数集，若其最大元素为，最小元素为，则称集合的幅值为，若集合中只有一个元素，则． 若，求； 若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； 若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求的最大值． 第3页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $