专题02 第二章直线和圆的方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线和圆的方程”核心内容，系统梳理直线的倾斜角与斜率、平行垂直判定、五种方程形式与互化、过定点及截距问题、距离公式应用、对称问题六大题型，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 资料以题型为单元，每个题型包含知识点梳理、典例解析与变式训练，通过对比倾斜角与斜率的对应关系培养数学眼光，借助平行垂直判定强化逻辑推理的数学思维，结合对称问题训练几何关系的数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过真题变式查漏补缺，提升知识应用能力。

直线圆中寻径，细心推演，搭建解析模型 专题02 第二章 直线和圆的方程 题型精讲（讲义）(一) 考点预览 目录 题型01 直线的倾斜角与斜率 1 题型02 两条直线平行与垂直的判定 2 题型03 直线方程的五种形式与互化 4 题型04 直线过定点与截距条件下的求方程 6 题型05 三个距离公式的直接应用 8 题型06 对称问题：点关于点、点关于直线、直线关于直线 10 题型01 直线的倾斜角与斜率 1.斜率的坐标公式 如果直线存在斜率，且直线经过两点， 那么直线的斜率可以用坐标表示为： 2. 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)（x≠0），则k＝ 提示：α与k的对应要记牢：α＝0°时k＝0；0°＜α＜90°时k＞0，且α越大k越大；α＝90°时k不存在；90°＜α＜180°时k＜0，且α越大k越大。凡是题目里出现“直线的斜率”，先问一句“会不会竖直”， 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·开学考试）( 多选)给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【变式训练】1．（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 两条直线平行与垂直的判定 1.用斜截式写成y＝k₁x＋b₁与y＝k₂x＋b₂时，l₁∥l₂⇔k₁＝k₂且b₁≠b₂。斜率都不存在时两条直线都与x轴垂直，此时它们平行或重合；一条斜率为0、另一条斜率不存在时两条直线互相垂直。 2.已知直线（且）,则满足 简述为：两条直线平行的充要条件是与的系数交叉相乘积相等（或交叉相乘差为0） 简述为：两条直线垂直的充要条件是与的系数对应相乘和为0. 3.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C); 4.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0. 【典例2】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【变式训练】1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 2．（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·安徽宿州·期末）(多选)已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 7．（25-26高二上·山东滨州·期末）(多选)已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 题型03 直线方程的五种形式与互化 直线方程的五种形式 点斜式：经过点P₀(x₀，y₀)、斜率为k的直线的方程是y－y₀＝k(x－x₀)。 斜截式：y＝kx＋b，其中b是直线在y轴上的截距。 两点式：经过P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂）的直线的方程是＝。 截距式：＋＝1（a≠0，b≠0）。 一般式：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）. 由Ax＋By＋C＝0（B≠0）化斜截式：y＝－·x－，于是k＝－，纵截距为－ B＝0时方程化为x＝－，表示一条与y轴平行或重合的直线，此时没有斜率 点斜式是其余各式的基础；倾斜角为90°的直线只能写成x＝x₀. 【典例3】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）(多选)已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【变式训练】1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线l经过，两点，则（   ） A．直线l的一个点斜式为 B．直线l的一个两点式为 C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的一个方向向量为 2．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线经过点，倾斜角为，则（   ） A．的一般式方程为 B．的斜截式方程为 C．的点斜式方程为 D．的截距式方程为 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）(多选)下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 5．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）(多选)已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 6．（25-26高二上·湖北·期中）(多选)下列说法不正确的是（   ） A．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式 C．是直线与直线垂直的充要条件 D．是直线与直线平行的充要条件 7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知三角形ABC的三个顶点的坐标为､､. (1)求AB边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求过点C与AB边平行直线的一般式方程； 题型04 直线过定点与截距条件下的求方程 1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距；与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距。截距是一个坐标值，可以是正数、负数或零，它不是距离。　　 2.“含参数的直线恒过定点”就是把方程按参数分组后让两组系数同时为零；“截距”条件则要一并想到截距为零、直线过原点的那一种情形。 提示：“截距相等”“截距互为相反数”“截距之和为定值”这类条件都要先想一步：截距为零的情形是否被包含。 【典例4】（25-26高二上·江苏南京·期末）(多选)设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 【变式训练】1．（25-26高二上·河北承德·期中）(多选)下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线恒过定点 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．圆C：的圆心到直线的距离为2 2．（2026·陕西商洛·三模）(多选)下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 3．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 6．（25-26高二上·湖北随州·阶段检测）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； 7．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 题型05 三个距离公式的直接应用 1. 平面内两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)间的距离|P₁P₂|＝；特别地，原点O与点P(x，y)间的距离|OP|＝。 2. 点P₀(x₀，y₀)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝，当A＝0或B＝0时这个公式仍然成立。 线段P₁P₂的中点的横坐标是，纵坐标是 3.两条平行直线Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0间的距离d＝ 小提示：两点间的距离公式就是勾股定理的坐标表示。用两平行线间距离公式之前，必须先把两个方程中x，y的系数化成完全相同的一组，系数只成比例而不相等时直接相减必错。 【典例5】（2026高二·全国·专题练习）（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【变式训练】1．（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（河北武邑中学2026届高三下学期）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 题型06 对称问题：点关于点、点关于直线、直线关于直线 1.点关于点对称：点P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2x0－x1，2y0－y1）。 证明：设点（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为P'（x2，y2），则根据中点坐标公式，有，则：，可得对称点P'的坐标为（2x0－x1，2y0－y1）。 2.点关于直线对称：设点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P'（x2，y2）. 证明：点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'（x2，y2），连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得 ，解出（x2，y2）即可． 3.直线关于点对称 （1）在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； （2）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4.直线关于直线对称 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程。 若l1不平行于l2，则： 第一步：联立l1，l2算出交点（x0，y0）。 第二步：在l1上任找一点（非交点）B（x1，y1），利用点关于直线对称的方法算出对称点B'（x2，y2）. 第三步：利用两点式写出方程。 . 【典例6】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【变式训练】1．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 5．（24-25高二上·河北保定·阶段检测）(多选)若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $直线圆中寻径，细心推演，搭建解析模型 专题02 第二章 直线和圆的方程 题型精讲（讲义）(一) 考点预览 目录 题型01 直线的倾斜角与斜率 1 题型02 两条直线平行与垂直的判定 4 题型03 直线方程的五种形式与互化 8 题型04 直线过定点与截距条件下的求方程 13 题型05 三个距离公式的直接应用 20 题型06 对称问题：点关于点、点关于直线、直线关于直线 25 题型01 直线的倾斜角与斜率 1.斜率的坐标公式 如果直线存在斜率，且直线经过两点， 那么直线的斜率可以用坐标表示为： 2. 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)（x≠0），则k＝ 提示：α与k的对应要记牢：α＝0°时k＝0；0°＜α＜90°时k＞0，且α越大k越大；α＝90°时k不存在；90°＜α＜180°时k＜0，且α越大k越大。凡是题目里出现“直线的斜率”，先问一句“会不会竖直”， 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·开学考试）( 多选)给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 【变式训练】1．（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 4．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 6．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 题型02 两条直线平行与垂直的判定 1.用斜截式写成y＝k₁x＋b₁与y＝k₂x＋b₂时，l₁∥l₂⇔k₁＝k₂且b₁≠b₂。斜率都不存在时两条直线都与x轴垂直，此时它们平行或重合；一条斜率为0、另一条斜率不存在时两条直线互相垂直。 2.已知直线（且）,则满足 简述为：两条直线平行的充要条件是与的系数交叉相乘积相等（或交叉相乘差为0） 简述为：两条直线垂直的充要条件是与的系数对应相乘和为0. 3.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C); 4.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0. 【典例2】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 【变式训练】1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 2．（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【详解】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 6．（25-26高二上·安徽宿州·期末）(多选)已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 7．（25-26高二上·山东滨州·期末）(多选)已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 题型03 直线方程的五种形式与互化 直线方程的五种形式 点斜式：经过点P₀(x₀，y₀)、斜率为k的直线的方程是y－y₀＝k(x－x₀)。 斜截式：y＝kx＋b，其中b是直线在y轴上的截距。 两点式：经过P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂）的直线的方程是＝。 截距式：＋＝1（a≠0，b≠0）。 一般式：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）. 由Ax＋By＋C＝0（B≠0）化斜截式：y＝－·x－，于是k＝－，纵截距为－ B＝0时方程化为x＝－，表示一条与y轴平行或重合的直线，此时没有斜率 点斜式是其余各式的基础；倾斜角为90°的直线只能写成x＝x₀. 【典例3】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）(多选)已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 【变式训练】1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线l经过，两点，则（   ） A．直线l的一个点斜式为 B．直线l的一个两点式为 C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的一个方向向量为 【答案】A 【分析】由直线方程、斜率逐项判断即可. 【详解】因为直线l经过，两点，所以两点式为，故B错误； 由题意可得直线斜率，可知倾斜角为钝角，故C错； 一个方向向量为，可判断D错误； 所以点斜式方程为，A正确； 故选:A 2．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线经过点，倾斜角为，则（   ） A．的一般式方程为 B．的斜截式方程为 C．的点斜式方程为 D．的截距式方程为 【答案】B 【分析】先根据倾斜角求出直线斜率，从而利用点斜式方程求出直线方程，再利用直线方程互化判断其斜截式方程、一般式方程、截距式方程即可. 【详解】因为倾斜角为，所以斜率. 因为经过点，所以的点斜式方程为，一般式方程为， 斜截式方程为，截距式方程为. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）(多选)下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 5．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）(多选)已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 6．（25-26高二上·湖北·期中）(多选)下列说法不正确的是（   ） A．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式 C．是直线与直线垂直的充要条件 D．是直线与直线平行的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率、倾斜角、直线方程的不同形式以及两直线垂直和平行的条件等概念逐个分析选项，判断每个说法的正确性. 【详解】对于A选项，直线的斜率为时，倾斜角的范围是. 当不在这个区间时，不能直接说直线的倾斜角为. 例如时，，但直线倾斜角.所以A选项说法不正确.   对于B选项，不与坐标轴平行或重合的直线，它有两个不同的点. 两点式方程（且）适用于这种直线， 所以其方程一定可以写成两点式，B选项说法正确.   对于C选项，对于直线和， 若两直线垂直，则. 对于直线与直线， 由垂直条件可得，即，解得或. 所以是两直线垂直的充分不必要条件，C选项说法不正确.   对于D选项，若两直线平行，则. 对于直线与直线， 由平行条件可得. 由得，即，解得. 当时，，，， 不满足，所以两直线不平行. 所以不是两直线平行的充要条件，D选项说法不正确. 故选：ACD. 7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知三角形ABC的三个顶点的坐标为､､. (1)求AB边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求过点C与AB边平行直线的一般式方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）根据直线平行与斜率的关系即可得到所求直线的斜率，再写出点斜式方程，最后化简成一般式方程即可. 【详解】（1）三角形ABC的三个顶点的坐标为､､. 则的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为， 即一般式方程为：， 则截距式方程为． （2），则过点C与AB边平行直线方程为， 即. 题型04 直线过定点与截距条件下的求方程 1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距；与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距。截距是一个坐标值，可以是正数、负数或零，它不是距离。　　 2.“含参数的直线恒过定点”就是把方程按参数分组后让两组系数同时为零；“截距”条件则要一并想到截距为零、直线过原点的那一种情形。 提示：“截距相等”“截距互为相反数”“截距之和为定值”这类条件都要先想一步：截距为零的情形是否被包含。 【典例4】（25-26高二上·江苏南京·期末）(多选)设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 【变式训练】1．（25-26高二上·河北承德·期中）(多选)下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．直线恒过定点 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．圆C：的圆心到直线的距离为2 【答案】ABC 【分析】根据直线的倾斜角、直线恒过定点问题、直线方程的适用条件以及点到直线的距离公式，分别对各选项进行分析. 【详解】对于选项，直线可化为， 直线斜率为， 设直线倾斜角为，则，，故选项正确. 对于选项，直线，令，得， 恒过定点，故选项正确. 对于选项，过两点，的直线，当时，此时直线垂直轴，斜率不存在，也可用该式表示，故选项正确. 对于选项，圆C：可化为， 圆心坐标为，利用点到直线的距离公式可得，故选项不正确. 故选：. 2．（2026·陕西商洛·三模）(多选)下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 3．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【答案】(1)直线恒过定点 (2) 【分析】（1）把直线的方程化为即可求出恒过的定点； （2）设出点A的坐标，利用P是AB中点表示出点B的坐标，再根据A、B分别在直线上求出A点坐标，最后将A点坐标代入直线的方程求出m. 【详解】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 【答案】(1)证明：由直线可改写为， 联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立， 故直线恒过定点，得证. (2) (3) 【分析】（1）将直线写成，可求定点，即可证； （2）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程； （3）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程. 【详解】（1）略； （2）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离， 此时， 由，则，故，整理得. （3）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. 6．（25-26高二上·湖北随州·阶段检测）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线，变形得.解不等式组，可得定点的坐标； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出对应的m的取值范围，取其并集，可得到直线不经过第二象限时，m的取值范围. 【详解】（1）由，得. 当时，无论取何值，方程成立. 解得，即. 所以直线恒过定点. （2）由（1）可知，直线恒过定点. 当时，直线的斜率不存在， 此时直线方程为，不经过第二象限； 当时，直线的斜率存在，且与轴有交点. 因为直线不经过第二象限，所以该直线的纵截距小于或等于零. 令，则，即 . 所以 .解得. 综上所述：m的取值范围是. 7．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 题型05 三个距离公式的直接应用 1. 平面内两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)间的距离|P₁P₂|＝；特别地，原点O与点P(x，y)间的距离|OP|＝。 2. 点P₀(x₀，y₀)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝，当A＝0或B＝0时这个公式仍然成立。 线段P₁P₂的中点的横坐标是，纵坐标是 3.两条平行直线Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0间的距离d＝ 小提示：两点间的距离公式就是勾股定理的坐标表示。用两平行线间距离公式之前，必须先把两个方程中x，y的系数化成完全相同的一组，系数只成比例而不相等时直接相减必错。 【典例5】（2026高二·全国·专题练习）（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】（1）利用点在直线上设坐标，代入点到直线距离公式，解绝对值方程得两点坐标； （2）直接套用平行直线距离公式，去绝对值求出参数的值. 【详解】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 【变式训练】1．（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 2．（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 4．（河北武邑中学2026届高三下学期）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 若，故，即， 故直线与之间的距离. 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 题型06 对称问题：点关于点、点关于直线、直线关于直线 1.点关于点对称：点P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2x0－x1，2y0－y1）。 证明：设点（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为P'（x2，y2），则根据中点坐标公式，有，则：，可得对称点P'的坐标为（2x0－x1，2y0－y1）。 2.点关于直线对称：设点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P'（x2，y2）. 证明：点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'（x2，y2），连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得 ，解出（x2，y2）即可． 3.直线关于点对称 （1）在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； （2）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4.直线关于直线对称 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程。 若l1不平行于l2，则： 第一步：联立l1，l2算出交点（x0，y0）。 第二步：在l1上任找一点（非交点）B（x1，y1），利用点关于直线对称的方法算出对称点B'（x2，y2）. 第三步：利用两点式写出方程。 . 【典例6】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】解析  ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 【变式训练】1．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析  ，，则．故选B． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 【答案】A 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 5．（24-25高二上·河北保定·阶段检测）(多选)若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线，求得交点，根据在轴上的截距为2，分析即可得答案. （2）方法1：直线上任取一点，由题意可得，该点到两直线距离相等，代入距离公式，即可得答案；方法2：设出直线方程，在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上，求出B点坐标，代入方程，即可得答案. 【详解】（1）联立，可得交点， 因为直线过点，且在轴上的截距为2， 所以直线的方程为； （2）方法1：在直线上任取一点，因为直线，关于直线对称， 所以，即， 所以直线的方程为：或. 方法2：因为直线，关于直线对称，所以直线必过点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上， 所以，解得， 代入直线，得，解得或， 所以直线的方程为：或. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $