2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，通过类比直线与圆的几何法和代数法导入，引导学生迁移探究圆锥曲线的相交、相切、相离判定，构建知识支架。 其亮点是以代数联立消元为核心通法，结合几何特征分析，典例涵盖弦长计算、中点弦问题等，如例1用判别式求椭圆交点和弦长，例8用点差法解决中点弦轨迹，培养数学思维和模型观念，帮助学生掌握解题逻辑，为教师提供系统教学资源。

第二章 平面解析几何 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的三种位置关系：相交、相切、相离，能够区分不同圆锥曲线位置关系的几何特征与公共点个数差异。 熟练掌握坐标代数法判定直线与圆锥曲线位置关系的通用方法：联立直线与圆锥曲线方程，消元得到一元二次（或一次）方程，通过判别式Δ的符号判断位置关系。 掌握弦长公式、中点弦问题的基础求解方法，能解决简单的参数取值、交点个数、弦长计算问题，厘清双曲线、抛物线判定中的特殊情况。 感受几何图形与代数方程的内在联系，体会解析几何统一、简洁的数学美感，激发数学探究兴趣。 在类比推理、运算求解、纠错反思中，培养严谨求实的数学思维品质，提升自主探究与归纳总结的学习能力。 同学们，在之前的学习中，我们已经掌握了直线与圆的位置关系判定方法，大家回忆一下，我们是怎么判断一条直线和圆是相交、相切还是相离的？ 类比直线与圆位置关系 没错，我们有两种方法：一是几何法，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系判断；二是代数法，联立直线与圆的方程，根据方程组解的个数判定位置关系。 圆是特殊的圆锥曲线，而我们近期学习的椭圆、双曲线、抛物线是三类核心的圆锥曲线。大家自然会思考：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，是否可以用同样的思路判定？ 我们通过直观画图可以发现，直线和圆锥曲线同样存在穿过曲线、贴合曲线、与曲线无交点三种状态，也就是相交、相切、相离。但不同于圆的统一判定规则，双曲线、抛物线存在特殊情况，比如直线与双曲线交于一点时，不一定是相切，可能是与渐近线平行的相交；直线与抛物线交于一点，也可能是平行于对称轴的相交。 类比直线与圆位置关系 今天这节课，我们就类比直线与圆的位置关系，探究通用的直线与圆锥曲线位置关系判定方法，攻克不同圆锥曲线的特殊情形，掌握解析几何中核心的联立求解、数形结合解题方法。 目标一：直线与圆锥曲线的位置关系 原理 知识讲解 互动探究 新课引入 （1）从几何角度看，位置关系有三种：相离、相交和相切。相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线只有一个公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线的公共点可能有一个（直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线的对称轴平行或重合时）或两个。 （2）从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断。设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0，圆锥曲线的方程为 F(x,y)=0。联立方程 消元，如消去 y，得 a+bx+c=0。 6 分类讨论 知识讲解 互动探究 新课引入 ①若 a=0， a. 当圆锥曲线是双曲线时，若 b 0，则方程有唯一实数解，直线与双曲线有唯一交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若 b=0，则方程无实数解，直线与双曲线没有交点（相离），此时直线为双曲线的一条渐近线。 b. 当圆锥曲线是抛物线时，方程必有唯一实数解，则直线与抛物线有唯一交点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合。 ②若 ，。 a. 当 >0 时，直线和圆锥曲线有两个不同的公共点； b. 当 =0 时，直线和圆锥曲线有一个公共点； c. 当<0 时，直线和圆锥曲线没有公共点。 7 图表示意 知识讲解 互动探究 新课引入 位置关系 椭圆 双曲线 抛物线 判别式 相交于不同的两点 相交于一点 — — 相切 相离 8 相切 知识讲解 互动探究 新课引入 (2)直线与圆锥曲线相切：一般地，给定直线 l 与圆锥曲线 C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切. (3)直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件. 9 判断公共点个数 例1 判断直线 与椭圆 是否有公共点. 如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 典例分析 牛刀小试 解： 联立直线与椭圆的方程，可得方程组 ，解方程组可得 或 ，因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为 . 从而可知所求线段长为 . 判断公共点个数 例1 判断直线 与双曲线 是否有公共点. 如果有，求出公共点的坐标. 典例分析 牛刀小试 解： 联立直线与双曲线的方程，可得方程组 ，消去 ，可得 ，由此可解得 . 此时，. 因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为 . 根据公共点个数求参 例2 已知直线 与椭圆 ，分别求直线 与椭圆 有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时 的取值范围. 典例分析 牛刀小试 解： 联立直线 的方程与椭圆 的方程得方程组 ，消去 ，整理得 ①，因为 ① 的判别式为 ，所以： 当 即 时，方程 ① 有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线 与椭圆 有两个公共点； 根据公共点个数求参 例2 已知直线 与椭圆 ，分别求直线 与椭圆 有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时 的取值范围. 典例分析 牛刀小试 解： 当 即 时，方程 ① 有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线 与椭圆 有且只有一个公共点； 当 即 或 时，方程 ① 无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线 与椭圆 没有公共点. 根据公共点个数求参 例3 已知点 和抛物线 ，求过点 且与抛物线 相切的直线 的方程. 典例分析 牛刀小试 解： 当直线 的斜率不存在时，由直线 过点 可知，直线 就是 轴，其方程为 . 由 ，消去未知数 得 . 这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线 与抛物线 相切.. 根据公共点个数求参 例3 已知点 和抛物线 ，求过点 且与抛物线 相切的直线 的方程. 典例分析 牛刀小试 如果直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 . 由方程组 ，消去 ，整理得 . 为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有 且 ，因此可解得 . 此时直线 的方程为 ，即 . 综上可知，直线 的方程为 或 . 根据公共点个数求参 例4 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则 的取值范围是（ ）。 B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解 由 得 。设直线与双曲线的右支交于不同的两点 ，则 解得 。 目标二：圆锥曲线的弦及弦长 弦的知识 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长。简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段。 圆锥曲线的弦长 若直线 的斜率为 ，与圆锥曲线 交于 两点，则求弦长 的常用方法有： （1）交点法：联立直线 与圆锥曲线 的方程，求出两交点 的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长，即 。 （2）弦长公式法：若直线 的斜率 存在，则 或 ； 若直线 的斜率不存在，则 。 18 弦的知识 知识讲解 互动探究 新课引入 利用弦长公式求圆锥曲线的弦长体现了“设而不求”的思想，即不直接求出弦的端点的坐标，而是根据根与系数的关系得到 或 的值，再整体代入弦长公式求值，这种方法与交点法相比，运算量小，值得提倡，尤其是对于某些含参数的弦长问题，更能体现其方法上的优越性。 19 弦长及相关问题 例5 已知一顶点在坐标原点，焦点在 𝑥 轴上的抛物线，被直线 2𝑥−𝑦−4=0 所截得的弦长为 3，求抛物线的方程。 典例分析 牛刀小试 解 设出抛物线方程，利用弦长公式列出方程，求出参数的值即可。 答 依题意，设抛物线的方程为 ，将 代入整理，得 ，则 ， 或 。 设此方程的两根为 ，则 ，。 弦长及相关问题 例5 已知一顶点在坐标原点，焦点在 𝑥 轴上的抛物线，被直线 2𝑥−𝑦−4=0 所截得的弦长为 3，求抛物线的方程。 典例分析 牛刀小试 又抛物线被直线所截得的弦长为 ，则 ，整理得 ，解得 或 。 故所求抛物线的方程为 或 。 弦长及相关问题 例6 已知直线 与抛物线 相交于 两点，且 为坐标原点。 （1）求弦长 ； （2）判断 是否成立，并说明理由。 典例分析 牛刀小试 解：（1）设 ，则 因为 都是直线 上的点，所以 ，第二式减去第一式可得 ，从而 。又因为从方程组 中消去 ，整理可得 ，而且 是该方程的两个根，因此由韦达定理可知 ，所以 ，因此 ，从而可知 。 弦长及相关问题 例6 已知直线 与抛物线 相交于 两点，且 为坐标原点。 （1）求弦长 ； （2）判断 是否成立，并说明理由。 典例分析 牛刀小试 （2）设 ，则 ， 因此 ，将 代入上式可得 。又因为由（1）可知 ，所以 ，所以 不成立。 弦长及相关问题 例7 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 。 (1)求椭圆的方程； (2)若直线 与椭圆交于 两点，与以 为直径的圆交于 两点，且满足 ，求直线 的方程。 典例分析 牛刀小试 (1)由题设知 解得 ， 椭圆的方程为 。 弦长及相关问题 例7 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 。 (1)求椭圆的方程； (2)若直线 与椭圆交于 两点，与以 为直径的圆交于 两点，且满足 ，求直线 的方程。 典例分析 牛刀小试 (2)由题设知以 为直径的圆的方程为 ， 圆心到直线 的距离 ， 由 得 .(*) 。 设 ， 由 得 ， 由根与系数的关系可得 。 。 由 得 ， 解得 ，满足(*)。 直线 的方程为 或 。 目标三 ： 圆锥曲线中的中点弦问题 通识 知识讲解 互动探究 新课引入 中点弦 直线与圆锥曲线相交于两点 ，则称线段 AB 为弦，与这条弦的中点有关的问题是一类综合性很强的问题，被称为中点弦问题。 中点弦问题的解法 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： （1）根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。 （2）点差法：若直线 与圆锥曲线 有两个交点 和 ，则设出交点坐标 ，代入曲线方程，通过作差，构造出 ，从而建立中点坐标和斜率（注意先确定斜率是否存在）的关系。下面以椭圆为例来说明点差法的操作步骤（双曲线与抛物线也用类似的方法）。 ①代入：将 两点的坐标代入椭圆方程 ，即 。 ②相减：两式相减得 。 ③整理：。 其中 为弦 的中点坐标。 27 通识 知识讲解 互动探究 新课引入 弦的中点与斜率的关系 （1）已知 𝐴𝐵 是椭圆 =1 (𝑎>𝑏>0) 的一条弦，中点 𝑀 的坐标为 ()，则 𝐴𝐵 的斜率为 上边已给出推导过程） （2）运用类比的方法可以推出：已知 𝐴𝐵 是双曲线 =1 的弦，中点 则 =； 已知 𝐴𝐵 是抛物线 =2𝑝𝑥 (𝑝>0) 的弦，中点 𝑀()，则 =。 28 通识 知识讲解 互动探究 新课引入 中点轨迹问题 有关弦的中点轨迹问题，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上，结合中点坐标公式，寻找中点和端点的坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用技巧。 29 中点弦有关问题 例8 已知椭圆 。 （1）求斜率为 2 的所有平行弦的中点的轨迹方程； （2）过点 的直线 与椭圆相交，求被 截得的弦的中点的轨迹方程； （3）求过点 且被 点平分的弦所在直线的方程。 典例分析 牛刀小试 答 设弦的两端点为 ，中点为 ，则有 。 两式作差，得 。因为 ，若斜率存在，则 。 ① （1）设弦中点为 ，由①式，得 ，所以 。故所求的轨迹方程为 。 （2）不妨设 交椭圆于点 ，弦中点为 。由题意及①式，得 。又因为 ，所以 。整理，得 中点弦有关问题 例8 已知椭圆 。 （1）求斜率为 2 的所有平行弦的中点的轨迹方程； （2）过点 的直线 与椭圆相交，求被 截得的弦的中点的轨迹方程； （3）求过点 且被 点平分的弦所在直线的方程。 典例分析 牛刀小试 ，此即所求的轨迹方程。 （3）由题意易知弦所在直线斜率存在。由①式，得弦所在的直线的斜率 ，所以其方程为 ，即 。 在求中点弦的轨迹时，要注意由于中点一定在曲线内部（含有焦点的一侧），因此只能是轨迹方程表示的曲线在圆锥曲线内部的那部分而不是全部。若是轨迹方程，则必须确定出变量的取值范围。如本例（2）中只规定 x,y 之一的范围是不够的。 中点弦有关问题 例9 已知椭圆 ，过点 作一条弦，使弦在该点被平分，求此弦所在直线的方程。 典例分析 牛刀小试 解法一： 如图，易知所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 ， 代入椭圆方程并整理，得 ，() 又设直线与椭圆的交点为 ， 则 是()方程的两个根， 。 为弦 的中点， 。 解得 ， 所求直线的方程为 。 中点弦有关问题 例9 已知椭圆 ，过点 作一条弦，使弦在该点被平分，求此弦所在直线的方程。 典例分析 牛刀小试 解法二： 设直线与椭圆的交点为 ， 为弦 的中点， 。 又 在椭圆上，。 两式相减，得 ， 即 。 ，即 。 所求直线的方程为 ， 即 。 中点弦有关问题 例9 已知椭圆 ，过点 作一条弦，使弦在该点被平分，求此弦所在直线的方程。 典例分析 牛刀小试 解法三： 设所求直线与椭圆的一交点为 ，另一交点为 ， 在椭圆上， ， ① 。② 由①②得 ，则 在直线 上，而过 的直线只有一条， 所求直线的方程为 。 目标四 ：圆锥曲线中的对称问题 通识 知识讲解 互动探究 新课引入 对称问题 对称问题包括点对称和轴对称两种题型。其中点对称问题利用中点坐标公式和代入法即可解决。解决轴对称问题的一般思路为：若 A,B 两点关于对称轴对称，则直线 AB 与对称轴垂直，且线段 AB 的中点在对称轴上，即对称轴是线段 AB 的垂直平分线。解决对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系。 36 通识 知识讲解 互动探究 新课引入 利用点在圆锥曲线内部解决对称点问题 （1）按常规约定，含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么易得点 在椭圆 内部的充要条件是 （若把不等号改为相反的方向，则为点 在椭圆外部的充要条件）。 若点 在抛物线 内部，则有 等。应用上述结论，可使许多问题的解答显得简捷、巧妙。 （2）这类题型的常规解法是“判别式”法。如果曲线上存在两点关于直线 对称，那么这两点的直线方程设为 ，代入曲线方程，消去变量 （或 ）得到一个关于 （或 ）的一元二次方程。利用中点在直线 上和方程有两个根（即其“判别式大于零”）使问题得以解决。 37 对称有关问题 例10 若抛物线 上恒有关于直线 对称的相异两点 ，则 的取值范围是______。 典例分析 牛刀小试 【解】 设抛物线上的两点为 ，直线 的方程为 ，代入抛物线方程 ，得 。设直线 的中点为 ，则 。 因为 在直线 上，故 ，由此解得 ，此时 可变形为 ，由 ，解得 。 对称有关问题 例11 已知抛物线 上存在两个不同的点 关于直线 对称，求 的取值范围。 典例分析 牛刀小试 解法一： 由题意可知 ， 设 是抛物线上关于直线 对称的两点，则 的方程可设为 ， 代入 得 ，且 。① 又 ， 的中点的横坐标为 ， 纵坐标为 。 点 在直线 上， ，。② 把②代入①得 ， ，即 ， 或 。 对称有关问题 例11 已知抛物线 上存在两个不同的点 关于直线 对称，求 的取值范围。 典例分析 牛刀小试 解法二： 设点 关于直线 对称，则 ， ，即 。 又 的中点在 上， 。 又中点必在抛物线的内部， ，即 。 ，即 或 。 目标五 ：针对训练 举一反三 直线 被椭圆 所截得弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 设直线与椭圆的交点为 ，它们的中点为 ， 则 ，两式相减得到 ，故 即 ， 又 ，故 所以中点坐标为 。 举一反三 2. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与 交于 两点，若 面积是 面积的 2 倍，则 （ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 由已知得 ，， 点 到直线 的距离为点 到直线 的距离的 2 倍，即 ， 解得 或 ，经检验，当 时，直线 与椭圆 没有交点，故 。 举一反三 3. 经过椭圆 的一个焦点作倾斜角为 的直线 ，交椭圆于 两点.设 为坐标原点，则 （ ） A. B. C. 或 D. 答案： B 解析： 由 ，得 ，则焦点坐标为 。 不妨设直线 过右焦点.因为倾斜角为 ，所以直线 的方程为 .将其代入 ，得 ，即 .设交点 则 ，故 ， 所以 。 举一反三 4. 过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程为______. 答案： 解析： 设直线与椭圆的交点为 .因为 为 的中点，所以 .又 两点在椭圆上，所以 ，两式相减得 ，所以 ，即 ，故所求直线方程为 ，即 。 举一反三 5. 已知直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则实数 的取值为______. 答案： 解析： 因为双曲线的方程为 ，所以渐近线方程为 ；由 ，消去 整理得 .当 即 时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；当 即 时，由 ，无实数解，综上所述：符合题意的 取值为 。 举一反三 6. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 的横坐标为 3，且点 到焦点 的距离为 5. （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线交抛物线 于点 ，求 面积的最小值（其中 为坐标原点）. 答案： （1）；（2）8 解析： （1）由题意知 ，准线方程为 .由抛物线定义可知点 到焦点 的距离即为点 到准线的距离，所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 。 举一反三 6. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 的横坐标为 3，且点 到焦点 的距离为 5. （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线交抛物线 于点 ，求 面积的最小值（其中 为坐标原点）. （2）由（1）知，抛物线 ，直线 过点 ，可设直线 的方程为 ，，不妨设 ，联立 消 得 ， 所以 ，则 ，所以 当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 8。 目标六：小结 学海拾贝 1. 核心知识梳理 本节课我们重点学习了直线与圆锥曲线的三种位置关系：相交（两个公共点）、相切（一个公共点，切线）、相离（无公共点），掌握了适用于所有圆锥曲线的代数判定通法：联立直线与圆锥曲线方程→消元化为一元方程→根据解的个数/判别式Δ判断位置关系。 2. 通用解题方法 核心思想：数形结合、以数解形，将几何位置问题完全转化为代数方程问题求解。 基础结论：对于联立后一元二次方程，Δ＞0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ＜0⇔相离；若消元后为一次方程，直线与圆锥曲线仅有一个交点，属于特殊相交，并非相切。 基础应用：掌握弦长公式、中点弦问题的基础求解思路，能够解决交点个数、参数范围、弦长计算等基础题型。 学海拾贝 3. 重点易错提醒 （1）双曲线：直线与双曲线有一个交点，分两种情况，Δ=0为相切，直线平行于渐近线为相交，不可混淆； （2）抛物线：直线平行于抛物线对称轴时，仅有一个交点，属于相交，不是相切； （3）解题必须检验：联立方程后需保证曲线存在、直线与曲线定义域匹配，避免出现增根、无效解。 学海拾贝 4. 课堂升华 本节课的代数联立方法是解析几何的核心通用方法，后续圆锥曲线综合大题的弦长、面积、最值、定点定值问题，都以此为基础，希望同学们熟练掌握解题流程，规范运算步骤，规避易错点，建立完整的圆锥曲线解题体系。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $