专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

**基本信息** 汇集北京多所重点中学期中试题，聚焦函数核心概念与性质，梯度覆盖基础应用与创新探究，适配高一上学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约120题|函数概念、性质、幂函数、应用|结合黎曼函数等数学史素材，设计阶梯定价等现实问题| |解答题|约25题|单调性证明、实际应用建模|创新定义“隐对称点”“等域函数”，考查抽象思维|

专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）下列函数中，值域为(0，+∞)的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）下列各组函数表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 7 5．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）下列函数中，值域为的是（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）下列各组函数表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知函数的定义域，满足：、，都有成立，则（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知函数 ，若，则（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数由下表给出： 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）下列四组中给出的两个函数，不是同一个函数的是（     ） A. ；， B. ； C. ，；， D. ； 13．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）下列函数中，值域为的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　． 16．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　 . 17．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 18．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为　　　　　　. 20．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设函数 ，则　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）函数的定义域是　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　． 25．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 27．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）函数的定义域为　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）在函数 中，若，则的值是                       30．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　. 31．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　 32．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 33．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）函数的定义域为　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知集合A为数集，定义 .若，定义：. （1）已知集合，直接写出，及的值； （2）已知集合，，，求，的值； （3）若.求证：. 35．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是 ②任意且，都有 ③任意，且，都有 ④规定，其中，则 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　 36．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数 若，则的值域是　　　　；若的值域是，则实数的取值范围是　　　　． 37．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则　　　　　　　　　　，不等式的解集为　　　　　　　　　　. 1 2 3 2 3 0 38．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）波恩哈德・黎曼(1826~1866)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为: ，下列关于黎曼函数的说法正确的是　　　　　. ①； ②关于的不等式的解集为； ③； ④. 39．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合. （1）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明） （2）若函数，证明：; （3）记二次函数的全体为集合，证明：. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）函数的图象不可能是（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知函数，则“”是“是偶函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）在定义域内，下列函数既是奇函数又是增函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）设函数，则（     ） A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 11．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）给定函数①；②；③；④中，其中在区间上单调递增的函数序号是（       ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 14．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（       ） A. f（﹣x1）＞f（﹣x2） B. f（﹣x1）＝f（﹣x2） C. f（﹣x1）＜f（﹣x2） D. f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定 17．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  18．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）奇函数满足当，，则的值为（     ） A.  B. 5 C. 1 D.  20．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设函数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）设A，B是中两个子集，对于，定义： ， .在这一定义下，若，，则A，B满足（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）下列函数中，既是奇函数又是定义域上减函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）（多选）下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）下列函数满足“对于定义域中的任意，”的是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）若对于任意实数总有，且在区间上是增函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）函数为上的奇函数，时，，则=（       ） A.  B.  C. 2 D. 6 33．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）若是方程的解，是方程的解，则 （       ） A. 1 B. e C.  D.  36．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数的图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）函数的图像大致是（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数 ，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为（，是非零常数，无理数）.给出下列三个结论： ①当，时，为奇函数； ②当时，为单调函数； ③若的最小值为2，则的最小值为2. 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 44．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 45．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  46．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列错误的是（       ） A.  B.  C. 为奇函数 D. 为偶函数 48．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（       ）． A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  50．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）若函数在上满足：.当时，，且当时，.对，都有，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）下列函数，在其定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A.  B.  C.  D.  53．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数 ，则函数在区间内的零点个数为（     ） A.  B.  C.  D.  54．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  55．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设是定义在上的奇函数，当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）定义在上的函数是偶函数，且在为增函数，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  57．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  58．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  59．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是“理想函数”的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 60．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）对任意实数，定义运算“”： 设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  61．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 62．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设是上的奇函数，且在内是增函数，，则的解集是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 63．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  64．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知，则“”是“为偶函数”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 65．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）下列函数既是偶函数，又在区间上为增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  66．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论： ①； ②； ③函数的图象关于原点对称； ④函数的图象关于点对称； 其中，正确结论的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 67．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  68．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  69．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（       ） A.  B.  C.  D.  70．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）如果函数对于任意实数t都有，那么（       ） A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(4)<f(2)<f(1) D. f(2)<f(4)<f(1) 71．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  72．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  73．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）若函数 存在最小值，则的最大值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 74．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      75．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知函数，关于函数的性质，有以下四个结论： ①函数是偶函数；       ②函数在区间上单调递增； ③函数在区间上单调递增；       ④函数的最小值是2 其中正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 76．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数 的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  77．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数 在上单调，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  78．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  79．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为　　　　　　． 80．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）若 是R上的减函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　　. 81．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　；若，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 82．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知 是定义在上的偶函数，那么　　　 83．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）函数在R上的解析式； （2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围． 84．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）函数的值域为　　　　　. 85．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数满足对任意的恒有，当时，，又. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 86．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）设函数的定义域为，若满足：“，都存在，使得”则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数具有性质； ②所有奇函数都具有性质； ③若函数和函数都具有性质，则函数也具有性质； ④若函数，具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 87．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知为上的奇函数，且当时，，则的解析式为　　　　　　 88．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知为上的增函数，且其部分图象如图所示，那么的解集是 　　　　　． 89．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）函数是定义在上的奇函数．当时，，则　　　　　　　　　　　． 90．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知函数，其中，下列结论正确的是　　　　　　　． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 91．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，　　　　　　. 92．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 93．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 94．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数 的最小值为，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 95．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数是上的奇函数．且 （1）求的解析式； （2）用定义证明：在区间上是增函数；并求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 96．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数（为常数，，且） （1）判断的奇偶性，并用定义证明： （2）当时，证明：函数在定义域内单调递增； （3）求使不等式成立的的取值集合． 97．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 98．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知 ，当时，的单调减区间为　　　　　　；若存在最小值，则实数a的取值范围是　　　　　　． 99．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围. 100．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为　　　　　　　　　　. 101．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，； （1）已知函数部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间； （2）求出函数的解析式； （3）若关于的函数有且只有4个不同的零点，求实数的取值范围.（只需写出结论） 102．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数 若存在最小值，则a的一个取值为　　　　　　　　；a的最大值为　　　　　　　　　　　． 103．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）. 104．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）设函数 ，若，则的值域是　　　　　　　；若的值域是，则实数的取值范围是　　　　　　　. 105．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 106．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知函数 .若的最小值为，则的一个取值为　　　　　　　　　　；的取值范围为　　　　　　　　　　． 107．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设 ． （1）当时，f（x）的最小值是　　　　　； （2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是　　　　　． 108．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　. 109．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明：在区间上是增函数； （3）写出函数的最值，及取到最值时对应的值（不需说明理由，直接写出结论即可）. 110．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数. （1）判断函数在上的单调性并用定义证明； （2）若函数满足不等式，求实数的取值范围. 111．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知，函数 （1）若，则的单调递增区间是　　　　　　. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是　　　　　　. 112．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）用函数单调性的定义证明：函数在上是单调递减； （3）判断函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）. 113．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知 ．若的最小值为0，则实数的值是　　　　　　；若存在最小值，则实数的取值范围是　　　　　　． 114．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设函数 ，且，.    （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； （3）直接写出不等式的解集. 115．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，判断并证明函数的单调性； （3）对任意都有成立，求实数的取值范围. 116．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数. （1）求的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）求关于的不等式的解集. 117．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数的定义域是，且满足． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明： （3）解不等式：； （4）若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围 118．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数，若，则实数的取值范围　　　　　　. 119．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数是定义在的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）求证：函数在上是减函数； （3）求函数在上的最大值和最小值. 120．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知的定义域为，且满足，. （1）求的解析式、并判断函数的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. （3）解关于t的不等式. 121．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设函数，其中. （1）对于任意，都有，求t的值； （2）求在区间上的最小值. 122．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 123．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）杨振宁是享誉世界的物理学家，为中国科学教育事业发展做出了卓越的贡献．在杨振宁先生的研究中，“杨—巴克斯方程”描述了一种“交换结合”性质，某些操作改变顺序后不变．可以用函数模拟这个过程，给定一个函数和一种运算“”，定义，若满足，称函数具有“交换结合”性质，写出一个具有“交换结合”性质的函数　　　　　　　　． 124．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）关于函数下面几个结论，则其中全部正确结论的序号为　　　　　　　　　　. ①函数为奇函数且函数的零点为0； ②若，则一定有； ③函数在是减函数； ④函数的值域为. 125．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知点在函数的图象上 （1）求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 126．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 127．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知二次函数． （1）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； （3）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 128．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为　　　　　　. 129．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数的定义域为，如果，都有，那么称函数具有性质. （1）已知函数（），（）直接判断函数，是否具有性质； （2）对于函数（），证明：存在定义域为的函数，使得对任意成立； （3）对任意具有性质的函数，判断是否存在定义域为的函数，使得对任意成立，并说明理由. 130．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）如图，函数的图象为折线，函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：    ①； ②函数在内有且仅有3个零点； ③； ④不等式的解集. 其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 131．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 132．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“—单调增函数”. 对于“—单调增函数”，有以下四个结论： ①“—单调增函数”一定在上单调递增； ②“—单调增函数”，一定是“—单调增函数”（其中，且）： ③函数是“—单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）； ④函数 是“—单调增函数”. 其中，所有正确结论的序号是　　　　　. 133．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 134．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）设函数，．已知点，，若的图象与线段有公共点，且对满足条件的每一个，总存在实数，使得不等式成立，则实数的最大值为　　　　　． 135．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若，使函数在上，在上，，请直接写出实数的取值范围. 136．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是，求的值； （3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 137．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）高斯取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 138．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数 给出下列四个命题： ① ； ②函数是偶函数； ③存在，，，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形； ④存在，，，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形. 其中，所有真命题的序号是　　　　　　. 139．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，其中. （1）当时，求证是奇函数； （2）当时，求函数在区间上的最大值； （3）若，函数的图象恒在图象下方，求实数的取值范围. 140．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）设函数，求集合和； （2）求证：； （3）设函数，且，求证：． 141．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知定义在上的奇函数，当时，， （1）求函数的解析式： （2）若，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 142．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知 ，若且，都有，则实数的一个取值为　　　　　　　　；的最大值为　　　　　　　　. 143．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）设函数 ，当时，的值域为　　　　　　；若的最小值为1，则的取值范围是　　　　　　. 144．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，请你写出一个使不等式成立的充分不必要条件　　　　　　　　　　　 145．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t，使得任意，都有，且，则称为M上的增长函数. （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求实数t的取值范围； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，直接写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 146．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）若一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”，若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”，下列结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　． ①是“圆的”，但不是“圆满的”；②是“圆的”，但不是“圆满的”； ③是“圆的”，但不是“圆满的”；④是“圆的”，但不是“圆满的”． 147．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数. （1）判断函数是否为型函数？若是，给出一个常数，若不是，说明理由； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式. 148．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． （1）若函数是“类函数”，求实数的值； （2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； （3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）下列函数中，在定义域内单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若，，，则它们的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）下列函数中，值域为的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设函数的定义域为D，若对，，使得，则称函数具有性质T，给出下列四个结论： ①函数具有性质T； ②函数不具有性质T； ③函数具有性质T； ④若函数，具有性质T，则. 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　. 5．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知幂函数的图像过点，则　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知幂函数在上单调递增，则　　　　　. 7．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知幂函数的图象过点，则　　　　　　　　，　　　　　　　　. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（     ） A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 17元 2．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（     ） A. 550m3 B. 531.8m3 C. 505m3 D. 366.3m3 3．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（     ） A. 6小时 B. 7小时 C. 8小时 D. 9小时 4．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 （1）把商品的利润表示为生产量的函数； （2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 5．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 7．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产x台该产品，需另投入成本万元，且 ，当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 8．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于米），则菜地的面积最大值为　　　　　　　　平方米．（答案用表示） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）下列函数中，值域为(0，+∞)的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】求出每一个选项的函数的值域判断得解. 【详解】A. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； B. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； C. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； D.函数的值域为(0，+∞)，所以该选项与已知相符. 故选D 【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）下列各组函数表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】 对A，的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B， ，两者定义域和对应法则均相同，故两个函数是同一个函数，故正确； 对C，定义域为的定义域为，不是同一函数，故C错误； 对D，的定义域为，的定义域为，二者的定义域不同，不是同一函数，故错误. 故选：B 3．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】 定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 4．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 7 【答案】B 【分析】 利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可. 【详解】 由题意，得，则，故. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）下列函数中，值域为的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案 【详解】 对于A，由于，所以，所以的值域为，不合题意， 对于，的值域为，不合题意； 对于C，由于，所以的值域为，符合题意； 对于D，由于，所以，此函数的值域为，不符合题意； 故选：C 6．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意结合分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】 令 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）下列各组函数表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据同一函数的定义，结合函数的定义域和值域进行判断即可. 【详解】 A：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为全体非负实数集，所以这两个函数不是同一函数，故本选项不符合题意； B：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为全体非零实数集，所以这两个函数不是同一函数，故本选项不符合题意； C：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为不等于1的实数集，所以这两个函数不是同一函数，故本选项不符合题意； D：因为函数和函数的定义域是全体实数集，两个函数的值域为全体非负实数集，而且对应法则也相同，所以这两个函数是同一函数，故本选项符合题意. 故选：D 8．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知函数的定义域，满足：、，都有成立，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令可得出的值，再令可求出的值. 【详解】 令得，解得， 令得，解得. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知函数 ，若，则（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值 【详解】 当时，得：，不符合题意，故舍去； 当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去； 当时，得：，解得：或， 由于，故得：. 故选：C 10．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 确定函数的定义域，分析分母的取值范围，进而得值域． 【详解】 函数的定义域为， 当时，，从而，则， 故函数的值域为． 故选：D． 11．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数由下表给出： 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 假设出现次数大于等于次，即的值大于等于，推出矛盾，由此得，，同理可得，由此可得，从而讨论可得，于是可以得到，分类讨论即可得出答案. 【详解】 等于在“”中所出现的次数，则， 若在“”中出现次数超过次，不妨设出现次，则. 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 同理在“”中出现过、、次也不可能， 即不可能出现，. 同理，若出现次数超过次，不妨设出现次，即， 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 故不可能出现，. , 在“”中至少出现了次， . 若或，即或出现了次，则或不为，矛盾， . , ， “”仅有下列四种可能: ①, ②, ③, ④， 其中:① 中，出现次与矛盾，不可能; ② 满足题意; ③出现次与矛盾; ④ 中，出现次与矛盾; 故仅有“”满足题意， 故. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）下列四组中给出的两个函数，不是同一个函数的是（     ） A. ；， B. ； C. ，；， D. ； 【答案】D 【分析】 根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】 对于A，由 ，解得 则函数的定义域为， 而的定义域为，且，所以为同一函数； 对于B，由 ，解得且， 则函数的定义域为， 由 ，解得且， 则函数的定义域为， 且，所以为同一函数； 对于C，函数和的定义域均为， 且，所以为同一函数； 对于D，函数 的定义域为， 函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：D 13．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】 若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）下列函数中，值域为的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】 对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 15．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为，所以 ，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 16．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　 . 【答案】 【分析】 此题考查函数的定义域，根据分母不为和被开方数大于等于即可得到结果. 【详解】 要使函数有意义，则 ，即且， 的定义域为. 故答案为：[-2,0) 17．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数表达式直接求定义域即可. 【详解】 由题意得， ，所以且， 即函数的定义域为. 故答案为： 18．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数有意义，得到不等式组，求解并正确表示即得. 【详解】 函数有意义，等价于 ， 解得且， 故该函数的定义域为：. 故答案为：. 19．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为　　　　　　. 【答案】 【详解】先根据函数的图象可判断出的值，再根据表格中函数的取值得出. 【详解】 由函数的图象可知，所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题. 20．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设函数 ，则　　　　　　． 【答案】26 【分析】 根据分段函数的结构特点，代入求值即得. 【详解】 因 ，故 故答案为：26. 21．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）函数的定义域是　　　　　　． 【答案】 【详解】 要使函数有意义， 则 ，解得且， 所以函数的定义域为. 22．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数的具体解析式进行求解定义域即可. 【详解】 要使函数有意义， 则且，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数有意义求解即可. 【详解】 由题意， ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 24．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】 由函数的定义域为，得，则， 即函数的定义域为，则由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 25．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】根据分段函数分类计算． 【详解】． 故答案为2． 【点睛】本题考查分段函数，属于基础题．对分段函数而言，一定要注意每一段中自变量的取值范围． 26．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解之即可. 【详解】 对于函数，令 ，解得或且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 27．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数的解析式有意义可得. 【详解】 要使函数有意义，则 ，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 28．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）函数的定义域为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数有意义即可列出不等式求解 【详解】 依题意 ，解得且 的定义域为 故答案为： 29．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）在函数 中，若，则的值是                       【答案】 【详解】试题分析：因为 ，所以有三种情况．由x+2=1得，x=-1；由得，x=，只有x=1；由2x=1，得x=，不合题意．综上知，的值是． 考点：本题主要考查分段函数的概念，简单方程求解． 点评：简单题，解方程，需明确具体内容是什么，通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即得． 30．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数有意义列出不等式组，求解即可 【详解】 由题意， ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 31．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由根式、分式的性质求函数的定义域. 【详解】 由函数解析式知 或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 32．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数的解析式有意义，得到不等式组 ，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】 由函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 33．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）函数的定义域为　　　　　　. 【答案】 【分析】 解一元二次不等式即可. 【详解】 ，即，得或， 故函数的定义域为. 故答案为： 34．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知集合A为数集，定义 .若，定义：. （1）已知集合，直接写出，及的值； （2）已知集合，，，求，的值； （3）若.求证：. 【答案】（1）,,;     （2），;     （3）证明如下： 由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有.      【分析】 （1）利用题给 定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. (1) 小问详解： 集合， 则，， (2) 小问详解： 集合，，， (3) 小问详解： 略 35．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是 ②任意且，都有 ③任意，且，都有 ④规定，其中，则 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　 【答案】① ③ ④ 【分析】 ① 先求证奇偶性，再求时的范围即可求出值域；② 举反例即可；③ 根据化简即可；④ 根据新定义逐一计算即可. 【详解】 ①，定义域关于原点对称，则为奇函数， 当时，， 因，则，，，则， 则时，， 又，故的值域是，① 正确； ② 因，若，有， ， 此时，故② 错误； ③ 任取且，则 若同号，则； 若，则，则， 若，则，所以 则， 故③ 正确； ④，， ，， 则，故④ 正确. 故答案为：① ③ ④ 36．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数 若，则的值域是　　　　；若的值域是，则实数的取值范围是　　　　． 【答案】①     ② 【详解】若，由二次函数的性质，可得， 的值域为，若值域为， 时， 且时， ，要使的值域为，则 ，得，实数的取值范围是，故答案为. 37．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则　　　　　　　　　　，不等式的解集为　　　　　　　　　　. 1 2 3 2 3 0 【答案】① 2    ② 【分析】 第一个问题通过图像找函数值计算即可；第二个问题通过的对应关系去解不等式即可. 【详解】 由图知：，所以； 由题知：函数的全部对应关系如表中所示， 所以时，或， 故不等式的解集为. 故答案为：2； 38．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）波恩哈德・黎曼(1826~1866)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为: ，下列关于黎曼函数的说法正确的是　　　　　. ①； ②关于的不等式的解集为； ③； ④. 【答案】① ② ④ 【分析】 根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个说法逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】 对① ：当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数， 有， 若是有理数，则是有理数，当（、为正整数，为最简真分数）， 则（、为正整数，为最简真分数）， 此时， 综上，时，故① 正确； 对② ：若或或内的无理数， 此时，显然不成立， 当（、为正整数，为最简真分数）， 由，得到， 整理得到，又、为正整数，为最简真分数， 所以 或 均满足， 所以，关于的不等式的解集为，故② 正确； 对③ ：取，，则， 而，故③ 错误； 对④ ：若或，则，因为，所以不等式成立； 若且，当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时， ，，故， 当，时，，有， 当，时，，，有， 当为无理数，时，，有， 综上，故④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 39．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合. （1）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明） （2）若函数，证明：; （3）记二次函数的全体为集合，证明：. 【答案】（I）不属于集合，属于集合； （II）证明如下： 因为，不妨令，所以， 所以，显然关于的方程有解：，所以具有性质， 所以； （III）根据题意可知：二次函数不具备性质， 假设存在二次函数具备性质， 所以存在常数对于任意都有成立， 所以存在常数 使成立， 所以存在常数 使成立， 所以 ，解得，这与假设中矛盾， 所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质， 所以. 【分析】 （I）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合； （II）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明； （III）将问题转化为证明二次函数不具备性质，先假设二次函数具备性质，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明. 【详解】 （I）不属于集合，属于集合； （理由如下：设，若，则有，解得，不符题意，所以不具有性质，所以不属于集合； 设，若，则有，所以，所以具有性质，所以属于集合） （II）略 （III）略 【点睛】 关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质，再通过“反证”的思想完成证明. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合二次函数的对称轴，列式求实数的取值范围. 【详解】 由题意，得函数的图象的对称轴为直线．∵函数在区间上是增函数，∴，解得，∴实数a的取值范围是． 故选:D． 2．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）函数的图象不可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】 当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 3．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】根据解析式可直接判断单调性. 【详解】 对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，的对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，单调递减. 故选：C. 【点睛】 本题考查函数单调性的判断，属于基础题. 4．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知函数，则“”是“是偶函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用二次函数的性质、偶函数定义及充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】 当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数， 则，解得或，故必要性不成立， 即“”是“是偶函数”的充分不必要条件. 故选：. 5．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别利用定义判断奇偶性，再由单调性判断即可. 【详解】 令，定义域关于原点对称，，即为偶函数，当时，在上单调递减，故A正确； 令，定义域关于原点对称，，即为奇函数，故B错误； 的对称轴为，在上单调递增，故C错误； 在上单调递增，故D错误； 故选：A 6．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据奇函数的定义和分段函数的单调性解答. 【详解】 对于A，因为，所以此函数是偶函数，所以A错误； 对于B，因为，所以此函数是奇函数， 因为 ，所以在是单调递增，所以B正确； 对于C，因为的定义域是，所以此函数为非奇非偶函数，所以C错误； 对于D，因为是反比例函数，在单调递减，所以D错误. 故选：B 【点睛】 7．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）在定义域内，下列函数既是奇函数又是增函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据奇函数定义及基本初等函数性质，逐项分析. 【详解】 对于A：函数的一次项系数为，所以它是增函数，但，它不是奇函数，A错误； 对于B：函数在和都是单调递增，但不能说它在定义域上是增函数，B错误； 对于C：函数在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D： ，在单调递增，在单调递增， 所以它在定义域上是增函数， 又，所以它是奇函数，D正确； 故选：D. 8．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知条件得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称和函数的单调性比较可得答案. 【详解】 当且，时，恒成立， 可得在上单调递减，且关于对称， 所以在上单调递增，， ，， 即. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 对A，根据反比例函数性质即可判断；对B，利用一次函数单调性即可判断其在上的单调性；对C，利用偶函数的判断方法和对数函数单调性即可判断；对D，根据二次函数性质即可判断. 【详解】 对于A：的定义域为，为奇函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为偶函数，当时， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C：的定义域为， ，故其为偶函数，当时，， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D：，根据二次函数性质知其对称轴为， 显然不是偶函数，故D错误. 故选：C 10．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）设函数，则（     ） A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】 确定函数定义域，根据定义法判断函数奇偶性，再根据初等函数单调性确定组合函数的单调性即可． 【详解】 由题可知，函数定义域为， 由题意得，则为奇函数， 当时，和都是增函数， 所以在上单调递增． 故选：A． 11．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】 因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 12．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据偶函数的单调性，结合分类讨论即可求解. 【详解】 偶函数 在 单调递减，则在 单调递增. 由 和偶函数性质得 . 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 不等式的解集为 . 故选：B 13．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）给定函数①；②；③；④中，其中在区间上单调递增的函数序号是（       ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【分析】 根据常见函数的单调性判断即可. 【详解】 ① 函数的对称轴为，开口向下， 则函数在上单调递减； ② 函数在上单调递减； ③ 函数 ， 则函数在上单调递增； ④ 函数在上单调递减. 故选：C 14．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】 由函数的图象可得的解集为，的解集为， 等价于 或 ， 所以或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 15．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据奇函数的定义逐个分析判断即可 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为，因为， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为，所以，， 所以为非奇非偶函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数， 故选：AD 16．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（       ） A. f（﹣x1）＞f（﹣x2） B. f（﹣x1）＝f（﹣x2） C. f（﹣x1）＜f（﹣x2） D. f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定 【答案】A 【详解】由条件可得在上是增函数，根据条件可得，所以，从而得出答案. 【详解】 是R上的偶函数，且在上是减函数 故在上是增函数 因为且，故； 所以有，又因为 所以有 故选：A. 17．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 由奇函数的定义得到，然后代入函数解析式即可求得结果. 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 因为当时，，所以， 所以. 故选：D. 18．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据为偶函数可得，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】 因为为偶函数，所以， 又，且函数在上单调递减， 所以，即. 故选：A 19．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）奇函数满足当，，则的值为（     ） A.  B. 5 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 利用奇函数的性质可求解. 【详解】 因为，，所以， 因为函数是奇函数，所以. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设函数满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的对称轴和开口方向判断的单调性，根据二次函数的单调性得出结论． 【详解】 , 的对称轴为 的图像开口向上， 在上单调递减， , 故选: B . 21．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）设A，B是中两个子集，对于，定义： ， .在这一定义下，若，，则A，B满足（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知，或，.分两种情况讨论可得，，，即可得到答案. 【详解】 由已知，和都只能取0和1. 又，所以，或，. 当，时，可知，；当，时，可知，. 即，又，，所以. 所以，. 故选：B. 22．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由奇函数的性质求解即可. 【详解】 由时，，且是定义在上的奇函数， 则时，，所以，即. 故选：C 23．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据常见函数的奇偶性及单调性判断即可. 【详解】 对于A，函数为奇函数， 且在和上为增函数，故A错误； 对于B，函数为偶函数，故B错误； 对于C，函数为奇函数，且在上为增函数，故C正确； 对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 24．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案. 【详解】 因为，所以二次函数的对称轴为， 又因为，所以， 又，所以. 故选：B. 25．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）下列函数中，既是奇函数又是定义域上减函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据逐项判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】 对于A：函数是奇函数，定义域是， 分别在两个区间和单调递减，但不能说在定义域上单调递减，A错误； 对于B： 是奇函数，但在上单调递增，B错误； 对于C：是奇函数，但时，时，故不是定义域上的减函数，C错误； 对于D：是奇函数，且在定义域上是减函数，D正确； 故选：D. 26．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图象一一分析函数的定义域与值域，即可判断. 【详解】 解：对于A：函数的定义域为，值域为，不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，其中，值域为，不符合题意，故B错误； 对于C：直线与图象有个交点，不符合函数的定义，故C错误； 对于D：函数的定义域为，值域为，符合题意，故D正确； 故选：D 27．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足. 【详解】 图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 所以A、B、D三个选项均不符合，只有选项C符合题意. 故选：C. 28．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的定义以及定义域与值域，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 A图象不满足定义域要求； D图象中存在值对应两个值，不满足函数概念； C图象不满足单调函数概念； B图象满足定义域为，值域为，且单调递减. 故选：B 29．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）（多选）下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】 对于A选项，因为的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又该函数在区间上单调递减，故A正确； 对于B选项，因为的定义域为R，其定义域关于原点对称，且，所以函数偶函数，又该函数在区间上单调递减，故B正确； 对于C选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故C不正确； 对于D选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故D不正确. 故选：AB. 30．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）下列函数满足“对于定义域中的任意，”的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意结合函数定义域以及函数解析式逐项分析判断即可. 【详解】 对于选项A：因为的定义域为， 且不恒为0，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为， 且不恒为0，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为， 且，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 且，故D错误； 故选：C. 31．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）若对于任意实数总有，且在区间上是增函数，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用偶函数的性质可得出，再由函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】 ，函数为偶函数，则， 由于函数在区间上单调递增，且， ，即. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了函数奇偶性的应用，属于基础题. 32．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）函数为上的奇函数，时，，则=（       ） A.  B.  C. 2 D. 6 【答案】B 【分析】 首先求出，再根据奇函数的性质计算可得； 【详解】 解：因为为上的奇函数，且时，， 所以，所以； 故选：B 33．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 画出和的图象，由此求得不等式的解集. 【详解】 当时，，由解得（负根舍去） 当时，设，将代入得： ，解得，所以， 由，解得或. 而、都是奇函数，图象关于原点对称， 由此画出和的图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集是. 故选：C 34．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可. 【详解】 因为在上为减函数，且， 当时，；当时，； 又因为为奇函数，可得当时，；当时，； 若，则 或 ，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 35．（25-26学年高一·北京第二十中学·期中）若是方程的解，是方程的解，则 （       ） A. 1 B. e C.  D.  【答案】C 【分析】 利用、的图象关于直线对称可求，或利用同构或排除法可得正确的选项. 【详解】 法1：考虑到分别是函数、函数与函数的图象的公共点A，B的横坐标．而A，B两点关于直线对称，点在反比例函数的图象上，因此．    法2:令，则代入方程，得， 对，则有，故在为增函数， 可知，所以 法3：结合函数与的单调性，由函数零点存在性定理可知 ，． 由不等式的性质得，， 进而结合选项可知 故选：C 36．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由偶函数性质可得 在上是减函数，再利用性质脱去法则转化为对任意恒成立，即可得到答案． 【详解】 依题意，偶函数在上是减函数， 由不等式对任意恒成立，得不等式对任意恒成立， 因此对任意恒成立，而，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 37．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可求解. 【详解】 二次函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递增，则， 因为在上单调递增，则 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 38．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）函数的图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用奇偶性的定义判断的奇偶性，结合及上的值域，应用排除法确定图象. 【详解】 令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D 39．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）函数的图像大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用奇偶性排除A，再根据时的函数值及函数的单调情况，即可得到判断. 【详解】 因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故A错误； 因为当时，，故C错误， 且当时，单调递增，故B错误，D正确. 故选：D. 40．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意可得为偶函数且在上单调递减，即可得到函数的取值情况，再分类讨论即可. 【详解】 由②，即，所以为偶函数； 由①，则； 由③ 对，，当时，都有， 可得在上单调递减，所以在上单调递增， 所以当时，当或时， 所以不等式，等价于 或 ， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：C 41．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数 ，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】 因为 ， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 42．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据不等式的性质分析函数、的值域，由题意可得，结合包含关系运算求解即可. 【详解】 若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 43．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为（，是非零常数，无理数）.给出下列三个结论： ①当，时，为奇函数； ②当时，为单调函数； ③若的最小值为2，则的最小值为2. 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 由奇偶函数的定义判断① 即可，为上的单调函数，则单调性相同即可，结合指数函数单调性判断② 即可，当时，单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论、时是否有最小值，即可得a、b的关系式，从而进一步求的最小值，判断③ 即可. 【详解】 当时，，，∵，∴为奇函数，故① 正确； 因为分别为上的增函数与减函数，所以当时，具有相同的单调性，所以具有单调性，故② 正确； 有最小值为2，由② 可知当时，单调无最小值，故. 当时，，当且仅当时取等号，且当时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号； 当时，，无最小值，不合题意. 综上，的最小值为2，故③ 正确. 故选：D 44．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据函数单调性的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】 对于充分性，取，，，无最大值， 则“，且，都有， 但是此时在上不是增函数，故充分性不成立； 对于必要性，若在上是增函数，则，且，都有，故必要性成立. 所以“，且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件. 故选：B 45．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，根据初等函数的单调性判断单调性. 【详解】 对于A，，所以是偶函数，在单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故B错误； 对于C，，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故C错误； 对于D，，所以是偶函数，在单调递增，故D正确. 故选：D 46．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数奇偶性和函数单调性，以及二次函数最值，比较函数值大小，判断结果即可. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，所以， 在区间上单调递减，则在区间上单调递增， 可知，所以，即. 故选：C. 47．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列错误的是（       ） A.  B.  C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】C 【分析】 根据，且为奇函数，利用周期性和奇偶性的定义判断. 【详解】 因为，且为奇函数， 所以 ，，且 ， 则 ， ，故A正确； ，故B正确； 由 ，得 ， 又，所以 结合 ， 得 ，所以为偶函数，故C错误，D正确； 故选：C. 48．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A. 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 49．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】 因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上是减函数， 由，则， 所以，解得或， 则满足的的取值范围是. 故选：D 50．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据图象求出函数的解析式，解不等式求结论. 【详解】 由题意，函数的图象为折线段，且， 故可设 ， 且，，， 所以，， 所以 ， 当时，不等式，可化为，解得，即； 当时，不等式，可化为，解得，即. 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 51．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）若函数在上满足：.当时，，且当时，.对，都有，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据函数之间的关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到的最大值. 【详解】 由，则函数关于直线对称， 当时，，且时，， 则时，，则，即； 时，，则，即，且； 作出函数的大致图象，如图，    由图可知，，则，即的最大值为. 故选：B 52．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）下列函数，在其定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用奇函数定义判断排除A，B，应用单调性定义判断排除C. 【详解】 对于A：的定义域为，与不相等，所以不是奇函数，A选项错误； 对于B：定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，B选项错误； 对于C：，因为，所以不满足单调递增，C选项错误； 对于D：的定义域为，，所以为奇函数，且为单调递增函数，D选项正确； 故选：D. 53．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数 ，则函数在区间内的零点个数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分别分析出的性质，将的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可. 【详解】 因为，则是周期为的周期函数， 又，所以在上的图象如图所示. 由的解析式可知，单调递增，； 在上单调递减，上单调递增，， 所以的图象如图所示. 令，将所求零点问题转化为函数交点问题， 则在上的交点个数即为所求零点个数. 如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点， 综上共有个交点，即有个零点. 故选：. 54．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【详解】 由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 55．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设是定义在上的奇函数，当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：因为当 时，，所以 . 又因为是定义在R上的奇函数，所以 . 故应选A. 考点：函数奇偶性的性质. 56．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）定义在上的函数是偶函数，且在为增函数，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定函数的性质，按分段求解. 【详解】 定义在上的偶函数在为增函数，则在为减函数，且， 不等式化为 或 ， 解得或，所以原不等式的解集为. 故选：A 57．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据奇函数和函数单调性相关知识逐一判断即可． 【详解】 对于A，是偶函数，不符合题意； 对于B，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于C，是奇函数，在和单调递减，不符合题意； 对于D，是奇函数，且 ，在上单调递增，符合题意； 故选：D ． 58．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接按探讨，结合的取值情况确定，再利用一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】 当，则，依题意有，从而在上单调递增， 于是 ，则方程，即有两个不等的负实根， 因此 ，又，解得， 所以负数的取值范围是. 故选：A 【点睛】 关键点睛：本题确定函数的单调性，得出 ，再构造一元二次方程，利用一元二次方程根的分布求解是关键. 59．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是“理想函数”的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 先分析条件① ② 得到函数的奇偶性和单调性.然后逐个验证四个函数是否满足条件. 【详解】 由① 可知函数为奇函数， 由②，即，所以函数在定义域上单调递增. ① 函数为偶函数，不满足条件① ，排除； ② 函数为奇函数，在定义域内单调递增，是“理想函数”； ③ ∵，函数不是奇函数，排除； ④ 当时，，，函数 是奇函数， ∴函数 在单调递增，在上单调递增，且当时，，∴函数 在定义域内单调递增，是“理想函数”； 故为“理想函数”的函数有：② ④ ； 故选：B. 60．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）对任意实数，定义运算“”： 设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用新定义化简解析式，做出的函数图象，根据图象即可得出的范围． 【详解】 当 ，解得： 或 ， 所以 画出 的函数图象，如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线恰有三个公共点， 故选：B 61．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先由二次函数的单调性求得的取值范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】 当函数在上单调递减，对称轴，即. 显然“”是“”的充分不必要条件. ∴“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 62．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设是上的奇函数，且在内是增函数，，则的解集是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】D 【分析】 根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可. 【详解】 因为在内是增函数，， 当时，；当时，； 且是上的奇函数，则，，且在内是增函数， 当时，；当时，； 若，可知与同号，或， 所以的解集是或或. 故选：D. 63．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】 因为函数 是上的增函数， 所以 ，解得，即的取值范围是. 故选：D 64．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知，则“”是“为偶函数”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 利用偶函数的定义与性质结合充分条件、必要条件判断即可得出结论. 【详解】 因为，若，即，可得， 此时，此时函数的对称轴为轴，即为偶函数， 所以“”“为偶函数”， 若函数为偶函数，由偶函数的性质可知， 所以“”“为偶函数”， 因此“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C. 65．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）下列函数既是偶函数，又在区间上为增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的奇偶性判断AB；根据偶函数的定义及函数的单调性可判断C；根据偶函数定义及二次函数的单调性可判断D. 【详解】 对于A. 的定义域为R，但是，则函数为非奇非偶函数，不符合题意. 对于B. 令的定义域为，且， 即为奇函数，不符合题意. 对于C.令的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，，则函数区间上为减函数，不符合题意. 对于D. 令的定义域为R，且， 函数为偶函数，又为开口向下的抛物线且对称轴为， 则函数区间上为增函数，符合题意. 故选：D 66．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论： ①； ②； ③函数的图象关于原点对称； ④函数的图象关于点对称； 其中，正确结论的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】令，① ：根据求解出的值并判断；② ：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③ ④ 是否正确. 【详解】 令， ① 因为为上的奇函数，所以，所以，故正确； ② 因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确； 因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的， 又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③ 错误④ 正确， 所以正确的有：① ② ④ ， 故选：C. 【点睛】 结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况： （1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称； （2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称. 67．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将解不等式转化为与的图像比较，进而观察两个函数图象的特征，从而求出不等式的解集． 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以的图像关于原点对称，由此画出函数在上的图象， 在同一坐标系内画出的图象， 因为，，所以， 又，， 所以的图象与的图象交于和两点，如图， 所以结合图像可知，的解集为. 故选：C. 68．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案. 【详解】 ，即， 故函数在上单调递增，是上的奇函数， 故是上的偶数， ，，. ，故. 故选：A 69．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可. 【详解】 由图可知：函数的图象关于y轴对称，定义域有两个间断点， 对于选项A：令，解得，可知的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 其图象关于原点轴对称，故A错误； 对于选项B：令，解得，可知的定义域为， 当时，， 因为在内单调递减，函数在内单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，可知的定义域为，故C错误； 故选：D. 70．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）如果函数对于任意实数t都有，那么（       ） A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(4)<f(2)<f(1) D. f(2)<f(4)<f(1) 【答案】A 【分析】 根据给定条件可得函数图象对称轴为，再借助对称性、单调性即可比较判断作答. 【详解】 因函数对于任意实数t都有，则其图象对称轴为，且在上递增， 于是得，而， 所以. 故选：A 71．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数奇偶性的定义及基础函数的单调性判断ABD；画出函数图象判断C. 【详解】 对于A，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，但它在定义域上不单调，A错误； 对于B，令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是奇函数. 当时，，且在上单调递增；当时，， 且在上单调递增；又，所以在上单调递增， B正确； 对于C，函数 的定义域为，其图象如图： 由图可知， 的图象既不关于y轴对称也不关于原点对称， 因此函数 是非奇非偶函数，C错误； 对于D，令，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以是偶函数，D错误. 故选：B 72．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数解析式画出函数图象，易知单调递增且关于对称，再将不等式转化为结合单调性求参数范围. 【详解】 由题设， ，图象如下： 所以， 又是R上的增函数，所以对恒成立， 所以，则，即． 故选：A． 73．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）若函数 存在最小值，则的最大值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 利用分段函数的性质结合二次函数的性质计算即可. 【详解】 因为，所以，在时取得等号； 又，在时取得等号， 而时，无最小值， 所以由题意可知，即,又,所以, 则的最大值为4. 故选：D 74．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】 的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 75．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知函数，关于函数的性质，有以下四个结论： ①函数是偶函数；       ②函数在区间上单调递增； ③函数在区间上单调递增；       ④函数的最小值是2 其中正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据函数奇偶性的定义可判断① ；取特殊值可排除② ，利用定义法证明单调性可判断③ ，利用基本不等式可判断④ . 【详解】 的定义域为，因为，所以是偶函数，故① 正确； 因为，，所以在区间不是单调递增函数，故② 错误； 当时，任取， 则 ， 因为，所以，，，故， 所以在区间单调递增，故③ 正确； 因为为偶函数，所以只需考察的情况即可， 当时，， 当且仅当，即时取得，故④ 错误. 故选：B 76．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数 的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】 由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为 ，又， 所以函数 的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】 关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 77．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数 在上单调，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，，由 在上是单调函数，则在时单调递减，在上递减，且，从而可求. 【详解】 函数 是上的单调函数， 设，， 由在上单调递减及分段函数的性质可知，函数在上单调递减， 且时，， ， ， 解得：, 故选：D. 78．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】 作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 79．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由函数图象，结合偶函数的对称性求不等式解集即可. 【详解】 由图知：在上的解集为， 又是定义在上的偶函数，则在上的解集为， 所以不等式的解集为. 故答案为： 80．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）若 是R上的减函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　　. 【答案】. 【分析】 分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】 由题意得： ，解得：， 故实数a的取值范围为. 故答案为：. 81．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　；若，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】3，或. 【分析】 （1）根据分段函数的自变量范围代入求值即可. （2）结合分段函数分情况求解不等式即可. 【详解】 因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 82．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知 是定义在上的偶函数，那么　　　 【详解】试题分析：偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，解得 ，函数是偶函数，所以 ，所以 ,故填： . 考点：偶函数的性质 83．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）函数在R上的解析式； （2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）为奇函数，当时，，则当时，，由可求出的表达式； （2）根据题意，由函数的解析式作出函数的简图，由此分析可得关于的不等式，解出可得取值范围． (1) 小问详解： 已知是定义在R上的奇函数，当时，， 当时，，则有， 所以 ； (2) 小问详解： 由（1）可得图象如图所示： 若在区间上单调递增， 则有，解可得， 故实数m的取值范围：． 84．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）函数的值域为　　　　　. 【答案】 【分析】 方法一：先利用分母令 进行换元，将函数等价转化成函数，再利用均值不等式和函数单调性求出函数最值即可求值域； 方法二：利用导数判断函数的单调性即可求值域. 【详解】 方法一： 由， 令， ，则， 因为，当且仅当即时等号成立，所以， 由于在是单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则此时的最大值为， 所以函数的值域为， 即原函数的值域为； 方法二： 由，求导得， 令，在内解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而 所以的值域为， 故答案为：. 85．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数满足对任意的恒有，当时，，又. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明如下： 令得：， 令得：， 所以 是奇函数.     （2） 递减区间为；无增区间     （3） .      【分析】 (1)利用赋值可证明奇函数； (2)利用赋值也可证明单调性； (3)利用单调性可求最值，再解一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，则，由题意， 又由可得， 所以，则函数在上单调递减， 即函数的递减区间是； (3) 小问详解： 因为函数在上单调递减， 所以， 由不等式恒成立可得：， 解得. 86．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）设函数的定义域为，若满足：“，都存在，使得”则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数具有性质； ②所有奇函数都具有性质； ③若函数和函数都具有性质，则函数也具有性质； ④若函数，具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 根据函数具有性质，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论. 【详解】 由题知，若满足性质即：“，都存在，使得” 则的值域关于原点对称. 对于① ，函数，值域为关于原点对称，显然具有性质，故正确； 对于② ，因为所有的奇函数对应定义域内任意的都有， 则值域关于原点对称，显然具有性质，故正确； 对于③ ，设，，值域为，具有性质， ，，值域为，具有性质， ，，值域为，不具有性质，故错误； 对于④ ，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称. 又 ，时，的值域为， 则，解得，故正确. 故答案为:① ② ④ . 87．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知为上的奇函数，且当时，，则的解析式为　　　　　　 【答案】 【分析】 根据题意结合奇函数的定义求的解析式，并注意. 【详解】 因为为上的奇函数，则， 且当时，， 当时，， 可得， 所以 . 故答案为： . 88．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知为上的增函数，且其部分图象如图所示，那么的解集是 　　　　　． 【答案】 【分析】 不等式，即，结合函数图象即可得解. 【详解】 因为为上的增函数且、， 不等式，即，所以， 即的解集是. 故答案为： 89．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）函数是定义在上的奇函数．当时，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据奇函数的性质求函数值即可. 【详解】 ，， 因为为奇函数，所以. 故答案为：2 90．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知函数，其中，下列结论正确的是　　　　　　　． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 【答案】 【分析】 A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围. 【详解】 由，显然当a＝0时有， 但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数， 不存在实数，使得函数为偶函数.所以① 正确，②错误； 且在处连续，当时， 易知：在上递增，递减，上递增，③正确； 由解析式，当时在上递增，递减，上递增， 又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点， 所以，又，可得，④正确. 故答案为：. 91．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用函数的对称性可得答案. 【详解】 由于  是奇函数，满足  对所有  成立， 设 ，则 ， 由已知条件，当  时，， 利用奇函数性质， ， 因此当  时，. 故答案为： 92．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用二次函数的单调性和对称轴的联系求解即可. 【详解】 函数的对称轴为， 在区间上是单调函数， 所以或者， 解得或者. 故答案为： 93．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 ① 先证其奇偶性，再分离常数结合单调性求在上的范围，结合奇偶性可得；② 根据在上的单调性以及奇偶性可得；③ 举反例；④ 求出在上的解析式即可. 【详解】 对于① ：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ， 因在内单调递减，则函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知当时，, 所以的值域是，故① 正确； 对于② ：因函数在内单调递增，且为奇函数，则 函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故② 正确； 对于③ ：当任意且时， 令，，，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④ ：当时，， 可得，，， 以此类推可得， 因此，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ 94．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数 的最小值为，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 当时，由题意可得二次函数的对称轴，求出此时的最小值，当时，求出此时的最小值为，再根据的最小值为列不等式即可求出答案. 【详解】 当时，，二次函数对称轴为， 由的最小值为，得，此时的最小值为， 当时，，当且仅当时，等式成立， 此时在上的最小值为， 因为的最小值为，则 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 95．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知函数是上的奇函数．且 （1）求的解析式； （2）用定义证明：在区间上是增函数；并求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 且， ， 因为，所以，，， 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数， 所以在区间上的最大值为.     （3）      【分析】 （1）由函数为奇函数得，代入即可求出，再结合求出，即可得到答案； （2）利用单调性的定义，任取且，通过作差、化简，证明即可，利用函数的单调性即可求出在区间上的最大值； （3）根据不等式恒成立将转化为，令，为一次函数，且即可满足题意，解不等式组即可得到答案. (1) 小问详解： 因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得， 又，则， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对所有的恒成立， 则，即， 令， 依题意，，恒成立， 则 ，解得或， 所以实数的取值范围为. 96．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数（为常数，，且） （1）判断的奇偶性，并用定义证明： （2）当时，证明：函数在定义域内单调递增； （3）求使不等式成立的的取值集合． 【答案】（1） 为奇函数，证明如下：由解析式知函数定义域为， 且，所以为奇函数，     （2） ，任取，且， 则 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增；     （3） 当时，不等式解集为，当时，不等式解集为.      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断证明； （2）设，作差法比较与的大小即可证明； （3）由指数函数的单调性，结合指数与对数的互化解不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，得，所以， 当时，可得，当时，可得， 综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 97．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数.     （2） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）任取，，且，用作差法判断，的大小，即可证结论； （3）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增，又，， 所以不等式，即，即， 即，又恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 98．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知 ，当时，的单调减区间为　　　　　　；若存在最小值，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 空一：结合指数函数单调性和二次函数的单调性分开求解单调性，即可得解； 空二：分和两种情况讨论函数单调性解答. 【详解】 当时， ， 当时函数单调递增， 当时函数， 所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数的单调减区间为； 因为函数 ， 当并且，所以函数在上单调递增，没有最小值； 当，要想函数有最小值则满足即. 故答案为：；. 99．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，且，则 因为在上单调递增，且，所以， 又，所以， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数的定义可得的值； （2）利用单调性定义证明即可； （3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围. (1) 小问详解： 函数的定义域为， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以， 所以. (2) 小问详解： 函数在上单调递减. 证明略； (3) 小问详解： 因为为奇函数，所以， 由得 ， 即，                            由（2）可知,函数在上单调递减， 所以，                即，解得或， 所以的取值范围为. 100．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用奇函数性质并结合函数图象即可得到答案. 【详解】 由图象可知：当时，；；当时，； 因为是定义在上的奇函数，则， 且当时，；；当时，； 则若，则 故答案为；. 101．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，； （1）已知函数部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间； （2）求出函数的解析式； （3）若关于的函数有且只有4个不同的零点，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1） 函数的图象，如图所示： 由图象可得，函数的递减区间为，.     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，画出函数的图象，结合图象写出单调递减区间； （2）设，则，求得，进而求得函数的解析式； （3）根据题意，转化为函数与的图象有4个不同的交点，结合图象，即可求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， 因为函数是上的上的偶函数，且当时，， 可得， 所以函数的解析式为 . (3) 小问详解： 解：关于的方程有且仅有4个不同的零点， 即方程有且仅有4个不同的实数根， 即函数与的图象有4个不同的交点， 结合图象知，当时，此时函数与的图象有4个不同的交点， 所以实数的取值范围为. 102．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数 若存在最小值，则a的一个取值为　　　　　　　　；a的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】① 0（答案不唯一）    ② 1 【分析】 根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，   解得 . 【详解】 解：若时， ，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 103．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）. 【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 则， 所以函数为奇函数.     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以函数在上单调递减.     （3）函数在上单调递增      【分析】 （1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明即可； （2）（3）根据题意结合单调性的定义分析证明即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： (3) 小问详解： 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以函数在上单调递增. 104．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）设函数 ，若，则的值域是　　　　　　　；若的值域是，则实数的取值范围是　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解. 【详解】 第一空：当时， ， 当时，， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值为； 当时，函数为单调递减函数，其值域为， 综上，的值域是； 第二空：作出函数与的图象，如图， 因为的值域是， 当时，， 若，由图象可知可取得无穷小，不满足题意， 由第一空可知也不满足题意，则必有， 所以，得，则， 当时，，， 且当时，解得或， 即，，结合图象可知， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为：；. 105．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），；     （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数．     （3）；      【分析】 （1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以 ，解得， 所以的取值范围是. 106．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知函数 .若的最小值为，则的一个取值为　　　　　　　　　　；的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】① 2（答案不唯一，均可）    ② 【分析】 分别分析和两部分，根据二次函数、对勾函数的性质，求得最小值，对比分析，化简计算，即可得答案. 【详解】 由题意， 当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以的最小值在处取得，且， 要使的最小值为， 需，解得； 当时，， 令，则，此时， 当且仅当，即时取等号 当时， ，所以在上单调递增， 所以的最小值为，满足题意； 当时， ，在单调递减，在上单调递增， 所以当 时，有最小值，不满足在x=1，即时取得最小值，故不符合题意. 综上的取值范围是. 故答案为：2（答案不唯一，均可）； 107．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设 ． （1）当时，f（x）的最小值是　　　　　； （2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是　　　　　． 【答案】①     ② [0，] 【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解. 【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2， 当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号， 则函数的最小值为， （2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2， 若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件． 若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数， 则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2， 要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a， 即实数a的取值范围是[0，] 【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 108．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　　；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据分段函数解析式求函数值即可得第一空；根据题意求的解析式并作出图象，分析可知函数与有两个不同交点，结合图象即可得结果. 【详解】 因为 ， 则，所以‘ 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且，则； 则 ，作出函数的图象如下： 若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点， 结合图象可得，所以实数k的取值范围是. 故答案为：； 109．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明：在区间上是增函数； （3）写出函数的最值，及取到最值时对应的值（不需说明理由，直接写出结论即可）. 【答案】（1） 由题意知的定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数.     （2） 设任意， 因为，所以，所以，即 故函数在上单调递增     （3）当时，；当时，      【分析】 （1）直接根据函数的奇偶性定义可得； （2）直接用单调性的定义证明可得； （3）根据函数的单调性可得最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数在上单调递增， 故当时，， 故当时，. 110．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数. （1）判断函数在上的单调性并用定义证明； （2）若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，证明见详解     （2）或      【分析】 （1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. (1) 小问详解： 在上单调递增，证明如下: 且，， ，，，， ，，在上单调递增. (2) 小问详解： 因为，，且在上单调递增， ， 解得或， 不等式的解集为或 111．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知，函数 （1）若，则的单调递增区间是　　　　　　. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 分析：（1）分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象即可写出的单调增区间； （2）依题可知的值域为，因为时，，故时，的最小值小于等于即可. 【详解】 （1）若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， 此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为， ① 当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得：； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需，解得，结合得： 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为 故答案为：； 112．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）用函数单调性的定义证明：函数在上是单调递减； （3）判断函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）. 【答案】（1）函数为偶函数     （2）在上是单调递减的     （3）在上单调递增.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义即可证明； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）利用偶函数的性质可得判断函数在上的单调性. (1) 小问详解： 函数为偶函数，理由如下： 由，得，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为偶函数； (2) 小问详解： 当时，， 设， ， 因为，所以且，从而，因此， 所以，即， 所以在上是单调递减的； (3) 小问详解： 因为是偶函数，偶函数在对称区间上的单调性相反， 由（2）可知在上的单调递减，所以在上单调递增. 113．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知 ．若的最小值为0，则实数的值是　　　　　　；若存在最小值，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 对于空1：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，有最小值为0，然后按照和分类讨论求解即可； 对于空2：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，存在最小值，且最小值要小于等于，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】 对于空1：当时，单调递增，有，无最小值， 若的最小值为0，则当时，有最小值为0， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得，与矛盾，不符合题意； 当即时，在上单调递减， 所以，则，解得，满足，符合题意； 综上. 对于空2：当时，单调递增，有，无最小值， 若存在最小值，则当时，存在最小值，且最小值要小于等于， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 当即时，在上单调递减， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 综上或，即实数的取值范围是. 故答案为：0； 114．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设函数 ，且，.    （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； （3）直接写出不等式的解集. 【答案】（1）     （2） 图象如下： WSD    函数的值域为，单调递增区间是，单调递减区间是、.     （3）      【分析】 （1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的值域、增区间和减区间； （3）分、两种情况讨论，结合图象可得出不等式的解集. (1) 小问详解： 因为 ，且，. 即 ，解得 ，故 . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，由可得，由图可得或， 当时，由可得，由图可得. 综上所述，不等式的解集为. 115．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，判断并证明函数的单调性； （3）对任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数是奇函数； 证明：函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数.     （2） 函数在上是单调递增函数 证明：任取，且， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上是单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可得结论并进行证明； （2）根据函数单调性的定义即可进行判断和证明； （3）根据函数的奇偶性以及单调性可求出在上的最大值，结合不等式恒成立，即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为是奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值， 又因为对任意都有成立， 所以，即的取值范围为. 116．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数. （1）求的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；     （2） 当时，，且函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，，，， 故，即， 故函数在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）代入计算可得出的值； （2）判断出函数在上为增函数，然后、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）分析可知，函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. (1) 小问详解： 因为，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 因为，则，所以，则， 由（2）知，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，则有或，可得或， 可得或， 解不等式，即，解得或， 解不等式，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 117．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数的定义域是，且满足． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明： （3）解不等式：； （4）若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）     （2） 函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以在单调递增；     （3）     （4）       【分析】 （1）由，解出即可求解； （2）结合函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）先证为奇函数，根据奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （4）由已知得，根据函数的单调性求，转化为，令，结合一次函数的性质进行求解即可. (1) 小问详解： 由题意有：，所以， 又，即， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，的定义域为，所以为奇函数， 由， 又在单调递增， 所以 ， 所以不等式的解集为； (4) 小问详解： 由不等式在恒成立，所以， 又在单调递增，所以， 所以，即对任意恒成立， 令， 所以 或或， 所以. 118．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数，若，则实数的取值范围　　　　　　. 【答案】或 【分析】 求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】 函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 119．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知函数是定义在的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）求证：函数在上是减函数； （3）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）     （2） 任取，则 ， 因为，则，， 所以，即， 因此函数在上是减函数.     （3）最大值为，最小值为      【分析】 （1）由奇函数的定义可得出的值，再由可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义可证得结论成立； （3）利用函数的单调性可得出函数在上的最大值和最小值. (1) 小问详解： 因为函数是定义在的奇函数， 则，即，解得，则， 又因为，可得，故， 此时满足，即函数为奇函数， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数在上是减函数， 故，， 因此函数在上的最大值为，最小值为. 120．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知的定义域为，且满足，. （1）求的解析式、并判断函数的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. （3）解关于t的不等式. 【答案】（1），奇函数；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且使， 而， ， 因为，所以，， 由已知得，所以，故， 故，即， 最后得到在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可. （2）先判断单调性，再利用定义法证明即可. （3）结合函数单调性奇偶性及定义域去，即可求解. (1) 小问详解： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数， 因为在处有定义，所以， 得到，解得，此时， 因为，所以，解得， 故的解析式， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 由函数的单调性及定义域可得： ， 解得：， 即不等式的解集为. 121．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）设函数，其中. （1）对于任意，都有，求t的值； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）结合不等式恒成立，根据函数的最值定义即得； （2）分、、三种情况，结合一元二次函数性质可求. (1) 小问详解： 由题意可知，为函数的最小值， 又对称轴为，且开口朝上，则； (2) 小问详解： 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，在上单调递减，则； 综上， . 122．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设且， ， 即， ，∴函数在区间上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由奇函数的定义可求解； （2）利用单调性的定义可证明函数在区间上单调递增； （3）对任意的使得成立，可得，进而计算可得结论. (1) 小问详解： 函数是奇函数，定义域为． ，即，即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题可知：，定义域为， 因为对任意的使得成立， ， 令，由（2）知函数在上单调递增， 同理可得在递增，在递减，在递减， ，， ， . 123．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）杨振宁是享誉世界的物理学家，为中国科学教育事业发展做出了卓越的贡献．在杨振宁先生的研究中，“杨—巴克斯方程”描述了一种“交换结合”性质，某些操作改变顺序后不变．可以用函数模拟这个过程，给定一个函数和一种运算“”，定义，若满足，称函数具有“交换结合”性质，写出一个具有“交换结合”性质的函数　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 结合运算“*”的定义可得，，考虑取特殊函数，验证其是否满足关系，由此可得结论. 【详解】 因为，所以， 所以， ， 设，则， ， 此时， 所以具有“交换结合”性质， 故答案为：（答案不唯一） 124．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）关于函数下面几个结论，则其中全部正确结论的序号为　　　　　　　　　　. ①函数为奇函数且函数的零点为0； ②若，则一定有； ③函数在是减函数； ④函数的值域为. 【答案】① ② ④ 【分析】 根据奇偶性以及定义，即可判断① 的正误；分离常数得即可判断③ ；求出其在上的值域再结合其奇偶性即可得到其完整值域，则可判断④ ，结合其奇偶性和单调性以及函数的连续性即可判断② . 【详解】 对于① ，因为，所以在R上为奇函数， 令，解得，则其零点为0，故① 正确； 对于③ ，当时，，因为恒成立，且为增函数， 则在上为增函数，故③ 错误； 对于② ，由③ 的分析和函数的连续性知在上为增函数， 因为为奇函数，则其在上也为增函数，且函数在上连续不间断， 所以函数在R上是增函数， 则，则一定有，故② 正确； 对于④ ，当时，， 因为，所以，， 所以，所以， 又为奇函数，所以当时，，且， 所以函数的值域为，故④ 正确. 故答案为：① ② ④. 125．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知点在函数的图象上 （1）求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 【答案】（1） 由题设，，解得，故， 函数为奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数.     （2） 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 则，故， 则在区间上单调递减.     （3）      【分析】 （1）将点代入函数解析式即可求出，进而得到函数的解析式，再利用函数奇偶性的定义判断并证明即可； （2）根据函数的单调性的定义求证即可； （3）结合（1）（2）可得函数在区间上单调递减，进而求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知，在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 126．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 【答案】（1）0     （2）证明：由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数；     （3）      【分析】 （1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. (1) 小问详解： ∵， 令，则， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得， ， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 127．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知二次函数． （1）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； （3）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由一元二次不等式在实数集上能成立求参数范围； （2）由二次函数的性质求的区间单调性，进而求值域； （3）根据在区间单调性有，由已知问题化为，求参数范围. (1) 小问详解： 由题意，在上能成立， 所以，可得或； (2) 小问详解： 图象的开口向上，对称轴是， 故在上单调递减，而，， 所以的值域为； (3) 小问详解： 因为在区间上是减函数，所以， 因此任意的，总有， 而，只需即可， 所以，即，则，解得， 又，因此. 128．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】 ， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 129．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数的定义域为，如果，都有，那么称函数具有性质. （1）已知函数（），（）直接判断函数，是否具有性质； （2）对于函数（），证明：存在定义域为的函数，使得对任意成立； （3）对任意具有性质的函数，判断是否存在定义域为的函数，使得对任意成立，并说明理由. 【答案】（1）具有性质，不具有性质     （2） 设，，由二次方程的判别式， 解得或， 即，符合的定义域要求， 将用表示，因为， 所以。 定义，则对任意， 有，故存在这样的函数；     （3） 存在，理由如下: 设，，同理得， 对于任意在该范围内，方程的两根为， 由韦达定理得，即， 因具有性质，故， 即对于每个，所有满足的对应的值唯一确定， 因此，可定义为该唯一确定的值，使得对任意，有，且 的定义域为.      【分析】 （1）根据所给定义求出、即可判断； （2）设，，求出的范围，再将用表示，即可得到，从而得解； （3）设，，对于任意在该范围内，方程的两根为，由韦达定理得，结合所给定义即可得解. (1) 小问详解： 对于函数，， 则， 故具有性质； 对于函数，， 则， 故不具有性质； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 130．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）如图，函数的图象为折线，函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：    ①； ②函数在内有且仅有3个零点； ③； ④不等式的解集. 其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】① ④ 【分析】 根据奇函数的性质可判断①，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合在上的图象可得函数的零点判断②，根据周期及奇函数的性质结合在上的图象判断③，利用数形结合求出不等式的解集判断④ . 【详解】 因为函数是定义域为R的奇函数， 所以，故，即，故①正确； 又，所以，所以， 由图象可知，令，所以，令则，令则，故函数在内有共5个零点，故②错误； 因为，，， 由图象可知，，即，又， 所以，故③不正确； 由图象，利用待定系数法可知 ， 在同一坐标系下，作出，的图象如下，    由图易知，， 所以结合图象知不等式的解集，故④正确. 故答案为：① ④ 131．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有 ， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）；（3）． 【分析】 （1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】 （1）略 （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决. 132．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“—单调增函数”. 对于“—单调增函数”，有以下四个结论： ①“—单调增函数”一定在上单调递增； ②“—单调增函数”，一定是“—单调增函数”（其中，且）： ③函数是“—单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）； ④函数 是“—单调增函数”. 其中，所有正确结论的序号是　　　　　. 【答案】② ③ 【分析】 ① ④ 可以举出反例，② ③ 通过该新定义证明即可. 【详解】 ① 例如 ，定义域为，存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，① 错误； ② 因为是“—单调增函数”，所以存在实数，使得对于任意，都有， 因为，所以， 故一定是“—单调增函数”；② 正确； ③，定义域为，当时， 对于任意，都有，即成立， 所以函数是“—单调增函数”，③ 正确； ④ ， 定义域为，取，则，，， 即，与要求矛盾，故不存在这样的，④ 错误. 故答案为：② ③ 133．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数为定义域上的奇函数； 证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数；     （2） 当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数；     （3）      【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足 ，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 134．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）设函数，．已知点，，若的图象与线段有公共点，且对满足条件的每一个，总存在实数，使得不等式成立，则实数的最大值为　　　　　． 【答案】1 【分析】 设，则，由题意当时，，记所有的中，最小的为，则，先考察函数，，然后分别研究将向左（或向右）、向上平移，和将向左（或向右）、向下平移，求得，即可得解． 【详解】 由题意知，，设，则． “存在实数，使得不等式成立”的充要条件为“当时，． 因为对每个该结论都成立，所以随着，的变化（在符合条件的范围内）， 每一个函数都满足，记所有的中，最小的为， 则． 为了求出，先考察函数，的图象如答图15-20， 此时，，从而．    随着，的变化，的图象可由平移得到． 若将向左（或向右）、向上平移，得到的满足； 若将向左（或向右）、向下平移，因为，从而总有或，所以． 所以当，时，取得最小值，从而，即的最大值为1． 故答案为：1 135．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若，使函数在上，在上，，请直接写出实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）转化问题为对于恒成立，进而结合基本不等式求解即可； （3）转化问题为，使得函数在上，在上，进而结合二次函数的性质求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 由，则， 即，解得， 则不等式的解集为. (2) 小问详解： 由，则， 则，即对于恒成立， 而，当且仅当，即时等号成立， 则，即， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 由， 由题意，，使函数在上，在上，， 当时，，则恒成立， 当时，，则恒成立， 则，使得函数在上，在上， 而函数，开口向上，恒过定点， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 136．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是，求的值； （3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）应用指对数函数性质有，则，即可求值域； （2）由题设，令，，讨论结合二次函数性质列方程求参数； （3）令，根据已知将问题化为有两个大于1的不等实根，列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 当时，，而， 所以，故的值域是． (2) 小问详解： 因为函数的最大值是， 由对数函数的单调性质知的最大值为， 令，， 若，则为开口向上的二次函数，没有最大值，不满足题意； 由（1）知也不满足题意； 所以，此时，在处取得最大值， ，解得（舍去正值）．\ (3) 小问详解： 令，， 令，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以 ，即 ， 所以方程有两个不等正实根， 即有两个不等正实根， 即有两个大于1的不等实根， 所以 ，解得， 即实数的取值范围为． 【点睛】 关键点点睛：应用换元法，令，问题化为有两个大于1的不等实根为关键. 137．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）高斯取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 根据的取值范围，分别求出，的值，判断① ；作出函数与函数的图像，即可判断② ；对的取值分类讨论，即可判断③ ；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④ ． 【详解】 对于①：若，则，则，， 所以， 所以，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：① ② ④. 138．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数 给出下列四个命题： ① ； ②函数是偶函数； ③存在，，，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形； ④存在，，，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形. 其中，所有真命题的序号是　　　　　　. 【答案】② ④ 【分析】 由函数的定义判断① ，由函数的定义结合偶函数定义判断② ，由均为有理数或均为无理数得到，能组成三角形是的可能取值，然后由三角形是等腰直角三角形建立等式，验证等式是否成立即可判断③ ，找到四个特殊值点，然后证明这四个点能够组成菱形即可判断④ . 【详解】 ① 当时，，∴；当时，，∴；∴① 错误； ② 当时，，∴，当时，，∴，∴，，∴函数是偶函数，② 正确； ③ 当，，显然三点共线，不能组成三角，同理当时，，三点共线，不能组成三角； 所以只有可能是：两个有理数和一个无理数或者一个有理数和2个无理数. 当中有两个有理数和一个无理数时，不妨设，，， 即，，，即，，， 显然不可能为直角. 要想三角形是等腰直角三角形，则为直角，且， 因为线段轴，∴关于对称， 所以，因为等式左边为有理数右边为无理数，等式不成立， 所以三角形不是等腰直角三角形； 当中有一个有理数和两个无理数时，不妨设，，， 即，，，即，，， 显然不可能为直角， 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，其中，. 则需满足且.这等价于且.联立可得且。即且.由于是有理数，这要求也必须是有理数，与矛盾.故不存在这样的三角形; 综上所述，不存在，，，使得三角形是等腰直角三角形；③ 错误； ④ 设，，，，则，，，， 则，且， ∴四边形为菱形，④ 正确. 故答案为：② ④ . 139．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知函数，其中. （1）当时，求证是奇函数； （2）当时，求函数在区间上的最大值； （3）若，函数的图象恒在图象下方，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见详解.     （2）28     （3）      【分析】 （1）由奇函数的定义即可证明函数的奇偶性； （2）代入并化简函数解析式，由二次函数的对称轴得到函数在的单调区间，由单调性求得最大值； （3）令函数，得到，恒成立，然后讨论的取值，得到，借助二次函数的性质求得最小值，并令最小值恒大于0，求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，，函数定义域为, , 所以函数是奇函数； (2) 小问详解： 当时， ， ∵，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∵，， ∴函数在区间上的最大值为 (3) 小问详解： 令函数， 由题意可知，，恒成立， ① 当时，，即， 即函数是开口向下的二次函数，即令 ， ∴，此时无解； ② 当时，，即， 即函数是开口向上的二次函数， ∵，不满足题意，∴此时无解； ③时， ， ∵，∴在上单调递增， ∵，即，∴在上单调递减， ∴ ，即， ∴, 综上所述，. 140．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，． （1）设函数，求集合和； （2）求证：； （3）设函数，且，求证：． 【答案】（1）     （2） 当，则成立， 若，对任意的，，则，所以，， 因此，. 综上所述，.     （3） 因为，则关于的方程无实解， 即方程无实解，则， 构造函数， ① 当时，函数的图象恒在轴上方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即； ② 当时，函数的图象恒在轴下方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即. 综上所述，当时，.      【分析】 （1）当时，直接解方程、，可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取，由“稳定点”和“不动点”的定义证得，即可得出结论； （3）分、两种情况讨论，在第一种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出；在第二种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出.综合可证得结论成立. (1) 小问详解： 解：由，可得，即， 由，解得，即. 故当时，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：在证明第三问时，要注意分、两种情况分析，确定与之间的大小关系，进而可得出与的大小，从而证出结论成立. 141．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知定义在上的奇函数，当时，， （1）求函数的解析式： （2）若，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，求解即可. （2）由（1）求得解析式，判断函数的单调性，再由，转化为，求解即可. （3）根据题意，求出的取值范围，再由为一元二次方程分类讨论即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以， 令，所以，所以， 所以，即， 所以 . (2) 小问详解： 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 在时，函数连续， 所以函数在上单调递增， 由可得，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 因为对任意的，函数在上单调递增， 所以，所以， 设函数在上的值域为， 当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得； 当时，最小值为，需满足 ，此时无解； 当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得. 综上，的取值范围为. 142．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知 ，若且，都有，则实数的一个取值为　　　　　　　　；的最大值为　　　　　　　　. 【答案】① 1（答案不唯一）    ② 【分析】 根据一次函数，反比例函数及分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】 易知在上单调递减，且， 要符合题意结合一次函数与分段函数的性质，需 ，即， 所以实数的一个取值可以为1，最大值为. 故答案为：1；. 143．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）设函数 ，当时，的值域为　　　　　　；若的最小值为1，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】① ;    ② . 【分析】 当时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得与不符合题意；当时，,画出图象，设与在上的交点横坐标为，讨论可得时，的最小值为1，求出，解不等式即可求的取值范围. 【详解】 若，则 ， 当,单调递增，所以； 当,单调递减，所以. 故的值域为. 当时，的值域为，不符合题意； 当时，在上的最小值为，不符合题意； 当时，, 画出的图象，如图所示： 设与在上的交点横坐标为， 又， 当时，由图象可得无最小值； 当时，由图象可得有最小值， 由，可得， 故可得， 所以，即， 化简得,解得. 故答案为:;. 【点睛】 方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 144．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，请你写出一个使不等式成立的充分不必要条件　　　　　　　　　　　 【答案】（答案不唯一，只要是集合的真子集对应的范围即可）． 【分析】 先解不等式可得，从而可得，再利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】 因为，所以， 解得，所以， 记集合， 则使不等式成立的充分不必要条件应是集合的真子集对应的范围， 如， 故答案为：（答案不唯一，只要是集合的真子集对应的范围即可）． 145．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t，使得任意，都有，且，则称为M上的增长函数. （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求实数t的取值范围； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，直接写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】（1）函数是区间上的增长函数；函数不是区间上的增长函数.     （2）     （3）      【分析】 （1）利用给定定义推理判断或者反例判断而得. （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解 （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求 (1) 小问详解： 函数的定义域为，，，，所以是区间上的增长函数，取，，所以函数不是区间上的增长函数. (2) 小问详解： 根据题意，，，对于，，所以的范围为， 当时，此时对所有都成立，即：，所以， 当时，此时对所有都成立，即：，所以，综合，所以， 综上， 的取值范围是： (3) 小问详解： 根据题意， ，而，， 当时，，，故为上的增长函数，所以符合题意； 当时，可知函数与轴的交点，，如图，    而，，因为在区间上单调递减，则与不能同在区间上，所以，又因为当时，， 当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，当，可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 146．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）若一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”，若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”，下列结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　． ①是“圆的”，但不是“圆满的”；②是“圆的”，但不是“圆满的”； ③是“圆的”，但不是“圆满的”；④是“圆的”，但不是“圆满的”． 【答案】③ ④ 【分析】 根据已知的新函数定义，结合各结论中函数的图像和性质，逐一分析判断各结论的正确性． 【详解】 已知一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”， 若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”： 是直线，直线上任意4点不能共圆，不是“圆的”，故① 错误； 抛物线的图像关于轴对称，如下图所示，    上存在4个点共圆，是“圆的”， 又若该四个点同时满足且，即该4个点在以为直径的圆上，则这个函数是“圆满的”， 当时，四点在以为直径的圆上，该圆的方程为：， 是“圆的”，也是“圆满的”，故② 错误； 的图像关于轴对称，图像在拐点处互相垂直，如下图所示，    存在4个点共圆，即是“圆的”，但强制以为直径时，， 根据圆的性质，第3个交点即为点，此时与圆总共3个交点，不符合题意， 故不是“圆满的”， 是“圆的”，但不是“圆满的”，故③ 正确； 表示曲线在第一象限的一支，可以找到四点共圆，如下图所示，    是“圆的”，但强制以为直径定义圆时，交点只有两个，不满足四点共圆，故不是“圆满的”， 是“圆的”，但不是“圆满的”，故④ 正确， 正确结论的序号③ ④ ． 故答案为：③ ④ ． 147．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数. （1）判断函数是否为型函数？若是，给出一个常数，若不是，说明理由； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式. 【答案】（1）是，答案不唯一，只要满足；     （2） 设， 任取，则， 则， 则也是型函数.     （3），或，      【分析】 （1）根据定义型函数的定义求解； （2）根据定义型函数的定义求解； （3）先根据型函数的定义演绎推理求得K，再利用反证法和分类讨论求出函数的解析式. (1) 小问详解： 假设是型函数， 则任取，都有恒成立. 即，当时，， 当时， 综上所述，，所以答案不唯一，只要满足； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 假设且，因， 则， 由于，所以，所以， 所以 或 ， 当时，假设存在且， 若，则， 若，则， 均矛盾，故对任意，都有， 此时，的解析式为 同理，当时，的解析式为， 综上，的解析式为或. 148．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． （1）若函数是“类函数”，求实数的值； （2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； （3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 【答案】（1）     （2），.     （3）存在，使得函数.      【分析】 （1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组 即得解； （2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解； （3）求出，得到时，，即得解. (1) 小问详解： 由题得，对于任意实数x，都有， 即，所以， 即，所以 . 所以 (2) 小问详解： 由题得，对于任意实数x，都有， ，， 因为，所以，设，所以， 所以，， 所以，， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 同理，， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减； 由题得， 所以，. (3) 小问详解： 由题得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令得，， ， 所以，所以是周期函数. 所以，所以. 所以存在，使得函数. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）下列函数中，在定义域内单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 举反例说明函数，在定义域内不是单调递增函数，根据幂函数性质判断CD. 【详解】 对于A，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于B，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于C，由幂函数性质可知在其定义域上单调递增，C正确； 对于D，由幂函数性质可得在其定义域内不单调递增，D错误. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若，，，则它们的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 构造函数，并确定函数的单调性，利用单调性得到的大小关系. 【详解】 ∵函数在上单调递增，且， ∴， 即. 故选：D 3．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）下列函数中，值域为的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数单调性求值域判断A；利用二次函数性质求值域判断B；利用绝对值的含义求值域判断C；利用求值域判断D. 【详解】 对于A，因在上单调递增，故其值域为，不合题意； 对于B，，则其值域为，不合题意； 对于C，，则其值域为，不合题意； 对于D，因，则，即的值域为，符合题意. 故选：D 4．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）设函数的定义域为D，若对，，使得，则称函数具有性质T，给出下列四个结论： ①函数具有性质T； ②函数不具有性质T； ③函数具有性质T； ④若函数，具有性质T，则. 其中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 根据“性质”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案. 【详解】 ① ，函数的定义域为， 对，，要使，，且， 只需，由于，所以具有性质，① 正确. ②，对于函数，由于时，，所以不存在， 使，所以函数不具有性质，②正确. ③，对于函数，时，，而， 所以不存在，使，所以函数不具有性质，③错误. ④，若函数，具有性质， 则对于，，使， 即，，所以 ，则，所以④正确. 综上所述，正确的结论为① ② ④ . 故答案为：① ② ④ 5．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知幂函数的图像过点，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先将点代入幂函数的解析式，即可求解析式，再求值. 【详解】 设，则，则， 则，所以. 故答案为： 6．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知幂函数在上单调递增，则　　　　　. 【答案】8 【分析】 由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出. 【详解】 因为为幂函数， 所以，得， ，解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，所以， 所以，所以. 故答案为：8 7．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知幂函数的图象过点，则　　　　　　　　，　　　　　　　　. 【答案】①     ② 27 【分析】 用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值． 【详解】 设幂函数，由图象过点，有，解得， ∴；∴． 故答案为：；27． 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（     ） A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 17元 【答案】A 【分析】 设销售定价为元，根据题意求出销售量，月利润的表达式，利用二次函数即可求出. 【详解】 设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 2．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（     ） A. 550m3 B. 531.8m3 C. 505m3 D. 366.3m3 【答案】A 【分析】 设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】 设天然气使用量为，天然气费为元， 则 ， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：A 3．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（     ） A. 6小时 B. 7小时 C. 8小时 D. 9小时 【答案】C 【分析】 根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 【详解】 因为 ， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 （1）把商品的利润表示为生产量的函数； （2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】（1）     （2）5千件      【分析】 （1）利润=销售收入-生产成本，据此列出关系式即可； （2）当时，利用配凑法及均值不等式，即可求出最大值；当时，由一次函数的图象性质即可得到最大值，比较两个最大值即可得到结论. (1) 小问详解： 设商品的利润为（万元）， 依题意得 (2) 小问详解： 当时， ． 所以 ，      当且仅当，即时取等号， 所以，当时，有最大值（万元）． 当时，．    综上，当时，取得最大值（万元）．    因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值万元． 5．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元      【分析】 （1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. (1) 小问详解： 由题意， ， 即 ； (2) 小问详解： 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 6．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低     （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损      【分析】 （1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. (1) 小问详解： 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； (2) 小问详解： 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 7．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产x台该产品，需另投入成本万元，且 ，当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）     （2）30；800      【分析】 （1）先由时，求得，再由利润＝销售收入－成本求解； （2）时，利用二函数的性质求得其最大值；时，利用基本不等式求得其最大值，再从中取最大的求解. (1) 小问详解： 由题意得：时，，解得， 所以 ， 所以年利润关于年产量x（单位：台）的函数解析式为： ； (2) 小问详解： 当时，， 所以当时，； 当时， ， 。 当且仅当，即时，， 因为， 所以时，年利润最大，最大利润是800万元， 综上所述：当年产量为30台时，该公司所获年利润最大，最大年利润为800万元. 8．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于米），则菜地的面积最大值为　　　　　　　　平方米．（答案用表示） 【答案】 【分析】 首先设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米，求解面积并利用二次函数的基本性质求解矩形菜园面积的最大值. 【详解】 设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米， 由且，可得. 设矩形菜园的面积为，则. 当且仅当时，等号成立， 故矩形菜园面积的最大值为平方米. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．C 10．D 11．C 12．D 13．A 14．D 15．【答案】 【分析】 根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为，所以 ，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 16．【答案】 【分析】 此题考查函数的定义域，根据分母不为和被开方数大于等于即可得到结果. 【详解】 要使函数有意义，则 ，即且， 的定义域为. 故答案为：[-2,0) 17．【答案】 【分析】 根据函数表达式直接求定义域即可. 【详解】 由题意得， ，所以且， 即函数的定义域为. 故答案为： 18．【答案】 【分析】 根据函数有意义，得到不等式组，求解并正确表示即得. 【详解】 函数有意义，等价于 ， 解得且， 故该函数的定义域为：. 故答案为：. 19．【答案】 【详解】先根据函数的图象可判断出的值，再根据表格中函数的取值得出. 【详解】 由函数的图象可知，所以. 故答案为：. 【点睛】 本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题. 20．【答案】26 【分析】 根据分段函数的结构特点，代入求值即得. 【详解】 因 ，故 故答案为：26. 21．【答案】 【详解】 要使函数有意义， 则 ，解得且， 所以函数的定义域为. 22．【答案】 【分析】 根据函数的具体解析式进行求解定义域即可. 【详解】 要使函数有意义， 则且，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 根据函数有意义求解即可. 【详解】 由题意， ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 24．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】 由函数的定义域为，得，则， 即函数的定义域为，则由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 25．【答案】2 【分析】根据分段函数分类计算． 【详解】． 故答案为2． 【点睛】本题考查分段函数，属于基础题．对分段函数而言，一定要注意每一段中自变量的取值范围． 26．【答案】 【分析】 根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解之即可. 【详解】 对于函数，令 ，解得或且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 27．【答案】 【分析】 由函数的解析式有意义可得. 【详解】 要使函数有意义，则 ，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 28．【答案】 【分析】 根据函数有意义即可列出不等式求解 【详解】 依题意 ，解得且 的定义域为 故答案为： 29．【答案】 【详解】试题分析：因为 ，所以有三种情况．由x+2=1得，x=-1；由得，x=，只有x=1；由2x=1，得x=，不合题意．综上知，的值是． 考点：本题主要考查分段函数的概念，简单方程求解． 点评：简单题，解方程，需明确具体内容是什么，通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即得． 30．【答案】 【分析】 由函数有意义列出不等式组，求解即可 【详解】 由题意， ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 31．【答案】 【分析】 由根式、分式的性质求函数的定义域. 【详解】 由函数解析式知 或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 32．【答案】 【分析】 根据函数的解析式有意义，得到不等式组 ，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】 由函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 33．【答案】 【分析】 解一元二次不等式即可. 【详解】 ，即，得或， 故函数的定义域为. 故答案为： 34．【答案】（1）,,;     （2），;     （3）证明如下： 由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有.      【分析】 （1）利用题给 定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. (1) 小问详解： 集合， 则，， (2) 小问详解： 集合，，， (3) 小问详解： 略 35．【答案】① ③ ④ 【分析】 ① 先求证奇偶性，再求时的范围即可求出值域；② 举反例即可；③ 根据化简即可；④ 根据新定义逐一计算即可. 【详解】 ①，定义域关于原点对称，则为奇函数， 当时，， 因，则，，，则， 则时，， 又，故的值域是，① 正确； ② 因，若，有， ， 此时，故② 错误； ③ 任取且，则 若同号，则； 若，则，则， 若，则，所以 则， 故③ 正确； ④，， ，， 则，故④ 正确. 故答案为：① ③ ④ 36．【答案】①     ② 【详解】若，由二次函数的性质，可得， 的值域为，若值域为， 时， 且时， ，要使的值域为，则 ，得，实数的取值范围是，故答案为. 37．【答案】① 2    ② 【分析】 第一个问题通过图像找函数值计算即可；第二个问题通过的对应关系去解不等式即可. 【详解】 由图知：，所以； 由题知：函数的全部对应关系如表中所示， 所以时，或， 故不等式的解集为. 故答案为：2； 38．【答案】① ② ④ 【分析】 根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个说法逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】 对① ：当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数， 有， 若是有理数，则是有理数，当（、为正整数，为最简真分数）， 则（、为正整数，为最简真分数）， 此时， 综上，时，故① 正确； 对② ：若或或内的无理数， 此时，显然不成立， 当（、为正整数，为最简真分数）， 由，得到， 整理得到，又、为正整数，为最简真分数， 所以 或 均满足， 所以，关于的不等式的解集为，故② 正确； 对③ ：取，，则， 而，故③ 错误； 对④ ：若或，则，因为，所以不等式成立； 若且，当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时， ，，故， 当，时，，有， 当，时，，，有， 当为无理数，时，，有， 综上，故④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 39．【答案】（I）不属于集合，属于集合； （II）证明如下： 因为，不妨令，所以， 所以，显然关于的方程有解：，所以具有性质， 所以； （III）根据题意可知：二次函数不具备性质， 假设存在二次函数具备性质， 所以存在常数对于任意都有成立， 所以存在常数 使成立， 所以存在常数 使成立， 所以 ，解得，这与假设中矛盾， 所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质， 所以. 【分析】 （I）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合； （II）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明； （III）将问题转化为证明二次函数不具备性质，先假设二次函数具备性质，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明. 【详解】 （I）不属于集合，属于集合； （理由如下：设，若，则有，解得，不符题意，所以不具有性质，所以不属于集合； 设，若，则有，所以，所以具有性质，所以属于集合） （II）略 （III）略 【点睛】 关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质，再通过“反证”的思想完成证明. 考点02 函数的基本性质 1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8．B 9．C 10．A 11．B 12．B 13．C 14．A 15．AD 16．A 17．D 18．A 19．D 20．B 21．B 22．C 23．C 24．B 25．D 26．D 27．C 28．B 29．AB 30．C 31．B 32．B 33．C 34．D 35．C 36．B 37．D 38．D 39．D 40．C 41．B 42．B 43．D 44．B 45．D 46．C 47．C 48．A 49．D 50．C 51．B 52．D 53．C 54．A 55．A 56．A 57．D 58．A 59．B 60．B 61．A 62．D 63．D 64．C 65．D 66．C 67．C 68．A 69．D 70．A 71．B 72．A 73．D 74．A 75．B 76．C 77．D 78．D 79．【答案】 【分析】 由函数图象，结合偶函数的对称性求不等式解集即可. 【详解】 由图知：在上的解集为， 又是定义在上的偶函数，则在上的解集为， 所以不等式的解集为. 故答案为： 80．【答案】. 【分析】 分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】 由题意得： ，解得：， 故实数a的取值范围为. 故答案为：. 81．【答案】3，或. 【分析】 （1）根据分段函数的自变量范围代入求值即可. （2）结合分段函数分情况求解不等式即可. 【详解】 因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 83．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）为奇函数，当时，，则当时，，由可求出的表达式； （2）根据题意，由函数的解析式作出函数的简图，由此分析可得关于的不等式，解出可得取值范围． (1) 小问详解： 已知是定义在R上的奇函数，当时，， 当时，，则有， 所以 ； (2) 小问详解： 由（1）可得图象如图所示： 若在区间上单调递增， 则有，解可得， 故实数m的取值范围：． 84．【答案】 【分析】 方法一：先利用分母令 进行换元，将函数等价转化成函数，再利用均值不等式和函数单调性求出函数最值即可求值域； 方法二：利用导数判断函数的单调性即可求值域. 【详解】 方法一： 由， 令， ，则， 因为，当且仅当即时等号成立，所以， 由于在是单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则此时的最大值为， 所以函数的值域为， 即原函数的值域为； 方法二： 由，求导得， 令，在内解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而 所以的值域为， 故答案为：. 85．【答案】（1）奇函数，证明如下： 令得：， 令得：， 所以 是奇函数.     （2） 递减区间为；无增区间     （3） .      【分析】 (1)利用赋值可证明奇函数； (2)利用赋值也可证明单调性； (3)利用单调性可求最值，再解一元二次不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，则，由题意， 又由可得， 所以，则函数在上单调递减， 即函数的递减区间是； (3) 小问详解： 因为函数在上单调递减， 所以， 由不等式恒成立可得：， 解得. 86．【答案】① ② ④ 【分析】 根据函数具有性质，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论. 【详解】 由题知，若满足性质即：“，都存在，使得” 则的值域关于原点对称. 对于① ，函数，值域为关于原点对称，显然具有性质，故正确； 对于② ，因为所有的奇函数对应定义域内任意的都有， 则值域关于原点对称，显然具有性质，故正确； 对于③ ，设，，值域为，具有性质， ，，值域为，具有性质， ，，值域为，不具有性质，故错误； 对于④ ，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称. 又 ，时，的值域为， 则，解得，故正确. 故答案为:① ② ④ . 87．【答案】 【分析】 根据题意结合奇函数的定义求的解析式，并注意. 【详解】 因为为上的奇函数，则， 且当时，， 当时，， 可得， 所以 . 故答案为： . 88．【答案】 【分析】 不等式，即，结合函数图象即可得解. 【详解】 因为为上的增函数且、， 不等式，即，所以， 即的解集是. 故答案为： 89．【答案】2 【分析】 根据奇函数的性质求函数值即可. 【详解】 ，， 因为为奇函数，所以. 故答案为：2 90．【答案】 【分析】 A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围. 【详解】 由，显然当a＝0时有， 但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数， 不存在实数，使得函数为偶函数.所以① 正确，②错误； 且在处连续，当时， 易知：在上递增，递减，上递增，③正确； 由解析式，当时在上递增，递减，上递增， 又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点， 所以，又，可得，④正确. 故答案为：. 91．【答案】 【分析】 利用函数的对称性可得答案. 【详解】 由于  是奇函数，满足  对所有  成立， 设 ，则 ， 由已知条件，当  时，， 利用奇函数性质， ， 因此当  时，. 故答案为： 92．【答案】 【分析】 利用二次函数的单调性和对称轴的联系求解即可. 【详解】 函数的对称轴为， 在区间上是单调函数， 所以或者， 解得或者. 故答案为： 93．【答案】① ② ④ 【分析】 ① 先证其奇偶性，再分离常数结合单调性求在上的范围，结合奇偶性可得；② 根据在上的单调性以及奇偶性可得；③ 举反例；④ 求出在上的解析式即可. 【详解】 对于① ：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ， 因在内单调递减，则函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知当时，, 所以的值域是，故① 正确； 对于② ：因函数在内单调递增，且为奇函数，则 函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故② 正确； 对于③ ：当任意且时， 令，，，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④ ：当时，， 可得，，， 以此类推可得， 因此，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ 94．【答案】 【分析】 当时，由题意可得二次函数的对称轴，求出此时的最小值，当时，求出此时的最小值为，再根据的最小值为列不等式即可求出答案. 【详解】 当时，，二次函数对称轴为， 由的最小值为，得，此时的最小值为， 当时，，当且仅当时，等式成立， 此时在上的最小值为， 因为的最小值为，则 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 95．【答案】（1）     （2） 且， ， 因为，所以，，， 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数， 所以在区间上的最大值为.     （3）      【分析】 （1）由函数为奇函数得，代入即可求出，再结合求出，即可得到答案； （2）利用单调性的定义，任取且，通过作差、化简，证明即可，利用函数的单调性即可求出在区间上的最大值； （3）根据不等式恒成立将转化为，令，为一次函数，且即可满足题意，解不等式组即可得到答案. (1) 小问详解： 因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得， 又，则， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对所有的恒成立， 则，即， 令， 依题意，，恒成立， 则 ，解得或， 所以实数的取值范围为. 96．【答案】（1） 为奇函数，证明如下：由解析式知函数定义域为， 且，所以为奇函数，     （2） ，任取，且， 则 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增；     （3） 当时，不等式解集为，当时，不等式解集为.      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断证明； （2）设，作差法比较与的大小即可证明； （3）由指数函数的单调性，结合指数与对数的互化解不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，得，所以， 当时，可得，当时，可得， 综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 97．【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数.     （2） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）任取，，且，用作差法判断，的大小，即可证结论； （3）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增，又，， 所以不等式，即，即， 即，又恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 98．【答案】①     ② 【分析】 空一：结合指数函数单调性和二次函数的单调性分开求解单调性，即可得解； 空二：分和两种情况讨论函数单调性解答. 【详解】 当时， ， 当时函数单调递增， 当时函数， 所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数的单调减区间为； 因为函数 ， 当并且，所以函数在上单调递增，没有最小值； 当，要想函数有最小值则满足即. 故答案为：；. 99．【答案】（1）     （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，且，则 因为在上单调递增，且，所以， 又，所以， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数的定义可得的值； （2）利用单调性定义证明即可； （3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围. (1) 小问详解： 函数的定义域为， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以， 所以. (2) 小问详解： 函数在上单调递减. 证明略； (3) 小问详解： 因为为奇函数，所以， 由得 ， 即，                            由（2）可知,函数在上单调递减， 所以，                即，解得或， 所以的取值范围为. 100．【答案】 【分析】 利用奇函数性质并结合函数图象即可得到答案. 【详解】 由图象可知：当时，；；当时，； 因为是定义在上的奇函数，则， 且当时，；；当时，； 则若，则 故答案为；. 101．【答案】（1） 函数的图象，如图所示： 由图象可得，函数的递减区间为，.     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，画出函数的图象，结合图象写出单调递减区间； （2）设，则，求得，进而求得函数的解析式； （3）根据题意，转化为函数与的图象有4个不同的交点，结合图象，即可求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， 因为函数是上的上的偶函数，且当时，， 可得， 所以函数的解析式为 . (3) 小问详解： 解：关于的方程有且仅有4个不同的零点， 即方程有且仅有4个不同的实数根， 即函数与的图象有4个不同的交点， 结合图象知，当时，此时函数与的图象有4个不同的交点， 所以实数的取值范围为. 102．【答案】① 0（答案不唯一）    ② 1 【分析】 根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，   解得 . 【详解】 解：若时， ，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 103．【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 则， 所以函数为奇函数.     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以函数在上单调递减.     （3）函数在上单调递增      【分析】 （1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明即可； （2）（3）根据题意结合单调性的定义分析证明即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： (3) 小问详解： 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以函数在上单调递增. 104．【答案】①     ② 【分析】 第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解. 【详解】 第一空：当时， ， 当时，， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值为； 当时，函数为单调递减函数，其值域为， 综上，的值域是； 第二空：作出函数与的图象，如图， 因为的值域是， 当时，， 若，由图象可知可取得无穷小，不满足题意， 由第一空可知也不满足题意，则必有， 所以，得，则， 当时，，， 且当时，解得或， 即，，结合图象可知， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为：；. 105．【答案】（1），；     （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数．     （3）；      【分析】 （1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以 ，解得， 所以的取值范围是. 106．【答案】① 2（答案不唯一，均可）    ② 【分析】 分别分析和两部分，根据二次函数、对勾函数的性质，求得最小值，对比分析，化简计算，即可得答案. 【详解】 由题意， 当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以的最小值在处取得，且， 要使的最小值为， 需，解得； 当时，， 令，则，此时， 当且仅当，即时取等号 当时， ，所以在上单调递增， 所以的最小值为，满足题意； 当时， ，在单调递减，在上单调递增， 所以当 时，有最小值，不满足在x=1，即时取得最小值，故不符合题意. 综上的取值范围是. 故答案为：2（答案不唯一，均可）； 107．【答案】①     ② [0，] 【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解. 【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2， 当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号， 则函数的最小值为， （2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2， 若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件． 若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数， 则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2， 要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a， 即实数a的取值范围是[0，] 【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 108．【答案】①     ② 【分析】 根据分段函数解析式求函数值即可得第一空；根据题意求的解析式并作出图象，分析可知函数与有两个不同交点，结合图象即可得结果. 【详解】 因为 ， 则，所以‘ 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且，则； 则 ，作出函数的图象如下： 若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点， 结合图象可得，所以实数k的取值范围是. 故答案为：； 109．【答案】（1） 由题意知的定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数.     （2） 设任意， 因为，所以，所以，即 故函数在上单调递增     （3）当时，；当时，      【分析】 （1）直接根据函数的奇偶性定义可得； （2）直接用单调性的定义证明可得； （3）根据函数的单调性可得最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数在上单调递增， 故当时，， 故当时，. 110．【答案】（1）在上单调递增，证明见详解     （2）或      【分析】 （1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. (1) 小问详解： 在上单调递增，证明如下: 且，， ，，，， ，，在上单调递增. (2) 小问详解： 因为，，且在上单调递增， ， 解得或， 不等式的解集为或 111．【答案】①     ② 【分析】 分析：（1）分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象即可写出的单调增区间； （2）依题可知的值域为，因为时，，故时，的最小值小于等于即可. 【详解】 （1）若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， 此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为， ① 当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得：； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需，解得，结合得： 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为 故答案为：； 112．【答案】（1）函数为偶函数     （2）在上是单调递减的     （3）在上单调递增.      【分析】 （1）利用奇偶性的定义即可证明； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）利用偶函数的性质可得判断函数在上的单调性. (1) 小问详解： 函数为偶函数，理由如下： 由，得，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为偶函数； (2) 小问详解： 当时，， 设， ， 因为，所以且，从而，因此， 所以，即， 所以在上是单调递减的； (3) 小问详解： 因为是偶函数，偶函数在对称区间上的单调性相反， 由（2）可知在上的单调递减，所以在上单调递增. 113．【答案】①     ② 【分析】 对于空1：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，有最小值为0，然后按照和分类讨论求解即可； 对于空2：由一次函数单调性可知当时，无最小值，故当时，存在最小值，且最小值要小于等于，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】 对于空1：当时，单调递增，有，无最小值， 若的最小值为0，则当时，有最小值为0， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得，与矛盾，不符合题意； 当即时，在上单调递减， 所以，则，解得，满足，符合题意； 综上. 对于空2：当时，单调递增，有，无最小值， 若存在最小值，则当时，存在最小值，且最小值要小于等于， 开口向上，对称轴， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 当即时，在上单调递减， 所以，则，即，解得或， 又，所以； 综上或，即实数的取值范围是. 故答案为：0； 114．【答案】（1）     （2） 图象如下： WSD    函数的值域为，单调递增区间是，单调递减区间是、.     （3）      【分析】 （1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的值域、增区间和减区间； （3）分、两种情况讨论，结合图象可得出不等式的解集. (1) 小问详解： 因为 ，且，. 即 ，解得 ，故 . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，由可得，由图可得或， 当时，由可得，由图可得. 综上所述，不等式的解集为. 115．【答案】（1） 函数是奇函数； 证明：函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数.     （2） 函数在上是单调递增函数 证明：任取，且， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上是单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可得结论并进行证明； （2）根据函数单调性的定义即可进行判断和证明； （3）根据函数的奇偶性以及单调性可求出在上的最大值，结合不等式恒成立，即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为是奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值， 又因为对任意都有成立， 所以，即的取值范围为. 116．【答案】（1）；     （2） 当时，，且函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，，，， 故，即， 故函数在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）代入计算可得出的值； （2）判断出函数在上为增函数，然后、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）分析可知，函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. (1) 小问详解： 因为，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 因为，则，所以，则， 由（2）知，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，则有或，可得或， 可得或， 解不等式，即，解得或， 解不等式，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 117．【答案】（1）     （2） 函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以在单调递增；     （3）     （4）       【分析】 （1）由，解出即可求解； （2）结合函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）先证为奇函数，根据奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （4）由已知得，根据函数的单调性求，转化为，令，结合一次函数的性质进行求解即可. (1) 小问详解： 由题意有：，所以， 又，即， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，的定义域为，所以为奇函数， 由， 又在单调递增， 所以 ， 所以不等式的解集为； (4) 小问详解： 由不等式在恒成立，所以， 又在单调递增，所以， 所以，即对任意恒成立， 令， 所以 或或， 所以. 118．【答案】或 【分析】 求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】 函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 119．【答案】（1）     （2） 任取，则 ， 因为，则，， 所以，即， 因此函数在上是减函数.     （3）最大值为，最小值为      【分析】 （1）由奇函数的定义可得出的值，再由可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义可证得结论成立； （3）利用函数的单调性可得出函数在上的最大值和最小值. (1) 小问详解： 因为函数是定义在的奇函数， 则，即，解得，则， 又因为，可得，故， 此时满足，即函数为奇函数， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数在上是减函数， 故，， 因此函数在上的最大值为，最小值为. 120．【答案】（1），奇函数；     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且使， 而， ， 因为，所以，， 由已知得，所以，故， 故，即， 最后得到在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可. （2）先判断单调性，再利用定义法证明即可. （3）结合函数单调性奇偶性及定义域去，即可求解. (1) 小问详解： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数， 因为在处有定义，所以， 得到，解得，此时， 因为，所以，解得， 故的解析式， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 由函数的单调性及定义域可得： ， 解得：， 即不等式的解集为. 121．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）结合不等式恒成立，根据函数的最值定义即得； （2）分、、三种情况，结合一元二次函数性质可求. (1) 小问详解： 由题意可知，为函数的最小值， 又对称轴为，且开口朝上，则； (2) 小问详解： 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，在上单调递减，则； 综上， . 122．【答案】（1）     （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设且， ， 即， ，∴函数在区间上单调递增；     （3）      【分析】 （1）由奇函数的定义可求解； （2）利用单调性的定义可证明函数在区间上单调递增； （3）对任意的使得成立，可得，进而计算可得结论. (1) 小问详解： 函数是奇函数，定义域为． ，即，即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题可知：，定义域为， 因为对任意的使得成立， ， 令，由（2）知函数在上单调递增， 同理可得在递增，在递减，在递减， ，， ， . 123．【答案】（答案不唯一） 【分析】 结合运算“*”的定义可得，，考虑取特殊函数，验证其是否满足关系，由此可得结论. 【详解】 因为，所以， 所以， ， 设，则， ， 此时， 所以具有“交换结合”性质， 故答案为：（答案不唯一） 124．【答案】① ② ④ 【分析】 根据奇偶性以及定义，即可判断① 的正误；分离常数得即可判断③ ；求出其在上的值域再结合其奇偶性即可得到其完整值域，则可判断④ ，结合其奇偶性和单调性以及函数的连续性即可判断② . 【详解】 对于① ，因为，所以在R上为奇函数， 令，解得，则其零点为0，故① 正确； 对于③ ，当时，，因为恒成立，且为增函数， 则在上为增函数，故③ 错误； 对于② ，由③ 的分析和函数的连续性知在上为增函数， 因为为奇函数，则其在上也为增函数，且函数在上连续不间断， 所以函数在R上是增函数， 则，则一定有，故② 正确； 对于④ ，当时，， 因为，所以，， 所以，所以， 又为奇函数，所以当时，，且， 所以函数的值域为，故④ 正确. 故答案为：① ② ④. 125．【答案】（1） 由题设，，解得，故， 函数为奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数.     （2） 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，，， 则，故， 则在区间上单调递减.     （3）      【分析】 （1）将点代入函数解析式即可求出，进而得到函数的解析式，再利用函数奇偶性的定义判断并证明即可； （2）根据函数的单调性的定义求证即可； （3）结合（1）（2）可得函数在区间上单调递减，进而求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知，在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 126．【答案】（1）0     （2）证明：由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数；     （3）      【分析】 （1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. (1) 小问详解： ∵， 令，则， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得， ， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 127．【答案】（1）或；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）由一元二次不等式在实数集上能成立求参数范围； （2）由二次函数的性质求的区间单调性，进而求值域； （3）根据在区间单调性有，由已知问题化为，求参数范围. (1) 小问详解： 由题意，在上能成立， 所以，可得或； (2) 小问详解： 图象的开口向上，对称轴是， 故在上单调递减，而，， 所以的值域为； (3) 小问详解： 因为在区间上是减函数，所以， 因此任意的，总有， 而，只需即可， 所以，即，则，解得， 又，因此. 128．【答案】 【分析】 由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】 ， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 129．【答案】（1）具有性质，不具有性质     （2） 设，，由二次方程的判别式， 解得或， 即，符合的定义域要求， 将用表示，因为， 所以。 定义，则对任意， 有，故存在这样的函数；     （3） 存在，理由如下: 设，，同理得， 对于任意在该范围内，方程的两根为， 由韦达定理得，即， 因具有性质，故， 即对于每个，所有满足的对应的值唯一确定， 因此，可定义为该唯一确定的值，使得对任意，有，且 的定义域为.      【分析】 （1）根据所给定义求出、即可判断； （2）设，，求出的范围，再将用表示，即可得到，从而得解； （3）设，，对于任意在该范围内，方程的两根为，由韦达定理得，结合所给定义即可得解. (1) 小问详解： 对于函数，， 则， 故具有性质； 对于函数，， 则， 故不具有性质； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 130．【答案】① ④ 【分析】 根据奇函数的性质可判断①，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合在上的图象可得函数的零点判断②，根据周期及奇函数的性质结合在上的图象判断③，利用数形结合求出不等式的解集判断④ . 【详解】 因为函数是定义域为R的奇函数， 所以，故，即，故①正确； 又，所以，所以， 由图象可知，令，所以，令则，令则，故函数在内有共5个零点，故②错误； 因为，，， 由图象可知，，即，又， 所以，故③不正确； 由图象，利用待定系数法可知 ， 在同一坐标系下，作出，的图象如下，    由图易知，， 所以结合图象知不等式的解集，故④正确. 故答案为：① ④ 131．【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有 ， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）；（3）． 【分析】 （1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】 （1）略 （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决. 132．【答案】② ③ 【分析】 ① ④ 可以举出反例，② ③ 通过该新定义证明即可. 【详解】 ① 例如 ，定义域为，存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，① 错误； ② 因为是“—单调增函数”，所以存在实数，使得对于任意，都有， 因为，所以， 故一定是“—单调增函数”；② 正确； ③，定义域为，当时， 对于任意，都有，即成立， 所以函数是“—单调增函数”，③ 正确； ④ ， 定义域为，取，则，，， 即，与要求矛盾，故不存在这样的，④ 错误. 故答案为：② ③ 133．【答案】（1） 函数为定义域上的奇函数； 证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数；     （2） 当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数；     （3）      【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足 ，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 134．【答案】1 【分析】 设，则，由题意当时，，记所有的中，最小的为，则，先考察函数，，然后分别研究将向左（或向右）、向上平移，和将向左（或向右）、向下平移，求得，即可得解． 【详解】 由题意知，，设，则． “存在实数，使得不等式成立”的充要条件为“当时，． 因为对每个该结论都成立，所以随着，的变化（在符合条件的范围内）， 每一个函数都满足，记所有的中，最小的为， 则． 为了求出，先考察函数，的图象如答图15-20， 此时，，从而．    随着，的变化，的图象可由平移得到． 若将向左（或向右）、向上平移，得到的满足； 若将向左（或向右）、向下平移，因为，从而总有或，所以． 所以当，时，取得最小值，从而，即的最大值为1． 故答案为：1 135．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）转化问题为对于恒成立，进而结合基本不等式求解即可； （3）转化问题为，使得函数在上，在上，进而结合二次函数的性质求解即可. (1) 小问详解： 当时，， 由，则， 即，解得， 则不等式的解集为. (2) 小问详解： 由，则， 则，即对于恒成立， 而，当且仅当，即时等号成立， 则，即， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 由， 由题意，，使函数在上，在上，， 当时，，则恒成立， 当时，，则恒成立， 则，使得函数在上，在上， 而函数，开口向上，恒过定点， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 136．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）应用指对数函数性质有，则，即可求值域； （2）由题设，令，，讨论结合二次函数性质列方程求参数； （3）令，根据已知将问题化为有两个大于1的不等实根，列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 当时，，而， 所以，故的值域是． (2) 小问详解： 因为函数的最大值是， 由对数函数的单调性质知的最大值为， 令，， 若，则为开口向上的二次函数，没有最大值，不满足题意； 由（1）知也不满足题意； 所以，此时，在处取得最大值， ，解得（舍去正值）．\ (3) 小问详解： 令，， 令，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以 ，即 ， 所以方程有两个不等正实根， 即有两个不等正实根， 即有两个大于1的不等实根， 所以 ，解得， 即实数的取值范围为． 【点睛】 关键点点睛：应用换元法，令，问题化为有两个大于1的不等实根为关键. 137．【答案】① ② ④ 【分析】 根据的取值范围，分别求出，的值，判断① ；作出函数与函数的图像，即可判断② ；对的取值分类讨论，即可判断③ ；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④ ． 【详解】 对于①：若，则，则，， 所以， 所以，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：① ② ④. 138．【答案】② ④ 【分析】 由函数的定义判断① ，由函数的定义结合偶函数定义判断② ，由均为有理数或均为无理数得到，能组成三角形是的可能取值，然后由三角形是等腰直角三角形建立等式，验证等式是否成立即可判断③ ，找到四个特殊值点，然后证明这四个点能够组成菱形即可判断④ . 【详解】 ① 当时，，∴；当时，，∴；∴① 错误； ② 当时，，∴，当时，，∴，∴，，∴函数是偶函数，② 正确； ③ 当，，显然三点共线，不能组成三角，同理当时，，三点共线，不能组成三角； 所以只有可能是：两个有理数和一个无理数或者一个有理数和2个无理数. 当中有两个有理数和一个无理数时，不妨设，，， 即，，，即，，， 显然不可能为直角. 要想三角形是等腰直角三角形，则为直角，且， 因为线段轴，∴关于对称， 所以，因为等式左边为有理数右边为无理数，等式不成立， 所以三角形不是等腰直角三角形； 当中有一个有理数和两个无理数时，不妨设，，， 即，，，即，，， 显然不可能为直角， 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，其中，. 则需满足且.这等价于且.联立可得且。即且.由于是有理数，这要求也必须是有理数，与矛盾.故不存在这样的三角形; 综上所述，不存在，，，使得三角形是等腰直角三角形；③ 错误； ④ 设，，，，则，，，， 则，且， ∴四边形为菱形，④ 正确. 故答案为：② ④ . 139．【答案】（1）证明见详解.     （2）28     （3）      【分析】 （1）由奇函数的定义即可证明函数的奇偶性； （2）代入并化简函数解析式，由二次函数的对称轴得到函数在的单调区间，由单调性求得最大值； （3）令函数，得到，恒成立，然后讨论的取值，得到，借助二次函数的性质求得最小值，并令最小值恒大于0，求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，，函数定义域为, , 所以函数是奇函数； (2) 小问详解： 当时， ， ∵，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∵，， ∴函数在区间上的最大值为 (3) 小问详解： 令函数， 由题意可知，，恒成立， ① 当时，，即， 即函数是开口向下的二次函数，即令 ， ∴，此时无解； ② 当时，，即， 即函数是开口向上的二次函数， ∵，不满足题意，∴此时无解； ③时， ， ∵，∴在上单调递增， ∵，即，∴在上单调递减， ∴ ，即， ∴, 综上所述，. 140．【答案】（1）     （2） 当，则成立， 若，对任意的，，则，所以，， 因此，. 综上所述，.     （3） 因为，则关于的方程无实解， 即方程无实解，则， 构造函数， ① 当时，函数的图象恒在轴上方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即； ② 当时，函数的图象恒在轴下方， 即对任意的，则恒成立， 则，即恒成立，即. 综上所述，当时，.      【分析】 （1）当时，直接解方程、，可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取，由“稳定点”和“不动点”的定义证得，即可得出结论； （3）分、两种情况讨论，在第一种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出；在第二种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出.综合可证得结论成立. (1) 小问详解： 解：由，可得，即， 由，解得，即. 故当时，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：在证明第三问时，要注意分、两种情况分析，确定与之间的大小关系，进而可得出与的大小，从而证出结论成立. 141．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，求解即可. （2）由（1）求得解析式，判断函数的单调性，再由，转化为，求解即可. （3）根据题意，求出的取值范围，再由为一元二次方程分类讨论即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以， 令，所以，所以， 所以，即， 所以 . (2) 小问详解： 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 在时，函数连续， 所以函数在上单调递增， 由可得，解得， 所以实数的取值范围为. (3) 小问详解： 因为对任意的，函数在上单调递增， 所以，所以， 设函数在上的值域为， 当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得； 当时，最小值为，需满足 ，此时无解； 当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得. 综上，的取值范围为. 142．【答案】① 1（答案不唯一）    ② 【分析】 根据一次函数，反比例函数及分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】 易知在上单调递减，且， 要符合题意结合一次函数与分段函数的性质，需 ，即， 所以实数的一个取值可以为1，最大值为. 故答案为：1；. 143．【答案】① ;    ② . 【分析】 当时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得与不符合题意；当时，,画出图象，设与在上的交点横坐标为，讨论可得时，的最小值为1，求出，解不等式即可求的取值范围. 【详解】 若，则 ， 当,单调递增，所以； 当,单调递减，所以. 故的值域为. 当时，的值域为，不符合题意； 当时，在上的最小值为，不符合题意； 当时，, 画出的图象，如图所示： 设与在上的交点横坐标为， 又， 当时，由图象可得无最小值； 当时，由图象可得有最小值， 由，可得， 故可得， 所以，即， 化简得,解得. 故答案为:;. 【点睛】 方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 144．【答案】（答案不唯一，只要是集合的真子集对应的范围即可）． 【分析】 先解不等式可得，从而可得，再利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】 因为，所以， 解得，所以， 记集合， 则使不等式成立的充分不必要条件应是集合的真子集对应的范围， 如， 故答案为：（答案不唯一，只要是集合的真子集对应的范围即可）． 145．【答案】（1）函数是区间上的增长函数；函数不是区间上的增长函数.     （2）     （3）      【分析】 （1）利用给定定义推理判断或者反例判断而得. （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解 （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求 (1) 小问详解： 函数的定义域为，，，，所以是区间上的增长函数，取，，所以函数不是区间上的增长函数. (2) 小问详解： 根据题意，，，对于，，所以的范围为， 当时，此时对所有都成立，即：，所以， 当时，此时对所有都成立，即：，所以，综合，所以， 综上， 的取值范围是： (3) 小问详解： 根据题意， ，而，， 当时，，，故为上的增长函数，所以符合题意； 当时，可知函数与轴的交点，，如图，    而，，因为在区间上单调递减，则与不能同在区间上，所以，又因为当时，， 当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，当，可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 146．【答案】③ ④ 【分析】 根据已知的新函数定义，结合各结论中函数的图像和性质，逐一分析判断各结论的正确性． 【详解】 已知一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”， 若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”： 是直线，直线上任意4点不能共圆，不是“圆的”，故① 错误； 抛物线的图像关于轴对称，如下图所示，    上存在4个点共圆，是“圆的”， 又若该四个点同时满足且，即该4个点在以为直径的圆上，则这个函数是“圆满的”， 当时，四点在以为直径的圆上，该圆的方程为：， 是“圆的”，也是“圆满的”，故② 错误； 的图像关于轴对称，图像在拐点处互相垂直，如下图所示，    存在4个点共圆，即是“圆的”，但强制以为直径时，， 根据圆的性质，第3个交点即为点，此时与圆总共3个交点，不符合题意， 故不是“圆满的”， 是“圆的”，但不是“圆满的”，故③ 正确； 表示曲线在第一象限的一支，可以找到四点共圆，如下图所示，    是“圆的”，但强制以为直径定义圆时，交点只有两个，不满足四点共圆，故不是“圆满的”， 是“圆的”，但不是“圆满的”，故④ 正确， 正确结论的序号③ ④ ． 故答案为：③ ④ ． 147．【答案】（1）是，答案不唯一，只要满足；     （2） 设， 任取，则， 则， 则也是型函数.     （3），或，      【分析】 （1）根据定义型函数的定义求解； （2）根据定义型函数的定义求解； （3）先根据型函数的定义演绎推理求得K，再利用反证法和分类讨论求出函数的解析式. (1) 小问详解： 假设是型函数， 则任取，都有恒成立. 即，当时，， 当时， 综上所述，，所以答案不唯一，只要满足； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 假设且，因， 则， 由于，所以，所以， 所以 或 ， 当时，假设存在且， 若，则， 若，则， 均矛盾，故对任意，都有， 此时，的解析式为 同理，当时，的解析式为， 综上，的解析式为或. 148．【答案】（1）     （2），.     （3）存在，使得函数.      【分析】 （1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组 即得解； （2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解； （3）求出，得到时，，即得解. (1) 小问详解： 由题得，对于任意实数x，都有， 即，所以， 即，所以 . 所以 (2) 小问详解： 由题得，对于任意实数x，都有， ，， 因为，所以，设，所以， 所以，， 所以，， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 同理，， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减； 由题得， 所以，. (3) 小问详解： 由题得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令得，， ， 所以，所以是周期函数. 所以，所以. 所以存在，使得函数. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题. 考点03 幂函数 1．【答案】C 【分析】 举反例说明函数，在定义域内不是单调递增函数，根据幂函数性质判断CD. 【详解】 对于A，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于B，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于C，由幂函数性质可知在其定义域上单调递增，C正确； 对于D，由幂函数性质可得在其定义域内不单调递增，D错误. 故选：C. 2．D 3．D 4．① ② ④ 5．【答案】 【分析】 首先将点代入幂函数的解析式，即可求解析式，再求值. 【详解】 设，则，则， 则，所以. 故答案为： 6．【答案】8 【分析】 由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出. 【详解】 因为为幂函数， 所以，得， ，解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，所以， 所以，所以. 故答案为：8 7．【答案】①     ② 27 【分析】 用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值． 【详解】 设幂函数，由图象过点，有，解得， ∴；∴． 故答案为：；27． 考点04 函数的应用（一） 1．【答案】A 【分析】 设销售定价为元，根据题意求出销售量，月利润的表达式，利用二次函数即可求出. 【详解】 设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 2．A 3．C 4．（1）     （2）5千件      5．【答案】（1）     （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元      【分析】 （1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. (1) 小问详解： 由题意， ， 即 ； (2) 小问详解： 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 6．【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低     （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损      【分析】 （1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. (1) 小问详解： 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； (2) 小问详解： 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 7．【答案】（1）     （2）30；800      【分析】 （1）先由时，求得，再由利润＝销售收入－成本求解； （2）时，利用二函数的性质求得其最大值；时，利用基本不等式求得其最大值，再从中取最大的求解. (1) 小问详解： 由题意得：时，，解得， 所以 ， 所以年利润关于年产量x（单位：台）的函数解析式为： ； (2) 小问详解： 当时，， 所以当时，； 当时， ， 。 当且仅当，即时，， 因为， 所以时，年利润最大，最大利润是800万元， 综上所述：当年产量为30台时，该公司所获年利润最大，最大年利润为800万元. 8．【答案】 【分析】 首先设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米，求解面积并利用二次函数的基本性质求解矩形菜园面积的最大值. 【详解】 设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米， 由且，可得. 设矩形菜园的面积为，则. 当且仅当时，等号成立， 故矩形菜园面积的最大值为平方米. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $