阶段质量评价 椭圆、双曲线、抛物线-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及综合应用，通过基础题到综合题的梯度设计，串联定义理解、方程求解、几何关系分析等核心内容，帮助学生构建完整的圆锥曲线知识网络。 其亮点在于注重“数学思维”与“数学语言”的培养，如通过定义法推导轨迹方程（数学眼光），用韦达定理解决焦点弦问题（数学思维），以向量表达几何关系（数学语言）。分层设计的题型让不同水平学生巩固提升，教师可精准把握学情，提升复习效率。

阶段质量评价 椭圆、双曲线、抛物线 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.焦点坐标为(-1，0)的抛物线的标准方程是(　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.x2=-4y D.y2=-4x √ 16 17 18 19 解析：焦点坐标为(-1，0)，则抛物线开口向左，焦点在x轴上，故抛物线的标准方程是y2=-4x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若双曲线C：-=1的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x √ 16 17 18 19 解析：由题意可知9+m=⇒m=7，即C：-=1， 令-=0⇒y=±x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则离心率e=(　　) A. B. C. D. √ 16 17 18 19 解析：因为椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=2×2b，则a=2b，所以e====. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，点A(x0，2)在抛物线C上，且F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|OF|，则p= (　　) A. B.1 C. D.2 √ 16 17 18 19 解析：因为点A(x0，2)在抛物线上，|AF|=3|OF|，所以x0+=，所以x0=p，所以A(p，2)，所以4=2p2，解得p=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在 (　　) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 √ 16 17 18 19 解析：由x2+y2-8x+12=0，得(x-4)2+y2=4，画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图所示，设圆P的半径为r， ∵圆P与圆O和圆M都外切，∴|PM|=r+2，|PO|=r+1，则|PM|-|PO|=1<4， ∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 16 17 18 19 解析：法一　联立得-=1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 法二　由-=0，得3x±4y=0，所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线， 因此交点个数为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=120°，|PF1|=4|PF2|，则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. √ 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图所示，根据题意可设|PF2|=m，|PF1|=4m，m>0，易知|F1F2|=2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2=== -，可得c2=m2，即c=m.由双曲线定义 可知|PF1|-|PF2|=3m=2a，即a=.所以离心 率e==. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知椭圆E：+=1上，过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若=2，则直线l的斜率k的值为(　　) A. B.± C. D.± √ 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由椭圆方程可得F1(-1，0)，设直线l的方程为x=my-1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得(3m2+4)y2-6my-9=0，则y1+y2=，y1y2=，由=2得(-1-x1，-y1)=2(x2+1，y2)，则-y1=2y2，代入上式得y2=，-2=，解得m2=，则m=±，则直线的斜率为±，又点A位于x轴上方，所以斜率为. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.直线y=x-2与抛物线C：y2=2x相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A.抛物线C的准线方程为y=- B.拋物线C的焦点为 C.若O为原点，则∠AOB=90° D.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+1 √ 16 17 18 19 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由C：y2=2x，则其焦点为F，准线方程为x=-，A错误，B正确；联立直线与拋物线方程得y2-2y-4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=2，y1y2=-4，而x1x2==4，由·=x1x2+y1y2=0，即⊥，故C正确；显然直线y=x-2不过焦 点F，由拋物线定义有|AF|=x1+，|BF|=x2+， 所以|AF|+|BF|=x1+x2+1>|AB|，D错误. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦点与抛物线x2=4y的焦点之间的距离为2，且C的离心率为，则下列说法正确的有(　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的标准方程为x2-=1 C.C的顶点到渐近线的距离为 D.曲线y=-1经过C的一个焦点 √ 16 17 18 19 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设抛物线x2=4y的焦点为F(0，1)，双曲线C的一个焦点坐标为F1(c，0)(c>0)，由题意可知|FF1|=2，所以有=2⇒c=或c= -(舍去)，又因为C的离心率为，所以e==⇒a=1⇒b= ==.因为a=1，b= ，所以C的渐近线方程为y=±x，故A正确； 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为a=1，b=，所以C的标准方程为x2-=1，故B正确；设C的一个顶点坐标为(1，0)，它到渐近线x-y=0的距离为=，根据双曲线和渐近线的对称性可知，C的顶点到渐近线的距离为，故C不正确；当x=-时，y=-1=0，而(-，0)恰好是双曲线的一个焦点，故D正确. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是(　　) A.△PF1F2的周长为2+4 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.若A(1，0)，则|PA|的最小值为-1 D.的最小值为- √ 16 17 18 19 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由椭圆方程+y2=1可知，a=，b=1，c=2，所以△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2+4，故A正确；因为点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以0<|y0|≤1，所以△PF1F2的面积=|F1F2||y0|=2|y0|≤2，当|y0|=1，即y0=±1时，此时点P位于短轴端点，△PF1F2的面积最大，最大为2，故B正确；由A(1，0)，点P(x0，y0)，且+=1， 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为|PA|===，当x0=时，|PA|取最小值，且最小值为，故C错误；的几何意义为P(x0，y0)与点M(-4，0)两点连线的斜率，设为k，由得(1+5k2)x2+40k2x+80k2-5=0，Δ=-4(5k2+1)·(80k2-5)=20(1-11k2)≥0， 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得-≤k≤，如图，当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时， kmin=-，所以的最小值为-，故D正确. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知双曲线的两条渐近线方程为x±y=0，并且经过点A(，1)，则该双曲线的标准方程是　　　　　　　　　.  16 17 18 19 解析：依题意可设双曲线方程为mx2-ny2=1，m，n>0.由渐近线方程为x±y=0可得n=2m，将点A(，1)代入可得6m-n=1，解得m=，n=，所以双曲线标准方程为-=1. -=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，-4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是_____________.  16 17 18 19 解析：因为|BC|=8，所以|AB|+|AC|=12>8，则顶点A的轨迹是椭圆，其中2a=12，a=6，c=4，b2=20，则顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0). +=1(x≠0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(5分)设a>b>0，椭圆+=1的离心率为e1，双曲线-=1的离心率为e2，若e1e2<1，则的取值范围是________________.  16 17 18 19 解析：记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1，c2，由题意知=a2-b2，=b2+a2-2b2=a2-b2，则椭圆与双曲线共焦点，设c1=c2=c，则e1=，e2=，∴e1e2=，∵e1e2<1，∴==-<1.设=t>0，则t-<1，解得0<t<，即0<<，又∵a2-2b2>0，且a>b>0，∴>，故的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)，点A1，A2是双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线C上. (1)若|A1A2|=4b，点P(2，-1)，求双曲线C的方程；(5分) 16 17 18 19 解：由题意有解得所以双曲线C的方程为-y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当P异于点A1，A2时，直线PA1与PA2的斜率之积为2，求双曲线C的渐近线方程.(8分) 16 17 18 19 解：设点P(x0，y0)，则-=1，即=，又A1(-a，0)，A2(a，0)， 则有·=·===2，所以=，所以渐近线方程为y=±x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(15分)双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求C的方程；(5分) 16 17 18 19 解：令-=0⇒y=±x，所以=1， 又由题意可知双曲线的焦点(c，0)到渐近线的距离d==1⇒c2=2=a2+b2⇒a2=b2=1， 所以双曲线的标准方程为x2-y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在直线l，经过点M(1，4)且与双曲线C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由.(10分) 16 17 18 19 解：假设存在，由题意知，该直线的斜率存在， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k， 则x1+x2=2，y1+y2=8， 又有-=1，-=1， 两式相减得--+=0，即(y1+y2)·(y1-y2)=(x1+x2)(x1-x2)， 即=1，所以4k=1，解得k=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以直线l的方程为y-4=(x-1)，即x-4y+15=0，联立得(4y-15)2-y2-1=15y2-120y+224=0⇒Δ=1202-60×224=60×(240-224)>0， 即直线l：x-4y+15=0与双曲线C有两个交点，满足条件，所以存在直线l，其方程为x-4y+15=0. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 17.(15分)(2024·北京高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率；(3分) 16 17 18 19 解：由题意b=c==，从而a==2， 所以椭圆方程为+=1，离心率为e=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若直线BD的斜率为0，求t的值.(12分) 16 17 18 19 解：直线AB的斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， 从而设AB：y=kx+t(k≠0，t>)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化简并整理得 (1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0， 所以Δ=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2)>0， 即4k2+2-t2>0，所以x1+x2=，x1x2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若直线BD的斜率为0， 由椭圆的对称性可知D(-x2，y2)， 所以直线AD的方程为y=(x-x1)+y1，在直线AD方程中令x=0， 得yC====+t==1， 解得t=2.所以t的值为2. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 18.(17分)已知点P与点F(2，0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；(7分) 16 17 18 19 解：∵点P与点F(2，0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2， ∴点P与点F(2，0)的距离和点P到直线x+2=0的距离相等， 由抛物线定义知，点P的轨迹是以F(2，0)为焦点，x+2=0为准线的抛物线， 即曲线C的方程为y2=8x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且OA⊥OB.求证直线l过定点，并求出该定点的坐标.(10分) 16 17 18 19 解：证明：设l：x=ty+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2-8ty-8m=0，则Δ=64t2+32m>0，即m>-2t2. ∴y1y2=-8m，x1x2==m2， ∵OA⊥OB，∴·=x1x2+y1y2=m2-8m=m(m-8)=0. ∵m≠0，∴m=8，即l：x=ty+8. 当y=0时，x=8，∴l恒过定点(8，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 19.(17分)(2024·天津高考)已知椭圆+=1(a>b>0)，椭圆的离心率e=，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC=. (1)求椭圆的方程；(5分) 16 17 18 19 解：因为e==，所以a=2c，b==c. 由题知A(-a，0)，B(0，-b)，C， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以S△ABC=|BC||OA|=××a=××2c=，解得c=. 所以a=2，b=3. 故椭圆的方程为+=1. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0?若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.(12分) 16 17 18 19 解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t). 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，-3)， 则·=(0，3-t)·(0，-3-t)=t2-9≤0，解得-3≤t≤3. 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx-， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由可得(3+4k2)x2-12kx-27=0， 所以Δ=144k2+4×27(3+4k2)>0，x1+x2=，x1x2=-. 因为·=(x1，y1-t)·(x2，y2-t)=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+ =(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+ =--+= 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =≤0，所以4k2t2-36k2+3t2+9t-≤0对k∈R恒成立， 则有解得-3≤t≤.综上可得，-3≤t≤，即在y轴上存在点T使得·≤0，且点T纵坐标的取值范围是. 16 17 18 19 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $