第二章一元二次方程单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大九年级一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，结合生活情境与数学文化，适配单元复习，发展抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、根的判别式、韦达定理|基础巩固，如第1题考定义，第5题辨析根的情况| |填空题|5/15|根与系数关系、实际问题建模|文化情境，第13题用俗语建立遗忘率方程| |计算题|1/12|解方程|技能训练，直接考查解法规范性| |解答题|7/63|几何应用、利润问题、增长率问题|综合应用，22题“天府鹿溪草莓”销售利润问题，21题几何动点面积问题，发展模型意识与推理能力|

2026北师大九年级第二章一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列方程是一元二次方程的是() A.(x2+3)2=9 B.ax2+bx+c=0C.x2+3=0 D.x2+是=4 2.x=5土V54x3风1是下列哪个一元二次方程的根() 2×3 A.3x2+5x+1=0 B.3x2-5x+1=0C.3x2-5x-1=0D.3x2+5x-1=0 3.已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为() A.1 B.-2 C.-2或1 D.2 4.在探究关于x的二次三项式x2+12x-15的值时，小明计算了如下表的四组值： 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 则方程x2+12x-15=0的其中一个解满足的范围是() A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4D.无法确定 5.已知关于x的方程(2k2+k)x2-(3+4)x+2=0,下列说法中错误的是() A当k>忌时，方程有两个不相等的实数根 B当k一2时，方程有两个相等的实数根 C.当k<-2时，方程没有实数根 D.当k=0或k=-时，方程只有一个实数根 6.若方程x2-x-2=0的两个根是x1和x2,则xx2+x1x2的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 7.用因式分解法解方程9x2=(x-2)2时，因式分解结果正确的是() A.4(2x-1)(x-1)=0 B.4(2x+1)(x-1)=0 C.4(2x-1)(x+1)=0 D.4(2x+1)(x+1)=0 8.小影与小冬一起写作业，在解同一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小影在化简过程中写错了常数 项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 -2和-5，则原来的方程是() 第1页，共4页 A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0C.x2-5x+2=0D.x2-6x-10=0 9.已知等腰三角形的一边长为4，另外两边长是关于x的方程kx2一(k+8)x+8=0的两个根，则这个等 腰三角形的周长为() A.7 B.8 C.9 D.10 10.某种工艺品一件的进价为100元，标价130元出售，平均每天可售出100件.根据销售统计，每件工 艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件.某店为尽快减少库存，同时使平均每天获得的利润为3080 元，则每件需降价() A.2元 B.10元 C.8元 D.5元 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知关于x的一元二次方程（化-2）x2+x+k2-4=0的一个根为0，则k的值是 12.已知a和b是方程x2+2026x-6=0的两个根，则a2+2025a-b= 13.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”意思是技术在 学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分率是一样的，根据两天 不练丢一半，设每天“遗忘”的百分率为x,则可列方程为 14.若一个两位数比它的十位数字与个位数字之和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数 是 15.开学初，某兴趣小组为了相互勉励组员认真学习，每两位组员之间都互赠一件礼品，经统计一共有56 件礼品，则该兴趣小组有人. 三、计算题：本大题共1小题，共12分。 16.解下列方程： (1)2(x+3)2=x(x+3):(2)x2-2W5x+2=0:(3)x+1)2-3(x+1)+2=0. 四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题9分)已知关于x的一元二次方程x2-3x+k-1=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围 (2)设m是方程的一个实数根，且满足等式(m2-3m+3)(k+1)=2,求k的值。 第2页，共4页 18.(本小题9分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为 33m,墙对面有一个2m宽的门，围成的长方形鸡场除门之外四周不能有空隙， (1)若墙长为18m,要围成鸡场的面积为150m2,则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)能围成面积为200m2的鸡场吗？ 18m 2m 19.(本小题9分)某军舰以20km的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30km的速度由南向北航行，它 能侦察出周围50 n mile(包括50 n mile)范围内的目标.如图所示，当该军舰航行至A处时，电子侦察船正位 于A处正南方向的B处，且AB=90 n mile.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中 侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由 北 东 20.(本小题9分)社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD=52m, AB=28m,阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路.已知铺花砖的面积为 640m2. (1)道路的宽为多少米？ (2)该停车场共有车位50个，每个车位的月租金为200元，且可全部租出.据调查分析，若每个车位的月 租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为 10125元？ D 第3页，共4页 21.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,一动点P从点C出发沿着CB方向 以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边AC以2cm/s的速度运动，P,Q两点同时出发，运动时 间为t(s) (I)若△PCQ的面积是△ABC面积的牙求t的值. (2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 22.(本小题9分)2024年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草 莓、枇杷、葡萄等.其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特 点.某种植基地2025年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2026年增长到100亩。 (1)求2025年、2026年这两年的平均增长率 (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克；售价每降价2元，每天可多售 出60千克，已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减 少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 23.(本小题9分)阅读材料： 材料1：如果一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根x1,,那么x1十名=-名x1x= 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值。 解：m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根， .m+n=1,mn=-1。 ∴.m2n+mn2=mm(m+n)）=-1×1=-1。 根据上述材料，结合你所学的知识，解决下列问题： (1)应用：若一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=一，x1x2=: (2)类比：己知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,求+的值； m (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,求s2+t2的值 第4页，共4页 2026北师大九年级第二章一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.是下列哪个一元二次方程的根(    ) A. B. C. D. 3.已知是方程的一个根，则代数式的值为(    ) A. B. C. 或 D. 4.在探究关于的二次三项式的值时，小明计算了如下表的四组值： 则方程的其中一个解满足的范围是(    ) A. B. C. D. 无法确定 5.已知关于的方程，下列说法中错误的是(    ) A. 当时，方程有两个不相等的实数根 B. 当时，方程有两个相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 当或时，方程只有一个实数根 6.若方程的两个根是和，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.用因式分解法解方程时，因式分解结果正确的是(    ) A. B. C. D. 8.小影与小冬一起写作业，在解同一道一元二次方程二次项系数为时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是(    ) A. B. C. D. 9.已知等腰三角形的一边长为，另外两边长是关于的方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 10.某种工艺品一件的进价为元，标价元出售，平均每天可售出件．根据销售统计，每件工艺品每降价元出售，则每天可多售出件．某店为尽快减少库存，同时使平均每天获得的利润为元，则每件需降价(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值是_______ 12.已知和是方程的两个根，则          ． 13.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”意思是技术在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分率是一样的，根据两天不练丢一半，设每天“遗忘”的百分率为，则可列方程为_______________________． 14.若一个两位数比它的十位数字与个位数字之和的平方少，且个位数字比十位数字大，则这个两位数是________ 15.开学初，某兴趣小组为了相互勉励组员认真学习，每两位组员之间都互赠一件礼品，经统计一共有件礼品，则该兴趣小组有          人． 三、计算题：本大题共1小题，共12分。 16.解下列方程： ；；． 四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围． 设是方程的一个实数根，且满足等式，求的值． 18.本小题分如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为，墙对面有一个宽的门，围成的长方形鸡场除门之外四周不能有空隙． 若墙长为，要围成鸡场的面积为，则鸡场的长和宽各为多少米？ 能围成面积为的鸡场吗？ 19.本小题分某军舰以的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以的速度由南向北航行，它能侦察出周围包括范围内的目标如图所示，当该军舰航行至处时，电子侦察船正位于处正南方向的处，且如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由． 20.本小题分社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． 道路的宽为多少米？ 该停车场共有车位个，每个车位的月租金为元，且可全部租出．据调查分析，若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 21.本小题分如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为． 若的面积是面积的，求的值． 的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． 22.本小题分年月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地年开始种植“天府鹿溪草莓”亩，到年增长到亩． 求年、年这两年的平均增长率． 市场调查发现，当草莓的售价为元千克时，每天能售出千克；售价每降价元，每天可多售出千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是元千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利元，则售价应降低多少元？ 23.本小题分阅读材料： 材料如果一元二次方程有两个实数根，，那么，。 材料已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值。 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，。 。 根据上述材料，结合你所学的知识，解决下列问题： 应用：若一元二次方程的两个实数根为，，则          ，           类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值 提升：已知实数，满足，求的值 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】【小题】 解：，； 【小题】 解：； 【小题】 解：，．   17.【答案】【小题】 解：根据题意，得，解得． 【小题】 是方程的一个实数根，，即把代入等式，得，整理，得解得，．，．   18.【答案】【小题】 解：设鸡场垂直于墙的一边的长为 依题意，得  ，  解得，  当时，  ， ， 不符合题意，舍去；  当时，  ，符合题意．  答：鸡场的宽为，长为． 【小题】 设鸡场垂直于墙的一边的长为 依题意，得  ，  整理得．   ， 方程没有实数根．  答：不能围成面积为的鸡场．   19.【答案】解：能假设后侦察船可侦察到这艘军舰， 根据题意，得． 整理，得． 因为， 所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰． 解得，． 因为，所以侦察船可侦察到军舰，最早在后可侦察到．   20.【答案】【小题】 解：根据题意，得． 整理，得，解得舍去，． 答：道路的宽为． 【小题】 设月租金上涨元．根据题意，得． 整理，得， 解得． 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．   21.【答案】【小题】 解：，，， 整理得， 解得． 答：当时的面积为面积的； 【小题】 当时，， 整理得，， 此方程没有实数根， 的面积不可能是面积的一半．   22.【答案】【小题】 解：设年、年这两年的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：年、年这两年的平均增长率为； 【小题】 设售价应降低元，则每千克的销售利润为元，每天可售出 千克， 根据题意得： ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：售价应降低元． 23.【答案】【小题】   【小题】 一元二次方程的两个实数根为，，且，，， ，， 。 【小题】 实数，满足， 实数，是一元二次方程的两个实数根， ，， 。   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $