第二章 一元二次方程 单元练习卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，90分钟100分，覆盖定义、解法、根的判别式、实际应用等核心知识，通过基础到综合的梯度设计，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|基础概念辨析，如第4题根的判别式取值范围| |填空题|5/20|一般形式、根与系数关系|简洁考查核心技能，如第3题两根之积| |解答题|5/50|四种解法综合、面积/利润/动点应用|分层设计，如第4题利润问题（求售价与最大利润），第5题动点面积问题，体现模型意识与推理能力|

北师大版 九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元练习卷 考试时间：90分钟　满分：100分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2. 一元二次方程化为一般形式后，常数项是（ ） A．-2　　B．2　　C．5　　D．-5 3. 一元二次方程的解是（ ） A．x=0　　B．=0, =4　　C．x=4　　D．=0, =-4 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 5. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6. 若一元二次方程有一个根为，则另一个根及的值分别为（ ） A．4，8　　B．-4，-8　　C．-4，8　　D．4，-8 7. 已知是一元二次方程的两个根，下列结论正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 8. 某药店一月份售出口罩袋，第一季度共售出口罩袋，设二、三月份口罩销售量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A．　　 B．　　 C．　　D． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A．0　　B．1　　C．2　　D．-1 10. 已知直角三角形的两条直角边的和为，面积为，则斜边的长为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 将一元二次方程化为一般形式为__________。 2. 若关于的方程是一元二次方程，则__________。 3. 一元二次方程的两根之积为__________。 4. 已知两个连续偶数的积是，则这两个偶数中较大的数是__________。 5. 若一个矩形的长比宽多，面积为，则该矩形的周长为__________。 三、解答题（共5题，共50分） 1. 用指定方法解下列一元二次方程（每题4分，共16分） （1）（配方法） （2）（因式分解法） （3）（公式法） （4）（直接开平方法） 2. （8分）已知关于的一元二次方程。 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，且，求的值。 3. （8分）在一块长为m，宽为m的矩形空地上，修建同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向垂直），把空地分成六块，其余部分用来种植花草，要使种植花草的总面积为m2，求道路的宽为多少米？ 32m 20m 4. （9分）某商场将进价为元/件的某种商品以元/件出售，平均每天可售出件。调查发现，售价每上涨元，其销售量就减少件。 （1）若该商场要想获得元的销售利润，求该商品的售价应定为多少元？ （2）该商品售价定为多少元时，商场可获得最大利润？求出最大利润。 5. （9分）已知：在中，，，，点从点出发沿向点以的速度移动，同时点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点后，另一个点也停止移动。 （1）设运动时间为秒，当为何值时，cm2？ （2）是否存在某一时刻，使得平分的面积？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 1页 学科网（北京）股份有限公司 九年级数学上册第二章一元二次方程单元练习卷参考答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1. C　　2. A　　3. B　　4. C　　5. A 6. A　　7. C　　8. D　　9. B　　10. D 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 2.2 3.6 4.14 5.44 三、解答题（共50分） 1.（本题16分，每题4分） （1）配方法： 解：原方程移项得 二次项系数化为1得： 配方得： 整理得：（3分） 开方得： 解得：（4分） （2）因式分解法： 解：原方程因式分解得（2分） 可得： 解得：（4分） （3）公式法： 解：原方程整理得： 可得（1分） 计算判别式：（2分） 代入求根公式：（3分） 解得：（4分） （4）直接开平方法： 解：开方得：（2分） 分两种情况： 当时，解得 当时，解得（4分） 2.（本题8分） （1）证明：由方程得（1分） 计算判别式： （3分） 因此，方程总有两个不相等的实数根。（4分） （2）解：由根与系数的关系得： （5分） 因为，代入得： 整理得：（7分） 解得：（8分） 3.（本题8分） 解：设道路的宽为米，（1分） 根据题意，将道路平移后，种植花草区域可合并为一个新的矩形，其长为米，宽为米，（3分） 列方程得：（5分） 整理得： 因式分解得，解得（7分） 因为，不符合实际意义，舍去，因此。 答：道路的宽为1米。（8分） 4.（本题9分） （1）解：设商品售价上涨元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元，（1分） 根据题意列方程： （2分） 整理得： 解得 （4分） 当 时，售价为 元；当 时，售价为元。 答：商品售价应定为50元或80元。（5分） （2）解：设利润为元，则 （6分） 配方得：（8分） 因为，所以当时，取得最大值元，此时售价为元。 答：当售价定为65元时，商场获得最大利润，最大利润为12250元。（9分） 5.（本题9分） （1）解：由题意得，cm，cm，所以cm，（1分） 三角形面积： （2分） 令面积为cm2，得，整理得，（3分） 解得，且（点Q4秒到达终点），两个解均符合题意。（4分） 答：当t为2秒或4秒时，cm2。（5分） （2）解：不存在，理由如下： S△ABC=cm2，若PQ平分面积，则cm2，（6分） 可得方程：（7分） 计算判别式：，（8分） 方程无实数根，因此不存在这样的时刻t。（9分） $