精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试高一启承数学试题

北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高一启承数学 （时间：120分钟 满分：150分 为必修一模块结业考试） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：A 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，则， 所以. 3. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D 4. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 5. 已知向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量，为非零向量，设向量，的夹角为，其中， 因为，可得， 即， 即， 所以，可得，所以，即向量与反向， 由共线向量的基本定理，可得存在实数，使得， 取时，可得， 所以存在非零实数，使得，所以充分性成立； 反之：若存在非零实数，使得，则向量与共线， 当向量与同向时，，所以必要性不成立， 所以是存在非零实数，使得的充分不必要条件. 6. 音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象分别求得两个图象对应的函数分别为，，可得和弦可以表示为，再逐项判断即可. 【详解】设图①和图②所表示的正弦函数分别为， 由图①可得，又函数图象过点，所以， 所以，结合图象可得，所以， 所以， 由图②可得周期为，又，所以，可得， 所以该和弦可以表示为， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故该和弦的一个周期可能为． 故选：C. 7. 第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得扇形所在圆的圆心角，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 8. 已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知易得、，结合，利用正弦型函数的图象讨论不同对应点求的取值，即可得答案. 【详解】由在上单调，，故， 而，则，又，如下图依次讨论对应为点四种情况， 若，则，满足； 若，则，满足； 由，若，则，满足； 若，则，不满足，其它情况均不符合； 综上，B不可能，A、C、D可能. 故选：B 9. 若是方程的解，是方程的解，则 （ ） A. 1 B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用、的图象关于直线对称可求，或利用同构或排除法可得正确的选项. 【详解】法1：考虑到分别是函数、函数与函数的图象的公共点A，B的横坐标．而A，B两点关于直线对称，点在反比例函数的图象上，因此． 法2:令，则代入方程，得， 对，则有，故在为增函数， 可知，所以 法3：结合函数与的单调性，由函数零点存在性定理可知 ，． 由不等式的性质得，， 进而结合选项可知 故选：C 10. 令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量和任意实数都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ） A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素 C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得对任意的的线性组合对应的值小于等于对应的值的最大值，且是唯一的，进而举例分析求解即可. 【详解】由， 则， 即对任意的的线性组合对应的值小于等于对应的值的最大值，且是唯一的. 若对于任意的，都有（为常数，且为正整数）， 满足对任意向量，都有， 此时集合，只有1个元素； 设对于，对应， 任取，则， 由于，则，此时集合有2个元素； 设对于，对应， 任取，则， 由于，则，此时集合有3个元素； 当集合中所含元素的个数有4个及以上时， 设，，且， 任取，则， 当，且时，对应的值并不是唯一的，可以取除以外的值， 因此，这种情况不满足题意. 综上所述，中至多有三个元素. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，，，所以，所以. 故答案为：. 12. 已知，．写出满足条件的一组角，的值_________，_________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【详解】利用三角诱导公式变形得，因此原式化为. 根据余弦相等的性质得. 取，并取正号得. 令，则​，且，满足条件. 故一组答案为 （答案不唯一）. 13. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，） 【答案】## 【解析】 【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得. 【详解】由题知，当时，， 代入得，即， 所以，即. 故答案为： 14. 在射线，中，两条射线所成的角都是，且线段．则集合所构成的几何图形的轨迹长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由和先确定参数的取值范围，再把写成一个定点加上一个方向向量的形式，从而判断点的轨迹是一条线段．最后利用和夹角为求出该线段的长度． 【详解】由，得． 又因为，所以，解得． 于是 设点在射线上，且；点在射线上，且． 当时，与重合；当时，与重合． 又当时，随连续运动，所以点的轨迹为线段． 下面求的长度． 由题意，得，且与的夹角仍为． 因为所以 故，从而 因此，集合所构成的几何图形的轨迹长为． 15. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转分钟后距离地面的高度为米，则关于的函数解析式为___________；若游客甲在，时刻距离地面的高度相等，则的最小值为___________. 【答案】 ①. ， ②. 30 【解析】 【分析】设出，，由最高点高度及摩天轮直径列出方程，求出，再由转一周的时间求出，当min时，摩天轮转到最高点，求出，写出解析式；设，得到，分两种情况进行求解，得到的最小值为30. 【详解】设，， 由题意得：， 解得：， 又因为转一周需要30分钟，所以min， 所以， 故， 由题意，当min时，摩天轮转到最高点， 故，解得：， 即，， 不妨取，得， 所以，， 因为摩天轮有48个座舱，故每两个座舱与圆心相接的圆心角为， 不妨设， 由题意得：， 故， ①，，解得：，， 故min，当且仅当时，等号成立， ②，， 解得：，显然当时，取得最小值，最小值为min， 综上：的最小值为30min. 故答案为：，，30. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 化简下列代数式 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点. （1）求函数的解析式； （2）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （3）将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值. 【答案】（1） （2）图形见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，由为函数图象的一个最高点，结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）利用列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象； （3）求出平移后的函数解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正实数的最小值. 【小问1详解】 由已知有，解得，， 由题意可知，函数的最小正周期为，故， 因为点是函数图象上的最高点，则， 所以， 因为，所以，故. 【小问2详解】 用“五点法”画函数在一个周期内的简图， 令，则，列表如下 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度所得函数为 ，其图象关于轴对称， 则，所以， 又，所以，即的最小值为. 18. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与． （1）若的面积为2，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）由题意求出与，根据的面积为2，结合三角函数同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）结合（1）可表示出，利用基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得为锐角，故P在第一象限，则，在x，y轴正半轴上， 由题意可知，故，故， ，故，则， 由的面积为2，得，即． 所以， 又，故， 即，解得； 【小问2详解】 由题意是锐角，则，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为16． 19. 已知函数（）的图像关于点对称． （1）求的值和在区间上的值域； （2）若，函数在区间上单调递增，求的值； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由对称中心，结合范围得的值​；通过换元以及利用正弦函数的值域得在区间上的值域； （2）函数在 上单调递增，则整体角落在正弦的增区间内，列不等式组求解； （3）恒成立等价于​，先计算得​；应用换元法化简 ，得到的二次函数开口向下，分类讨论对称轴位置求最大值，解不等式得范围. 【小问1详解】 由题意可知时， （）， 即 ，又，所以， 即， 当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减， 则此时，所以在区间上的值域为； 【小问2详解】 由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需， （）， 解不等式得，易知，则，此时． 【小问3详解】 因为对任意的，，都有，所以． 因为，所以，所以，所以， ， 令，则，．对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上． 20. 已知函数的图象过点，其中. （1）求及的值； （2）求证：，都有； （3）若函数在上存在最大值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）函数的图象过点，可求得；再将带入分段函数对应解析式即可求解； （2）根据不等式的性质，结合的取值范围即可证明； （3）由题知，对的取值范围进行分类讨论，去绝对值后研究分段函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ∵函数的图象过点，，解得. . 故. 【小问2详解】 证明：由（1）知， 当时，， ； 当时，， ，. 综上，，都有. 【小问3详解】 由（1）知. 当时，，； 当时，，. 当时，， 由于函数在上单调递减，函数在上单调递增， 故函数在上无最大值； 当时，， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，不妨设方程的两根分别为和， 易知函数在和上单调递减，在和上单调递增， 要使函数在上存在最大值，需使，即，解得. 综上，若函数在上存在最大值，的取值范围为. 21. 定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. （1）求2的完美3维向量集： （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 【答案】（1）； （2）不存在完美4维向量集，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用的完美维向量集定义求解即可. （2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断. （3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果. 【小问1详解】 由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（）， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0. 又，所以，，， 所以2的完美3维向量集为. 【小问2详解】 依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个为集合B中元素， 同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素， 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去； （iv）当时，，不满足条件③，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集. 【小问3详解】 依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（）， 因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以， 由（2）知，故， 假设存在k，使得，不妨设. （i）当时，如下图， 由条件③知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意. （ii）当时，如下图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究的前个分量中所有含1的个数. 一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1， 故（）中至多有1个1， 故的前个分量中， 所有含1的个数至多有个1（**）. 另一方面，考虑（）， 故的前个分量中， 含有个1，与（**）矛盾，不合题意. 故对任意且，，由（*）可得. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高一启承数学 （时间：120分钟 满分：150分 为必修一模块结业考试） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ） A. B. C. D. 7. 第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 9. 若是方程的解，是方程的解，则 （ ） A. 1 B. e C. D. 10. 令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量和任意实数都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ） A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素 C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，，若，则______． 12. 已知，．写出满足条件的一组角，的值_________，_________． 13. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，） 14. 在射线，中，两条射线所成的角都是，且线段．则集合所构成的几何图形的轨迹长是_________． 15. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转分钟后距离地面的高度为米，则关于的函数解析式为___________；若游客甲在，时刻距离地面的高度相等，则的最小值为___________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 化简下列代数式 （1） （2） （3） 17. 已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点. （1）求函数的解析式； （2）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （3）将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值. 18. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与． （1）若的面积为2，求的值； （2）求的最小值． 19. 已知函数（）的图像关于点对称． （1）求的值和在区间上的值域； （2）若，函数在区间上单调递增，求的值； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 20. 已知函数的图象过点，其中. （1）求及的值； （2）求证：，都有； （3）若函数在上存在最大值，直接写出的取值范围. 21. 定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. （1）求2的完美3维向量集： （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $