2.1 生活中的变量关系 课时作业 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 同步练，高中数学新授课，覆盖变量与常量、函数关系、变量关系表示（解析式/列表/图象）。分层设计基础与应用两层，从概念识别到实际情境分析，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|变量识别、函数关系判断、解析式建立|选择填空夯实概念，解答题强化建模（如话费套餐）| |提升层|图象分析、表格数据处理|结合气温变化、行程问题等生活情境，表格数据培养数据意识|

北师大版 高中数学 必修第一册 · 课时作业 第二章 函数　§1 生活中的变量关系　课时作业 北师大版 高中数学 必修第一册　　含知识梳理 · 分层练习 · 参考答案与解析 知识梳理 一、变量与常量 1．变量与常量：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫作变量；数值始终保持不变的量叫作常量。 例如，圆的周长公式 中， 与 是变量， 与 是常量。 2．自变量与因变量：在一个变化过程中，如果一个变量 随另一个变量 的变化而变化，那么 叫作自变量， 叫作因变量。 二、依赖关系与函数关系 1．依赖关系：在生活中，一个变量的变化会引起另一个变量的变化，我们就说这两个变量之间存在依赖关系。例如，人的身高与体重、农作物的产量与施肥量之间都存在依赖关系。 2．函数关系：如果在某一变化过程中有两个变量 和 ，对于 在某一范围内的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 是 的函数， 是自变量。 3．依赖关系与函数关系的区别：函数关系一定是依赖关系，但依赖关系不一定是函数关系。例如，人的身高确定时，体重并不唯一确定，所以体重不是身高的函数。 【易错提醒】判断两个变量之间是否具有函数关系，关键看两点：（1）自变量在某个范围内的每一个值都有对应值；（2）对应值是唯一的，即“一对一”或“多对一”都可以，但不能“一对多”。 三、表示变量关系的三种方法 方法 特点 优点 解析式法 用含自变量的式子表示因变量 简明、全面，便于计算 列表法 用表格列出自变量与对应的因变量的值 直观，不用计算就能查到对应值 图象法 用图象表示变量之间的关系 直观、形象，能反映变化趋势 读图的要点：（1）弄清横轴、纵轴分别表示什么量及单位；（2）关注特殊点（起点、终点、交点、最高点、最低点、转折点）；（3）关注图象的变化趋势：上升、下降或保持水平；（4）在路程—时间图象中，线段越陡，速度越快，水平线段表示静止。 四、典例精析 例1　一个水池中有水 m³，现打开排水管以每小时 m³ 的速度排水。设排水时间为 h，水池中剩余水量为 m³。 （1）写出 与 之间的关系式，并指出自变量和因变量；（2）求自变量 的取值范围；（3）排水 h 后，池中还有多少水？ 【解】（1），其中 是自变量， 是因变量； （2）由 得 ，所以 ； （3）当 时，，即池中还有水 m³。 例2　下列各题中，两个变量之间是否存在函数关系？ （1）正方形的面积 与边长 ；（2）某人的年龄与他的身高；（3）某天中每一时刻与该时刻的气温。 【解】（1），边长 每取一个正数值，面积 都有唯一确定的值与之对应，所以 是 的函数； （2）年龄确定时，身高是确定的（对同一个人），所以身高是年龄的函数；但身高确定时（如成年后多年身高不变），年龄不唯一，所以年龄不是身高的函数； （3）每一时刻都有唯一确定的气温，所以气温是时刻的函数。 课时作业（一）　变量关系的识别与表示 一、选择题 1．下列两个变量之间的关系中，不是函数关系的是（　　） A．正方形的周长与边长 B．圆的面积与半径 C．人的身高与体重 D．匀速行驶的汽车的路程与时间 2．在关系式 中，下列说法正确的是（　　） A． 是自变量， 是因变量 B． 是自变量， 是因变量 C． 是变量 D．， 都是常量 3．某人骑自行车以 km/h 的速度匀速行驶，则他行驶的路程 （km）与时间 （h）之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．一个矩形的周长为 cm，设它的长为 cm，面积为 cm²，则 与 之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 5．下列关系中， 是 的函数的是（　　） A． B． C． D． 6．购买单价为 元的笔记本 本，总价为 元，则 中自变量 的取值范围是（　　） A．全体实数 B．正实数 C．非负实数 D．自然数 7．某地出租车的收费标准为：行程不超过 km 收费 元；超过 km 的部分，每千米收费 元。若行程为 km（），则车费 （元）与 之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（　　） A．两个变量之间的关系都是函数关系 B．在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量 C．在 中， 是变量 D．函数关系一定不是依赖关系 9．在圆的面积公式 中，下列说法正确的是（　　） A．，， 都是变量 B．， 是变量， 是常量 C．， 是变量， 是常量 D．， 是变量， 是常量 10．已知某一次越野赛中，选手的平均速度 （km/h）与所用时间 （h）满足 ，则全程为（　　） A． km B． km C． km D．不确定 二、填空题 11．一壶水的初始温度为 ℃，加热时每分钟升高 ℃，则加热 min（未沸腾）后的水温 （℃）与 的关系式为 ____________， 的取值范围是 ____________（水的沸点为 ℃）。 12．一根弹簧不挂物体时长 cm，在弹性限度内每挂 kg 物体伸长 cm，则挂 kg 物体时弹簧的长度 （cm）与 的关系式为 ____________。 13．在圆的周长公式 中，变量是 ______，常量是 ______。 14．等腰三角形的周长为 ，底边长 与腰长 之间的关系式为 ____________， 的取值范围是 ____________。 三、解答题 15．某移动公司的一种话费套餐为：每月月租 元，通话费每分钟 元。 （1）写出每月话费 （元）与通话时间 （min）之间的关系式； （2）若某月通话时间为 min，则该月话费为多少元？ （3）若某月话费为 元，则该月通话时间为多少分钟？ 16．如图，用长为 m 的篱笆，一面靠墙（墙长 m）围成一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 m，花圃面积为 m²。 （1）写出 与 之间的关系式； （2）求自变量 的取值范围。 17．判断下列各题中两个变量之间是否具有函数关系，并说明理由： （1）汽车匀速行驶时，油箱中的剩余油量与行驶的里程； （2）某班学生的学号与该学生的数学成绩； （3）一个正数与它的平方根。 课时作业（二）　变量关系的图象与表格 一、选择题 下图是某地某天的气温 （℃）随时间 （时）变化的图象，据此完成第1题。 1．下列说法中，错误的是（　　） A．这一天的最高气温是 ℃ B．这一天 时气温最低 C． 时到 时气温呈上升趋势 D．这一天气温高于 ℃的时间约为 小时 2．小明从家出发步行去学校，他离家的路程 （m）与时间 （min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小明家到学校的路程为 m B．小明在途中停留了 min C．小明前 min 的速度为 m/min D．小明最后 min 的速度为 m/min 3．在一次龟兔赛跑中，乌龟和兔子所跑的路程 （m）与时间 （min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．兔子先到达终点 B．乌龟的速度是 m/min C．兔子在途中睡了 min D．比赛全程为 m 4．向如图所示的容器（下部宽、上部窄）中匀速注水，直到注满为止，则水面高度 与注水时间 之间关系的图象大致是（　　） A．A B．B C．C D．D 5．物体自由下落的距离 （m）与时间 （s）的对应值如下表： /s /m 则 与 的关系式可能是（　　） A． B． C． D． 6．一辆汽车的油箱中有油 L，每行驶 km 耗油 L，则油箱中的剩余油量 （L）与行驶路程 （km）之间的关系式及 的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．在弹性限度内，弹簧的长度 （cm）与所挂物体的质量 （kg）的对应值如下表： /kg /cm 下列说法错误的是（　　） A． 与 都是变量，其中 是自变量 B．不挂物体时，弹簧的长度为 cm C．所挂物体质量每增加 kg，弹簧长度增加 cm D．所挂物体质量为 kg 时，弹簧长度为 cm 8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因为时间紧张加快速度继续匀速行驶。下列图象中，能大致表示小明离家的路程 与时间 之间关系的是（　　） A．A B．B C．C D．D 二、填空题 9．根据第1题中的气温图象，这一天的温差（最高气温与最低气温之差）是 ______ ℃。 10．根据第3题中的图象，兔子在途中睡觉的时间是 ______ min。 11．根据第5题中的表格，当 s 时，物体下落的距离 = ______ m。 12．根据第6题，汽车行驶 km 后，油箱中剩余油量为 ______ L。 三、解答题 13．某商场销售一种商品，每件售价 （元）与日销售量 （件）之间的关系如下表： 售价 /元 日销售量 /件 （1）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ （2）根据表格中的规律，写出 与 之间的关系式； （3）当售价定为 元时，日销售量是多少件？ 14．甲、乙两车从 地出发，沿同一条公路匀速行驶到相距 km 的 地，它们行驶的路程 （km）与甲车出发时间 （h）之间的关系如图所示。 （1）哪辆车先出发？先出发多长时间？ （2）哪辆车先到达 地？早到多长时间？ （3）分别求甲、乙两车的速度，并求乙车出发后多长时间追上甲车。 15．小明早晨从家出发，跑步 min 到达离家 m 的体育馆，在体育馆锻炼 min 后，又用 min 匀速步行回家。请画出小明离家的路程 （m）与时间 （min）之间关系的图象，并求小明回家时步行的速度。 参考答案与解析 课时作业（一）　变量关系的识别与表示 1．C　【解析】身高相同的人体重不一定相同，人的身高与体重之间只是依赖关系，不是函数关系；A，B，D中的两个变量都满足“一个变量的每一个值对应另一个变量唯一确定的值”。 2．A　【解析】 随 的变化而变化， 是自变量， 是因变量， 和 是常量。 3．C　【解析】路程 速度 时间，所以 。 4．B　【解析】矩形的长与宽之和为 cm，宽为 cm，所以 。 5．C　【解析】A中 时，，一个 对应两个 ，不是函数；B，D同理；C中对每一个 ， 唯一确定，是函数。 6．D　【解析】笔记本的本数只能是自然数。 7．B　【解析】。 8．B　【解析】依赖关系不一定是函数关系，A错；B是常量的定义，正确； 是常量，C错；函数关系一定是依赖关系，D错。 9．B　【解析】 是一个确定的数，是常量； 随 的变化而变化，都是变量。 10．B　【解析】由 得 ，而路程 速度 时间，所以全程为 km。 11．；　【解析】由 得 。 12． 13．，；， 14．；　【解析】由 得 。由 得 ；由三角形两边之和大于第三边，，即 ，得 。所以 。 15．解：（1）（）； （2）当 时，，即该月话费为 元； （3）当 时，，解得 ，即该月通话时间为 min。 16．解：（1）平行于墙的一边长为 m，所以 。 （2）由题意 ，解得 。所以 的取值范围是 。 17．解：（1）是函数关系。汽车匀速行驶，每千米耗油量一定，行驶里程确定时，剩余油量唯一确定。 （2）是函数关系。每个学号对应唯一的一名学生，从而对应唯一确定的数学成绩（但成绩确定时学号不一定唯一，所以学号不是成绩的函数）。 （3）不是函数关系。一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，一个正数对应两个值，不满足“唯一确定”。 课时作业（二）　变量关系的图象与表格 1．D　【解析】由图象可知，最高气温为 时的 ℃，最低气温为 时的 ℃， 时到 时气温上升，A，B，C正确。气温为 ℃的时刻约为 时和 时，气温高于 ℃的时间约为 小时，D错误。 2．A　【解析】由图象知，小明家到学校的路程为 m，A正确； min 到 min 路程不变，停留了 min，B错；前 min 的速度为 （m/min），C错；最后 min 的速度为 （m/min），D错。 3．B　【解析】乌龟用 min 跑完 m，兔子用了 min，乌龟先到达终点，A错；乌龟的速度为 （m/min），B正确；兔子在 min 到 min 之间睡觉，共 min，C错；全程为 m，D错。 4．A　【解析】容器下部宽，水面上升慢；上部窄，水面上升快。所以图象先平缓后陡峭，且每段都是匀速上升（线段），选A。 5．B　【解析】观察表格： 时 ， 时 ， 时 ， 时 ，所以 。 6．B　【解析】每千米耗油 （L），所以 。由 得 ，所以 。 7．D　【解析】由表格知 ，当 时，（cm），D错误。 8．B　【解析】两段都是匀速行驶，图象由两条线段组成；后一段速度更快，线段更陡。A是曲线，C后一段变缓，D后一段表示静止，只有B符合。 9．　【解析】（℃）。 10．　【解析】（min）。 11．　【解析】（m）。 12．　【解析】（L）。 13．解：（1）反映了售价与日销售量之间的关系，售价 是自变量，日销售量 是因变量。 （2）售价每增加 元，日销售量减少 件，所以 ，即 。 （3）当 时，，即日销售量是 件。 14．解：（1）甲车先出发，先出发 h。 （2）乙车在 时到达，甲车在 时到达，所以乙车先到达 地，早到 h。 （3）甲车的速度为 （km/h），乙车的速度为 （km/h）。设甲车出发 h 时乙车追上甲车，则 ，解得 ，此时乙车出发了 （h）。所以乙车出发 h 后追上甲车（此时离 地 km）。 15．解：图象如下图所示（由三条线段组成： 至 min 路程由 增加到 m； 至 min 路程保持 m 不变； 至 min 路程由 m 减少到 ）。 小明回家时步行的速度为 （m/min）。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $