单元集训卷31　椭圆(基础)-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 椭圆基础单元卷，120分钟150分，适配一轮复习，覆盖椭圆定义、方程、离心率等核心知识，通过基础辨析、综合应用题，培养几何直观、推理运算能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|椭圆基本量、定义应用、焦点三角形|结合模拟题/期末题，如第9题辨析椭圆定义，强化概念理解| |填空题|3题15分|标准方程、焦点三角形坐标、椭圆与抛物线综合|注重运算能力，如第13题求第三象限焦点三角形顶点坐标| |解答题|5题77分|轨迹方程推导、直线与椭圆位置关系、定值证明|突出综合应用，如第18题两条垂直直线与椭圆相交的定值证明，考查推理与模型构建能力，贴合高考命题趋势|

单元集训卷31　椭圆(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．（25-26高三·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·三模）已知椭圆（）的离心率为e，点在C上，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（25-26高三·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于，B两点，且点在轴的上方，设为该椭圆的左焦点，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 10．（25-26高三·四川宜宾·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 11．（25-26高三·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设为椭圆的两个焦点，P为上一点且在第三象限，若，则点P的坐标为________． 14．（2026高三下·全国·专题练习）椭圆与抛物线有一个公共的焦点，点为椭圆与抛物线的一个交点，为坐标原点，若，则椭圆的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）(1)如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； (2)动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知椭圆：的离心率为且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 17．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知椭圆的右焦点为，是上动点， 是直线上的动点， 最大值为 ， 最小值为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)过点 作直线交椭圆于两点， 为原点，已知面积为，求直线的斜率. 18．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 19．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷31　椭圆(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 2．（25-26高三·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 3．（2026·湖北·三模）已知椭圆（）的离心率为e，点在C上，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将点坐标代入椭圆方程，根据的关系及离心率公式，整理化简，即可得答案. 【详解】由点在C上，得，则， 所以，则，所以，则. 4．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 5．（25-26高三·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 6．（25-26高三·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于，B两点，且点在轴的上方，设为该椭圆的左焦点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程与椭圆方程，求出点坐标，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】椭圆，化为标准形式为：，左焦点. 联立，整理得，解得或. 因为点在轴的上方，所以. 故. 8．（25-26高三·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东深圳·二模）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足 ， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确; 对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上. 其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确. 10．（25-26高三·四川宜宾·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆性质判断ABC；对于D：可知当点P为短轴顶点时，取到最大值，结合余弦定理分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的最小值为，故C正确； 对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值， 此时，，可得， 则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高三·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的离心率求出可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，由题知，解得，所以，所以的短轴长为，A正确； 对于BC，由A可知，， 设椭圆上一点，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得，故C错误， 由，则椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设为椭圆的两个焦点，P为上一点且在第三象限，若，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】由焦半径公式求得横坐标，代入椭圆方程可求得纵坐标. 【详解】椭圆，则，所以，， 由题意设，所以，， 即，，，所以． 14．（2026高三下·全国·专题练习）椭圆与抛物线有一个公共的焦点，点为椭圆与抛物线的一个交点，为坐标原点，若，则椭圆的离心率为_____． 【答案】/0.5 【分析】设，利用数量积的坐标表示结合抛物线方程求出点的坐标，再代入椭圆方程求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意，， 设，则， 由，解得，则 由点在椭圆上，得，即，即 则，整理得，因，解得， 所以椭圆的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）(1)如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； (2)动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】(1)连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 方程为. (2)设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹方程为：． 16．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知椭圆：的离心率为且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)与的等量关系为：． 依题意不过点,故设的方程为，与联立得， 且， 设，则，， ， 上式中分子为， 故，证毕. 【分析】（1）离心率和经过的点坐标，以及，求解； （2）设斜率为 1 的直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根和、两根积，将斜率和通分化简，整体代入韦达式子，化简得分子恒为 0，证出两斜率互为相反数. 【详解】（1）由题意得，解得， 故椭圆C的标准方程为． （2）略 17．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知椭圆的右焦点为，是上动点， 是直线上的动点， 最大值为 ， 最小值为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)过点 作直线交椭圆于两点， 为原点，已知面积为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆上点到右焦点的最大距离为、椭圆上点到直线的最小距离为，联立求解参数得椭圆标准方程； （2）设直线斜率并联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式列方程，验证判别式后得斜率值 【详解】（1）设椭圆半焦距为，则，右焦点为， 椭圆上任意点到右焦点的最大距离为，由题意得； 在直线上，的最小值为椭圆上点到直线的最小垂直距离，即，解得， 代入得， 因此，故椭圆的标准方程为 （2）设直线的斜率为，则直线方程为， 联立椭圆方程得 消去整理得， 直线与椭圆交于两点，故判别式，即， 设，由韦达定理得 ， 原点到直线的距离，弦长， 面积，两边平方得， 整理得，解得，满足，故. 18．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 【分析】（1）根据椭圆的定义得，结合离心率求出，再利用算出，即可得解； （2）分两类讨论：一是两直线一条水平一条竖直的特殊情形，直接求焦点弦长计算倒数和；二是两直线斜率均存在，设联立椭圆，用韦达和弦长公式求，利用垂直关系将替换为得到，化简倒数和消去参数证得定值，两种情形结果一致完成证明． 【详解】（1）由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． （2）略 19．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【答案】(1)椭圆方程为：，离心率：. (2)（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【分析】 (1) 利用椭圆定义和可求椭圆的标准方程，再利用离心率公式可求离心率. (2) （i）联立直线和椭圆方程利用韦达定理构建三角形的面积函数，再利用换元法和基本不等式可求面积最大值. （ii）通过代数式表示直线，再求出两点坐标，化简可得中点坐标. 【详解】（1） 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $